精品解析：宁夏回族自治区银川市唐徕中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

银川唐徕中学2025-2026学年第二学期高二年级期中 数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷上作答无效． 3．非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ）（是虚数单位） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以 . 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定规则，更换量词、否定结论且保留原变量取值范围即可求解. 【详解】存在量词命题（特称命题）的否定规则为：特称命题 的否定为全称量词命题 , 命题“，”的否定是:“ ”. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为集合，， 所以，所以. 4. 已知函数，若，则的值是（ ） A. B. C. 或0 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】当 时，由可得 ， 即， 解得，但内，舍去； 当 时， ，解得或（舍去）. 综上，可得. 5. 某校为建设优质食堂，随机抽取了200名学生，对他们的饮食习惯进行了调查，得到如下列联表： 性别 饮食习惯 更偏向素食 更偏向肉食 男生 40 60 女生 60 40 用频率估计概率，现从这200名学生中任意抽取一名学生，记事件A：该学生是男生，事件B：该学生更偏向吃素食，定义指标，对于不同的，得到的结论如表： 关联性 定向偏弱 定向偏强 综合偏强 综合偏弱 则该校学生性别与饮食习惯的关联性（ ） A. 定向偏弱 B. 定向偏强 C. 综合偏强 D. 综合偏弱 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用频率估计概率，然后利用条件概率的计算公式以及概率乘法公式求解即可. 【详解】由题可知样本总人数为200人，记事件A表示“该学生是男生”事件B表示“该学生更偏向素食”. 则由表中数据可知男生总人数为：（人） 更偏向素食的总人数为：（人） 事件AB表示“该学生是男生且更偏向素食”人数为40（人）. 所以,, 所以 所以定向偏强 6. 某药企研发的一种新药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙名患有该疾病的患者服用了这种药物，则恰有2名患者被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，运用次独立重复试验中恰好发生次的概率公式求解即可． 【详解】由题意，每名患者被治愈的概率均为，且各患者是否被治愈相互独立，该试验属于次独立重复试验. 根据次独立重复试验中恰好发生次的概率公式： （其中 ）， 结合题意得，则有． 7. 已知的定义域为，为偶函数，且对，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用题中等式求出的值，推导出函数是周期为的周期函数，即可得解. 【详解】因为的定义域为，为偶函数，则， 所以，即， 对，恒成立，则①，可得②， 由①②可得，即， 故函数是周期为的周期函数，所以， ，恒成立，则，解得， 故. 8. 已知函数的图象关于原点对称，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 函数存在两个零点 D. 的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】A选项：利用图像关于原点对称即奇函数的性质，通过建立方程恒成立来求解n，B选项：将原函数拆分为两个简单函数，通过判断其在给定区间上的单调递增性，直接得出自变量较大时函数值更大的结论，C选项：结合奇偶性与单调性，利用端点极限值分析和零点存在性定理，分别证明函数在正负定义域内各有一个零点，D选项：首先明确自变量必须满足函数的定义域，然后利用已知区间上的单调性脱去函数外壳，转化为绝对值不等式求解并求交集. 【详解】对于A，由题意得， 由 解得或，又由，即,即， 因此函数的定义域为，该定义域关于原点对称， 因的图象关于原点对称，故该函数为奇函数, 又因，， 由，可得，因,解得,故A正确， 对于B，由上知， 其中，当时，根据复合函数的单调性，可得 单调递增， ，则，所以在上单调递增,则， 则在上单调递增，故在上单调递增，则，故B正确; 对于C， ， 其中在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为奇函数，也是奇函数，故为奇函数, 当时, ，而趋于有限值，故， 当时，， ，又，,故， 由零点存在性定理可得，在上有且仅有1个零点，由奇函数的对称性，在上有且仅有1个零点， 因此共有2个零点，故C正确， 对于D，，因为的定义域为， 则，解得， 因为在上单调递增，所以， 即，解得， 综上，的取值范围为，故D错误. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由，两边同除以正数即可求解；对于B，使用反例证伪即可，对于C，将原不等式转化为即可求解，对于D，使用不等式的传递性完成放缩即可. 【详解】因为，所以， 对于A，因为，且，则有，进而可得，故A正确； 对于B，不妨取，此时，满足， 此时， 以2为底的指数函数单调递增且，则，此时，故B错误； 对于C，因为，，则有，进而，即， 因为，即，因为，即， 不等式两边同时除以得， 整理得，故C正确； 对于D，因为，，则， 因为,，则， 进而有，即，故D正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的值域是 B. 函数的函数值不可能为负值 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题围绕函数的核心性质命题，涵盖值域判断、二次函数符号分析、抽象函数定义域求解、复合函数单调性与参数范围，需结合对应知识点逐一验证选项. 【详解】 选项A，当时，函数 为常函数，值域为 ，并非全体实数，故A错误； 选项B，对配方得，平方项非负， 故 ，函数值恒为正，不可能为负值，故B正确； 选项C，的定义域为，即 ， 可得 ，因此的定义域为， 要使有意义，需满足，解得，故C正确； 选项D，内层函数 ，所以u在R上单调递减. 由复合函数“同增异减”性质得，若在递增，则外层 需单调递减，故， 同时 需在恒成立，则. 综上所述，可得，故D正确. 11. 下列结论中错误的是（ ） A. 若，则的最大值是 B. 函数的最小值是4 C. 函数的值域是 D. 若，，且，则的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，三角换元，结合辅助角公式进行求解；B选项，由基本不等式进行求解；C选项，举出反例；D选项，先得到，，令，换元后结合基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】A选项，，设，， 则， 其中，故当，即时，取得最大值， 故的最大值为，A正确； B选项，显然， 当且仅当，即时，等号成立， 但，故等号取不到，最小值不是4，B错误； C选项，当时，，此时，C错误； D选项，，故， ，，故，解得， 同理可得， 令，则， 由，得， 又，故， 化简得，故， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上． 12. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次项的系数分类为，.当时，显然成立，当时，则二次函数开口向下，且与轴无交点，进而有，可得. 【详解】当时，原不等式可化为，显然成立， 当时，因关于的不等式的解集为， 则，解得， 综上可知，实数的取值范围为， 故答案为： 13. 已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【解析】 【详解】由题意得，，解得，. 14. 为了研究人体的脂肪含量和年龄之间的线性强弱，科研人员随机抽取了14个样本点（代表年龄，代表脂肪含量，，2，……，14．由统计软件得，，，，，且相关系数公式，由以上数据计算得_____． 【答案】0.97 【解析】 【详解】因为. ， 故. ， 故. 所以，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算； （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂及对数的运算性质求解即可； （2）令，可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1） . （2）令，则，函数在上单调递增，且时，， 则函数的值域为. 16. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【解析】 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【小问1详解】 因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得 ， ， 解得 ，； 【小问2详解】 当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 17. 近几年来，人工智能（简称）逐渐兴起，并在各行各业中都得到较广泛的应用，某校随机抽查了100名教师，调查他们使用技术与年龄的情况，收集整理数据后得到如右列联表． 年级 使用技术情况 合计 经常使用 不经常使用 超过40周岁 20 30 50 不超过40周岁 40 10 50 合计 60 40 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析是否经常使用技术与年龄有无关联？ （2）现从样本中经常使用技术的教师中，按是否超过40岁分层，利用分层随机抽样的方法抽取6人进行调查，并从被抽取的6人中随机抽取3人进行长期跟踪研究，记这3人中年龄不超过40周岁的教师人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，认为经常使用AI技术与年龄有关联； （2）的分布列为： 1 2 3 数学期望； 【解析】 【分析】（1）利用公式计算的值进行分析即可； （2）根据题意先利用分层抽样的方法抽取超过40岁、不超过40岁人数，找出随机变量的值，计算出各值对应的概率，计算出数学期望值即可. 【小问1详解】 零假设为：是否经常使用AI技术与年龄无关联． 根据表中数据，得: ， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即是否经常使用AI技术与年龄有关联，这种推断犯错误的概率不超过0.001． 【小问2详解】 采用按比例分配的分层随机抽样， 超过40岁抽取人数为，不超过40岁抽取人数为， 所以随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 所以 . 18. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的值； （2）若，证明：当时，． 【答案】（1）； （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，由得到，检验后可得结论； （2）构造函数，求导，得到函数单调性和极值，证明出结论 【小问1详解】 的定义域为R， ， 因为在处取得极值，所以，即，解得， 当时，， 令得或，令得， 即函数在上和上单调递增，在上单调递减， 故为极小值点，满足要求，故； 【小问2详解】 ， 即证当时，， 令，， 则， 其中，故， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，所以，故， 当时，等号成立，故当时，. 19. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过偶函数的性质代入化简，求出实数的值，再检验实数是否使为偶函数； （2）对函数表达式进行化简为 ，再使用换元法设，把问题转化为二次函数零点问题求解. 【小问1详解】 由于是偶函数， 所以即， 即 化简，得 所以， 要使等式恒成立，则， 经检验，当时，函数 是偶函数. 【小问2详解】 由于 所以， ， 设，则 因为函数在上只有一个零点，那么 由可得 即 上只有一个零点 所以，关于的方程在上只有一个实根，那么 ， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时， 根据函数图象可知，要使关于的方程在上只有一个实根， 则或，即或 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川唐徕中学2025-2026学年第二学期高二年级期中 数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷上作答无效． 3．非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ）（是虚数单位） A. B. 1 C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则的值是（ ） A. B. C. 或0 D. 0 5. 某校为建设优质食堂，随机抽取了200名学生，对他们的饮食习惯进行了调查，得到如下列联表： 性别 饮食习惯 更偏向素食 更偏向肉食 男生 40 60 女生 60 40 用频率估计概率，现从这200名学生中任意抽取一名学生，记事件A：该学生是男生，事件B：该学生更偏向吃素食，定义指标，对于不同的，得到的结论如表： 关联性 定向偏弱 定向偏强 综合偏强 综合偏弱 则该校学生性别与饮食习惯的关联性（ ） A. 定向偏弱 B. 定向偏强 C. 综合偏强 D. 综合偏弱 6. 某药企研发的一种新药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙名患有该疾病的患者服用了这种药物，则恰有2名患者被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的定义域为，为偶函数，且对，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于原点对称，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 函数存在两个零点 D. 的解集为 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的值域是 B. 函数的函数值不可能为负值 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是 11. 下列结论中错误的是（ ） A. 若，则的最大值是 B. 函数的最小值是4 C. 函数的值域是 D. 若，，且，则的最大值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上． 12. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为_________． 13. 已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 14. 为了研究人体的脂肪含量和年龄之间的线性强弱，科研人员随机抽取了14个样本点（代表年龄，代表脂肪含量，，2，……，14．由统计软件得，，，，，且相关系数公式，由以上数据计算得_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算； （2）求函数的值域． 16. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，求已知关于的不等式的解集． 17. 近几年来，人工智能（简称）逐渐兴起，并在各行各业中都得到较广泛的应用，某校随机抽查了100名教师，调查他们使用技术与年龄的情况，收集整理数据后得到如右列联表． 年级 使用技术情况 合计 经常使用 不经常使用 超过40周岁 20 30 50 不超过40周岁 40 10 50 合计 60 40 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析是否经常使用技术与年龄有无关联？ （2）现从样本中经常使用技术的教师中，按是否超过40岁分层，利用分层随机抽样的方法抽取6人进行调查，并从被抽取的6人中随机抽取3人进行长期跟踪研究，记这3人中年龄不超过40周岁的教师人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的值； （2）若，证明：当时，． 19. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $