专题03 期末复习压轴题21个考点（举一反三期末专项训练）七年级数学下学期新教材沪科版

**基本信息** 聚焦期末压轴题21个核心考点，分选填与解答模块，通过例题+变式题组构建从概念到综合应用的训练体系，强化推理意识与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填压轴篇|11考点（例+3变式）|计算/参数/几何探究|从数与式（平方根、整式）到几何（相交线）逐步深化| |解答压轴篇|10考点（例+3变式）|综合应用/材料题/动态几何|不等式与方程综合、乘法公式几何背景、分式实际应用等知识网络|

专题03 期末复习压轴题21个考点 【新教材沪科版】 【选填压轴篇】 2 【考点1 与平方根、立方根有关的计算】 2 【考点2 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 5 【考点3 方程组与不等式（组）综合应用】 8 【考点4 根据不等式的性质求取值范围】 11 【考点5 与整式乘除有关的化简求值】 14 【考点6 利用整式乘法解决图形面积问题】 16 【考点7 因式分解的应用】 20 【考点8 分式的化简求值】 22 【考点9 由分式方程的解求字母的值】 26 【考点10 相交线中的角度计算】 28 【考点11 探究平行线中角度之间的关系】 32 【解答压轴篇】 37 【考点12 无理数小数部分有关的计算】 37 【考点13 求一元一次不等式（组）中参数】 40 【考点14 解特殊不等式组】 46 【考点15 一元一次不等式（组）的应用】 51 【考点16 乘法公式的几何背景】 55 【考点17 因式分解的应用】 61 【考点18 分式方程的实际应用】 67 【考点19 分式中的材料题】 71 【考点20 过拐点作平行】 78 【考点21 旋转使平行】 85 【选填压轴篇】 【考点1 与平方根、立方根有关的计算】 【例1】有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答． 【详解】解：（1）∵，m和n是有理数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为3， 故答案为：3； （2）∵， ∴， ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得：， ∵m，n是x的平方根， ∴， 故答案为：4． 【变式1-1】（25-26七年级上·上海·月考）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，可得，求出后代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ， ． 故答案为：． 【变式1-2】据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，试确定 是 位数； （2）由 19683 个位数是 3，试确定 个位数是 ； （3）如果划去 19683 后面的三位数 683 得到数 19 ，而 ，由此你能确定十位 的数字是 ； （4） 用上述方法确定 110592 的立方根是 ． 【答案】 两 7 2 48 【分析】（1）由19683大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是2位数； （2）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；，即可确定答案； （3）运用数立方的计算方法计算即可； （4）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然再确定十位数即可解答． 【详解】解：（1）∵1000<19683<1000000， ∴10<<100， ∴是两位数； 故答案为：两； （2）∵一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数 ∴的个位数为7； 故答案为7； （3）∵8<19<27， ∴2<<3， ∴的十位上的数是2， 故答案为2； （4）∵观察发现：只有8的立方的个位数为2 ∴的个位数为8 又∵64＜110＜125 ∴的十位为4 ∴=48 故答案为48． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解答本题的关键． 【变式1-3】一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据a的n次方根的定义结合平方差公式和绝对值的意义逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴3是81的四次方根，①正确； ②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确； ③∵ ， 则S的三次方根是，③正确； ④由已知得：， 即数轴上数a到数和数2025的距离和为4048， 又由， 故整数， 则整数a的二次方根有，共4051个，④不正确； 故应选：C． 【点睛】本题主要考查对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点． 【考点2 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 【例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键． 先解不等式组，得到解集范围，再根据有4个整数解（即2，3，4，5）确定上界条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为 ； 有且只有4个整数解，即整数解为2，3，4，5， ； 解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， ， 故选：D． 【变式2-1】已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解，能够通过不等式的解集得到参数的取值范围是解题关键． 先解不等式组，得到解集的范围，再根据给定的解集求出参数的值，最后计算幂． 【详解】解：解不等式组： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 不等式组的解集为 ． 给定解集为 ， ∴ ， 解得 ， 代入得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 【变式2-2】已知关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的所有整数解的和为， ∴当整数解为时， ∴， ∴， ∴， 当整数解为时， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式2-3】已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组有5个整数解， ∴， 解得，， ， 移项合并得，， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， 综上，， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【考点3 方程组与不等式（组）综合应用】 【例3】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查根据不等式组的解集，一元一次方程的解求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解，得到关于的不等式组，求出的范围，再求出方程的解，根据方程有整数解，求出符合条件的整数的值，再求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有且只有2个整数解， ∴，整数解为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 【变式3-2】若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先去掉绝对值符号，再通过对b分类讨论得结论． 解即可． 【详解】解：∵方程||x-a|-b|=5有解， ∴方程|x-a|-b=±5， 即|x-a|=b±5， （1）当b=-5时，即|x-a|=0或|x-a|=-10， ①|x-a|=0时，方程有一个解； ②|x-a|=-10，此时方程无解． 所以当b=-5时，方程只有一个解； （2）当-5＜b＜5时，即b+5＞0，b-5＜0， ①b+5＞0时，方程有两个不相等解， ②b-5＜0时，方程无解． 所以当-5＜b＜5时，方程有两个不相等解； （3）当b=5时，即|x-a|=0或|x-a|=10 ①|x-a|=0时，方程有一个解； ②|x-a|=10，此时方程有两个不相等解． 所以当b=5时，方程有三个解； （4）当b＞5时，即b±5＞0， ①b+5＞0时，方程有两个不相等解， ②b-5＞0时，方程有两个不相等解． 所以当b＞5时，方程有四个不相等解． 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【变式3-3】（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．先把方程的解用表示出来，再求出不等式组每个不等式的解集，根据不等式组无解求出的取值范围，结合方程的解为自然数确定整数的具体整数值，最后求出它们的积． 【详解】解：解方程， ， 为自然数， ，且为的倍数，为奇数 ， 解不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组无解， ， ，即或或， 当 时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 【考点4 根据不等式的性质求取值范围】 【例4】（25-26七年级下·福建厦门·月考）已知，且，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如表示另一个量如，然后根据题中已知量的取值范围，构建另一量的不等式，从而确定的取值范围，同法再确定另一未知量的取值范围． 利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：， ， 又 ， ， ． 又 ， ① 同理得：② 由①②得： 的取值范围是： 故答案为：． 【变式4-1】（25-26七年级下·福建龙岩·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键．由条件可得，先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴， 解得：， 而， ， ∵， ， ∴ ， ， ， ， ∴t的取值范围是：． 故答案为：． 【变式4-2】若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式的解集，再求出不等式的解集，得出关于m的不等式，求出即可. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立， ∴，解得， 故选：A． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键. 【变式4-3】若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ∵， ∴ ∴t的取值范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 【考点5 与整式乘除有关的化简求值】 【例5】（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查本题考查指数的运算性质，将原式进行正确地变形是解题的关键． 利用同底数幂除法法则可得，，设，， 则，从而求得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 设，， 则，． ∵， 又， ∴， ∴． ∴． 故选A. 【变式5-1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）当或时，多项式的值为0，则把此时的值称为多项式的零点．若多项式，则多项式的零点是 ． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式运算法则． 先利用多项式乘以多项式运算法则将其展开，通过比较多项式的两种形式系数，建立方程求解参数，进而得到零点． 【详解】解： 比较系数得：，，， ∴ 代入，则， ∴； ∴ 解得 ∴ ∴或， 解得， ∴， 解得 故多项式的零点为2或3， 故答案为：2或3． 【变式5-2】将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（    ） A．3 B．23 C．25 D．29 【答案】D 【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出a、b、c的值，即可得到答案． 【详解】解： =； ∵， ∴，，， ∴，，， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 【变式5-3】已知，，．求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得是解题的关键． 根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得即可求解． 【详解】解：已知，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【考点6 利用整式乘法解决图形面积问题】 【例6】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置在正方形内部，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图6和图7中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求的值的是（   ） A．①和②的面积差 B．长方形纸片长和宽的差 C．长方形纸片的周长和面积 D．长方形纸片和②的面积差 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【详解】解：如图，设正方形的边长为， 则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项B、C不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项A不符合题意； ∵长方形纸片和②的面积差为， ∴若知道长方形纸片和②的面积差，不能求出，即选项D符合题意； 故选：D． 【变式6-1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，A，B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖．现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1块 型地砖． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先计算4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖的总面积，再结合完全平方公式和正方形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，还缺1块C型地砖． 故答案为：C． 【变式6-2】（25-26八年级上·北京·期末）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为 ． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 【详解】解：（1）由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ∴=． 故答案是：； （2）∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为， 故答案为： ． 【变式6-3】（24-25八年级下·浙江·期末）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是8的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是64， ∴的最大值为． 故答案为：． 【考点7 因式分解的应用】 【例7】已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是 ． 【答案】2116 【分析】本题考查整式的运算，因式分解的应用．解题关键是利用因式分解把已知和所求整式变形．根据已知条件把已知和所求式子进行整理变形，即可解答． 【详解】解：． ，，， ， 可因式分解，变为， 同理， ， 原式 ， 故为一个平方数， 且，，为整数， ，，至少有一个是偶数，于是为偶数， ， ． 故答案为：2116． 【变式7-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知均为正整数，且满足，则的值是（    ） A．12 B．13 C．25 D．36 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过因式分解将方程化为，结合a、b为正整数，求解a和b的值，进而计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵a、b为正整数，∴， 13的正整数因子对只有和， 当且时，， 当且时，，不符合题意， ∴． 故选：D． 【变式7-2】（25-26八年级上·山西朔州·月考）设为正整数，下面是老师在投影上展示的四位同学选择一个的值计算的结果，小林很快就发现其中一位同学的计算有误，这位同学是（    ） 甲 乙 丙 丁 1319 1716 2184 2730 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，可分解为，即三个连续整数的乘积，其中必为偶数；甲的结果1319为奇数，矛盾，故甲错误． 【详解】解：∵， 为三个连续整数之积，其中必含偶数， ∴为偶数， 甲的结果1319为奇数，与恒为偶数矛盾， ∴甲计算错误． 故选A 【变式7-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，通过平方差公式因式分解，得到其因子，从中找出在10至20之间的整数即可． 【详解】解： ∴ 这两个整数是15和17。 故选D 【考点8 分式的化简求值】 【例8】（25-26七年级上·上海宝山·期末）设，，，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过取已知等式的倒数，得到关于 、、 的方程组，求和后得到它们的和，再求倒数即得所求． 【详解】解： ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， 即 ， 又 ， ． 故选：B． 【变式8-1】（25-26七年级上·上海·月考）已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 【答案】或或 【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键． 先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解，并排除使分母为零的值． 【详解】原式= = = = =， 设 （为整数），则， 整理得：， ∴， 令（为整数且），则， 由于为整数，需为整数，故为的因数：，， 代入求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零） 综上，的所有取值为：，，， 故答案为：，，． 【变式8-2】（25-26八年级上·浙江宁波·月考）已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质与化简求值，熟练掌握分式的性质是解题的关键，根据分式的性质得到，，，整理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式8-3】若，，，则 ． 【答案】 【分析】首先求出，将原代数式的分母变形为，将该式进一步化简变形，借助已知条件即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 同理可得：，， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简，对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求． 【考点9 由分式方程的解求字母的值】 【例9】关于分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于是解决此题的关键，先根据解分式方程的方法求出，当，即时，方程无解，再由分式方程无解可得：，即，求出的值，进而得出答案． 【详解】解： 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：， 综上所述，分式方程无解，的值为或． 故答案为：或． 【变式9-1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）关于x的方程的解为非负数．则m的取值范围为（   ） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式方程的解，正确解出分式方程是解题关键． 首先解分式方程，进而利用方程的解为非负数，得m的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：， ，且， 解得且， 又关于x的方程的解为非负数， 所以，且，解得且． 故选：C． 【变式9-2】若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 【变式9-3】已知关于的分式方程的解不超过6，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则符合条件的整数的和 ． 【答案】 【分析】先解分式方程，求得分式方程解，再由分式方程的解不超过6，得且，解得：且、，然后解不等式组得，根据不等式组有四个整数解，得，解得：，所以且，又因为m为整数，则，，即可求解． 【详解】解：解方程，得， ∵的解不超过6， ∴且， 解得：且、， 解不等式组，得， ∵不等式组有四个整数解， ∴， 解得：， ∴且， ∵m为整数， ∴，， ∴符合条件的整数的和为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况和不等式组的整数解求字母系数值，熟练掌握解分式方程和不等式组是解题的关键． 【考点10 相交线中的角度计算】 【例10】（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案； （2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案． 【详解】解：（1）设， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． （2）设， ∵射线垂直于， ， ， ∵射线平分， ， ， ∵直线、相交于点O， ， 又， ， 解得：， 即． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键． 【变式10-1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线相交于点D，．若与的度数之比为，的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．根据题意求得，进而根据对顶角相等得出，根据即可求解． 【详解】解：，与的度数之比为， ， 直线、相交于点， ， ， ， 故答案为：． 【变式10-2】如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 【答案】 【分析】根据垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，解答即可． 本题考查了垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：55． 【变式10-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据邻补角的概念求出、，根据对顶角相等求出，计算即可． 本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟记对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ∵， ， ，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【考点11 探究平行线中角度之间的关系】 【例11】如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式11-1】（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ． 【答案】或或 【分析】根据题意得，再由的平移过程，分成两种情况考虑：（1）点在线段上；（2）点在外，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系后即可得解． 【详解】解：依题得：， 分两种情况考虑： （1）点在线段上，过点作，如下图： ， ， ， ，， ， 又， ； ， ， 又， ； （2）点在外时，过点作，如下图： ， ， ，， ， 又， ， 即； ， 由图可知，， 此情况不成立； 综上，或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的知识点是平移的性质、平行公理的应用、平行线的性质、几何图形中的角度计算，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 【变式11-2】在数学延时课上，小西把一张纸条（对边）沿着EF折叠，如图所示．通过反复多次的操作实验，他发现与之间有关系，请你写出它们之间的关系： ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠及平行线的性质．关键是明确折叠前后，对应角相等；还有两直线平行，内错角相等的性质．设， 由折叠的性质得：，再由邻补角的性质即可得与之间的等量关系．最后得出答案即可． 【详解】解：设， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ，即， ． 故答案为：． 【变式11-3】已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是 ．      【答案】 【分析】过点O作，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，可得，再证明，进一步可得出结论． 【详解】解：过点O作，      则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故要使．则与满足的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 【解答压轴篇】 【考点12 无理数小数部分有关的计算】 【例12】（25-26八年级上·上海·月考）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 【变式12-1】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：，，请回答下列问题： (1)___________，___________； (2)当时，以下说法正确的是___________（填序号）； ①； ②； ③； ④若，则． (3)当时，解不等式． 【答案】(1)2，； (2)①②④； (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的运算，不等式的性质，解一元一次不等式，正确理解新定义是解题关键． 本题考查了无理数的估算 （1）根据无理数的估算可得，再根据新定义即可求解； （2）根据新定义逐一判断即可； （3）根据，不等式可变形为，再将代入，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ，， 故答案为：，； （2）解：表示的小数部分， ，故①正确； 根据定义可得，，故②正确； 表示的小数部分， ，故③错误 ， ， ， ，即，故④正确 故答案为：①②④； （3）解：，， ， ， ， ， ， ∵ ． 【变式12-2】确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题： （1）确定的整数部分和小数部分； （2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】（1）整数部分是3，小数部分是；（2）12 【分析】（1）仿照题例，可直接求出的整数部分和小数部分； （2）根据题例，先确定a、b，再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即． 故的整数部分是3，小数部分是； （2）∵， ∴，即， 同理：， ∴的小数部分为a=， 的小数部分为b=， ∴=4×（+）+8=12． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各无理数的小数部分是解题关键． 【变式12-3】数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答： （1）的小数部分是，的整数部分是，求的值； （2）已知，其中是一个整数，，求． 【答案】（l）1；（2）28． 【分析】（1）先估算出和的大致范围，再求得a、b的值，然后代入计算即可； （2）先求得x的值，然后再表示出y-的值，最后进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，∴ ∴ ∵ ∴ ∴原式． 【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，根据估算求得a、b的值是解答本题的关键． 【考点13 求一元一次不等式（组）中参数】 【例13】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该不等式组的子集方程． （1）在方程x﹣3＝0①，2x+1＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组的子集方程的序号：　 　； （2）写出不等式组的一个子集方程，使得它的解是整数：　 　； （3）若方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程，求m的取值范围． 【答案】（1）①③；（2）2x﹣2＝0；（3）0≤m＜1． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）解不等式组求得其整数解，根据子集方程的定义写出一个解为1的方程即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解方程x﹣3＝0，得：x＝3， 解方程2x+1＝0，得：x＝﹣， 解方程x﹣（3x+1）＝﹣5，得：x＝2， 解不等式组：， 得：＜x＜， 所以不等式组：， 子集方程是①③， 故答案为：①③； （2）解不等式2x﹣1＜3，得：x＜2， 解不等式3x+1＞﹣x﹣5，得：x＞﹣， 则不等式组的解集为：﹣＜x＜2， ∴其整数解为：﹣1、0、1， 则该不等式组的一个子集方程为：2x﹣2＝0． 故答案为：2x﹣2＝0； （3）解关于x的不等式组的得：m＜x≤m+2， ∵方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程， ∴0≤m＜1． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解子集方程的定义是解题的关键． 【变式13-1】（25-26七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式、不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将代入，然后解不等式即可； （）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有个，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵该不等式的负整数解有且只有个， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 【变式13-2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题为新定义问题，考查了解不等式，解一元一次方程，解二元一次方程组，解不等式组等知识﹒ （1）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （2）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出求的取值范围﹒ 【详解】（1）解：解方程得， 解不等式得，故方程的解不是不等式①的梦想解； 解不等式得，故方程的解不是不等式②的梦想解； 解不等式得，故方程的解是不等式③的梦想解﹒ 故答案为：③； （2）解：解二元一次方程组 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 【变式13-3】（25-26七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，得，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1． （2）解： 由不等式，得， 当即时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当即时，， 结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意； 综上可知，a的值为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 【考点14 解特殊不等式组】 【例14】认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【答案】(1)3， (2)，最小值为1 (3)①；② 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）解：C到B的距离为； A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； （2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且为； （3）①的解集为或， 故答案为：或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或．    【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键． 【变式14-1】小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图7所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于3；点A，B之间的点（不包括点A，B）表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的应用以及求解一元一次不等式组，注意计算的准确性即可． （1）求解绝对值方程，即可； （2）由可得，求解绝对值方程，即可； （3）解不等式组可得，（2）中的绝对值不等式的整数解为，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵当或时，， ∴的解集是或 故答案为：或 （2）解：由可得：， 令，解得：或 ∴绝对值不等式的解集是： （3）解：解不等式组可得： ∵绝对值不等式的整数解为：， ∴， 解得： 【变式14-2】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)不等式的解集是______． (3)若对任意的x都成立，则a的取值范围是______． 【答案】(1)；或； (2)或 (3)． 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、绝对值、有理数大小比较，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，从而，由，则或，即可判断得解； （2）依据题意，从数轴上看，当时，取最小值为4，故当或时，，即可判断得解； （3）依据题意，方程的解，即到3的距离和到-4的距离之差为a的点对应的数，从而的解集分三种在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围，再分、和三种情形讨论，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， ， 或 故答案为：；或 （2）由题意，从数轴上看，当时，取最小值为4， 当或时， 不等式 的解集是或 故答案为：或． （3）方程的解，即到3的距离和到的距离之差为a的点对应的数， 则的解集分三种在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围， ①当时，不等式， ②当时，不等式，又，，， ③当时，不等式， 综上， 故答案为： 【变式14-3】阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你写出下列绝对值不等式的解集． ①的解集是_______________； ②解集是_______________． (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 【答案】(1)①或；② (2) (3) 【分析】（1）根据题意即可得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得； （3）先解不等式组求出的取值范围为，根据第（2）得到的不等式得出x只能取2和3两个整数，所以且，从而求出的取值范围； 【详解】（1）①的解集为：或； ②的解集为：； 故答案为：①或；②； （2）∵， ∴，即 ∴的解集可表示为， 解得， ∴的解集为； （3）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 由于（2）的整数解是2和3， ∴且， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式、不等式组含参问题，熟练掌握一元一次不等式的基本步骤和绝对值的性质是解题的关键． 【考点15 一元一次不等式（组）的应用】 【例15】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 【变式15-1】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）冬酿酒之于苏州人，犹如香槟酒之于法国人．两者同样需要依照时令产出，就算在苏州本地，冬酿酒也只在冬至前后供应．某超市计划试销两种包装规格的预包装冬酿酒（简装版、精装版），已知精装版冬酿酒每瓶售价比简装版贵38元，购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元． (1)求精装版和简装版冬酿酒每瓶的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每瓶进价为30元，简装版冬酿酒每瓶进价为15元，超市计划购进两种包装共200瓶，要求试销总利润不低于3700元，该超市精装版冬酿酒至少进多少瓶？ 【答案】(1)精装版冬酿酒每瓶售价60元，简装版冬酿酒每瓶售价22元 (2)该超市精装版冬酿酒至少进100瓶 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出对应的方程或不等式是解题的关键． （1）根据题意设出未知数，再根据购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元，列出方程即可求解； （2）根据题意设出未知数，再根据总利润不低于3700元，列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设简装版冬酿酒每瓶的售价为x元，则精装版冬酿酒每瓶的售价为元， 根据题意可得：， 解得：，则， ∴精装版冬酿酒每瓶售价60元，简装版冬酿酒每瓶售价22元； （2）解：设该超市购进精装版冬酿酒m瓶，则购进简装版冬酿酒瓶， 根据题意可得：， 解得：， ∴该超市精装版冬酿酒至少进100瓶． 【变式15-2】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 甲种产品 乙种产品 成本（万元／件） 2 5 利润（万元／件） 1 2 (1)若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？ (2)若车间计划投入资金不多于41万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？并求出获得最大利润时的方案？ 【答案】(1)甲种产品生产6件，乙种产品生产4件 (2)生产方案有：甲生产3件乙生产7件，甲生产4件乙生产6件，甲生产5件乙生产5件； 获得最大利润时的方案是甲生产3件乙生产7件，利润17万元 【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式组以及一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设生产甲种产品件，则生产乙种产品有件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解； （2）根据总成本不超过41万元和总利润大于14万元列不等式组，求出x的取值范围，得到整数解即为生产方案，然后设利润为y，建立y关于x的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设生产甲种产品x件，则生产乙种产品件， 由题意得， 解得：， 则（件） 所以甲种产品生产6件，乙种产品生产4件； （2）解：设应生产甲种产品x件，则生产乙种产品有件，由题意有： ， 解得：， ∵为整数， ∴或4或5， ∴生产方案有：甲生产3件乙生产7件，甲生产4件乙生产6件，甲生产5件乙生产5件； 设总利润为y万元 由题意得，， ∵ ∴y随x的增大而减小，即可得，甲产品生产越少，获利越大， 所以当甲生产3件乙生产7件时可获得最大利润，其最大利润为（万元）． 【变式15-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； (2)60套； (3)三种生产方案：①生产40套A款服装，60套B款服装；②生产39套A款服装，61套B款服装；③生产38套A款服装，62套B款服装． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装； （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装． 【考点16 乘法公式的几何背景】 【例16】（25-26七年级上·河南郑州·期末）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是______；（用含a，b的代数式表示） (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为______； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据正方形的性质即可解决问题； （2）利用正方形的面积即可解决问题； （3）设，根据题意可得 根据，列出等式，整理后得，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴ 应取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形． ∴ 此新的正方形的边长是， 故答案为：4，； （2）解：根据题意可知：， 故答案为：； （3）解：设， 根据题意，得 故答案为：． 【变式16-1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）根据题意可以得到； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）根据四边形的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； （2）解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； （3）解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 【变式16-2】（25-26七年级上·上海·期末）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【答案】(1)；；； (2)；；，证明见解析； (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）可将看作，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； 故答案为：；；； （2）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边 左边 ； 故答案为：；；； （3）解： ． 【变式16-3】（25-26八年级上·福建厦门·月考）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 【答案】(1)；； (2)22 (3)1744 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、列代数式、代数式求值等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，据此列出代数式即可解答； （2）根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，再结合完全平方公式代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知，， 由题意得，，即； 图2中，由图可知，，， 由题图可知，，即． 故答案为：；； （2）解： 由图1可得： ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【考点17 因式分解的应用】 【例17】（25-26八年级上·北京·期末）质数是指在大于1的自然数中，除了1与它本身以外，没有其他因数的数．例如：2，3，5，7，，等都是质数． (1)设为大于1的正整数，分解因式：，并证明一定不是一个质数； (2)利用因式分解，求能使为质数的所有整数的值； (3)已知，其中表示个位为，十位为的两位数，其他类似，求，，的值以及的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，，4，5 (3)，，， 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）利用添项法对原式添加，再分组因式分解，即可求解证明； （2）利用十字相乘法对进行因式分解，根据质数的定义可知分解所得的因式一个为1，一个为质数，分别对因式讨论即可求解； （3）根据题意可对因式分解，进而得到，得出a，b，c的值后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 证明：∵为大于1的正整数， ∴、为大于1的正整数， ∴除了1与它本身以外，还有因数和， ∴一定不是一个质数； （2）解：∵为质数， ∴，一个为1，一个为质数， 当时， ，解得或， 当时，为质数， 当时，为质数， 当时， ，解得或， 当时，为质数， 当时，为质数， ∴整数的值为，，4，5； （3）解：∵， ∴， 即，而7，，都是质数． 因为为非零数字，所以为的倍数，可得或， 当时，，无整数解， 当时，，因为为数字，所以，故，，解得， 所以，， ∴． 【变式17-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【类比】（1）分解因式：； 【挑战】（2）若，都是正整数且满足，求的值； （3）若，为实数且满足，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）8； （3）6 【分析】本题考查了分组分解法因式分解，能够读懂题意是解题的关键． （1）根据题干信息，利用分组分解法解答即可； （2）先将通过变形得到，然后得到，进而求出的值即可； （3）根据，得，代入，构造实数的非负性，求S的最小值． 【详解】解：（1）解： ． （2）解： ， ∵,, ∴, ∴, ∴, 解得， 故． （3）解：由，得， ∴ ， ∵， ∴，当且仅当时成立， ∴S的最小值为6． 【变式17-2】（2023七年级·全国·竞赛）任意一个正整数都可以分解为两个正整数的乘积：（是正整数，且），在的所有这种分解中，当最小时，称是的最佳分解，并规定：．例如：3的最佳分解是，，的最佳分解是，． (1)直接写出：___________；___________；___________； (2)如果一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到新的两位数记为，且． ①求出正整数的值； ②我们称数与互为一对“吉祥数”，直接写出所有“吉祥数”中的最大值； (3)在（2）条件下，在“吉祥数”的中间再插入另一个“吉祥数”组成一个四位数，再在“吉祥数”中间插入“吉祥数”（与互为一对“吉祥数”），又得到一个新的四位数，请用字母表示四位数，并求的值． 【答案】(1)，， (2)①13，24，35，46，57，68，79；② (3)，， 【分析】本题考查因式分解的应用，列代数式、整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键。 （1）根据，据此即可解答； （2）①设t的十位上的数字为x，个位上的数字为y，据此得出，即，从而得出所有t的可能出现的值，然后分别求出的值，确定其中的最大值即可解答； （3）设t的十位上的数字为a，个位上的数字为，设p的十位上的数字为b，个位上的数字为，则，，易得，，然后代入计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴；；． 故答案为：，，． （2）解：①设正整数的十位上的数字为x，个位上的数字为y， 则，即， 所以t的可能的值为13，24，35，46，57，68，79． ②当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以的最大值为． （3）解：设t的十位上的数字为a，个位上的数字为，设p的十位上的数字为b，个位上的数字为， ∴， ∴， ， ∴ 【变式17-3】（25-26九年级下·重庆渝中·月考）材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“宁静数”．例如：12是“宁静数”，，12是“宁静数”；34不是“宁静数”，，34不是“宁静数”． 材料二：一个四位自然数，将其千位数字与十位数字组成的两位数记作，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作，若和都均为“宁静数”，则称为“致远数”，将千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记． (1)判断12是否为“宁静数”，3469是否是“致远数”？并说明理由； (2)若一个四位自然数是“致远数”，且与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的“致远数”． 【答案】(1)12是“宁静数”，3469不是“致远数”，理由见解析 (2)1122，3162，2346，4386 【分析】（1）根据“宁静数”和“致远数”的定义判断即可； （2）根据新定义，求出，由题意可得出，的取值，即可求解． 【详解】（1）解：12是“宁静数”，3469不是“致远数”，理由如下： ， 12是“宁静数”； 在3469中，，，，， ，， 3469不是“致远数”； （2）解：设四位自然数，且，，，不为0，则， 是“致远数”， ，， ，， ， “宁静数”必为4的倍数且是两位数， “宁静数”有12，24，36，48， 、可以是1，2，3，4， 又 与9的和能被4整除，即是偶数， 或3， ①当时，或3， 对应的致远数有：1122，3162， ②当时，或4， 对应的致远数为：2346，4386， 综上所述，符合条件的“致远数”有：1122，3162，2346，4386． 【点睛】本题考查了新定义，因式分解的应用，解题的关键是正确理解新定义． 【考点18 分式方程的实际应用】 【例18】（25-26八年级上·山东泰安·期末）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间=路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； （3）根据“朝阳号”行30米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可． 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 【变式18-1】（25-26七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【变式18-2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 【答案】(1)西红柿采摘了，土豆采摘了 (2)土豆的售价是元，西红柿的售价是元 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键． （1）设西红柿采摘了，土豆采摘了，根据题意列出二元一次方程组，解答即可． （2）根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元，根据题意列出分式方程，解答即可． 【详解】（1）解：设西红柿采摘了，土豆采摘了． 根据题意得， 解得． 答：西红柿采摘了，土豆采摘了． （2）解：根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 【变式18-3】某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？ 【答案】（1）扶梯露在外面的部分有48级；（2）在楼梯上，176级 【分析】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a＋b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a＋b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可； （2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m−1）遍、走过楼梯（n−1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n＋m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m−n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果． 【详解】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为级，扶梯每分钟向上运动级， 由题意得：， ①÷②得：， 整理得：， 代入②得． 答：扶梯露在外面的部分有48级； （2）设追上乙时，甲扶梯走了遍，楼梯走了遍，则乙走扶梯遍，走楼梯遍． 由题意得：， 整理得：， 这里，中必有一个是整数，且． ①若为整数，则． ∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件） （不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去） ②若n为整数，， ∴，，，…，这些均不符合要求， ∴，此时，甲在楼梯上． ∴（级）． 【点睛】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题． 【考点19 分式中的材料题】 【例19】（25-26八年级上·山东烟台·期末）阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ①    ②； (3)若为整数，求使分式的值为整数的的值． 【答案】(1)①③④ (2)①② (3)0，2，3 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，分式化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据“和谐分式”定义，对所给的式子，逐一分析，再作判断； （2）①根据“和谐分式”定义求解； ②根据“和谐分式”定义求解； （3）先根据“和谐分式”定义求解，化为整式与分子为有理数的分式的和的形式，再根据化的结果，分情况讨论，分别求出相应的的值． 【详解】（1）解：∵， ∴属于“和谐分式”， 故①符合； 不属于“和谐分式”， 故②不符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故③符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故④符合； 综上所述，①③④属于“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）① ； ② ； （3） ∵， ∴，解得：且， ∵为整数，分式的值为整数， ∴的值为整数， 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ，原分式的分母为0，无意义，不符合， 综上所述，使分式的值为整数的的值为0，2，3． 【变式19-1】（25-26七年级上·上海·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以 所以 根据材料解答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值； 【答案】(1)322 (2)11 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值． （1）模仿例题．取倒数，再化简，即可求解，然后根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）先把已知条件变形，得，已知条件取倒数得，根据完全平方公式变形求值得，再代入原式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， 即， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式19-2】（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】真； ； 或或或． 【分析】本题考查了分式的运算，解决本题的关键是根据分式的运算法则整理分式． 根据真分式的定义判断； 根据阅读材料中的思路，可得：； 把分式化为带分式的形式，可得：，因为是整数，所以是整数，可得：或，分情况解方程求出的值即可． 【详解】解：分式的分子是常数，分母是 分子的次数是，分母的次数是， ， 分式是真分式； 故答案为：真； 解：； 故答案为：； 解： ， 的值为整数， 的值为整数， 的值为整数， 或， 解得：或或或． 【变式19-3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． 例如与． 解：， ， 是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法． 解：设分式的“关联分式”为， 则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①，②， 【分析】本题是考查了异分母分式的加减及分式的乘法，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. （1）根据关联分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可. 【详解】解：（1） ， ， 是的“关联分式”， 故答案为：是； （2）设分式的“关联分式”是， 则， ， ， ，即分式的“关联分式”为． （3）①解：①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 故答案为：； ②由题意得 ，． 【考点20 过拐点作平行】 【例20】（24-25七年级下·陕西延安·期末）某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、． (1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质定理，角平分线，平行公里的推论，邻补角，根据性质定理得到角的关系． （1）过E点作，再利用平行线性质，两直线平行内错角相等，可得到 （2）过点E作，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，可得到，再作，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，得到，的度数． （3）过点E作，如图，设 ，再利用角平分线性质得到，，再利用平行线性质、角平分线定义，作即可求出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作 ， ， ， ， ． （2）过点E作，过点F作，如图， 由（1）同理可得，，， ∵， ∴， ∵平分平分 ∴ ∴， ∴． （3）过点E作，过点F作，如图， 由（1）同理可得，， 有， 设， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∵平分 ∴， ∴． 【变式20-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行公理，平行线的性质，平角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．作，因为，所以，由平行线的性质可知，即，由三角板的度数可求，则的度数可求． 【详解】解∶作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角板的度数可知，， ∵， ∴． 【变式20-2】（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟知相关定理，根据题意正确添加辅助线是解题关键． （1）延长交于点E，根据得到，根据得到，即可证明； （2）分别过点P、Q作，根据得到，即可求出进而求出，根据求出，即可求出 【详解】（1）解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点P、Q作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【变式20-3】感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程． （2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由． 实践探究： （3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析（2）理由见解析（3） 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用类比的结论解决问题是关键． （1）过点E作，证明，结合已知可得，再进一步可得结论； （2）由（1）可得，且，再进一步可得结论； （3）如图，令，，则，由（1）得：，表示，，结合，可得，过点H作，可得，，利用，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）证明：过点E作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）可知， ，且， ∴， ∴； （3）如图，令，，则， 由（1）得：， ∵射线是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点H作， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点21 旋转使平行】 【例21】（24-25七年级上·重庆·期末）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)①或；②，，， 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数． （2）①根据题意分成在内部时，在外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解． ②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，，三角板中含， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：①若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ； 若在外部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ， 综上，或． ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式21-1】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，线段与相交于点F，交直线的延长线于点B．已知，，现将直线绕着点B顺时针（箭头方向）旋转，当直线垂直于的任意一条边时，旋转的角度是 °． 【答案】60或90或126或240或270或306 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，垂直的定义，求旋转角，分六种情况画出图形运用角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图1，当时，即， ∵, ∴； 如图2，当时，， 如图3，当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图4，当时，即， ∴旋转的度数为：； 如图5，当时，即， ∴旋转的度数为：； 如图6，当于点时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转的度数为：； 综上，AB旋转的角度是， 故答案为：60或90或126或240或270或306． 【变式21-2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 【变式21-3】（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2所示，若，求的度数 (3)如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质； （1）根据角平线的定义得到的度数，进而求出的度数，即可得到，根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）过点作，根据平行线的性质解答即可； （3）分为两种情况画图，过点作，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ，   ， ， ； （2）过点作， ， ， ， ，， ． ； （3）i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期末复习压轴题21个考点 【新教材沪科版】 【选填压轴篇】 1 【考点1 与平方根、立方根有关的计算】 1 【考点2 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 2 【考点3 方程组与不等式（组）综合应用】 3 【考点4 根据不等式的性质求取值范围】 3 【考点5 与整式乘除有关的化简求值】 3 【考点6 利用整式乘法解决图形面积问题】 4 【考点7 因式分解的应用】 5 【考点8 分式的化简求值】 5 【考点9 由分式方程的解求字母的值】 6 【考点10 相交线中的角度计算】 6 【考点11 探究平行线中角度之间的关系】 7 【解答压轴篇】 8 【考点12 无理数小数部分有关的计算】 8 【考点13 求一元一次不等式（组）中参数】 9 【考点14 解特殊不等式组】 10 【考点15 一元一次不等式（组）的应用】 12 【考点16 乘法公式的几何背景】 13 【考点17 因式分解的应用】 15 【考点18 分式方程的实际应用】 16 【考点19 分式中的材料题】 17 【考点20 过拐点作平行】 19 【考点21 旋转使平行】 21 【选填压轴篇】 【考点1 与平方根、立方根有关的计算】 【例1】有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 【变式1-1】（25-26七年级上·上海·月考）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是 ． 【变式1-2】据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，试确定 是 位数； （2）由 19683 个位数是 3，试确定 个位数是 ； （3）如果划去 19683 后面的三位数 683 得到数 19 ，而 ，由此你能确定十位 的数字是 ； （4） 用上述方法确定 110592 的立方根是 ． 【变式1-3】一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点2 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 【例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【变式2-2】已知关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是 ． 【变式2-3】已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【考点3 方程组与不等式（组）综合应用】 【例3】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【变式3-1】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【变式3-2】若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为 ． 【考点4 根据不等式的性质求取值范围】 【例4】（25-26七年级下·福建厦门·月考）已知，且，，则的取值范围是 ． 【变式4-1】（25-26七年级下·福建龙岩·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【变式4-2】若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【考点5 与整式乘除有关的化简求值】 【例5】（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式5-1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）当或时，多项式的值为0，则把此时的值称为多项式的零点．若多项式，则多项式的零点是 ． 【变式5-2】将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（    ） A．3 B．23 C．25 D．29 【变式5-3】已知，，．求的值为 ． 【考点6 利用整式乘法解决图形面积问题】 【例6】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置在正方形内部，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图6和图7中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求的值的是（   ） A．①和②的面积差 B．长方形纸片长和宽的差 C．长方形纸片的周长和面积 D．长方形纸片和②的面积差 【变式6-1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，A，B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖．现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1块 型地砖． 【变式6-2】（25-26八年级上·北京·期末）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为 ． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为 ． 【变式6-3】（24-25八年级下·浙江·期末）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ． 【考点7 因式分解的应用】 【例7】已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是 ． 【变式7-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知均为正整数，且满足，则的值是（    ） A．12 B．13 C．25 D．36 【变式7-2】（25-26八年级上·山西朔州·月考）设为正整数，下面是老师在投影上展示的四位同学选择一个的值计算的结果，小林很快就发现其中一位同学的计算有误，这位同学是（    ） 甲 乙 丙 丁 1319 1716 2184 2730 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式7-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 【考点8 分式的化简求值】 【例8】（25-26七年级上·上海宝山·期末）设，，，则值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26七年级上·上海·月考）已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 【变式8-2】（25-26八年级上·浙江宁波·月考）已知，，，，则 ． 【变式8-3】若，，，则 ． 【考点9 由分式方程的解求字母的值】 【例9】关于分式方程无解，则的值为 ． 【变式9-1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）关于x的方程的解为非负数．则m的取值范围为（   ） A． B． C． 且 D． 【变式9-2】若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【变式9-3】已知关于的分式方程的解不超过6，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则符合条件的整数的和 ． 【考点10 相交线中的角度计算】 【例10】（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 【变式10-1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线相交于点D，．若与的度数之比为，的度数是 ． 【变式10-2】如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 【变式10-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ． 【考点11 探究平行线中角度之间的关系】 【例11】如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ． 【变式11-2】在数学延时课上，小西把一张纸条（对边）沿着EF折叠，如图所示．通过反复多次的操作实验，他发现与之间有关系，请你写出它们之间的关系： ． 【变式11-3】已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是 ．      【解答压轴篇】 【考点12 无理数小数部分有关的计算】 【例12】（25-26八年级上·上海·月考）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【变式12-1】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：，，请回答下列问题： (1)___________，___________； (2)当时，以下说法正确的是___________（填序号）； ①； ②； ③； ④若，则． (3)当时，解不等式． 【变式12-2】确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题： （1）确定的整数部分和小数部分； （2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【变式12-3】数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答： （1）的小数部分是，的整数部分是，求的值； （2）已知，其中是一个整数，，求． 【考点13 求一元一次不等式（组）中参数】 【例13】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该不等式组的子集方程． （1）在方程x﹣3＝0①，2x+1＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组的子集方程的序号：　 　； （2）写出不等式组的一个子集方程，使得它的解是整数：　 　； （3）若方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程，求m的取值范围． 【变式13-1】（25-26七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【变式13-2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 【变式13-3】（25-26七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【考点14 解特殊不等式组】 【例14】认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【变式14-1】小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图7所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于3；点A，B之间的点（不包括点A，B）表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围． 【变式14-2】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)不等式的解集是______． (3)若对任意的x都成立，则a的取值范围是______． 【变式14-3】阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你写出下列绝对值不等式的解集． ①的解集是_______________； ②解集是_______________． (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 【考点15 一元一次不等式（组）的应用】 【例15】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【变式15-1】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）冬酿酒之于苏州人，犹如香槟酒之于法国人．两者同样需要依照时令产出，就算在苏州本地，冬酿酒也只在冬至前后供应．某超市计划试销两种包装规格的预包装冬酿酒（简装版、精装版），已知精装版冬酿酒每瓶售价比简装版贵38元，购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元． (1)求精装版和简装版冬酿酒每瓶的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每瓶进价为30元，简装版冬酿酒每瓶进价为15元，超市计划购进两种包装共200瓶，要求试销总利润不低于3700元，该超市精装版冬酿酒至少进多少瓶？ 【变式15-2】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 甲种产品 乙种产品 成本（万元／件） 2 5 利润（万元／件） 1 2 (1)若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？ (2)若车间计划投入资金不多于41万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？并求出获得最大利润时的方案？ 【变式15-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【考点16 乘法公式的几何背景】 【例16】（25-26七年级上·河南郑州·期末）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是______；（用含a，b的代数式表示） (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为______； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？请说明理由． 【变式16-1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【变式16-2】（25-26七年级上·上海·期末）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【变式16-3】（25-26八年级上·福建厦门·月考）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 【考点17 因式分解的应用】 【例17】（25-26八年级上·北京·期末）质数是指在大于1的自然数中，除了1与它本身以外，没有其他因数的数．例如：2，3，5，7，，等都是质数． (1)设为大于1的正整数，分解因式：，并证明一定不是一个质数； (2)利用因式分解，求能使为质数的所有整数的值； (3)已知，其中表示个位为，十位为的两位数，其他类似，求，，的值以及的值． 【变式17-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【类比】（1）分解因式：； 【挑战】（2）若，都是正整数且满足，求的值； （3）若，为实数且满足，，求的最小值． 【变式17-2】（2023七年级·全国·竞赛）任意一个正整数都可以分解为两个正整数的乘积：（是正整数，且），在的所有这种分解中，当最小时，称是的最佳分解，并规定：．例如：3的最佳分解是，，的最佳分解是，． (1)直接写出：___________；___________；___________； (2)如果一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到新的两位数记为，且． ①求出正整数的值； ②我们称数与互为一对“吉祥数”，直接写出所有“吉祥数”中的最大值； (3)在（2）条件下，在“吉祥数”的中间再插入另一个“吉祥数”组成一个四位数，再在“吉祥数”中间插入“吉祥数”（与互为一对“吉祥数”），又得到一个新的四位数，请用字母表示四位数，并求的值． 【变式17-3】（25-26九年级下·重庆渝中·月考）材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“宁静数”．例如：12是“宁静数”，，12是“宁静数”；34不是“宁静数”，，34不是“宁静数”． 材料二：一个四位自然数，将其千位数字与十位数字组成的两位数记作，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作，若和都均为“宁静数”，则称为“致远数”，将千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记． (1)判断12是否为“宁静数”，3469是否是“致远数”？并说明理由； (2)若一个四位自然数是“致远数”，且与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的“致远数”． 【考点18 分式方程的实际应用】 【例18】（25-26八年级上·山东泰安·期末）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【变式18-1】（25-26七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【变式18-2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 【变式18-3】某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？ 【考点19 分式中的材料题】 【例19】（25-26八年级上·山东烟台·期末）阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ①    ②； (3)若为整数，求使分式的值为整数的的值． 【变式19-1】（25-26七年级上·上海·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以 所以 根据材料解答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值； 【变式19-2】（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【变式19-3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． 例如与． 解：， ， 是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法． 解：设分式的“关联分式”为， 则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值． 【考点20 过拐点作平行】 【例20】（24-25七年级下·陕西延安·期末）某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、． (1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数． 【变式20-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 【变式20-2】（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【变式20-3】感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程． （2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由． 实践探究： （3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数． 【考点21 旋转使平行】 【例21】（24-25七年级上·重庆·期末）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【变式21-1】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，线段与相交于点F，交直线的延长线于点B．已知，，现将直线绕着点B顺时针（箭头方向）旋转，当直线垂直于的任意一条边时，旋转的角度是 °． 【变式21-2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【变式21-3】（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2所示，若，求的度数 (3)如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $