专题11 存在性问题【重难点培优：知识梳理+3大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版七年级下册数学重难点培优专题专练

**基本信息** 聚焦存在性问题的坐标求解、动态求值及综合应用，通过分层题型构建从基础到压轴的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求点的坐标|5题|结合坐标系与面积关系，判断并求解坐标轴上满足条件的点|从静态点坐标计算到多位置分类讨论，体现数形结合思想| |求值求范围|8题|动态几何（旋转/平移）、方程与不等式中的存在性判断|从等量关系到变量范围探究，发展数学思维的严谨性| |压轴真题|8题|综合坐标系、动态几何与实际情境的复杂存在性问题|整合前两模块方法，对接中考命题趋势，提升应用意识|

专题11 存在性问题 重难点题型分类 【题型1：存在性问题中求点的坐标 1】 【题型2：存在性问题中求值求范围 4】 【题型3：压轴真题 9】 存在性问题求中点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，，连接． (1)过点作交轴于点，平分平分，求的度数； (2)在轴上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，三点，若，，c满足． (1)求点A、B、C的坐标，并回答与轴的位置关系？； (2)求四边形的面积； (3)是否存在一点，使得三角形的面积为四边形的面积的倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，． (1)请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______． (2)在x轴上是否存在点P，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)如图2，点M是直线上的一个动点，点N是线段的一个定点，连接，，当点M在直线上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，直接写出结论，不必说明理由． 5．对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． (1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ①     ②     ③    ④ (2)设是坐标平面上的动点，且，，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； (3)从下列①，②两问中选择一个解答 ①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由． 存在性问题中求值求范围 1．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 2．如图，A，B分别是两边上的定点，C是射线上的动点，过点C作线段（点D在内部），且，连结，已知，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． (3)在点C从点O出发，沿着射线移动的过程中，是否存在点C，能使？若存在，求出的度数，若不存在，请说明理由． 3．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）． (1)①若，则的度数为______； ②若，求的度数； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由），若不存在，请说明理由． 4．如图，在数轴上，点，，表示的数分别为0，1，，点到的距离与点到的距离相等，设点在数轴上表示的数为（点在点的左边）． (1)求的值． (2)在数轴上有两点，，表示的数为，，且，求的平方根． (3)现将点向左移动7个单位得到点，设点表示的数为，在数轴上是否存在一点所表示的数为，使得．若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，，并且满足． (1)与的值分别是： ______； ______． (2)如图，坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，当点到达点整个运动随之结束；线段的中点的坐标是，设运动时间为秒是否存在，使得与的面积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6．已知关于x，y的二元一次方程． (1)若，是该方程的解，求的值． (2)求该方程的非负整数解，小康给出如下方法： 解：将变形为均为非负整数，是2的倍数，当时，；当时，；当时，，不合题意，舍去，∴方程的非负整数解为或 请仿照上述方法求方程的非负整数解． (3)现有两个二元一次方程和，由这两个二元一次方程成一个二元一次方程组，是否存在一组非负整数x，y，恰好是这个二元一次方程组的解？若存在，求出x，y；若不存在，请说明理由． 7．如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的点，且，，其中，满足，将点向左平移18个单位长度得到点． (1)求点，，的坐标． (2)点，分别为线段，上的两个动点，点从点以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点从点以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒（）． ①当时，求的值． ②是否存在一段时间，使得，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 压轴真题 一、解答题 1．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）【追本溯源】在学习第二单元《相交线与平行线》时，小明遇到了课本页这样一个问题：如图1，，直线与平行吗? 【知识回顾】直线与是否平行?如果是，请你说明理由． 【问题推广】今年除夕夜，小明江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图2，两岸所在直线与平行，即，灯射出的光线从开始以秒顺时针旋转，灯射出的光线从开始秒顺时针旋转，设时间为，若射线顺时针旋转后停止，是否存在某一时刻，射线与垂直?若存在，请你求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【拓展提升】零点时刻，口岸熄灯，岸边灯和灯同时亮起．此时，，，灯和灯发出的光线和分别绕着点和点以秒和秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在和平行?若存在，请你求出t的值，若不存在，请说明理由． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）为美化某市夜景，在两栋垂直于地面的高楼和上，分别安置了可旋转探照灯和（点高于点），现抽象成：如图所示，．灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．设所研究的转动时间为秒． (1)若灯比灯先转动秒，当灯射线第一次经过时，灯射线转过的角度为_____°； (2)若灯比灯先转动秒，当两灯射线在和之间交于点，且时，求灯转动的时间； (3)若两灯同时开始转动，是否存在两灯射线所在直线平行或垂直？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 7．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足． (1)填空：_______，______； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄； (3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 8．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，，其中a，b满足， (1)请直接填空：___________，点坐标为___________； (2)过轴上点作直线交直线于点，是否存在，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)过轴上点作直线，点为直线上一动点，已知点，若，求出的取值范围． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 存在性问题 重难点题型分类 【题型1：存在性问题中求点的坐标 1】 【题型2：存在性问题中求值求范围 11】 【题型3：压轴真题 26】 存在性问题求中点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）设，根据面积关系列式求解即可得到答案； （3）分负半轴及x轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在． 当M在y轴负半轴时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； 当M在x轴上时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴或； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围成图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高． 2．如图，在平面直角坐标系中，，连接． (1)过点作交轴于点，平分平分，求的度数； (2)在轴上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或（） 【分析】（1）过作，依据平行公理的推理可得到，依据平行线的性质可知，，，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （2）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可． 【详解】（1）解：过作，如图所示： 分别平分， ， 由题知： ． （2）或． ①当在轴正半轴上时，如图所示： 设，过作轴，轴，轴， ， 解得：； ②当在轴负半轴上时，如图所示： 设，过作轴，轴，轴， ， ， 解得：； 或． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，三点，若，，c满足． (1)求点A、B、C的坐标，并回答与轴的位置关系？； (2)求四边形的面积； (3)是否存在一点，使得三角形的面积为四边形的面积的倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，轴 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，可知点A、B、C的坐标，根据B，C横坐标相同可知轴； （2）根据点A、B、C的坐标得到，根据轴可知四边形是梯形，根据梯形的面积公式即可求出四边形的面积； （3）根据“点使得三角形的面积为四边形的面积的倍”列方程求出，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴点，，， ∵B，C横坐标相同， ∴轴； （2）解：∵，，， ∴， 又轴， ∴四边形是梯形， ∴； （3）解：存在． ∵点使得三角形的面积为四边形的面积的倍， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或． 4．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，． (1)请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______． (2)在x轴上是否存在点P，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)如图2，点M是直线上的一个动点，点N是线段的一个定点，连接，，当点M在直线上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点或，使三角形的面积与三角形的面积相等 (3)当M在线段上时，；当M在线段延长线上时，；当M在线段延长线上时， 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出结果； （2）先由平移的性质得出，，则，设，则，再根据三角形的面积与三角形的面积相等，得出，计算即可得出结果； （3）分三种情况：当M在线段上时，作；当M在线段延长线上时，作；当M在线段延长线上时，作；分别利用平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：存在， 由（1）可得，， ∴， ∵将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D， ∴，， ∴， 设，则， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， ∴， ∴或， ∴存在点或，使三角形的面积与三角形的面积相等； （3）解：当M在线段上时，作，如图： ， 则， 由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当M在线段延长线上时，作，如图： 则， 由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当M在线段延长线上时，作，如图： ， 则， 由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． (1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ①     ②     ③    ④ (2)设是坐标平面上的动点，且，，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； (3)从下列①，②两问中选择一个解答 ①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①②③ (2) (3)选择①，不存在．理由见解析；选择②，不存在．理由见解析 【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标特征，理解“坐标相合”的点的定义是解题的关键； （1）根据“坐标相合”的点的定义逐个判断即可； （2）根据“坐标相合”的定义得到，必须恰好落在某长方形的左右两条边上，点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上，据此列不等式求解即可； （3）选择①，利用假设法证明不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的； 选择②，利用假设法证明不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的． 【详解】（1）解：①与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ②与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ③与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ④与，，作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，由于轴，则，必定在长方形一条边上，与，，，分别落在该长方形的四条边上矛盾，与，，不是“坐标相合”的点； 故答案为：①②③； （2）解：∵，两点的纵坐标相同，且，，，是“坐标相合”的， ∴，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， ∴点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上， ∴ 解得； （3）解：选择①，不存在．理由如下： 假设存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的， 所以，，，和，，，均是“坐标相合”的， 同（2）的分析可知，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， 所以在，，，中需要落在长方形的上边界上，即在直线上方；在，，，中需要落在长方形的下边界上，即在直线下方，相互矛盾． 所以不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的． 选择②，不存在．理由如下： 假设存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的．设这五点为，根据“坐标相合”的定义可知：中的最小数和最大数不等，不妨设最小数为，最大数为，且． （i）考察．若中至少有一点在某长方形的水平边上，不妨设为，因为是“坐标相合”的，所以位于该长方形左侧竖直边的点的横坐标小于，与是最小数矛盾．类似的，若在某长方形的水平边上，则位于该长方形右侧竖直边的点的横坐标大于，与是最大数矛盾．所以分别在长方形的左、右侧竖直边上，在两条水平边上，不妨设在下水平边上，在上水平边上，如图所示，即； （ii）考察．同（i）可知： ； （iii）考察．同（i）可知： ，与矛盾． 综上所述，不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的． 存在性问题中求值求范围 1．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时的值为9或27 (3)存在某一时刻，使得，此时的值为9或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 分现况情况讨论： 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时的值为9或27； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 2．如图，A，B分别是两边上的定点，C是射线上的动点，过点C作线段（点D在内部），且，连结，已知，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． (3)在点C从点O出发，沿着射线移动的过程中，是否存在点C，能使？若存在，求出的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定和性质求角的度数． （1）根据平行线的性质求解即可． （2）过点作，由平行线的性质得出，根据线段的和差关系即可得出，再证明，再由平行线的性质即可得出的度数． （3）分两种情况，当点在点左侧时和当点在点右侧时，设，则，过点作．根据平行线的性质列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． （2）解：如图1，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 由（1）知， 所以， 所以． 所以． （3）解：存在，理由如下： 设，则， 过点作． 因为， 所以． 如图2，当点在点左侧时，， 由（2）知， 所以， ∴， 解得：， 即：． 如图1，当点在点右侧时，， 由（2）知， 所以，， 解得：， 即：． 综上所述：的度数为或． 3．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）． (1)①若，则的度数为______； ②若，求的度数； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由），若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3)存在，、、 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识，清晰的分类讨论是解题的关键． （1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； ②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求得的度数． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ②∵，， ∴， ∴； （2）解：猜想：， 理由如下：∵， 又∵， ∴， 即； （3）解：存在，、、． 理由：当时，如图1所示： ∴， ∵， ∴； 当时，如图2所示： ∴； 当时，如图3所示： ∴， ∴； 综上所述，角度所有可能的值有、、． 4．如图，在数轴上，点，，表示的数分别为0，1，，点到的距离与点到的距离相等，设点在数轴上表示的数为（点在点的左边）． (1)求的值． (2)在数轴上有两点，，表示的数为，，且，求的平方根． (3)现将点向左移动7个单位得到点，设点表示的数为，在数轴上是否存在一点所表示的数为，使得．若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，非负数的性质，求一个数的平方根，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）可求出，进而得到，据此化简绝对值后根据实数的运算法则求解即可； （2）根据非负数的性质得到，，则，，据此求出的值，再根据平方根的定义可得答案； （3）可求出，则；分两种情况：①当点在点左边时，，则，解得；②当点在点右边时，，则，解得；据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，表示的数分别为1，， ∴， ∵点到的距离与点到的距离相等， ∴， ∵点在点的左边， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； （3）解：根据题意可知，点表示的数为，即， ∴； 分两种情况：①当点在点左边时，， ∵， ∴， ∴， 解得； ②当点在点右边时，， ∵， ∴， ∴，解得， 综上所述，存在点使得，的值为或． 5．如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，，并且满足． (1)与的值分别是： ______； ______． (2)如图，坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，当点到达点整个运动随之结束；线段的中点的坐标是，设运动时间为秒是否存在，使得与的面积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组即可； （2）由（1）可知，，，则，，由题意知，，，则，再表示出与的面积，然后由与的面积相等，列出方程，解方程即可． 本题考查了三角形面积、非负数的性质以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握非负数的性质和三角形面积是解题的关键 【详解】（1）解：， ， 解得：， 故答案为：，； （2）存在，使得与的面积相等，理由如下： 由（1）可知，，， ，， 由题意知，，， ， ， ， ， 与的面积相等， ， 解得：， 存在时，使得与的面积相等，． 6．已知关于x，y的二元一次方程． (1)若，是该方程的解，求的值． (2)求该方程的非负整数解，小康给出如下方法： 解：将变形为均为非负整数，是2的倍数，当时，；当时，；当时，，不合题意，舍去，∴方程的非负整数解为或 请仿照上述方法求方程的非负整数解． (3)现有两个二元一次方程和，由这两个二元一次方程成一个二元一次方程组，是否存在一组非负整数x，y，恰好是这个二元一次方程组的解？若存在，求出x，y；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)方程组的非负整数解为：或； (3)存在， 【分析】本题考查的是二元一次方程的整数解的含义，二元一次方程组的解法，理解题意是解本题的关键； （1）把，代入方程，再解方程即可得到答案； （2）把方程化为，再结合均为非负整数，从而可得答案； （3）由题意建立方程组，再解方程组即可． 【详解】（1）解：，是方程的解， ∴， 解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵均为非负整数， 是5的倍数， ∴当时，， 当时，， ∴方程组的非负整数解为：或； （3）由题意可得：， 得：即， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴方程组的非负整数解为：． 7．如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在；或 (3)存在；或 【分析】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可； ②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可； （2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可； （3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为： ； ②当时，点P在上，， 解得：； 当时，点P在上，， 解得：， 综上分析可知：或； （2）解：存在； 当时，点在上，， 解得：， ∴此时； 当时，点在上时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或； （3）解：存在； 当时，点Q从点A向点B运动，， ∴， ∴当时，； 当时，点Q从点B向点C运动，则， 解得：， ∴当时，； 当时，点Q从点C向点B运动，则， 解得：， ∴此时没有符合条件的t存在； 当时，点Q从点B向点A运动，， 整理得：， ∵此时， ∴， ∴总成立， ∴时，； 综上分析可知：或时，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，求不等式的解集，一元一次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的点，且，，其中，满足，将点向左平移18个单位长度得到点． (1)求点，，的坐标． (2)点，分别为线段，上的两个动点，点从点以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点从点以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒（）． ①当时，求的值． ②是否存在一段时间，使得，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)①；②存在， 【分析】本题考查了非负数的性质、坐标与图形、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由非负数的性质求出、的值，从而得出，，再结合平移的性质即可得出点的坐标； （2）由题意可得：，，则，，当时，得出关于的一元一次方程，解方程即可得解；②先求出，，再结合列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：∵，满足， ∴， 解得：， ∵，， ∴，， ∴，， ∵将点向左平移18个单位长度得到点， ∴； （2）解：∵点从点以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点从点以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒（）． ∴，， ∴，， 当时，， 解得； ②存在， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 压轴真题 一、解答题 1．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）【追本溯源】在学习第二单元《相交线与平行线》时，小明遇到了课本页这样一个问题：如图1，，直线与平行吗? 【知识回顾】直线与是否平行?如果是，请你说明理由． 【问题推广】今年除夕夜，小明江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图2，两岸所在直线与平行，即，灯射出的光线从开始以秒顺时针旋转，灯射出的光线从开始秒顺时针旋转，设时间为，若射线顺时针旋转后停止，是否存在某一时刻，射线与垂直?若存在，请你求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【拓展提升】零点时刻，口岸熄灯，岸边灯和灯同时亮起．此时，，，灯和灯发出的光线和分别绕着点和点以秒和秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在和平行?若存在，请你求出t的值，若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 知识回顾：由，得到，即可判断； 问题推广：设射线、交点为，过点作，得到，推出，，结合，可得，即可求解； 拓展提升：分两种情况：①当射线，在直线不同侧时，②当射线，在直线同侧时，根据平行线的性质和旋转的特点列方程，即可求解． 【详解】解：【知识回顾】，理由如下： ，， ， ； 【问题推广】解：设射线、交点为，过点作， ，， ， ，， ， ， ， 解得：； 【拓展提升】①当射线，在直线不同侧时， ，， ，， ， ， ， 解得：； ②当射线，在直线同侧时， ，， ， ， ， ， 解得：； 综上所述：的值为或． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，，则，然后作答即可； （2）①当时，作，则，根据，求解作答即可； ②由题意知，分四种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：①如图3，当时，作， ，， ， ，， ， ； ②存在，如图3，当时，； 如图4， 当时，， ； 如图5， 当时，； 如图6， 当时，， ； 如图7， 当时，， ． 综上，这两块三角尺存在一组边互相平行，此时的值为或或或或． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）为美化某市夜景，在两栋垂直于地面的高楼和上，分别安置了可旋转探照灯和（点高于点），现抽象成：如图所示，．灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．设所研究的转动时间为秒． (1)若灯比灯先转动秒，当灯射线第一次经过时，灯射线转过的角度为_____°； (2)若灯比灯先转动秒，当两灯射线在和之间交于点，且时，求灯转动的时间； (3)若两灯同时开始转动，是否存在两灯射线所在直线平行或垂直？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】本题主要考查平行线的性质以及解一元一次方程，正确进行计算是解题关键； （1）先算灯B第一次转完的时间，减去提前的秒得到灯的转动时间，再乘以灯的速度得到转过角度； （2）设灯B转动时间为t秒，利用平行线的同位角相等性质，结合角度和差关系列方程求解； （3）平行时利用平行线的内错角相等列方程，垂直时利用角度和为列方程，求解得到t的值． 【详解】（1）解：灯比灯先转动秒，当灯射线第一次经过时，灯射线转过的角度为， 故答案为： （2）设：灯射线转动的时间为 ， ①当时，如图， ，，． ②  当时，如图、， ，， ，，． ③ 当时，如图， ，，（舍）． 综上：当时，灯射线转动的时间为、或． （3）① 当时，两光线不平行； 两光线垂直时，如图， ，，． ②当时，两光线垂直时，如图6、7， ，， ，，． 两光线平行时，如图8， ，，． ③当时，两光线垂直时，如图9， ，， 两光线平行时，如图， ，，（舍） 综上：当，，，时，两光线垂直；时，两光线平行． 4．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、解一元一次方程、绝对值，（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用三角形面积公式计算即可． （2）设点，构建方程求出p的值即可． （3）如图，设交y轴于点N，设、，利用面积法求出点N的坐标，再利用面积法构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又，， ∴，， ∴，， 过点C作轴于点N， 点， ， ，， ∴， ∴． （2）解：设点． ∵， 解得或 ， 当时，与重合，不合题意，舍去， ∴点． （3）解：如图，连接，设交y轴于点N，设、， ∵， ， ， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q坐标为或． 5．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解； （3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：设E为， 分以下两种情况讨论： ①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接， 则 ， ∴，， ②当E在直线下方时，同样可得， ∴，， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、， 依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形： ①如图，当点P在梯形的内部时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点P在梯形的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在x轴上， 如图，作轴于G，连接， ， ， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P点的坐标为或． 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查了平面直角坐标系的认识，二次根式和绝对值的非负性，动点问题． （1）利用二次根式和绝对值的非负性求出即可求出，判断的运动位置即可求出点的坐标． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． （3）根据的不同位置分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，, , 当时，运动10个单位，此时运动到点，故坐标为． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． 在点时：， 在点时：， 故答案为：． （3）①当在线段上时， ，即， ， ； ②当在线段上时， ，即， ， ， ； 故答案为：或． 7．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足． (1)填空：_______，______； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄； (3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，数轴上两点距离，有理数的混合运算，数形结合是解题的关键． （1）由绝对值和平方的非负性可得，； （2）①求出，可得，即这根木棒的长为个单位长度； ②仿照“问题探究”列式计算可得爷爷的年龄是岁； （3）设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒，求出表示的数为，表示的数为，根据和刚好是两段木棒的中点列方程组可解得答案． 【详解】（1）解： ， ，， ，； 故答案为：，； （2）①由（1）知，， 根据题意可得，即这根木棒的长为个单位长度； 故答案为：； ②岁， 爷爷的年龄是岁； （3）存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点，理由如下： 设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒， 表示的数为，表示的数为， 可得，解得， 木棒切断处所表示的数为． 8．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，，其中a，b满足， (1)请直接填空：___________，点坐标为___________； (2)过轴上点作直线交直线于点，是否存在，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)过轴上点作直线，点为直线上一动点，已知点，若，求出的取值范围． 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题、平面直角坐标点的坐标特征，熟练掌握以上知识和分类讨论是解题关键． （1）利用二次根式和绝对值的非负性即可求出x、y，进而求得A、B坐标； （2）先求出面积，再得出面积，的底是，高是点P的横坐标的长度，进而利用面积公式求出或1，进而求解 （3）根据t经过的一、二、三象限分类讨论即可，根据范围列出不等式求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ∴点B的标为， 故答案为：； （2）解：如图，过点P作轴于点E，过点P作轴于点F， 由， ， 则或， ， ， ． ， 如图，过点P作轴于点轴于点， ， 同理可得， ， 综上所述，点P得到坐标为． （3）解：或， 点P为直线l上的动点，分三种情况： ①当在第一象限，，得， ， ， ， ，解得， 无解． ②当在第二象限，，得， 同①， ， ， ，解得， ， ③当在第三象限，得， 同理， ， ， ，解得， ． 综上所述：的取值范围为或． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $