精品解析：宁夏银川市第九中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

银川九中2025-2026学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 （本试卷满分150分） 一、单选题：（每小题5分，共40分） 1. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，再求． 【详解】， ， ，故B正确． 故选：B． 2. 设，则“”是“不等式在R上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系,利用判别式求解即可. 【详解】由不等式在R上恒成立， 得，解得． 所以“”是“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件． 故选：A 3. 二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 672 B. 84 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】通项公式， 令，可得， 所以展开式中的常数项为. 4. 已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故A错误； 选项B：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故B错误； 选项C：仅知道，无法确定与的大小关系， 例如：若，则；若，则，故C不一定正确； 选项D：用作差法验证：， 因为，所以，若且（成立，因为），则分母， 因此，差，即，可得，故D一定正确． 5. 某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列选项错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时，残差为 D. 相关系数 【答案】B 【解析】 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项，代入样本中心点即可判断B，由残差公式可判断C项，由线性回归方程的斜率即可相关系数正负可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项不正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项正确； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 6. 已知，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值. 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 7. 若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂能将的患病者测出阳性，可能将的未患病者错误的测出阳性．现随机抽取该地区的一个被检者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ） A. 0.0688 B. 0.0198 C. 0.049 D. 0.05 【答案】A 【解析】 【详解】测出阳性有两种可能，一种是阳性且试剂准确测出，一种是阴性但被误测为阳性， 概率为. 8. 有如下5个命题： ①已知随机变量，则，； ②已知随机变量，若，则； ③已知命题，，则，； ④函数在区间内有且仅有1个零点； ⑤函数的最小值为3. 将上述5个命题重新排序，其中假命题不在首尾两个位置，则排序方法有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 18种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布、正态分布计算判断①②，利用全称量词命题的否定判断③，利用零点存在性定理判断④，取值计算判断⑤，再利用有限制条件的排列问题，列式计算判断即得. 【详解】对于①，，， 则，①正确； 对于②，依题意，，②正确； 对于③，命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 则，，③正确； 对于④，函数在上单调递增，， 则函数在区间内有且仅有1个零点，④正确； 对于⑤，函数的定义域为，显然，⑤错误， 因此5个命题中有1个假命题，假命题不在首尾两个位置的排列总数是. 故选：A 【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 二、多选题（每题6分，漏选3分，错选0分） 9. 已知集合，若集合满足，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意化简集合，结合交集运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若， 满足，符合题意，故A正确； 对于选项B：若， 则，不符合题意，故B错误； 对于选项C：若， 满足，符合题意，故C正确； 对于选项D：因为， 则，不符合题意，故D错误； 故选：AC. 10. 已知集合，或，则的必要不充分条件可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先根据求得，再根据必要不充分条件定义判断即可. 【详解】当时，当时，,即得; 当非空时，,解得; 综上可得. 所以的必要不充分条件可能是或. 故选：AB. 11. 某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的质量指标值，得到频率分布直方图如下： 根据测量经验，这种产品的质量指标值近似服从正态分布，其中近似为样本平均值．记质量指标值内的产品为优等品，内的产品为一等品，公司规定一等品或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是（ ） （参考数据：，） A. B. 该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C. 该公司生产10000件这种产品，记表示这10000件产品中一等品的件数，则的数学期望为6827 D. 若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A：通过频率分布直方图求平均数即可得到样本平均值；对于选项B：通过条件可得，即可计算优等品的概率；对于选项C：由题意得随机变量服从二项分布，通过二项分布的均值公式即可求随机变量的数学期望；对于选项D：通过概率估计一等品与优等品的数量后即可计算全部收入. 【详解】对于A，由题意可知样本均值的估计值 ， 所以，故A错误； 对于B，由题意可知，，， ，则优等品的概率为 ，故B正确； 对于C，已知，所以抽到一等品的概率， 随机变量服从二项分布，所以，故C正确； 对于D，由题意知收入约为元，故D正确； 故选：BCD． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 设，为两个事件，且，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知，，解得， 则 13. 在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样取值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的非空真子集个数为________； 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求集合，再求，进而得，利用非空真子集的概念即可求解. 【详解】根据题意：当 ， 当时，由，即，解得或， 所以 ， ，所以， 所以的非空真子集个数为个. 14. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽.小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉编号（从左至右）为1，2，…，10的球槽内.若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分，否则不得分．若，则每次试验前选定球槽编号为______，所得积分的数学期望最大． 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，求出小球落入第号格子的概率，进而求出其数学期望，再求出取得最大值的编号. 【详解】设选定的格子编号为，则小球碰撞过程中有次向右边滚落， 落到该格子的概率为，此时其数学期望为， 令，则， 当时，，当时，，所以当时，最大. 故答案为：8 四、解答题 15. 已知集合，，其中． （1）求集合中的所有整数； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）集合中的所有整数为 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意化简集合，进而写出集合中的所有整数即可； （2）先根据题意化简集合，再根据集合之间的关系得到，进而分类讨论即可求出的取值范围． 【小问1详解】 由，解得，则， 所以集合中的所有整数为． 【小问2详解】 ， 当时，，此时，满足题意； 当时，，所以 ，即， 又，则， 即 ，解得， 所以的取值范围为． 16. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在区间的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，在点处切线求法可求； （2）求导，利用导数分析函数单调性，根据单调性确定最值即可． 【小问1详解】 解：， ， 则函数在处的切线方程为； 【小问2详解】 由（1）知， 令，解得或， 和时，，单调递增； 时，，单调递减； 又， 函数在区间的最大值为，最小值为． 17. 4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. （1）若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； （2）若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 【答案】（1）0.85 （2） 0 1 2 0.02 0.26 0.72 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求解即可. （2）分析可能取值为，再求出其相应概率，写出分布列即可. 【小问1详解】 设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B， 用事件表示机器人成功，则 由全概率公式得. 【小问2详解】 由题意得的取值可能为. ， ， ， 的分布列为 0 1 2 0.02 0.26 0.72 18. 工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》中明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化､精细化､特色化､新颖化优势的中小企业.下表是某地2017-2021年新增企业数量的有关数据： 年份（年） 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 新增企业数量 8 17 29 24 42 （1）求和的相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般； （2）请根据表中所给的数据，求出关于的经验回归方程，并预测2025年此地新增企业的数量. 参考公式：相关系数，经验回归方程，其中 参考数据：. 【答案】（1），线性相关程度很强 （2），69 【解析】 【分析】（1）根据表中数据计算出平均值，代入相关系数计算公式可得结论； （2）计算出，由样本中心点在回归方程上可得，求出回归方程为，将代入回归方程可预测2025年的新增企业的数量为. 【小问1详解】 ， ， 可得相关系数， 因此变量和的线性相关程度很强. 【小问2详解】 由（1）知，， 样本中心点在回归方程上，则, ； 预测2025年，即当时，由经验回归方程可得， 因此估计2025年此地新增企业的数量约为69家. 19. 人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，制作得到如下列联表（部分数据缺失）． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过45岁 60 超过45岁 c 60 合计 120 （1）已知从这60名年龄超过45岁的教师中随机抽取2人，2人都喜欢使用技术的概率为．据此完善上面的列联表（最终答案写出参数的取值即可，无需在答题卡上绘制表格），并依据小概率值的独立性检验，判断该市教师是否喜欢使用技术与年龄有关； （2）在（1）的条件下，从不超过45岁的样本中，按是否喜欢使用技术进行分层，利用分层随机抽样方法，从中抽取10人进行简单的问卷调查，再从这10人中随机抽取3人进行专访，记抽取的3人中喜欢使用技术的人数为，求的分布列以及数学期望． （3）在（1）的条件下，将频率视为概率计算，从该市全部中学教师中随机抽取3人，求其中至少2人喜欢使用技术的条件下，3人年龄均不超过45岁的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，判断该市教师是否喜欢使用技术与年龄有关． （2）分布列见解析，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据组合计数原理以及古典概型的概率公式可得出关于的方程，解出的值，可完善二列联表，利用独立性检验可得结论； （2）根据超几何的概率公式即可求解分布列， （3）求出、的值，利用条件概率公式可求得结果. 【小问1详解】 设超过45岁的教师中喜欢使用技术的有人， 由题意可得，即，整理可得， 因为，解得. 补充列联表如下 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过45岁 54 6 60 超过45岁 36 24 60 合计 90 30 120 零假设该市教师喜欢使用技术与年龄无关， ． 依据小概率值的独立性检验，判断该市教师是否喜欢使用技术与年龄有关． 【小问2详解】 根据表中数据可知：不超过45岁的人群中，喜欢和不喜欢使用技术的人数比为， 因此抽取的10人中，喜欢使用技术的有9人，不喜欢使用技术的有1人， 故可取2,3， 且, 故的分布列为 2 3 故 【小问3详解】 记事件A为至少2人喜欢使用技术，事件B为3人年龄均不超过45岁． 全市某名中学教师喜欢使用技术的概率， 不超过45岁且喜欢使用的概率， 所以， ， 由条件概率公式可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川九中2025-2026学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 （本试卷满分150分） 一、单选题：（每小题5分，共40分） 1. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2. 设，则“”是“不等式在R上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 672 B. 84 C. D. 4. 已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列选项错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时，残差为 D. 相关系数 6. 已知，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂能将的患病者测出阳性，可能将的未患病者错误的测出阳性．现随机抽取该地区的一个被检者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ） A. 0.0688 B. 0.0198 C. 0.049 D. 0.05 8. 有如下5个命题： ①已知随机变量，则，； ②已知随机变量，若，则； ③已知命题，，则，； ④函数在区间内有且仅有1个零点； ⑤函数的最小值为3. 将上述5个命题重新排序，其中假命题不在首尾两个位置，则排序方法有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 18种 D. 12种 二、多选题（每题6分，漏选3分，错选0分） 9. 已知集合，若集合满足，则可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，或，则的必要不充分条件可能是（ ） A. B. C. D. 11. 某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的质量指标值，得到频率分布直方图如下： 根据测量经验，这种产品的质量指标值近似服从正态分布，其中近似为样本平均值．记质量指标值内的产品为优等品，内的产品为一等品，公司规定一等品或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是（ ） （参考数据：，） A. B. 该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C. 该公司生产10000件这种产品，记表示这10000件产品中一等品的件数，则的数学期望为6827 D. 若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 设，为两个事件，且，，则________． 13. 在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样取值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的非空真子集个数为________； 14. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽.小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉编号（从左至右）为1，2，…，10的球槽内.若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分，否则不得分．若，则每次试验前选定球槽编号为______，所得积分的数学期望最大． 四、解答题 15. 已知集合，，其中． （1）求集合中的所有整数； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在区间的最大值和最小值． 17. 4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. （1）若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； （2）若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 18. 工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》中明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化､精细化､特色化､新颖化优势的中小企业.下表是某地2017-2021年新增企业数量的有关数据： 年份（年） 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 新增企业数量 8 17 29 24 42 （1）求和的相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般； （2）请根据表中所给的数据，求出关于的经验回归方程，并预测2025年此地新增企业的数量. 参考公式：相关系数，经验回归方程，其中 参考数据：. 19. 人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，制作得到如下列联表（部分数据缺失）． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过45岁 60 超过45岁 c 60 合计 120 （1）已知从这60名年龄超过45岁的教师中随机抽取2人，2人都喜欢使用技术的概率为．据此完善上面的列联表（最终答案写出参数的取值即可，无需在答题卡上绘制表格），并依据小概率值的独立性检验，判断该市教师是否喜欢使用技术与年龄有关； （2）在（1）的条件下，从不超过45岁的样本中，按是否喜欢使用技术进行分层，利用分层随机抽样方法，从中抽取10人进行简单的问卷调查，再从这10人中随机抽取3人进行专访，记抽取的3人中喜欢使用技术的人数为，求的分布列以及数学期望． （3）在（1）的条件下，将频率视为概率计算，从该市全部中学教师中随机抽取3人，求其中至少2人喜欢使用技术的条件下，3人年龄均不超过45岁的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $