精品解析：黑龙江牡丹江市第一高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（平行班）

2025级高一学年下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的计算公式化简求，再化简求. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 2. 已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行，线面垂直，线面垂直，面面垂直相关判定性质逐个判定即可. 【详解】对于A选项：若，，则与可能平行、相交或异面．像墙角三条线，所以不能得出平行，A错． 对于B选项：，则内有直线与平行，又，所以，在内，能推出，B对． 对于C选项：且时，与位置不确定，可在内等，不能得出，C错． 对于D选项：，交线为，，则可以在内，可以与平行，或与相交但不垂直，位置不定，D错． 故选：B． 3. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】因为正方形的边长为1， 所以，， 将直观图还原为原图形，如图： 由直观图的作法可知，中，，， 所以，， 所以原图形的周长是. 4. 木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且均为等边三角形，，则该木楔的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，取的中点O，连接，求出，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可. 【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接， 则由题意等腰梯形全等等腰梯形， 则. 取的中点O，连接，因为，所以， 则， ∴. 因为，，所以，因为四边形为正方形， 所以，又因为，平面，所以平面， 所以平面，同理可证平面， ∴多面体的体积 ， 故选：C. 5. 在四棱锥中，平面，点是矩形内的动点，，，．直线与平面所成角为，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合线面角以及圆的知识求得正确答案. 【详解】由于平面，点是矩形内的动点， 则平面，所以， 又直线与平面所成角为即， 所以，即是直线与平面所成角， 又，，， 则，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在矩形内的部分， 设圆与分别交于两点， 则，， 所以，则， 所以点的轨迹长为. 故选：B. 6. 在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将三棱锥补成直三棱柱，根据球的性质，确定球心位置，要使过点作球的截面圆的面积最小，只需截面与垂直，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解. 【详解】将三棱锥补成直三棱柱， 且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球， 记三角形的中心为，设球的半径为，， 则球心到平面的距离为，即， 连接，则，∴. 在中，取的中点为，连接， 则，， 所以.在中，， 由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为， 则， 所以最小截面圆的面积为， 当截面过球心时，截面面积最大为， 所以，， 球的表面积为. 故选:C. 【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，球体与截面等基础知识，确定球心是解题的关键，属于中档题. 7. 已知共面向量满足，且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为 A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作出平面向量的几何表示，用表示出即可得出结论． 【详解】解：设，，，以，为邻边作平行四边形， 由题意可知，， ，，， 过作，则的最小值为， 设，，则， ， 故选：B． 8. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间总直线与平面的位置关系，先确定点到平面的垂线段，在根据已知条件得，解方程求出即可. 【详解】取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点， 取中点，连接， 由已知，、分别为、中点， 因为是直三棱柱，所以，且 ， 所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以为矩形，所以， 又，平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，设为； ，在中，， 所以，设角，则有， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为是直三棱柱，所以，且， 所以，， 又因为平面， 平面，所以， 所以，即，解得， 所以点到平面的距离是， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据空间中点、线、面的位置关系，确定点到平面的垂线段. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若有一个，下面说法正确的是（ ） A. 在中，若，则为等腰直角三角形 B. 在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数的取值范围是 C. 在中，三边之比为，则此三角形的最大内角为 D. 在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，可得或，即可判断A；利用正弦定理即可判断B；根据大边对大角结合余弦定理即可判断C；利用韦达定理结合余弦定理求出边，再利用正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，因为恰有两解， 所以，即，解得，故B正确； 对于C，不妨设三边的长分别为， 则对应的角最大，设为， 则， 所以，即三角形的最大内角为，故C正确； 对于D，设所对的边分别为， 因为最大边与最小边是方程的两个实根，易知两根不相等， 故不是等边三角形. 若为最大角，则， 若为最小角，则，所以角既不是最大角也不是最小角， 即边既不是最大边也不是最小边， 因为最大边与最小边是方程的两个实根， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以的外接圆半径，故D正确. 10. 在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先作出过，，三点的截面为五边形，根据相似，求解长度，根据体积公式即可求解. 【详解】如图，延长，相交于，连接，交于， 同理可作，则，，三点的截面为五边形， 不妨设正方体棱长为1，则，所以， 又，所以． 同理可得，， 可知截得较小部分体积， 所以， 又立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为． 故选：C． 11. 如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，，过点的平面截该正方体所得的截面为，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 当平面平面时， C. 线段长的最小值为 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用举反例可判断A，利用面面平行的性质及向量的线性运算及数量积运算可判断BC选项，通过画正方体的截面判断D选项的正确性，从而确定正确答案. 【详解】当时，与重合，与重合， 易证平面，即存在，使得平面，故A错误； 若平面平面，因为平面平面，平面平面， 所以，设，因为为的中点， 所以为的中点，所以，延长到，使得， 同理可得，又，所以，又为的中点， 所以，所以，所以，故B正确； 由题意知，且， 故 （当且仅当时等号成立），当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 当时，易得为正六边形（如图六边形），其边长为， 故的面积为 .， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，求出点，再利用圆的参数方程，结合三角恒等变换即可求出答案. 【详解】如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，，，， 直线的方程为：， 由题意知，设圆方程为， 因为圆与直线BD相切， 则， 又，， 则， 则， 所以，， 则， 其中，， 所以，当时，取得最大值，最大值为. 13. 在中，角所对的边分别为，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解. 【详解】由，由正弦定理得， 又， 所以， 又由，所以， 所以， 所以，即， 解得或． 又因为，且， 所以，所以，即． 14. 如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入_______个. 【答案】6 【解析】 【分析】求出满足条件的小球的半径，再由俯视图可求出两个小球球心与底面圆圆心投影连线的夹角，即可得解. 【详解】如图， 则，解得， 由题意，小球与圆柱、圆锥侧面、圆锥底面相切，作轴截面如图所示， 因为，所以，即， 则，设圆的半径为，则， 解得，即小球的半径为1, 作俯视图， 因为为等边三角形，所以， 由可知，这样的小球最多能放入6个. 故答案为：6 四.解答题（本题共5小题共77分.其中15题13分、16、17题15分、18、19题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，四棱锥中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，，M为PC的中点. （1）求证：BM平面PAD； （2）在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD. 【答案】（1）证明见解析 （2）N为AE的中点 【解析】 【分析】（1）找到的中点和的中点E，根据中位线的性质证明四边形为平行四边形，进而可证明平面； （2）先证明平面平面，再根据面面垂直的性质找到点. 【小问1详解】 是的中点，取的中点E，连接，如图， 则，，又，， ，四边形为平行四边形， ， 又平面，平面，则平面； 【小问2详解】 由（1）知为平行四边形 由底面，在平面内，， 又，平面， 同理平面，平面， ， 则为矩形，，， 又，为的中点，所以， 平面， 由平面，平面平面， 在平面内作，故平面， 延长交于，在矩形内，，， ，即N为AE的中点 当点为的中点时， 平面; 16. 如图，在中，，，，为内一点，且． （1）若，求的长； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，先求出，再在中，利用余弦定理求解即可； （2）设，则，在中，利用正弦定理求出，再在中，求出，进而可得出答案. 【小问1详解】 在中，， 则， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以； 【小问2详解】 设，则， 在中，因为， 所以, 在中，, 所以，即， 所以，即. 17. 在中，角所对的边分别为，，，，且． （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等价于，化简后利用余弦定理即可求出角的值; （2）利用正弦定理用角表示出，根据角的取值范围，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为，，且， 所以 利用正弦定理化简得：即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； 【小问2详解】 由（1）得，即， 又因为三角形为锐角三角形，所以解得：， 因为，由正弦定理得： 所以，， 所以 因为，所以， 所以则的取值范围为 18. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. （1）求直线与所成角的余弦值. （2）设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 【答案】（1） （2）（i）不是，体积最小值为；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦值. （2）（i）利用反证法证明不平行于平面即可判断，再求出线段上到平面距离最小值即可；（ii）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法求解. 【小问1详解】 在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 （i）三棱锥的体积不是定值. 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面， 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点， 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值， 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为 （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则. 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 19. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； （1）若，，，，求证：； （2）若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. （3）若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 【答案】（1）详见解析 （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）不同的直角三角形中，分别表示所求角的余弦值，即可证明； （2）首先将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，再分和两种情况求余弦值； （3）首先作辅助线，构造的高，再设，利用相似关系，勾股定理表示，并表示的面积，求面积的最小值. 【小问1详解】 如图，因为底面，平面 所以，又，且， 所以平面，平面， 所以， 所以，，, 所以； 【小问2详解】 如图，以为临边作平行四边形，连结，则异面直线和所成的角为或其补角， 当时，，并且由（1）可知，,，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 当时，，，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 综上可知，异面直线和所成的角的余弦值为或； 【小问3详解】 如图，作于点，作于点，连结， 中，都垂直于，所以， 所以平面，且平面，所以， 又因为，， 所以平面，平面，所以， 设，，由， 得，， 中，，得， 当且仅当时，等号成立， 所以. 所以面积的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一学年下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. i D. 2. 已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 3. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且均为等边三角形，，则该木楔的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 在四棱锥中，平面，点是矩形内的动点，，，．直线与平面所成角为，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 2 6. 在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知共面向量满足，且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为 A. B. 2 C. 4 D. 6 8. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若有一个，下面说法正确的是（ ） A. 在中，若，则为等腰直角三角形 B. 在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数的取值范围是 C. 在中，三边之比为，则此三角形的最大内角为 D. 在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径 10. 在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，，过点的平面截该正方体所得的截面为，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 当平面平面时， C. 线段长的最小值为 D. 当时， 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值为________. 13. 在中，角所对的边分别为，若，则___________． 14. 如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入_______个. 四.解答题（本题共5小题共77分.其中15题13分、16、17题15分、18、19题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，四棱锥中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD， ，M为PC的中点. （1）求证：BM平面PAD； （2）在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD. 16. 如图，在中，，，，为内一点，且． （1）若，求的长； （2）若，求． 17. 在中，角所对的边分别为，，，，且． （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 18. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. （1）求直线与所成角的余弦值. （2）设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 19. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； （1）若，，，，求证：； （2）若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. （3）若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $