专题03 期末复习压轴题18个考点（举一反三期末专项训练）七年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 聚焦初中数学期末压轴题，以18个考点构建“选填+解答”双维度训练体系，融合代数运算与几何探究，提炼逆运算转化、参数分析、辅助线构造等可迁移方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填压轴篇|9考点（含例题+变式）|幂的逆运算技巧、整式乘法化简策略、不等式参数取值分析、相交线角度计算模型|从基础运算（幂、整式）到综合应用（方程与不等式结合），构建“概念-性质-应用”递进链条| |解答压轴篇|9考点（含例题+变式）|新定义问题转化方法、乘法公式几何验证、过拐点作平行辅助线、旋转动态几何分析|从代数新定义到几何变换，体现“代数推理-几何直观-模型应用”融合，培养空间观念与模型意识|

专题03 期末复习压轴题18个考点 【新教材湘教版】 【选填压轴篇】 2 【考点1 利用幂的逆运算求解】 2 【考点2 与整式的乘法有关的化简求值】 4 【考点3 利用整式的乘法解决图形面积问题】 6 【考点4 与平方根、立方根有关的计算】 10 【考点5 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 13 【考点6 方程组与不等式（组）综合应用】 16 【考点7 根据不等式的性质求取值范围】 19 【考点8 相交线中的角度计算】 22 【考点9 探究平行线中角度之间的关系】 26 【解答压轴篇】 30 【考点10 与幂的运算有关的新定义问题】 30 【考点11 乘法公式的几何背景】 35 【考点12 无理数小数部分有关的计算】 41 【考点13 求一元一次不等式（组）中参数】 45 【考点14 解特殊不等式组】 50 【考点15 一元一次不等式（组）的应用】 55 【考点16 过拐点作平行】 59 【考点17 旋转使平行】 66 【考点18 图案设计】 77 【选填压轴篇】 【考点1 利用幂的逆运算求解】 【例1】（25-26九年级上·重庆·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为__ ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算等知识﹒根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算将变形为结合已知条件求出，即可求出﹒ 【详解】解：∵，，， ∴， ∴﹒ 故答案为：2 【变式1-1】（24-25七年级下·四川巴中·期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系． 【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【详解】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）若am=20，bn=20，ab=20，则=______． 【答案】1 【分析】先根据可得，再结合可得，由此结合可得，由此可得，进而可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键． 【考点2 与整式的乘法有关的化简求值】 【例2】（25-26八年级上·四川南充·期末）若实数，满足，则的最小值是          ，令，则的取值范围是          ． 【答案】      【详解】解：， ， ，即， ，即， 解得， ，即， ，即，解得， 的取值范围为，故的最小值为， ， ， ， ， 当时，； 当时，， 的取值范围为， 故答案为：，． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）当或时，多项式的值为0，则把此时的值称为多项式的零点．若多项式，则多项式的零点是 ． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式运算法则． 先利用多项式乘以多项式运算法则将其展开，通过比较多项式的两种形式系数，建立方程求解参数，进而得到零点． 【详解】解： 比较系数得：，，， ∴ 代入，则， ∴； ∴ 解得 ∴ ∴或， 解得， ∴， 解得 故多项式的零点为2或3， 故答案为：2或3． 【变式2-2】若第一个整式的项数为奇数，则用此整式去乘，若第一个整式的项数为偶数，则用此整式去乘，所得结果记作；若合并同类项后的项数为奇数，则用去乘，若合并同类项后的项数为偶数，则用去乘，所得结果记作，以此类推．下列说法正确的个数为  (    ) 第一个整式为，则； 第一个整式为，若，则的值为； 第一个整式为，若，则． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】提示：第一个整式为，则，故正确；第一个整式为，则，，即，，故错误；第一个整式为，则，其展开式有项，故，则，显然令可得，令可得，两式相减可得，则，故正确．故选：． 【变式2-3】已知，，．求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得是解题的关键． 根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得即可求解． 【详解】解：已知，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【考点3 利用整式的乘法解决图形面积问题】 【例3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置在正方形内部，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图6和图7中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求的值的是（   ） A．①和②的面积差 B．长方形纸片长和宽的差 C．长方形纸片的周长和面积 D．长方形纸片和②的面积差 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【详解】解：如图，设正方形的边长为， 则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项B、C不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项A不符合题意； ∵长方形纸片和②的面积差为， ∴若知道长方形纸片和②的面积差，不能求出，即选项D符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，A，B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖．现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1块 型地砖． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先计算4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖的总面积，再结合完全平方公式和正方形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，还缺1块C型地砖． 故答案为：C． 【变式3-2】（25-26八年级上·北京·期末）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为 ． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 【详解】解：（1）由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ∴=． 故答案是：； （2）∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为， 故答案为： ． 【变式3-3】（24-25八年级下·浙江·期末）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是8的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是64， ∴的最大值为． 故答案为：． 【考点4 与平方根、立方根有关的计算】 【例4】有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答． 【详解】解：（1）∵，m和n是有理数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为3， 故答案为：3； （2）∵， ∴， ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得：， ∵m，n是x的平方根， ∴， 故答案为：4． 【变式4-1】（25-26七年级上·上海·月考）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，可得，求出后代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ， ． 故答案为：． 【变式4-2】据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，试确定 是 位数； （2）由 19683 个位数是 3，试确定 个位数是 ； （3）如果划去 19683 后面的三位数 683 得到数 19 ，而 ，由此你能确定十位 的数字是 ； （4） 用上述方法确定 110592 的立方根是 ． 【答案】 两 7 2 48 【分析】（1）由19683大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是2位数； （2）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；，即可确定答案； （3）运用数立方的计算方法计算即可； （4）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然再确定十位数即可解答． 【详解】解：（1）∵1000<19683<1000000， ∴10<<100， ∴是两位数； 故答案为：两； （2）∵一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数 ∴的个位数为7； 故答案为7； （3）∵8<19<27， ∴2<<3， ∴的十位上的数是2， 故答案为2； （4）∵观察发现：只有8的立方的个位数为2 ∴的个位数为8 又∵64＜110＜125 ∴的十位为4 ∴=48 故答案为48． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解答本题的关键． 【变式4-3】一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据a的n次方根的定义结合平方差公式和绝对值的意义逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴3是81的四次方根，①正确； ②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确； ③∵ ， 则S的三次方根是，③正确； ④由已知得：， 即数轴上数a到数和数2025的距离和为4048， 又由， 故整数， 则整数a的二次方根有，共4051个，④不正确； 故应选：C． 【点睛】本题主要考查对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点． 【考点5 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 【例5】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键． 先解不等式组，得到解集范围，再根据有4个整数解（即2，3，4，5）确定上界条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为 ； 有且只有4个整数解，即整数解为2，3，4，5， ； 解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， ， 故选：D． 【变式5-1】已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解，能够通过不等式的解集得到参数的取值范围是解题关键． 先解不等式组，得到解集的范围，再根据给定的解集求出参数的值，最后计算幂． 【详解】解：解不等式组： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 不等式组的解集为 ． 给定解集为 ， ∴ ， 解得 ， 代入得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 【变式5-2】已知关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的所有整数解的和为， ∴当整数解为时， ∴， ∴， ∴， 当整数解为时， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式5-3】已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组有5个整数解， ∴， 解得，， ， 移项合并得，， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， 综上，， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【考点6 方程组与不等式（组）综合应用】 【例6】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查根据不等式组的解集，一元一次方程的解求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解，得到关于的不等式组，求出的范围，再求出方程的解，根据方程有整数解，求出符合条件的整数的值，再求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有且只有2个整数解， ∴，整数解为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 【变式6-2】若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先去掉绝对值符号，再通过对b分类讨论得结论． 解即可． 【详解】解：∵方程||x-a|-b|=5有解， ∴方程|x-a|-b=±5， 即|x-a|=b±5， （1）当b=-5时，即|x-a|=0或|x-a|=-10， ①|x-a|=0时，方程有一个解； ②|x-a|=-10，此时方程无解． 所以当b=-5时，方程只有一个解； （2）当-5＜b＜5时，即b+5＞0，b-5＜0， ①b+5＞0时，方程有两个不相等解， ②b-5＜0时，方程无解． 所以当-5＜b＜5时，方程有两个不相等解； （3）当b=5时，即|x-a|=0或|x-a|=10 ①|x-a|=0时，方程有一个解； ②|x-a|=10，此时方程有两个不相等解． 所以当b=5时，方程有三个解； （4）当b＞5时，即b±5＞0， ①b+5＞0时，方程有两个不相等解， ②b-5＞0时，方程有两个不相等解． 所以当b＞5时，方程有四个不相等解． 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【变式6-3】（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．先把方程的解用表示出来，再求出不等式组每个不等式的解集，根据不等式组无解求出的取值范围，结合方程的解为自然数确定整数的具体整数值，最后求出它们的积． 【详解】解：解方程， ， 为自然数， ，且为的倍数，为奇数 ， 解不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组无解， ， ，即或或， 当 时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 【考点7 根据不等式的性质求取值范围】 【例7】（25-26七年级下·福建厦门·月考）已知，且，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如表示另一个量如，然后根据题中已知量的取值范围，构建另一量的不等式，从而确定的取值范围，同法再确定另一未知量的取值范围． 利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：， ， 又 ， ， ． 又 ， ① 同理得：② 由①②得： 的取值范围是： 故答案为：． 【变式7-1】（25-26七年级下·福建龙岩·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键．由条件可得，先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴， 解得：， 而， ， ∵， ， ∴ ， ， ， ， ∴t的取值范围是：． 故答案为：． 【变式7-2】若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式的解集，再求出不等式的解集，得出关于m的不等式，求出即可. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立， ∴，解得， 故选：A． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键. 【变式7-3】若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ∵， ∴ ∴t的取值范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 【考点8 相交线中的角度计算】 【例8】（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案； （2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案． 【详解】解：（1）设， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． （2）设， ∵射线垂直于， ， ， ∵射线平分， ， ， ∵直线、相交于点O， ， 又， ， 解得：， 即． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键． 【变式8-1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线相交于点D，．若与的度数之比为，的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．根据题意求得，进而根据对顶角相等得出，根据即可求解． 【详解】解：，与的度数之比为， ， 直线、相交于点， ， ， ， 故答案为：． 【变式8-2】如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 【答案】 【分析】根据垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，解答即可． 本题考查了垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：55． 【变式8-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据邻补角的概念求出、，根据对顶角相等求出，计算即可． 本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟记对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ∵， ， ，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【考点9 探究平行线中角度之间的关系】 【例9】如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式9-1】（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ． 【答案】或或 【分析】根据题意得，再由的平移过程，分成两种情况考虑：（1）点在线段上；（2）点在外，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系后即可得解． 【详解】解：依题得：， 分两种情况考虑： （1）点在线段上，过点作，如下图： ， ， ， ，， ， 又， ； ， ， 又， ； （2）点在外时，过点作，如下图： ， ， ，， ， 又， ， 即； ， 由图可知，， 此情况不成立； 综上，或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的知识点是平移的性质、平行公理的应用、平行线的性质、几何图形中的角度计算，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 【变式9-2】在数学延时课上，小西把一张纸条（对边）沿着EF折叠，如图所示．通过反复多次的操作实验，他发现与之间有关系，请你写出它们之间的关系： ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠及平行线的性质．关键是明确折叠前后，对应角相等；还有两直线平行，内错角相等的性质．设， 由折叠的性质得：，再由邻补角的性质即可得与之间的等量关系．最后得出答案即可． 【详解】解：设， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ，即， ． 故答案为：． 【变式9-3】已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是 ．      【答案】 【分析】过点O作，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，可得，再证明，进一步可得出结论． 【详解】解：过点O作，      则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故要使．则与满足的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 【解答压轴篇】 【考点10 与幂的运算有关的新定义问题】 【例10】（25-26七年级下·山东青岛·月考）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，． 我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①_____________  ②_____________； (2)计算：_____________； (3)记，，．求证：． 【答案】(1)① ② (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“雅对”的定义计算即可； （2）设，，根据“雅对”的定义可得：，逆用同底数幂的乘法法则可得：，所以； （3）根据“雅对”的定义可得：，所以有． 【详解】（1）①解：， ； ， ； （2）解：设，， ， 即，， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 【变式10-1】如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ② ， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 【变式10-2】（2025七年级下·全国·专题练习）新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 【答案】(1)2；4； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：2；4； （2）解：∵若，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：∵（k为奇数）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为奇数时,． 【变式10-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 【考点11 乘法公式的几何背景】 【例11】（25-26七年级上·河南郑州·期末）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是______；（用含a，b的代数式表示） (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为______； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据正方形的性质即可解决问题； （2）利用正方形的面积即可解决问题； （3）设，根据题意可得 根据，列出等式，整理后得，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴ 应取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形． ∴ 此新的正方形的边长是， 故答案为：4，； （2）解：根据题意可知：， 故答案为：； （3）解：设， 根据题意，得 故答案为：． 【变式11-1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）根据题意可以得到； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）根据四边形的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； （2）解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； （3）解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 【变式11-2】（25-26七年级上·上海·期末）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【答案】(1)；；； (2)；；，证明见解析； (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）可将看作，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； 故答案为：；；； （2）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边 左边 ； 故答案为：；；； （3）解： ． 【变式11-3】（25-26八年级上·福建厦门·月考）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 【答案】(1)；； (2)22 (3)1744 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、列代数式、代数式求值等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，据此列出代数式即可解答； （2）根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，再结合完全平方公式代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知，， 由题意得，，即； 图2中，由图可知，，， 由题图可知，，即． 故答案为：；； （2）解： 由图1可得： ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【考点12 无理数小数部分有关的计算】 【例12】（25-26八年级上·上海·月考）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 【变式12-1】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：，，请回答下列问题： (1)___________，___________； (2)当时，以下说法正确的是___________（填序号）； ①； ②； ③； ④若，则． (3)当时，解不等式． 【答案】(1)2，； (2)①②④； (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的运算，不等式的性质，解一元一次不等式，正确理解新定义是解题关键． 本题考查了无理数的估算 （1）根据无理数的估算可得，再根据新定义即可求解； （2）根据新定义逐一判断即可； （3）根据，不等式可变形为，再将代入，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ，， 故答案为：，； （2）解：表示的小数部分， ，故①正确； 根据定义可得，，故②正确； 表示的小数部分， ，故③错误 ， ， ， ，即，故④正确 故答案为：①②④； （3）解：，， ， ， ， ， ， ∵ ． 【变式12-2】确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题： （1）确定的整数部分和小数部分； （2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】（1）整数部分是3，小数部分是；（2）12 【分析】（1）仿照题例，可直接求出的整数部分和小数部分； （2）根据题例，先确定a、b，再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即． 故的整数部分是3，小数部分是； （2）∵， ∴，即， 同理：， ∴的小数部分为a=， 的小数部分为b=， ∴=4×（+）+8=12． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各无理数的小数部分是解题关键． 【变式12-3】数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答： （1）的小数部分是，的整数部分是，求的值； （2）已知，其中是一个整数，，求． 【答案】（l）1；（2）28． 【分析】（1）先估算出和的大致范围，再求得a、b的值，然后代入计算即可； （2）先求得x的值，然后再表示出y-的值，最后进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，∴ ∴ ∵ ∴ ∴原式． 【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，根据估算求得a、b的值是解答本题的关键． 【考点13 求一元一次不等式（组）中参数】 【例13】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该不等式组的子集方程． （1）在方程x﹣3＝0①，2x+1＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组的子集方程的序号：　 　； （2）写出不等式组的一个子集方程，使得它的解是整数：　 　； （3）若方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程，求m的取值范围． 【答案】（1）①③；（2）2x﹣2＝0；（3）0≤m＜1． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）解不等式组求得其整数解，根据子集方程的定义写出一个解为1的方程即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解方程x﹣3＝0，得：x＝3， 解方程2x+1＝0，得：x＝﹣， 解方程x﹣（3x+1）＝﹣5，得：x＝2， 解不等式组：， 得：＜x＜， 所以不等式组：， 子集方程是①③， 故答案为：①③； （2）解不等式2x﹣1＜3，得：x＜2， 解不等式3x+1＞﹣x﹣5，得：x＞﹣， 则不等式组的解集为：﹣＜x＜2， ∴其整数解为：﹣1、0、1， 则该不等式组的一个子集方程为：2x﹣2＝0． 故答案为：2x﹣2＝0； （3）解关于x的不等式组的得：m＜x≤m+2， ∵方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程， ∴0≤m＜1． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解子集方程的定义是解题的关键． 【变式13-1】（25-26七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式、不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将代入，然后解不等式即可； （）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有个，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵该不等式的负整数解有且只有个， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 【变式13-2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题为新定义问题，考查了解不等式，解一元一次方程，解二元一次方程组，解不等式组等知识﹒ （1）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （2）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出求的取值范围﹒ 【详解】（1）解：解方程得， 解不等式得，故方程的解不是不等式①的梦想解； 解不等式得，故方程的解不是不等式②的梦想解； 解不等式得，故方程的解是不等式③的梦想解﹒ 故答案为：③； （2）解：解二元一次方程组 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 【变式13-3】（25-26七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，得，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1． （2）解： 由不等式，得， 当即时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当即时，， 结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意； 综上可知，a的值为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 【考点14 解特殊不等式组】 【例14】认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【答案】(1)3， (2)，最小值为1 (3)①；② 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）解：C到B的距离为； A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； （2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且为； （3）①的解集为或， 故答案为：或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或．    【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键． 【变式14-1】小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图7所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于3；点A，B之间的点（不包括点A，B）表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的应用以及求解一元一次不等式组，注意计算的准确性即可． （1）求解绝对值方程，即可； （2）由可得，求解绝对值方程，即可； （3）解不等式组可得，（2）中的绝对值不等式的整数解为，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵当或时，， ∴的解集是或 故答案为：或 （2）解：由可得：， 令，解得：或 ∴绝对值不等式的解集是： （3）解：解不等式组可得： ∵绝对值不等式的整数解为：， ∴， 解得： 【变式14-2】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)不等式的解集是______． (3)若对任意的x都成立，则a的取值范围是______． 【答案】(1)；或； (2)或 (3)． 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、绝对值、有理数大小比较，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，从而，由，则或，即可判断得解； （2）依据题意，从数轴上看，当时，取最小值为4，故当或时，，即可判断得解； （3）依据题意，方程的解，即到3的距离和到-4的距离之差为a的点对应的数，从而的解集分三种在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围，再分、和三种情形讨论，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， ， 或 故答案为：；或 （2）由题意，从数轴上看，当时，取最小值为4， 当或时， 不等式 的解集是或 故答案为：或． （3）方程的解，即到3的距离和到的距离之差为a的点对应的数， 则的解集分三种在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围， ①当时，不等式， ②当时，不等式，又，，， ③当时，不等式， 综上， 故答案为： 【变式14-3】阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你写出下列绝对值不等式的解集． ①的解集是_______________； ②解集是_______________． (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 【答案】(1)①或；② (2) (3) 【分析】（1）根据题意即可得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得； （3）先解不等式组求出的取值范围为，根据第（2）得到的不等式得出x只能取2和3两个整数，所以且，从而求出的取值范围； 【详解】（1）①的解集为：或； ②的解集为：； 故答案为：①或；②； （2）∵， ∴，即 ∴的解集可表示为， 解得， ∴的解集为； （3）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 由于（2）的整数解是2和3， ∴且， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式、不等式组含参问题，熟练掌握一元一次不等式的基本步骤和绝对值的性质是解题的关键． 【考点15 一元一次不等式（组）的应用】 【例15】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 【变式15-1】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）冬酿酒之于苏州人，犹如香槟酒之于法国人．两者同样需要依照时令产出，就算在苏州本地，冬酿酒也只在冬至前后供应．某超市计划试销两种包装规格的预包装冬酿酒（简装版、精装版），已知精装版冬酿酒每瓶售价比简装版贵38元，购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元． (1)求精装版和简装版冬酿酒每瓶的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每瓶进价为30元，简装版冬酿酒每瓶进价为15元，超市计划购进两种包装共200瓶，要求试销总利润不低于3700元，该超市精装版冬酿酒至少进多少瓶？ 【答案】(1)精装版冬酿酒每瓶售价60元，简装版冬酿酒每瓶售价22元 (2)该超市精装版冬酿酒至少进100瓶 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出对应的方程或不等式是解题的关键． （1）根据题意设出未知数，再根据购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元，列出方程即可求解； （2）根据题意设出未知数，再根据总利润不低于3700元，列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设简装版冬酿酒每瓶的售价为x元，则精装版冬酿酒每瓶的售价为元， 根据题意可得：， 解得：，则， ∴精装版冬酿酒每瓶售价60元，简装版冬酿酒每瓶售价22元； （2）解：设该超市购进精装版冬酿酒m瓶，则购进简装版冬酿酒瓶， 根据题意可得：， 解得：， ∴该超市精装版冬酿酒至少进100瓶． 【变式15-2】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 甲种产品 乙种产品 成本（万元／件） 2 5 利润（万元／件） 1 2 (1)若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？ (2)若车间计划投入资金不多于41万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？并求出获得最大利润时的方案？ 【答案】(1)甲种产品生产6件，乙种产品生产4件 (2)生产方案有：甲生产3件乙生产7件，甲生产4件乙生产6件，甲生产5件乙生产5件； 获得最大利润时的方案是甲生产3件乙生产7件，利润17万元 【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式组以及一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设生产甲种产品件，则生产乙种产品有件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解； （2）根据总成本不超过41万元和总利润大于14万元列不等式组，求出x的取值范围，得到整数解即为生产方案，然后设利润为y，建立y关于x的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设生产甲种产品x件，则生产乙种产品件， 由题意得， 解得：， 则（件） 所以甲种产品生产6件，乙种产品生产4件； （2）解：设应生产甲种产品x件，则生产乙种产品有件，由题意有： ， 解得：， ∵为整数， ∴或4或5， ∴生产方案有：甲生产3件乙生产7件，甲生产4件乙生产6件，甲生产5件乙生产5件； 设总利润为y万元 由题意得，， ∵ ∴y随x的增大而减小，即可得，甲产品生产越少，获利越大， 所以当甲生产3件乙生产7件时可获得最大利润，其最大利润为（万元）． 【变式15-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； (2)60套； (3)三种生产方案：①生产40套A款服装，60套B款服装；②生产39套A款服装，61套B款服装；③生产38套A款服装，62套B款服装． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装； （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装． 【考点16 过拐点作平行】 【例16】（24-25七年级下·陕西延安·期末）某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、． (1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质定理，角平分线，平行公里的推论，邻补角，根据性质定理得到角的关系． （1）过E点作，再利用平行线性质，两直线平行内错角相等，可得到 （2）过点E作，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，可得到，再作，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，得到，的度数． （3）过点E作，如图，设 ，再利用角平分线性质得到，，再利用平行线性质、角平分线定义，作即可求出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作 ， ， ， ， ． （2）过点E作，过点F作，如图， 由（1）同理可得，，， ∵， ∴， ∵平分平分 ∴ ∴， ∴． （3）过点E作，过点F作，如图， 由（1）同理可得，， 有， 设， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∵平分 ∴， ∴． 【变式16-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行公理，平行线的性质，平角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．作，因为，所以，由平行线的性质可知，即，由三角板的度数可求，则的度数可求． 【详解】解∶作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角板的度数可知，， ∵， ∴． 【变式16-2】（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟知相关定理，根据题意正确添加辅助线是解题关键． （1）延长交于点E，根据得到，根据得到，即可证明； （2）分别过点P、Q作，根据得到，即可求出进而求出，根据求出，即可求出 【详解】（1）解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点P、Q作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【变式16-3】感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程． （2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由． 实践探究： （3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析（2）理由见解析（3） 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用类比的结论解决问题是关键． （1）过点E作，证明，结合已知可得，再进一步可得结论； （2）由（1）可得，且，再进一步可得结论； （3）如图，令，，则，由（1）得：，表示，，结合，可得，过点H作，可得，，利用，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）证明：过点E作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）可知， ，且， ∴， ∴； （3）如图，令，，则， 由（1）得：， ∵射线是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点H作， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点17 旋转使平行】 【例17】（24-25七年级上·重庆·期末）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)①或；②，，， 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数． （2）①根据题意分成在内部时，在外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解． ②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，，三角板中含， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：①若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ； 若在外部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ， 综上，或． ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式17-1】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，线段与相交于点F，交直线的延长线于点B．已知，，现将直线绕着点B顺时针（箭头方向）旋转，当直线垂直于的任意一条边时，旋转的角度是 °． 【答案】60或90或126或240或270或306 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，垂直的定义，求旋转角，分六种情况画出图形运用角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图1，当时，即， ∵, ∴； 如图2，当时，， 如图3，当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图4，当时，即， ∴旋转的度数为：； 如图5，当时，即， ∴旋转的度数为：； 如图6，当于点时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转的度数为：； 综上，AB旋转的角度是， 故答案为：60或90或126或240或270或306． 【变式17-2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 【变式17-3】（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2所示，若，求的度数 (3)如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质； （1）根据角平线的定义得到的度数，进而求出的度数，即可得到，根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）过点作，根据平行线的性质解答即可； （3）分为两种情况画图，过点作，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ，   ， ， ； （2）过点作， ， ， ， ，， ． ； （3）i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 【考点18 图案设计】 【例18】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）在综合实践课上，小红想在学校一块正方形空地中分别种植四种不同的花草，计划将这块空地按如下要求分成四块： ①分割后的整个图形是中心对称图形； ②四块图形的形状相同； ③四块图形的面积相等． 请帮助小红在下面的正方形中画出同时满足上述三个要求的4种不同分割方案．（不写作法） 【答案】 【分析】此题主要考查正方形中心对称和轴对称的性质，熟练掌握其性质是做题的关键．根据正方形中心对称和轴对称的性质，进行画图即可． 【详解】解：根据题意，如图所示： 从以上方案任选4种即可． 【变式18-1】（25-26七年级上·上海宝山·期末）在方格图中，三角形三个顶点均在格点上，如图所示． (1)先将三角形绕点顺时针旋转后得到三角形；再将三角形向右平移10个单位后得到三角形．请在方格图中画出三角形和三角形． (2)三角形和三角形在位置上是否存在特殊的对称关系？若存在，请说明它们是轴对称还是中心对称，并写出对称轴或对称中心． (3)如果再将三角形再按相同的方式进行旋转、平移……多次重复操作后，得到的图形是一个______（填“二方连续纹样”或“四方连续纹样”）． 【答案】(1)见解析 (2)存在；中心对称；对称中心为点 (3)二方连续纹样 【分析】本题考查了画旋转图形与画图形的平移，理解这两种变换的性质是关键； （1）根据画旋转图形与平移图形的方法进行即可； （2）根据所画出的两个图形的位置即可作出判断； （3）由变换知，图形只能在水平方向延伸，因而是二方连续纹样． 【详解】（1）解：三角形和三角形如下图所示； （2）解：三角形和三角形在位置上成中心对称，对称中心为点； （3）解：由题意知，得到的图形相当于把三角形与三角形组成的图形每次向右平移10个单位长度，因而得到的是二方连续纹样的图形； 故答案为：二方连续纹样． 【变式18-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的正六边形均是由6个相同的小等边三角形拼成的，将其部分涂黑．观察图①、图②的特征，回答下列问题： (1)图①和图②共同的特征是__________； (2)请你在图③、图④中设计出与图①、图②特征相同的图形． 【答案】(1)既是轴对称图形，又是中心对称图形； (2)见解析． 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称的性质，轴对称图形，掌握中心对称的性质是解题关键． （1）观察图①和图②，发现它们既是轴对称图形，又是中心对称图形； （2）根据轴对称和中心对称的特征，在图③④中设计出既是轴对称又是中心对称的图形即可． 【详解】（1）解：既是轴对称图形，又是中心对称图形； （2）解：设计的图形如图③、图④所示（答案不唯一）． 【变式18-3】如图所示的网格都是由边长为1的小正方形组成，图1中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”． 问题：请用“赵爽弦图”中的四个直角三角形通过你所学的图形变换，在图2，图3的方格纸中设计另外两个不同的图案，每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，画图要求： （1）图2中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形； （2）图3中所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，既是轴对称图形，又是中心对称图形； （2）所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【详解】（1）如答图1所示，既是轴对称图形，又是中心对称图形； （2）如答图2所示，是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【点睛】本题考查了利用旋转或者轴对称设计方案，关键是理解中心对称和轴对称的概念，按照要求作出图形即可． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期末复习压轴题18个考点 【新教材湘教版】 【选填压轴篇】 1 【考点1 利用幂的逆运算求解】 1 【考点2 与整式的乘法有关的化简求值】 2 【考点3 利用整式的乘法解决图形面积问题】 2 【考点4 与平方根、立方根有关的计算】 4 【考点5 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 4 【考点6 方程组与不等式（组）综合应用】 5 【考点7 根据不等式的性质求取值范围】 5 【考点8 相交线中的角度计算】 5 【考点9 探究平行线中角度之间的关系】 6 【解答压轴篇】 7 【考点10 与幂的运算有关的新定义问题】 7 【考点11 乘法公式的几何背景】 9 【考点12 无理数小数部分有关的计算】 11 【考点13 求一元一次不等式（组）中参数】 12 【考点14 解特殊不等式组】 12 【考点15 一元一次不等式（组）的应用】 14 【考点16 过拐点作平行】 16 【考点17 旋转使平行】 17 【考点18 图案设计】 19 【选填压轴篇】 【考点1 利用幂的逆运算求解】 【例1】（25-26九年级上·重庆·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为__ ． 【变式1-1】（24-25七年级下·四川巴中·期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． 【变式1-3】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）若am=20，bn=20，ab=20，则=______． 【考点2 与整式的乘法有关的化简求值】 【例2】（25-26八年级上·四川南充·期末）若实数，满足，则的最小值是          ，令，则的取值范围是          ． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）当或时，多项式的值为0，则把此时的值称为多项式的零点．若多项式，则多项式的零点是 ． 【变式2-2】若第一个整式的项数为奇数，则用此整式去乘，若第一个整式的项数为偶数，则用此整式去乘，所得结果记作；若合并同类项后的项数为奇数，则用去乘，若合并同类项后的项数为偶数，则用去乘，所得结果记作，以此类推．下列说法正确的个数为  (    ) 第一个整式为，则； 第一个整式为，若，则的值为； 第一个整式为，若，则． A. B. C. D. 【变式2-3】已知，，．求的值为 ． 【考点3 利用整式的乘法解决图形面积问题】 【例3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置在正方形内部，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图6和图7中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求的值的是（   ） A．①和②的面积差 B．长方形纸片长和宽的差 C．长方形纸片的周长和面积 D．长方形纸片和②的面积差 【变式3-1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，A，B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖．现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1块 型地砖． 【变式3-2】（25-26八年级上·北京·期末）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为 ． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·浙江·期末）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ． 【考点4 与平方根、立方根有关的计算】 【例4】有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 【变式4-1】（25-26七年级上·上海·月考）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是 ． 【变式4-2】据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，试确定 是 位数； （2）由 19683 个位数是 3，试确定 个位数是 ； （3）如果划去 19683 后面的三位数 683 得到数 19 ，而 ，由此你能确定十位 的数字是 ； （4） 用上述方法确定 110592 的立方根是 ． 【变式4-3】一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点5 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 【例5】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【变式5-2】已知关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是 ． 【变式5-3】已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【考点6 方程组与不等式（组）综合应用】 【例6】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【变式6-1】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【变式6-2】若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 【变式6-3】（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为 ． 【考点7 根据不等式的性质求取值范围】 【例7】（25-26七年级下·福建厦门·月考）已知，且，，则的取值范围是 ． 【变式7-1】（25-26七年级下·福建龙岩·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【变式7-2】若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【考点8 相交线中的角度计算】 【例8】（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 【变式8-1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线相交于点D，．若与的度数之比为，的度数是 ． 【变式8-2】如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 【变式8-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ． 【考点9 探究平行线中角度之间的关系】 【例9】如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ． 【变式9-2】在数学延时课上，小西把一张纸条（对边）沿着EF折叠，如图所示．通过反复多次的操作实验，他发现与之间有关系，请你写出它们之间的关系： ． 【变式9-3】已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是 ．      【解答压轴篇】 【考点10 与幂的运算有关的新定义问题】 【例10】（25-26七年级下·山东青岛·月考）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，． 我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①_____________  ②_____________； (2)计算：_____________； (3)记，，．求证：． 【变式10-1】如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【变式10-2】（2025七年级下·全国·专题练习）新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 【变式10-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【考点11 乘法公式的几何背景】 【例11】（25-26七年级上·河南郑州·期末）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是______；（用含a，b的代数式表示） (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为______； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？请说明理由． 【变式11-1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【变式11-2】（25-26七年级上·上海·期末）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【变式11-3】（25-26八年级上·福建厦门·月考）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 【考点12 无理数小数部分有关的计算】 【例12】（25-26八年级上·上海·月考）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【变式12-1】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：，，请回答下列问题： (1)___________，___________； (2)当时，以下说法正确的是___________（填序号）； ①； ②； ③； ④若，则． (3)当时，解不等式． 【变式12-2】确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题： （1）确定的整数部分和小数部分； （2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【变式12-3】数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答： （1）的小数部分是，的整数部分是，求的值； （2）已知，其中是一个整数，，求． 【考点13 求一元一次不等式（组）中参数】 【例13】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该不等式组的子集方程． （1）在方程x﹣3＝0①，2x+1＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组的子集方程的序号：　 　； （2）写出不等式组的一个子集方程，使得它的解是整数：　 　； （3）若方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程，求m的取值范围． 【变式13-1】（25-26七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【变式13-2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 【变式13-3】（25-26七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【考点14 解特殊不等式组】 【例14】认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【变式14-1】小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图7所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于3；点A，B之间的点（不包括点A，B）表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围． 【变式14-2】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)不等式的解集是______． (3)若对任意的x都成立，则a的取值范围是______． 【变式14-3】阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你写出下列绝对值不等式的解集． ①的解集是_______________； ②解集是_______________． (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 【考点15 一元一次不等式（组）的应用】 【例15】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【变式15-1】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）冬酿酒之于苏州人，犹如香槟酒之于法国人．两者同样需要依照时令产出，就算在苏州本地，冬酿酒也只在冬至前后供应．某超市计划试销两种包装规格的预包装冬酿酒（简装版、精装版），已知精装版冬酿酒每瓶售价比简装版贵38元，购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元． (1)求精装版和简装版冬酿酒每瓶的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每瓶进价为30元，简装版冬酿酒每瓶进价为15元，超市计划购进两种包装共200瓶，要求试销总利润不低于3700元，该超市精装版冬酿酒至少进多少瓶？ 【变式15-2】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 甲种产品 乙种产品 成本（万元／件） 2 5 利润（万元／件） 1 2 (1)若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？ (2)若车间计划投入资金不多于41万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？并求出获得最大利润时的方案？ 【变式15-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【考点16 过拐点作平行】 【例16】（24-25七年级下·陕西延安·期末）某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、． (1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数． 【变式16-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 【变式16-2】（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【变式16-3】感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程． （2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由． 实践探究： （3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数． 【考点17 旋转使平行】 【例17】（24-25七年级上·重庆·期末）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【变式17-1】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，线段与相交于点F，交直线的延长线于点B．已知，，现将直线绕着点B顺时针（箭头方向）旋转，当直线垂直于的任意一条边时，旋转的角度是 °． 【变式17-2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【变式17-3】（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2所示，若，求的度数 (3)如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）． 【考点18 图案设计】 【例18】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）在综合实践课上，小红想在学校一块正方形空地中分别种植四种不同的花草，计划将这块空地按如下要求分成四块： ①分割后的整个图形是中心对称图形； ②四块图形的形状相同； ③四块图形的面积相等． 请帮助小红在下面的正方形中画出同时满足上述三个要求的4种不同分割方案．（不写作法） 【变式18-1】（25-26七年级上·上海宝山·期末）在方格图中，三角形三个顶点均在格点上，如图所示． (1)先将三角形绕点顺时针旋转后得到三角形；再将三角形向右平移10个单位后得到三角形．请在方格图中画出三角形和三角形． (2)三角形和三角形在位置上是否存在特殊的对称关系？若存在，请说明它们是轴对称还是中心对称，并写出对称轴或对称中心． (3)如果再将三角形再按相同的方式进行旋转、平移……多次重复操作后，得到的图形是一个______（填“二方连续纹样”或“四方连续纹样”）． 【变式18-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的正六边形均是由6个相同的小等边三角形拼成的，将其部分涂黑．观察图①、图②的特征，回答下列问题： (1)图①和图②共同的特征是__________； (2)请你在图③、图④中设计出与图①、图②特征相同的图形． 【变式18-3】如图所示的网格都是由边长为1的小正方形组成，图1中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”． 问题：请用“赵爽弦图”中的四个直角三角形通过你所学的图形变换，在图2，图3的方格纸中设计另外两个不同的图案，每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，画图要求： （1）图2中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形； （2）图3中所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形，但不是轴对称图形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $