专题03 期末复习压轴题25个考点（举一反三期末专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦期末压轴题25个核心考点，以"模型+变式"构建系统性解题方法，覆盖代数参数求解与几何综合应用，强化逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填压轴篇|12考点|参数分类讨论/几何模型识别/动态问题临界点分析|从不等式组参数到全等三角形判定，形成"概念-性质-应用"递进链条| |解答压轴篇|13考点|过拐点作平行/手拉手模型构造/半角旋转转化|以代数应用为基础，几何综合为提升，突出转化思想与模型迁移|

专题03 期末复习压轴题25个考点 【新教材沪教版五四制】 【选填压轴篇】 2 【考点1 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 2 【考点2 方程组与不等式（组）综合应用】 2 【考点3 根据不等式的性质求取值范围】 2 【考点4 相交线中的角度计算】 3 【考点5 探究平行线中角度之间的关系】 4 【考点6 由三角形的中线求面积】 5 【考点7 由三角形的内(外)角和求角度】 6 【考点8 格点中的全等三角形】 7 【考点9 利用全等三角形的判定与性质求值】 8 【考点10 与全等三角形有关的动点问题】 9 【考点11 几何图形最值问题】 10 【考点12 使组成等腰三角形的点的个数】 11 【解答压轴篇】 12 【考点13 求一元一次不等式（组）中参数】 12 【考点14 解特殊不等式组】 13 【考点15 一元一次不等式（组）的应用】 15 【考点16 过拐点作平行】 16 【考点17 旋转使平行】 18 【考点18 三角形的中线与三角形面积有关的计算】 19 【考点19 与双角平分线有关的计算】 21 【考点20 动点运动成全等三角形】 23 【考点21 一线三等角模型】 24 【考点22 手拉手模型】 26 【考点23 半角模型】 28 【考点24 证明线段之间的关系】 29 【考点25 证明角度之间的关系】 31 【选填压轴篇】 【考点1 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 【例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【变式1-2】已知关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是 ． 【变式1-3】已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【考点2 方程组与不等式（组）综合应用】 【例2】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【变式2-1】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【变式2-2】若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为 ． 【考点3 根据不等式的性质求取值范围】 【例3】（25-26七年级下·福建厦门·月考）已知，且，，则的取值范围是 ． 【变式3-1】（25-26七年级下·福建龙岩·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【变式3-2】若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【考点4 相交线中的角度计算】 【例4】（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 【变式4-1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线相交于点D，．若与的度数之比为，的度数是 ． 【变式4-2】如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 【变式4-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ． 【考点5 探究平行线中角度之间的关系】 【例5】如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ． 【变式5-2】在数学延时课上，小西把一张纸条（对边）沿着EF折叠，如图所示．通过反复多次的操作实验，他发现与之间有关系，请你写出它们之间的关系： ． 【变式5-3】已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是 ．      【考点6 由三角形的中线求面积】 【例6】如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】如图，已知分别为的边的中点，连接为的中线，连接．若，四边形的面积为20，则的边上的高为 ． 【变式6-2】（25-26七年级下·重庆·期末）在中，点D是边上一点，且，连接，点F为中点，连接并延长，交于点E．若，则 【变式6-3】如图1，点D在边上，我们知道若，则；反之亦然．如图2，是的中线，点F在边上，相交于点O，若，则 ． 【考点7 由三角形的内(外)角和求角度】 【例7】（25-26八年级上·上海松江·月考）如图是一个不规则的“五角星”，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【变式7-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． （1）若，，则 °； （2）直接写出、和之间存在的等量关系： ． 【变式7-3】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点8 格点中的全等三角形】 【例8】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则＝ ． 【变式8-1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个． 【变式8-3】如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个． 【考点9 利用全等三角形的判定与性质求值】 【例9】（25-26八年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，，，分别是，上两个动点，且，当与的和最小时，点到边的距离为________． 【变式9-1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式9-2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）在中，，，点D为的中点，E、F分别为直线上两点，若满足，，则的长为_________ ． 【变式9-3】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，过点B作交于点D，点E在的延长线上，F是上一点，连接，若，，，，则______，点B到的距离为______． 【考点10 与全等三角形有关的动点问题】 【例10】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为 ． 【变式10-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，，垂足为点，厘米，厘米，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等，的值可能为（   ） A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8 【变式10-2】（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，若使，点E运动秒数为 （  ） A．3或5 B．3或4 C．2或5 D．2或4 【变式10-3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【考点11 几何图形最值问题】 【例11】（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，在等边三角形中，是中线，点分别在，上，且，动点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，的面积为10，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，作直线，为上任意一点，点为的中点，连接，，则长度的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【变式11-2】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在四边形中，平分，于点D，，，则面积的最大值为 【变式11-3】如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【考点12 使组成等腰三角形的点的个数】 【例12】如图，在正方形所在平面内求一点，使点与正方形的任意两个顶点构成，，，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点的个数为（    ）． A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【变式12-1】如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 【变式12-2】（25-26八年级上·四川自贡·期末）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 【变式12-3】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【解答压轴篇】 【考点13 求一元一次不等式（组）中参数】 【例13】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该不等式组的子集方程． （1）在方程x﹣3＝0①，2x+1＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组的子集方程的序号：　 　； （2）写出不等式组的一个子集方程，使得它的解是整数：　 　； （3）若方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程，求m的取值范围． 【变式13-1】（25-26七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【变式13-2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 【变式13-3】（25-26七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【考点14 解特殊不等式组】 【例14】认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【变式14-1】小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图7所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于3；点A，B之间的点（不包括点A，B）表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围． 【变式14-2】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)不等式的解集是______． (3)若对任意的x都成立，则a的取值范围是______． 【变式14-3】阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你写出下列绝对值不等式的解集． ①的解集是_______________； ②解集是_______________． (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 【考点15 一元一次不等式（组）的应用】 【例15】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【变式15-1】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）冬酿酒之于苏州人，犹如香槟酒之于法国人．两者同样需要依照时令产出，就算在苏州本地，冬酿酒也只在冬至前后供应．某超市计划试销两种包装规格的预包装冬酿酒（简装版、精装版），已知精装版冬酿酒每瓶售价比简装版贵38元，购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元． (1)求精装版和简装版冬酿酒每瓶的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每瓶进价为30元，简装版冬酿酒每瓶进价为15元，超市计划购进两种包装共200瓶，要求试销总利润不低于3700元，该超市精装版冬酿酒至少进多少瓶？ 【变式15-2】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 甲种产品 乙种产品 成本（万元／件） 2 5 利润（万元／件） 1 2 (1)若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？ (2)若车间计划投入资金不多于41万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？并求出获得最大利润时的方案？ 【变式15-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【考点16 过拐点作平行】 【例16】（24-25七年级下·陕西延安·期末）某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、． (1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数． 【变式16-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 【变式16-2】（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【变式16-3】感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程． （2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由． 实践探究： （3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数． 【考点17 旋转使平行】 【例17】（24-25七年级上·重庆·期末）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【变式17-1】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，线段与相交于点F，交直线的延长线于点B．已知，，现将直线绕着点B顺时针（箭头方向）旋转，当直线垂直于的任意一条边时，旋转的角度是 °． 【变式17-2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【变式17-3】（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2所示，若，求的度数 (3)如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）． 【考点18 三角形的中线与三角形面积有关的计算】 【例18】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到______（填“”“”或“”）； (2)如图，三角形薄板的三条中线，，相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 【变式18-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，是上一点，连接，是的中点，于点． (1)若平分，，，求的度数． (2)若，且的面积，求的值．（用含的式子表示） 【变式18-2】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，于点E，，平分． (1)求证：； (2)若点F是的中点，，的面积是15，求的面积． 【变式18-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，，，，延长交直线于． (1)如图，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，若，求的度数； (3)如图，在（2）的条件下，连、，取中点，连交于点，若，，求的长． 【考点19 与双角平分线有关的计算】 【例19】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图1，在中，的两条角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点． (1)探究与的数量关系． (2)如图2，若． （i）求证：． （ii）连接，求证：（提示：夹在两条平行线之间的垂直线段相等） 【变式19-1】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，点在边上，于点，为的角平分线，的平分线交于点． (1)如图1，延长，交于点，若，，求的度数． (2)如图2，当，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由． (3)如图3，若，与线段交于点，用含的代数式表示，并说明理由． 【变式19-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【变式19-3】（25-26八年级上·山东德州·期末）已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、B均不与点O重合． 【探究】 （1）如图1，平分，平分． ①若．则________°． ②在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展】 （2）如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数：若变化，直接写出的度数的变化范围． 【考点20 动点运动成全等三角形】 【例20】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 【变式20-1】（25-26八年级上·吉林松原·月考）如图，在中．直线l经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿B－C－A路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，求t的值； (3)要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出的值． 【变式20-2】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 【变式20-3】（25-26八年级上·江苏南通·月考）在边长为的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒的速度从点向点移动，设运动时间为秒．      (1)如图1，若，，则的值为_____； (2)如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“，为腰，为底的等腰三角形，且，”，点在从向运动过程中，点，同时分别在，上运动，点以每秒的速度从点向运动，同时点以每秒的速度从点向运动（各点均不再返回），当以、、三点构成的三角形与全等时，求的值． 【考点21 一线三等角模型】 【例21】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）（1）如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式21-1】（25-26八年级上·天津·期末）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【变式21-2】在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰 纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【变式21-3】如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【考点22 手拉手模型】 【例22】（25-26八年级上·河南新乡·期末）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【变式22-1】如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结． (1)求的度数； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由． 【变式22-2】（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【变式22-3】在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 【考点23 半角模型】 【例23】问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系． 方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明； （2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明． 【变式23-1】（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【变式23-2】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【变式23-3】（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【考点24 证明线段之间的关系】 【例24】（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； 【变式24-1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，点D在线段的延长线上，与都是等边三角形，请判断，，的等量关系并说明理由． 【变式24-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）如图1，点B在线段上，点E在线段上，，垂足为B，， (1)直接写出线段与线段的关系 ； (2)如图2，若于M，于N，求证：； (3)如图3，M、N分别是上的点，当满足什么条件时，线段和线段始终保持相等关系？请说明理由． 【变式24-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点，构造和等腰三角形（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是____________________； 【自主探究】（2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点在上且满足，，请求出的长． 【考点25 证明角度之间的关系】 【例25】（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图1，在中，，平分交于点，是边上的动点（不与点，重合），连接，将沿翻折得到，连接． 特例研究 （1）当，点与点重合（如图2）时，求的度数． 拓展延伸 （2）当，点与点不重合时，记，，探究与的关系． 一般推广 （3）当，点与点不重合时，根据（2）中的结论，直接写出与的数量关系． 【变式25-1】（25-26八年级上·全国·期末）将一块直角三角板放置在上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，． (1)如图，当时，______度，______度． (2)如图，改变直角三角板的位置，使该三角板的两条直角边，仍然分别经过点，，那么的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究与的关系． 【变式25-2】（25-26八年级上·广东汕头·月考）如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接BF交CE于点D． (1)求证：； (2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【变式25-3】（25-26八年级上·广西防城港·期末）【探究与证明】在中，，． 【特例求解】（1）如图①，如果，是上的高，求的大小，完成以下填空． 解：，， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． （2）如图②，如果，是上的高，，则________ 【探究规律】（3）通过以上两题，你发现与之间有什么数量关系？用式子表示为：________________． 【拓展延伸】（4）如图③，如果不是上的高，请与是否还存在上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期末复习压轴题25个考点 【新教材沪教版五四制】 【选填压轴篇】 2 【考点1 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 2 【考点2 方程组与不等式（组）综合应用】 5 【考点3 根据不等式的性质求取值范围】 8 【考点4 相交线中的角度计算】 11 【考点5 探究平行线中角度之间的关系】 15 【考点6 由三角形的中线求面积】 19 【考点7 由三角形的内(外)角和求角度】 23 【考点8 格点中的全等三角形】 27 【考点9 利用全等三角形的判定与性质求值】 30 【考点10 与全等三角形有关的动点问题】 35 【考点11 几何图形最值问题】 39 【考点12 使组成等腰三角形的点的个数】 44 【解答压轴篇】 48 【考点13 求一元一次不等式（组）中参数】 48 【考点14 解特殊不等式组】 53 【考点15 一元一次不等式（组）的应用】 58 【考点16 过拐点作平行】 62 【考点17 旋转使平行】 69 【考点18 三角形的中线与三角形面积有关的计算】 80 【考点19 与双角平分线有关的计算】 88 【考点20 动点运动成全等三角形】 97 【考点21 一线三等角模型】 107 【考点22 手拉手模型】 115 【考点23 半角模型】 121 【考点24 证明线段之间的关系】 129 【考点25 证明角度之间的关系】 136 【选填压轴篇】 【考点1 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 【例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键． 先解不等式组，得到解集范围，再根据有4个整数解（即2，3，4，5）确定上界条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为 ； 有且只有4个整数解，即整数解为2，3，4，5， ； 解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， ， 故选：D． 【变式1-1】已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解，能够通过不等式的解集得到参数的取值范围是解题关键． 先解不等式组，得到解集的范围，再根据给定的解集求出参数的值，最后计算幂． 【详解】解：解不等式组： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 不等式组的解集为 ． 给定解集为 ， ∴ ， 解得 ， 代入得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 【变式1-2】已知关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的所有整数解的和为， ∴当整数解为时， ∴， ∴， ∴， 当整数解为时， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式1-3】已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组有5个整数解， ∴， 解得，， ， 移项合并得，， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， 综上，， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【考点2 方程组与不等式（组）综合应用】 【例2】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查根据不等式组的解集，一元一次方程的解求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解，得到关于的不等式组，求出的范围，再求出方程的解，根据方程有整数解，求出符合条件的整数的值，再求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有且只有2个整数解， ∴，整数解为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 【变式2-2】若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先去掉绝对值符号，再通过对b分类讨论得结论． 解即可． 【详解】解：∵方程||x-a|-b|=5有解， ∴方程|x-a|-b=±5， 即|x-a|=b±5， （1）当b=-5时，即|x-a|=0或|x-a|=-10， ①|x-a|=0时，方程有一个解； ②|x-a|=-10，此时方程无解． 所以当b=-5时，方程只有一个解； （2）当-5＜b＜5时，即b+5＞0，b-5＜0， ①b+5＞0时，方程有两个不相等解， ②b-5＜0时，方程无解． 所以当-5＜b＜5时，方程有两个不相等解； （3）当b=5时，即|x-a|=0或|x-a|=10 ①|x-a|=0时，方程有一个解； ②|x-a|=10，此时方程有两个不相等解． 所以当b=5时，方程有三个解； （4）当b＞5时，即b±5＞0， ①b+5＞0时，方程有两个不相等解， ②b-5＞0时，方程有两个不相等解． 所以当b＞5时，方程有四个不相等解． 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【变式2-3】（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．先把方程的解用表示出来，再求出不等式组每个不等式的解集，根据不等式组无解求出的取值范围，结合方程的解为自然数确定整数的具体整数值，最后求出它们的积． 【详解】解：解方程， ， 为自然数， ，且为的倍数，为奇数 ， 解不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组无解， ， ，即或或， 当 时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 【考点3 根据不等式的性质求取值范围】 【例3】（25-26七年级下·福建厦门·月考）已知，且，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如表示另一个量如，然后根据题中已知量的取值范围，构建另一量的不等式，从而确定的取值范围，同法再确定另一未知量的取值范围． 利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：， ， 又 ， ， ． 又 ， ① 同理得：② 由①②得： 的取值范围是： 故答案为：． 【变式3-1】（25-26七年级下·福建龙岩·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键．由条件可得，先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴， 解得：， 而， ， ∵， ， ∴ ， ， ， ， ∴t的取值范围是：． 故答案为：． 【变式3-2】若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式的解集，再求出不等式的解集，得出关于m的不等式，求出即可. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立， ∴，解得， 故选：A． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键. 【变式3-3】若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ∵， ∴ ∴t的取值范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 【考点4 相交线中的角度计算】 【例4】（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案； （2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案． 【详解】解：（1）设， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． （2）设， ∵射线垂直于， ， ， ∵射线平分， ， ， ∵直线、相交于点O， ， 又， ， 解得：， 即． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键． 【变式4-1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线相交于点D，．若与的度数之比为，的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．根据题意求得，进而根据对顶角相等得出，根据即可求解． 【详解】解：，与的度数之比为， ， 直线、相交于点， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-2】如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 【答案】 【分析】根据垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，解答即可． 本题考查了垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：55． 【变式4-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据邻补角的概念求出、，根据对顶角相等求出，计算即可． 本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟记对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ∵， ， ，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【考点5 探究平行线中角度之间的关系】 【例5】如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式5-1】（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ． 【答案】或或 【分析】根据题意得，再由的平移过程，分成两种情况考虑：（1）点在线段上；（2）点在外，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系后即可得解． 【详解】解：依题得：， 分两种情况考虑： （1）点在线段上，过点作，如下图： ， ， ， ，， ， 又， ； ， ， 又， ； （2）点在外时，过点作，如下图： ， ， ，， ， 又， ， 即； ， 由图可知，， 此情况不成立； 综上，或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的知识点是平移的性质、平行公理的应用、平行线的性质、几何图形中的角度计算，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 【变式5-2】在数学延时课上，小西把一张纸条（对边）沿着EF折叠，如图所示．通过反复多次的操作实验，他发现与之间有关系，请你写出它们之间的关系： ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠及平行线的性质．关键是明确折叠前后，对应角相等；还有两直线平行，内错角相等的性质．设， 由折叠的性质得：，再由邻补角的性质即可得与之间的等量关系．最后得出答案即可． 【详解】解：设， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ，即， ． 故答案为：． 【变式5-3】已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是 ．      【答案】 【分析】过点O作，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，可得，再证明，进一步可得出结论． 【详解】解：过点O作，      则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故要使．则与满足的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 【考点6 由三角形的中线求面积】 【例6】如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积． 【详解】解：如图，连接、，设的面积为，    ， 的面积为，的面积为， 的面积为， , 的面积为，的面积为，的面积为， ， ，即的面积为2 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键． 【变式6-1】如图，已知分别为的边的中点，连接为的中线，连接．若，四边形的面积为20，则的边上的高为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、三角形的面积、三角形的高等知识点，掌握三角形的中线性质是解题的关键． 如图：连接，设，边上高长为h，由三角形中线的性质得，，即得，，进而得，，即得到，再根据四边形的面积为得，解得，即得到，最后根据三角形面积公式求解即可， 【详解】解：如图：连接，设，边上高长为h， ∵为的中线， ∴点F为的中点， ∴，， ∵点D是的中点， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴，解得， ∴， ∴，解得：， ∴的边上的高为8. 故答案为8. 【变式6-2】（25-26七年级下·重庆·期末）在中，点D是边上一点，且，连接，点F为中点，连接并延长，交于点E．若，则 【答案】30 【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F为中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：30． 【变式6-3】如图1，点D在边上，我们知道若，则；反之亦然．如图2，是的中线，点F在边上，相交于点O，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查三角形中线、三角形的面积，当两个三角形同底时，面积比等于高之比；当两个三角形同高时，面积比等于底之比．设，则，由可得，，设，则，于是，，利用列出方程，求得，则． 【详解】解：如图，连接， 是的中线， ，， 设， ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ． 【考点7 由三角形的内(外)角和求角度】 【例7】（25-26八年级上·上海松江·月考）如图是一个不规则的“五角星”，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，解题的关键是“数形结合”，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．根据三角形外角的性质得到，，再根据三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：如图所示；    故选：A． 【变式7-1】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，所以当增加时，和各增加，当增加时，减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当增加时，， 即和各增加， ∵， ∴当增加时，减小． 故选：D ． 【变式7-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． （1）若，，则 °； （2）直接写出、和之间存在的等量关系： ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． （1）先根据三角形的外角性质和角平分线的定义可得，再根据三角形内角和性质求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． （2）．理由如下： ∵是的外角的平分线， ∴， 由三角形的外角性质得：，， ∴． 故答案为： ． 【变式7-3】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、平角的定义. 作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，由轴对称的性质可得，，，，当、、、在同一直线上时，最小，为，表示出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，最小，为， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 故选：C． 【考点8 格点中的全等三角形】 【例8】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则＝ ． 【答案】/45度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键． 直接利用网格证明，得出对应角，进而得出答案． 【详解】解：如图， 由网格可知：，，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式8-1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质的应用，根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角即可得到答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为个单位长度， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角． 故选：B． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 分类讨论为腰和为底的情况，结合网格特征逐一寻找符合条件的格点． 【详解】解： 等腰三角形的情况，可分类讨论： 当为腰时：如图，分别以、为圆心，长为半径画弧，可与个格点相交，则图中点可作为点； 当为底边时：如图，作的垂直平分线，可与个格点相交，则图中点可作为点． 综上，满足条件的点有个． 故答案为：． 【变式8-3】如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的性质，三条对应边分别相等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．可以以和为公共边分别画出3个，不可以，故可求出结果． 【详解】解：以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等．以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等，所以可画出6个这样的三角形． 故答案为：6． 【考点9 利用全等三角形的判定与性质求值】 【例9】（25-26八年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，，，分别是，上两个动点，且，当与的和最小时，点到边的距离为________． 【答案】 【分析】通过构造平行线，取中点，利用全等三角形将转化为，从而把的最小值问题转化为的最小值问题；根据两点之间线段最短，当共线时和最小，此时点与重合；最后计算到的距离即为所求． 【详解】解：如图，过点作平行于，取的中点，连接并延长交于，连接，过作垂直于， ∵，，为中点， ， 在中，， ∴， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， ， 当，，共线时，最小，此时与重合， 故点到的距离即为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段中点的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握构造全等三角形转化线段和的方法是解题的关键． 【变式9-1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形知识；解题的关键是通过正方形面积求边长，设未知数表示相关线段，利用勾股定理建立方程求解；先由正方形的面积求出其边长，易证得，根据，证得，． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 同理可证 ∴， 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选D． 【变式9-2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）在中，，，点D为的中点，E、F分别为直线上两点，若满足，，则的长为_________ ． 【答案】1或5 【分析】分两种情况：当点在线段上时或当点在延长线上时，取的中点，连接，同理证明，得到，从而求解． 【详解】解：当点在线段上时， 如图，取的中点，连接，此时在的延长线上， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：的长为1或5． 【变式9-3】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，过点B作交于点D，点E在的延长线上，F是上一点，连接，若，，，，则______，点B到的距离为______． 【答案】 2 【分析】过作交于，可证得到，过作交于，根据，得到，即，据此求点B到的距离． 【详解】解：过作交于， 在中，， （等腰三角形腰上的高相等）， ，， ， 在和中， ， ， ，； 过作交于， ， ，即， ，又， ， 即点B到的距离为 【考点10 与全等三角形有关的动点问题】 【例10】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ， ∵， ∴， ∵与全等， ∴或， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：2或． 【变式10-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，，垂足为点，厘米，厘米，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等，的值可能为（   ） A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的性质．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当E在线段上时，②当E在射线上时；再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出 与全等，然后分别计算的长度即可． 【详解】解：①当E在线段上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，， 这时E在B点未动，不合题意舍去； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 故选：D． 【变式10-2】（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，若使，点E运动秒数为 （  ） A．3或5 B．3或4 C．2或5 D．2或4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，先证明求出，再分情况讨论求出点E运动时间即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故选：C． 【变式10-3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据题意分四种情况画出图形，然后根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：如图： ① 当时，，即，解得：； ② 当时，，即，解得：； ③ 当时，，此时，解得：； ④ 当时，，此时P与重合，，解得：． 综上，C选项符合题意． 故选C． 【考点11 几何图形最值问题】 【例11】（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，在等边三角形中，是中线，点分别在，上，且，动点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，由等边三角形的性质可得，，，即得，作点关于的对称点，连接交于，则，可得，即得的最小值即为线段的长，再证明是等边三角形即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是中线， ∵，，， ∵， ∴， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接交于，则， ∴ 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【变式11-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，的面积为10，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，作直线，为上任意一点，点为的中点，连接，，则长度的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点， ∴， ∵，面积为10， ∴， 解得． ∴的最小值为5． 故选：D． 【变式11-2】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在四边形中，平分，于点D，，，则面积的最大值为 【答案】10 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，延长、交于E，过C作于H，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，而，判定，推出，，得到，当的面积最大时，的面积最大，求出，求出面积的最大值，即可得到面积的最大值． 【详解】解：延长、交于E，过C作于H， ∵平分， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∵， ∴， ∵的面积，， ∴面积的最大值， ∴面积的最大值为． 故答案为： 【变式11-3】如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交于点H设交于点．   ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故选：C． 【考点12 使组成等腰三角形的点的个数】 【例12】如图，在正方形所在平面内求一点，使点与正方形的任意两个顶点构成，，，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点的个数为（    ）． A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】B 【分析】作的中垂线，则中垂线上的点到线段两端点的距离相等，分别以为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点，根据半径都相等，8个交点的位置都满足，，，均是等腰三角形，再加上两条中垂线的交点，也满足，，，均是等腰三角形，共有9个点． 【详解】解：如图，作的中垂线， ①分别以为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点， 根据中垂线的性质以及圆内半径相等，8个交点的位置都满足，，，均是等腰三角形； ②两条中垂线的交点，也满足，，，均是等腰三角形； ∴满足条件的所有点的个数为：； 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的判定，中垂线的性质．熟练掌握相关性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【变式12-1】如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 【答案】a＞8或a=4 【分析】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个． 【详解】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形， 过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当MH=4时， ∵∠AOB=30°， ∴OM=2MH=8， ∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时a=4， 故答案为：a＞8或a=4 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题． 【变式12-2】（25-26八年级上·四川自贡·期末）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ②当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个， ， 故答案为：． 【变式12-3】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的存在形问题，根据题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 作的中垂线，得到为等腰三角形，即，以为边的等腰三角形有4个， 同理：以为边的等腰三角形也有4个； 故总共有8个等腰三角形； 故选B． 【解答压轴篇】 【考点13 求一元一次不等式（组）中参数】 【例13】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该不等式组的子集方程． （1）在方程x﹣3＝0①，2x+1＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组的子集方程的序号：　 　； （2）写出不等式组的一个子集方程，使得它的解是整数：　 　； （3）若方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程，求m的取值范围． 【答案】（1）①③；（2）2x﹣2＝0；（3）0≤m＜1． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）解不等式组求得其整数解，根据子集方程的定义写出一个解为1的方程即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解方程x﹣3＝0，得：x＝3， 解方程2x+1＝0，得：x＝﹣， 解方程x﹣（3x+1）＝﹣5，得：x＝2， 解不等式组：， 得：＜x＜， 所以不等式组：， 子集方程是①③， 故答案为：①③； （2）解不等式2x﹣1＜3，得：x＜2， 解不等式3x+1＞﹣x﹣5，得：x＞﹣， 则不等式组的解集为：﹣＜x＜2， ∴其整数解为：﹣1、0、1， 则该不等式组的一个子集方程为：2x﹣2＝0． 故答案为：2x﹣2＝0； （3）解关于x的不等式组的得：m＜x≤m+2， ∵方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程， ∴0≤m＜1． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解子集方程的定义是解题的关键． 【变式13-1】（25-26七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式、不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将代入，然后解不等式即可； （）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有个，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵该不等式的负整数解有且只有个， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 【变式13-2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题为新定义问题，考查了解不等式，解一元一次方程，解二元一次方程组，解不等式组等知识﹒ （1）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （2）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出求的取值范围﹒ 【详解】（1）解：解方程得， 解不等式得，故方程的解不是不等式①的梦想解； 解不等式得，故方程的解不是不等式②的梦想解； 解不等式得，故方程的解是不等式③的梦想解﹒ 故答案为：③； （2）解：解二元一次方程组 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 【变式13-3】（25-26七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，得，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1． （2）解： 由不等式，得， 当即时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当即时，， 结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意； 综上可知，a的值为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 【考点14 解特殊不等式组】 【例14】认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【答案】(1)3， (2)，最小值为1 (3)①；② 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）解：C到B的距离为； A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； （2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且为； （3）①的解集为或， 故答案为：或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或．    【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键． 【变式14-1】小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图7所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于3；点A，B之间的点（不包括点A，B）表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的应用以及求解一元一次不等式组，注意计算的准确性即可． （1）求解绝对值方程，即可； （2）由可得，求解绝对值方程，即可； （3）解不等式组可得，（2）中的绝对值不等式的整数解为，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵当或时，， ∴的解集是或 故答案为：或 （2）解：由可得：， 令，解得：或 ∴绝对值不等式的解集是： （3）解：解不等式组可得： ∵绝对值不等式的整数解为：， ∴， 解得： 【变式14-2】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)不等式的解集是______． (3)若对任意的x都成立，则a的取值范围是______． 【答案】(1)；或； (2)或 (3)． 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、绝对值、有理数大小比较，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，从而，由，则或，即可判断得解； （2）依据题意，从数轴上看，当时，取最小值为4，故当或时，，即可判断得解； （3）依据题意，方程的解，即到3的距离和到-4的距离之差为a的点对应的数，从而的解集分三种在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围，再分、和三种情形讨论，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， ， 或 故答案为：；或 （2）由题意，从数轴上看，当时，取最小值为4， 当或时， 不等式 的解集是或 故答案为：或． （3）方程的解，即到3的距离和到的距离之差为a的点对应的数， 则的解集分三种在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围， ①当时，不等式， ②当时，不等式，又，，， ③当时，不等式， 综上， 故答案为： 【变式14-3】阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你写出下列绝对值不等式的解集． ①的解集是_______________； ②解集是_______________． (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 【答案】(1)①或；② (2) (3) 【分析】（1）根据题意即可得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得； （3）先解不等式组求出的取值范围为，根据第（2）得到的不等式得出x只能取2和3两个整数，所以且，从而求出的取值范围； 【详解】（1）①的解集为：或； ②的解集为：； 故答案为：①或；②； （2）∵， ∴，即 ∴的解集可表示为， 解得， ∴的解集为； （3）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 由于（2）的整数解是2和3， ∴且， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式、不等式组含参问题，熟练掌握一元一次不等式的基本步骤和绝对值的性质是解题的关键． 【考点15 一元一次不等式（组）的应用】 【例15】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 【变式15-1】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）冬酿酒之于苏州人，犹如香槟酒之于法国人．两者同样需要依照时令产出，就算在苏州本地，冬酿酒也只在冬至前后供应．某超市计划试销两种包装规格的预包装冬酿酒（简装版、精装版），已知精装版冬酿酒每瓶售价比简装版贵38元，购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元． (1)求精装版和简装版冬酿酒每瓶的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每瓶进价为30元，简装版冬酿酒每瓶进价为15元，超市计划购进两种包装共200瓶，要求试销总利润不低于3700元，该超市精装版冬酿酒至少进多少瓶？ 【答案】(1)精装版冬酿酒每瓶售价60元，简装版冬酿酒每瓶售价22元 (2)该超市精装版冬酿酒至少进100瓶 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出对应的方程或不等式是解题的关键． （1）根据题意设出未知数，再根据购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元，列出方程即可求解； （2）根据题意设出未知数，再根据总利润不低于3700元，列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设简装版冬酿酒每瓶的售价为x元，则精装版冬酿酒每瓶的售价为元， 根据题意可得：， 解得：，则， ∴精装版冬酿酒每瓶售价60元，简装版冬酿酒每瓶售价22元； （2）解：设该超市购进精装版冬酿酒m瓶，则购进简装版冬酿酒瓶， 根据题意可得：， 解得：， ∴该超市精装版冬酿酒至少进100瓶． 【变式15-2】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 甲种产品 乙种产品 成本（万元／件） 2 5 利润（万元／件） 1 2 (1)若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？ (2)若车间计划投入资金不多于41万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？并求出获得最大利润时的方案？ 【答案】(1)甲种产品生产6件，乙种产品生产4件 (2)生产方案有：甲生产3件乙生产7件，甲生产4件乙生产6件，甲生产5件乙生产5件； 获得最大利润时的方案是甲生产3件乙生产7件，利润17万元 【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式组以及一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设生产甲种产品件，则生产乙种产品有件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解； （2）根据总成本不超过41万元和总利润大于14万元列不等式组，求出x的取值范围，得到整数解即为生产方案，然后设利润为y，建立y关于x的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设生产甲种产品x件，则生产乙种产品件， 由题意得， 解得：， 则（件） 所以甲种产品生产6件，乙种产品生产4件； （2）解：设应生产甲种产品x件，则生产乙种产品有件，由题意有： ， 解得：， ∵为整数， ∴或4或5， ∴生产方案有：甲生产3件乙生产7件，甲生产4件乙生产6件，甲生产5件乙生产5件； 设总利润为y万元 由题意得，， ∵ ∴y随x的增大而减小，即可得，甲产品生产越少，获利越大， 所以当甲生产3件乙生产7件时可获得最大利润，其最大利润为（万元）． 【变式15-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； (2)60套； (3)三种生产方案：①生产40套A款服装，60套B款服装；②生产39套A款服装，61套B款服装；③生产38套A款服装，62套B款服装． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装； （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装． 【考点16 过拐点作平行】 【例16】（24-25七年级下·陕西延安·期末）某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、． (1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质定理，角平分线，平行公里的推论，邻补角，根据性质定理得到角的关系． （1）过E点作，再利用平行线性质，两直线平行内错角相等，可得到 （2）过点E作，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，可得到，再作，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，得到，的度数． （3）过点E作，如图，设 ，再利用角平分线性质得到，，再利用平行线性质、角平分线定义，作即可求出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作 ， ， ， ， ． （2）过点E作，过点F作，如图， 由（1）同理可得，，， ∵， ∴， ∵平分平分 ∴ ∴， ∴． （3）过点E作，过点F作，如图， 由（1）同理可得，， 有， 设， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∵平分 ∴， ∴． 【变式16-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行公理，平行线的性质，平角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．作，因为，所以，由平行线的性质可知，即，由三角板的度数可求，则的度数可求． 【详解】解∶作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角板的度数可知，， ∵， ∴． 【变式16-2】（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟知相关定理，根据题意正确添加辅助线是解题关键． （1）延长交于点E，根据得到，根据得到，即可证明； （2）分别过点P、Q作，根据得到，即可求出进而求出，根据求出，即可求出 【详解】（1）解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点P、Q作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【变式16-3】感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程． （2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由． 实践探究： （3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析（2）理由见解析（3） 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用类比的结论解决问题是关键． （1）过点E作，证明，结合已知可得，再进一步可得结论； （2）由（1）可得，且，再进一步可得结论； （3）如图，令，，则，由（1）得：，表示，，结合，可得，过点H作，可得，，利用，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）证明：过点E作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）可知， ，且， ∴， ∴； （3）如图，令，，则， 由（1）得：， ∵射线是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点H作， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点17 旋转使平行】 【例17】（24-25七年级上·重庆·期末）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)①或；②，，， 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数． （2）①根据题意分成在内部时，在外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解． ②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，，三角板中含， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：①若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ； 若在外部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ， 综上，或． ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式17-1】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，线段与相交于点F，交直线的延长线于点B．已知，，现将直线绕着点B顺时针（箭头方向）旋转，当直线垂直于的任意一条边时，旋转的角度是 °． 【答案】60或90或126或240或270或306 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，垂直的定义，求旋转角，分六种情况画出图形运用角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图1，当时，即， ∵, ∴； 如图2，当时，， 如图3，当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图4，当时，即， ∴旋转的度数为：； 如图5，当时，即， ∴旋转的度数为：； 如图6，当于点时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转的度数为：； 综上，AB旋转的角度是， 故答案为：60或90或126或240或270或306． 【变式17-2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 【变式17-3】（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2所示，若，求的度数 (3)如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质； （1）根据角平线的定义得到的度数，进而求出的度数，即可得到，根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）过点作，根据平行线的性质解答即可； （3）分为两种情况画图，过点作，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ，   ， ， ； （2）过点作， ， ， ， ，， ． ； （3）i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 【考点18 三角形的中线与三角形面积有关的计算】 【例18】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到______（填“”“”或“”）； (2)如图，三角形薄板的三条中线，，相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等，理由见解析 (3)，，，理由见解析 【分析】本题考查了三角形中线平分面积． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断面积相等，面积相等，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【详解】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离，所以两个三角形等底同高，所以面积相等． 故答案为：． （2）解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ． （3）解：，，， 理由如下： 由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，． 【变式18-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，是上一点，连接，是的中点，于点． (1)若平分，，，求的度数． (2)若，且的面积，求的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)m 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，三角形中线的性质． （1）根据三角形内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和得到，最后根据计算即可； （2）根据是的中点得到，根据得到，最后根据即可得到． 【详解】（1）解：，，， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）解：是的中点， ，． ， ． ， ． 【变式18-2】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，于点E，，平分． (1)求证：； (2)若点F是的中点，，的面积是15，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形中线等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）角平分线的定义，对顶角相等结合等角的余角相等可得，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图：连接，证明得到，进而得到三角形的中线得到，进而得到，最后根据面积的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 如图：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴为的中线， ∴， ∴， ∴． ∴的面积=． 【变式18-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，，，，延长交直线于． (1)如图，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，若，求的度数； (3)如图，在（2）的条件下，连、，取中点，连交于点，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据角的等量代换易证，从而证明，得到，再根据外角的性质分别表示出，，结合对顶角相等即可证明； （2）同（1）可证得，进而得到，设交于，过作，交的延长线于，于，则，易证 ， 得到， 根据，， 利用角平分线的判定定理可得， 从而可求得的度数． （3）延长至，使，连接，设与的交点为，易证，得到，，，从而得到，根据外角的性质、内角和定理进行角的等量代换可得，从而证得，得到，结合，等量代换易证，即，根据是的中点，可得，进而得到，结合，即可求得的长． 【详解】（1）解：如图所示，设与的交点为， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：， ，即， 在和中， ， ， ， 如图，设交于，过作，交的延长线于，于，则， ，， ， ，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． （3）解：如图，延长至，使，连接，设与的交点为， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即， 是的中点， ， ， 又， ． 【考点19 与双角平分线有关的计算】 【例19】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图1，在中，的两条角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点． (1)探究与的数量关系． (2)如图2，若． （i）求证：． （ii）连接，求证：（提示：夹在两条平行线之间的垂直线段相等） 【答案】(1) (2)（i）见解析；（ii）见解析 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出则，根据三角形内角和定理即可求解； （2）（i）先证明，结合角平分线的定义可得 根据，即可证明； （ii）设与交于点，连接，证明，进而证明，结合全等的性质可得，最后根据进行恒等变换后即可得证． 【详解】（1）解： 平分平分， （2）证明：（i）， ∴由（1）可得． 平分， 在和中， （ii）如图，设与交于点，连接， 由（i）可知， 即． 在和中， ， 由（i）得， ∵夹在两条平行线之间的垂直线段相等， 【变式19-1】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，点在边上，于点，为的角平分线，的平分线交于点． (1)如图1，延长，交于点，若，，求的度数． (2)如图2，当，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由． (3)如图3，若，与线段交于点，用含的代数式表示，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得，根据角平分线性质得，根据平行线的性质得，根据垂直定义得，根据直角三角形锐角性质得，根据角平分线性质得，由三角形内角和定理得； （2）由八字模型可得，和中，，再利用四边形内角和整理可得答案； （3）根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：．理由： 由八字模型可得，和中， ． （3）解：．理由： 由四边形的内角和得， ． 【点睛】本题主要考查四边形内角和，三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 【变式19-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，    为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 【变式19-3】（25-26八年级上·山东德州·期末）已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、B均不与点O重合． 【探究】 （1）如图1，平分，平分． ①若．则________°． ②在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展】 （2）如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数：若变化，直接写出的度数的变化范围． 【答案】（1）①，②不变，（2）不变， 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）①先由角平分线求出，再结合垂直求出，最后由角平分线求出  ； ②利用角平分线定义和三角形内角和定理，推导与  的关系，进而求出其度数； （2）因为平分，所以，因为平分，所以，由三角形外角性质可知，即 ，再次利用外角性质可知，代入化简即可求得的大小是一个定值。 【详解】解（1）①平分，且， ∴， ∵直线与互相垂直， ∴， ∴。 ， ∵平分， ∴。 故答案为：； ②的大小不会发生变化，理由如下： ∵平分，平分， ∴，。 ∴。 ； （2）的大小不会发生变化，理由如下： ∵平分， ∴； ∵平分， ∴， ． 故的大小不变，为． 【考点20 动点运动成全等三角形】 【例20】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)t的值为或 (3)t的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据三角形高的定义和直角三角形锐角互余，得到，，结合，根据即可证得结论； （2）根据题意可求得，，，，且，然后分两种情况讨论：①当点Q在线段上时，则；②当点Q在线段上时，则；结合三角形面积公式，列出方程解出t的值即可； （3）由（1）可知，可推出，结合已知条件，分两种情况讨论：①当点F在线段的延长线上时，此时，，；②当点F在线段上时，此时，，；据此列出方程解答即可． 【详解】（1）证明：∵、为边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∵动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动， ∴，，且 ①当点Q在线段上时，则，此时， ∴， 解得； ②当点Q在线段的延长线上时，则，此时， ∴， 解得； 综上，当的面积为2时，t的值为或； （3）解：①如图，当点F在线段的延长线上时， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等， ∴， 此时，， ∴， 解得； ②如图，当点F在线段上时， 同①可得，， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，t的值为或． 【变式20-1】（25-26八年级上·吉林松原·月考）如图，在中．直线l经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿B－C－A路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，求t的值； (3)要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出的值． 【答案】(1)当，，当，； (2)或或或 (3)4或或16． 【分析】本题考查动点问题，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论，以免漏解. （1）根据题意分在上和在上求解即可； （2）由题意分当在上、在上、在上、在上四种情况求解即可； （3）分、、、四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， 当在上时，即，，则； 当在上时，即，； 所以当，，当，； （2）解：当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，解得； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，此时运动了， 即，解得； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，此时运动了， 即，解得； 综上，当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，或或或 ； （3）解：当时，点M在上，点N在上，如图， ，， ， ， ， 要使与全等，则， ， 解得； 当 时，即点M在上，点N在上，如图， 若、两点重合，则与全等， 此时， 即， 解得； 当时，即点M在上，点N在上，如图， ，， ， ， ， 要使与全等，则， ， 解得（舍去）； 当时，点M停在点A处，点N在上，如图， 当点与重合时，若，则与全等， 此时， 解得， 综上，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为4或或16， 故答案为：4或或16． 【变式20-2】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 【答案】(1)， (2) (3)，；或，； 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了全等三角形的性质，找准对应边是解题关键； （1）根据动点的运动速度、方向即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）由得一定有一组对应边为；分类讨论若，，若，，两种情况即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵D为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； （3）解：∵， ∴一定有一组对应边为； 若，，由（2）得：，； 若，，则，解得：， 【变式20-3】（25-26八年级上·江苏南通·月考）在边长为的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒的速度从点向点移动，设运动时间为秒．      (1)如图1，若，，则的值为_____； (2)如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“，为腰，为底的等腰三角形，且，”，点在从向运动过程中，点，同时分别在，上运动，点以每秒的速度从点向运动，同时点以每秒的速度从点向运动（各点均不再返回），当以、、三点构成的三角形与全等时，求的值． 【答案】(1)3 (2)6 (3)a的值为或 【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解．能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． （1）由平行线的性质得，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可； （3）由，全等可得或两种情况，再根据不同的情况分别得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由题意可知：，则， ∴， 解得：， ∴当t的值为3时，； （2）解：如图，①当点Q在边上时，    此时不可能为等边三角形； ②当点Q在边上时，    若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ∴， 即：， 解得：， ∴当时，为等边三角形； （3）解：由题意可知：，，， ∴， 若， 则，， ∴，， 解得：，， 若， 则，， ∴，， 解得：，， 综上所述：当，全等时，a的值为或． 【考点21 一线三等角模型】 【例21】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）（1）如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． （1）由已知推出，因为，推出，根据即可得到，得到，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； （3）与（1）（2）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）证明：∵， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由：∵， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 【变式21-1】（25-26八年级上·天津·期末）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握“两个三角形若有两个角分别相等且其中一组等角的对边相等，则这两个三角形全等”是解题的关键． （1）根据图形发现要证相等的两条线段和分别在与中，而这两个三角形已经有一组边，还有一组角，题目中出现了三个直角且顶点在同一条直线上，可以利用同角的余角相等再找一组角，证全等从而证线段相等． （2）利用全等三角形的对应边相等，先求出的长度，从而得到的长度． 【详解】（1）证明： ， ，，， ， 在与中， ， ， ． （2）解： ，， 由（1）可知， 又， ． 【变式21-2】在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰 纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，见解析 (3)存在，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 【变式21-3】如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析； (2)见解析，． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： 关系：， 作交的延长线于，则， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【考点22 手拉手模型】 【例22】（25-26八年级上·河南新乡·期末）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴ 【变式22-1】如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结． (1)求的度数； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，，理由见详解 【分析】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，掌握“手拉手”的全等模型是解题关键； （1）由题意得且平分，即可求解； （2）证即可； （3）分类讨论①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，线段为边上的中线． ∴且平分； ∴； （2）证明：由题意得：， ∴，即； ∴， ∴； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， 同理可得； ③当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴； 综上所述，是定值， 【变式22-2】（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【答案】(1)全等，见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）推出即可求证； （2）根据，，推出；证，得，即可求解； 【详解】（1）证明：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【变式22-3】在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）①先证明，再利用证即可；②利用全等三角形的性质得到，再由即可得到结论； （2）由已知条件可得证出，，推出，再由，即可得到． 【详解】（1）证明：①∵， ∴，即． 在和中， 。 ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键． 【考点23 半角模型】 【例23】问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系． 方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明； （2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）CM＝AN+MN，详见解析；（2）CM＝MN﹣AN，详见解析 【分析】（1）在AC上截取CD＝AN，连接OD，证明△CDO≌△ANO，根据全等三角形的性质得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，证明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，结合图形证明结论； （2）在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，仿照（1）的方法解答． 【详解】解：（1）CM＝AN+MN， 理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD， ∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∴OA＝OC， 在△CDO和△ANO中， ， ∴△CDO≌△ANO（SAS） ∴OD＝ON，∠COD＝∠AON， ∵∠MON＝60°， ∴∠COD+∠AOM＝60°， ∵∠AOC＝120°， ∴∠DOM＝60°， 在△DMO和△NMO中， ， ∴△DMO≌△NMO， ∴DM＝MN， ∴CM＝CD+DM＝AN+MN； （2）补全图形如图2所示： CM＝MN﹣AN， 理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD， 在△CDO和△ANO中， ， ∴△CDO≌△ANO（SAS） ∴OD＝ON，∠COD＝∠AON， ∴∠DOM＝∠NOM， 在△DMO和△NMO中， ， ∴△DMO≌△NMO（SAS） ∴MN＝DM， ∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理． 【变式23-1】（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 【变式23-2】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【变式23-3】（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【考点24 证明线段之间的关系】 【例24】（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； 【答案】（1）；（2）4 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）先判断出，得出，得出，进而得出，，即可得出结论； （2）证明，则，，可求，根据线段垂直平分线的性质可得的长； 【详解】解：（1）延长交的延长线于点F， ∵， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， （2）如图2，延长，交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴ 【变式24-1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，点D在线段的延长线上，与都是等边三角形，请判断，，的等量关系并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由等边三角形的性质得，，，推导出，可根据“”证明，得，因为点D在线段的延长线上，所以，则． 【详解】解：， 理由：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D在线段的延长线上， ∴， ∴． 【变式24-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）如图1，点B在线段上，点E在线段上，，垂足为B，， (1)直接写出线段与线段的关系 ； (2)如图2，若于M，于N，求证：； (3)如图3，M、N分别是上的点，当满足什么条件时，线段和线段始终保持相等关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，线段和线段始终保持相等关系，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质： （1）延长交于点K，证明，即可解答； （2）证明，可得，即可求证； （3）先证明，再证明，即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长交于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时，线段和线段始终保持相等关系，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式24-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点，构造和等腰三角形（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是____________________； 【自主探究】（2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点在上且满足，，请求出的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为． 【考点25 证明角度之间的关系】 【例25】（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图1，在中，，平分交于点，是边上的动点（不与点，重合），连接，将沿翻折得到，连接． 特例研究 （1）当，点与点重合（如图2）时，求的度数． 拓展延伸 （2）当，点与点不重合时，记，，探究与的关系． 一般推广 （3）当，点与点不重合时，根据（2）中的结论，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等边对等角、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据折叠的性质可得，再根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，再根据角的和差即可解答； （2）由折叠的性质可得，，再由等边对等角可得，设，则；再说明，即，然后整理即可解答； （3）利用（2）的思路解答即可． 【详解】解：（1）如图2：∵在中，，， ∴， ∵将沿翻折得到，点与点重合， ∴，点D在上，即， ∴， ∴． （2）∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， 设，则， 在中，，则， ∴， ∴，即． （3）∵在中，，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， 设，则， 在中，，则， ∴， ∴，即． 【变式25-1】（25-26八年级上·全国·期末）将一块直角三角板放置在上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，． (1)如图，当时，______度，______度． (2)如图，改变直角三角板的位置，使该三角板的两条直角边，仍然分别经过点，，那么的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究与的关系． 【答案】(1)， ； (2)不变化， 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，此题注意运用整体法计算，关键是求出． 在中，利用三角形内角和等于，可求，即可求；同理可求，即可求出答案； 不发生变化，根据三角形内角和定理有 ，则． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，； （2）不变化，， ， ， ． 【变式25-2】（25-26八年级上·广东汕头·月考）如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接BF交CE于点D． (1)求证：； (2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系构造全等三角形． (1) 利用垂直得直角，结合对顶角和已知边相等，证，得； (2) 由推出，证，得． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：，证明如下： 由（1）得 ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式25-3】（25-26八年级上·广西防城港·期末）【探究与证明】在中，，． 【特例求解】（1）如图①，如果，是上的高，求的大小，完成以下填空． 解：，， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． （2）如图②，如果，是上的高，，则________ 【探究规律】（3）通过以上两题，你发现与之间有什么数量关系？用式子表示为：________________． 【拓展延伸】（4）如图③，如果不是上的高，请与是否还存在上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 【答案】（1）（2）20；（3）；（4）存在，，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形的外角等知识， （1）根据等腰三角形三线合一的性质可求出，结合等边对等角及三角形的内角和定理即可求出，从而求出； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可求出，结合等边对等角及三角形的内角和定理即可求出，从而求出； （3）根据等腰三角形三线合一的性质可求出，结合等边对等角及三角形的内角和定理即可求出，从而求出， （4）根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理可以得到，故只需证明即可证得结论． 【详解】解：（1），， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． ， 故答案为：； （2），， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． ， 故答案为：20； （3），， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． ， （4）仍成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $