精品解析：黑龙江鸡西市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

鸡西市第一中学2025-2026学年度第二学期高一学年期中考试 数学学科试卷 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设  . 2. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先需要由斜二测画法规则还原平面图形，由条件求出，由勾股定理可求出. 【详解】根据题意，的直观图是直角三角形，且，所以，还原，如图所示， 原图中，，，所以. 4. 棱长为1的正方体的外接球半径为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体外接球直径等于正方体体对角线长度的几何关系求解半径. 【详解】正方体外接球的球心为正方体的中心，外接球的直径与正方体的体对角线长度相等， 设正方体棱长为，正方体的体对角线长度为：   设外接球半径为，则，解得，即棱长为1的正方体的外接球半径为. 5. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【详解】剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥. 6. 已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】作出相交平面可说明B项错误；借助于长方体模型可说明D项错误；利用面面平行的判定定理可说明A正确；利用线面平行的判定定理可判断C项. 【详解】对于A，由可得，又有，且是两个平面，故，即A正确； 对于B，如图，取，，且，则易得，但得不到，故B错误； 对于C，由，可得或，故C错误； 对于D，如图，设为长方体的两个相对的底面，是长方体的一条竖直和一条水平的棱， 显然满足，但得不到，故D错误. 7. 在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，得到截面图形，并求出面积 【详解】连接，，， 因为E，F分别是棱，的中点，所以， 又，故，，则四点共面， 故截该正方体所得截面为四边形， ，， ，四边形为等腰梯形， 过点分别作，交于点， 则，故， 故，所以截面面积为. 8. 在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的部分分，有选错得0分． 9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（ ） A. 直线和直线 B. 直线和直线 C. 直线和直线 D. 直线和直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】将正方体还原，从而得到线段所在直线是否为异面直线. 【详解】还原为正方体，如下： A选项，直线和直线是异面直线，A正确； B选项，直线和直线是异面直线，B正确； C选项，直线和直线是异面直线，C正确； D选项，直线和直线是相交直线，不是异面直线，D错误. 10. 在中，已知，，，则角的度数为（ ） A. B. C. 30° D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正弦定理计算求出角即可. 【详解】由正弦定理可得, , 或 故选：AB. 11. 如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，P为棱上一点，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 八面体的体积为 C. 的最小值为 D. 点A到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到线线平行，证明线面平行；B选项，由锥体体积公式进行求解；C选项，两平面展开，当三点共线时，取到最小值，得到答案；D选项，等体积法求解点到平面的距离 【详解】A选项，在正方体中，连接相交于点，显然互相平分， 故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面，A正确； B选项，正方体的棱长为4，显然四边形为正方形，设边长为， 显然，解得，边长为， 又⊥平面，显然， 故四棱锥的体积为， 由对称性可知，四棱锥的体积也为 八面体的体积为，B错误； C选项，因为为棱上的一点，将和展开成一个平面， 由题意知，，同理可得， 和为等边三角形，且边长为，展开图中， 连接，由三角形两边之和大于第三边，故当三点共线时，最小， 即线段即为最小值， 由余弦定理得，C正确； D选项，， 设点A到平面的距离为，且， ， 其中为等边三角形，边长为， 故，解得， 点A到平面的距离为，D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题，本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 【答案】3 【解析】 【详解】因为，且实部与虚部相等， 故，解得. 13. 中，，，D为边上的中点，，则的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理和三角形中线长公式求出与的乘积，再代入三角形面积公式计算即可。 【详解】设，，， 在中，由余弦定理得： ， 又，，，则 ①； 因为为边的中点，为边上的中线， 所以， 又，则②， 由得，解得， 由三角形面积公式：， 则. 14. 如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设的中点为，通过证明平面平面，可解决第一空，由，确定为动直线AP与的夹角，进而可求解. 【详解】 如图，设的中点为，连接，，分别为，的中点， 则, ,又， 所以四边形都是平行四边形， 所以，， 又平面， 所以平面，平面， 又平面， 所以平面平面，即平面为平面， 线段为平面与底面的交线， 易得； 连接，因为，所以为动直线AP与的夹角，，过作（H为垂足），则， 在中，由等面积法可得，得， 又, 所以． 即动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 如图，在四棱锥中，为正方形，平面；， （1）求四棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及正方形的性质，证明四个侧面均为直角三角形，分别计算底面及四个侧面的面积求和即可； （2）由 平面可知为高，利用锥体体积公式计算即可. 【小问1详解】 因为 平面，平面，平面， 所以 ， . 又因为底面为正方形，所以，，. 在 中，，，所以. 在 中，，，所以. 因为 平面，平面，所以 . 又，，平面， 所以平面. 因为平面，所以 ，即为直角三角形. 在 中，. 所以. 同理可证平面，从而 ，即为直角三角形. 在 中，. 所以. 底面正方形的面积 . 故四棱锥的表面积 . 【小问2详解】 因为 平面， 所以为四棱锥的高，且. 底面为正方形， 面积 . 所以四棱锥的体积. 16. 已知平面内三个向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于的方程组，解之即可得解； （2）用向量线性运算的坐标表示求得与,再利用向量平行的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 因为，则， 可得，解得. 【小问2详解】 因为， 则，， 若，则，解得. 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明见解析 （2） 证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，进而利用线面平行判定定理证明； （2）利用等腰三角形性质证明，结合线面垂直性质证明，从而证得平面，进而利用面面垂直判定定理证明； （3）取中点，确定直线与平面所成角为，通过解直角三角形计算正弦值. 【小问1详解】  连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 在中，因为， 所以为等腰三角形，故． 所以，即． 因为平面，平面， 所以． 又因为，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 【小问3详解】 取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． 在中，，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. （1）证明：平面； （2）若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； （3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）确定三棱锥外接球的球心为，求出及球的半径，即可得出的范围； （3）确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【小问1详解】 连接，取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 连接，， 因为平面，所以， 所以， 又E为的中点，所以， 由平面，平面，所以， 又，， 所以, 所以为三棱锥的外接球的球心，且球的半径， 因为，所以平面，平面， 所以，又， 所以， 所以，即. 【小问3详解】 连接， 由平面，则为直线与平面所成的角，即，所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鸡西市第一中学2025-2026学年度第二学期高一学年期中考试 数学学科试卷 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. 5 C. 3 D. 2. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（ ） A. 8 B. C. D. 4 4. 棱长为1的正方体的外接球半径为（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱 6. 已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的部分分，有选错得0分． 9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（ ） A. 直线和直线 B. 直线和直线 C. 直线和直线 D. 直线和直线 10. 在中，已知，，，则角的度数为（ ） A. B. C. 30° D. 11. 如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，P为棱上一点，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 八面体的体积为 C. 的最小值为 D. 点A到平面的距离为 第Ⅱ卷 三、填空题，本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 13. 中，，，D为边上的中点，，则的面积为__________． 14. 如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 如图，在四棱锥中，为正方形，平面；， （1）求四棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积． 16. 已知平面内三个向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. （1）证明：平面； （2）若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； （3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $