专题03 期末复习压轴题28个考点（举一反三期末专项训练）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦期末压轴题28个核心考点，选填与解答分类突破，覆盖比与比例、圆与扇形、统计图表、方程应用等模块，通过典例与变式构建知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填压轴篇|14考点，每考点1例3变式|概念辨析与计算应用，如比的不变量、阴影面积计算|从基础概念到变式应用，形成“概念-计算-辨析”逻辑| |解答压轴篇|14考点，每考点1例3变式|综合应用与问题解决，如经济利润、方程组实际应用|从单一知识点到跨模块综合，构建“知识-方法-应用”体系|

专题03 期末复习压轴题28个考点 【新教材沪教版五四制】 【选填压轴篇】 2 【考点1 比的变化与不变量问题】 2 【考点2 求最简整数比】 2 【考点3 浓度与配比问题】 2 【考点4 经济利润与分段计费】 3 【考点5 百分数的应用】 4 【考点6 圆与扇形的阴影面积计算】 4 【考点7 弧长与扇形周长的综合应用】 5 【考点8 统计图表分析】 6 【考点9 百分数在统计图表中的应用 】 7 【考点10 圆柱与圆锥体积的关系】 8 【考点11 圆柱圆锥的浸没问题】 9 【考点12 由二元一次方程（组）的解求参数】 10 【考点13 二元一次方程（组）与几何图形综合】 10 【考点14 利用二/三元一次方程（组）解决实际问题】 12 【解答压轴篇】 12 【考点15 按比例分配应用题】 12 【考点16 百分数经济应用题】 13 【考点17 比例尺与地图问题】 14 【考点18 比与比例的综合应用题】 16 【考点19 圆周长与弧长计算】 16 【考点20 圆与扇形组合图形面积】 18 【考点21 统计图表分析与计算】 20 【考点22 百分数统计意义应用】 22 【考点23 圆柱表面积与体积计算】 24 【考点24 圆锥表面积与体积计算】 26 【考点25 圆柱圆锥切拼问题】 27 【考点26 二元一次方程组的特殊解法】 28 【考点27 求解二元一次方程组中的参数】 30 【考点28 二/三元一次方程组的应用】 30 【选填压轴篇】 【考点1 比的变化与不变量问题】 【例1】（25-26六年级下·上海·期中）一个比的比值是，如果前项不变，后项扩大到原数的3倍，这时的比值（ ）． A．扩大到原比值的9倍 B．扩大到原比值的3倍 C．缩小到原比值的 D．缩小到原比值的 【变式1-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）一个比的前项是，如果前项增加，要使比值不变，后项应该（   ） A．增加 B．乘 C．乘 D．不变 【变式1-2】（25-26六年级下·上海·月考）一个比的前项缩小为原来的一半，后项不变，则比值（　　） A．不变 B．变为原来的 C．扩大2倍 D．以上都不对 【变式1-3】（25-26六年级·上海·期末）在中，如果前项增加33，要使比值不变，那么后项应　　 A．增加33 B．增加35 C．增加37 D．增加39 【考点2 求最简整数比】 【例2】（25-26七年级上·四川成都·期中）（a，b均不为0），则a与b的最简整数比是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26六年级下·上海宝山·月考）甲比乙多，甲比丙少，则甲乙丙______．（填最简整数比） 【变式2-2】（2025七年级上·四川成都·期中）化成最简整数比：2小时15分时_______． 求比值：4.5千米公顷_______． 【变式2-3】（25-26七年级上·四川绵阳·期中）鸡、兔同笼，20个头，56条腿，鸡的只数和兔的只数的最简整数比是_______． 【考点3 浓度与配比问题】 【例3】（25-26七年级下·四川成都·期中）（浓度问题）有三个一样大的桶，一个装有浓度的酒精100升，一个装有水100升，还有一个桶是空的，现在要配制成浓度的酒精，只有5升和3升的空桶各一个可以作为量具（无其他度量刻度）．如果每一种量具至多用四次，那么最多能配制成浓度的酒精( )升． 【变式3-1】（25-26六年级下·上海宝山·月考）《考工记》中记载了我国古代创制的六种铜锡比例不同的合金成分配比，称之为“六齐”，是中国也是世界上最早的合金配制记载．其中记载制作钟鼎所用的铜和锡的质量之比为，一位工艺大师按照这种方法制作了一个质量为180千克的鼎，这个鼎含铜___________千克． 【变式3-2】（25-26七年级上·天津·期中）把浓度为的三种盐水按质量比的比混合在一起，得到的盐水浓度为（   ） A．32% B．33% C．34% D．35% 【变式3-3】（2025六年级下·上海·期中）红红用蜂蜜和水为家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如下表所示． 第一杯 第二杯 第三杯 第四杯 蜂蜜（g） 12 12 15 18 水（g） 48 60 50 90 第( )杯和第( )杯的蜂蜜与水的质量比的比值相同，把它们组成一个比例是( ) 【考点4 经济利润与分段计费】 【例4】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）有甲、乙两家商店：如果甲店的利润增加，乙店的利润减少，那么两店的利润相等．原来甲店利润是乙店利润的________． 【变式4-1】（25-26七年级上·四川成都·期中）（分段收费）某国家对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部分按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分按照税率征收，超过6000美元的部分按税率征收（，为整数，且）假设该国某居民月收入为6500美元，支付了120美元所得税，则的值为（     ） A．6 B．3 C．5 D．4 【变式4-2】（25-26七年级上·广西南宁·期中）一件商品，按现在的售价，利润是成本的；若成本降低，售价不变，则利润率（利润与成本的百分比）是______．（百分号前保留整数） 【变式4-3】（25-26七年级上·湖北武汉·自主招生）一批衣服进价40元，打算以的利润卖出，卖了后打折，卖完后的总利润只有原来的，则打了_______折． 【考点5 百分数的应用】 【例5】（25-26六年级下·上海·月考）甲数和乙数的比为，则（   ） A．甲数是乙数的 B．乙数是甲数的 C．甲数比乙数多 D．乙数比甲数少 【变式5-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）甲数的与乙数的相等（甲数、乙数均大于0），甲数比乙数少（   ）． A． B． C． 【变式5-2】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）琪琪的爸爸去年买了一种股票，该股票下跌了，今年要上涨（    ），才能使该股票不赔不赚． A．25 B．20 C．10 D．30 【变式5-3】（25-26六年级下·上海·期中）买来20千克蘑菇，含水率是96%，经晾晒后含水率下降到90%，晾晒后蘑菇的质量是_____千克． 【考点6 圆与扇形的阴影面积计算】 【例6】（25-26六年级下·上海嘉定·期中）如图，一个圆剪拼成一个近似梯形，这个梯形的周长是厘米，则圆的面积是_______平方厘米（取）． 【变式6-1】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）已知一座时钟的分针与时针的长度之比为，从下午2点到下午2点半，分针的针尖走过的距离是30，则时针扫过的面积为_____．（结果保留） 【变式6-2】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，，长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则（   ）厘米． A．15 B．30 C．124.9 D．249.8 【变式6-3】（2025七年级下·湖南长沙·竞赛）如图，矩形中，，，扇形半径，扇形的半径，则阴影部分的面积为 ___________． 【考点7 弧长与扇形周长的综合应用】 【例7】（25-26六年级下·上海闵行·期中）如图所示，把圆心角为，半径为6的扇形在直线l上向右作无滑动翻滚一周，那么圆心O所经过的路径长为________．（计算结果保留π） 【变式7-1】（2025·安徽阜阳·模拟预测）合肥逍遥津公园的“庐州之眼”摩天轮是城市地标之一，如图所示，该摩天轮的高度为（即最高点离地面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）把一个半径6厘米的圆形纸片对折两次，得到一个扇形．这个扇形的周长是（    ）厘米． A．18.84 B．30.84 C．9.42 D．21.42 【变式7-3】（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，一个半径为1的圆从位置开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达位置（这3个圆的圆心与在同一直线上）时停止，该圆的圆心移动的路程为___________（结果保留）． 【考点8 统计图表分析】 【例8】（2025六年级下·上海·期中）六（）班和六（）班同学各人参加“校本课程”学习，学校老师对他们的参与情况进行统计，结果如下． 根据统计图可知，下列说法错误的是（ ）． A．参加书法的人数，六（）班比六（）班多 B．参加陶艺的人数，六（）班比六（）班多 C．参加拼装的人数，六（）班比六（）班多 D．参加科学的人数，六（）班比六（）班多 【变式8-1】（25-26六年级下·上海长宁·期中）小延调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图①及条形图②（柱的高度从高到低排列），条形图不小心被撕了一块．图②中括号里应填的颜色是（    ） A．红色 B．黄色 C．绿色 D．蓝色 【变式8-2】（25-26六年级下·黑龙江大庆·期中）在“阳光体育节”活动中，某校对六（1）班、六(2)班同学各人参加体育活动的情况进行了调查，结果如下图所示．下列说法中正确的是（    ）． A．六（1）班喜欢乒乓球的人数比六（2）班多 B．六（1）班喜欢足球的人数比六（2）班多 C．六（2）班喜欢羽毛球的人数比六（1）班多 D．六（2）班喜欢篮球的人数比六（1）班少 【变式8-3】（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，是甲、乙两名同学的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足．观察图形，有以下几个推断： ①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；④甲的综合评分比乙高．其中合理的是______．（填序号） 【考点9 百分数在统计图表中的应用 】 【例9】（25-26六年级下·上海·期中）下面分别是五、六两个年级学生参加各类活动小组情况的统计图．五年级和六年级参加艺术活动小组的人数相比，（ ）． A．五年级多 B．六年级多 C．一样多 D．无法比较 【变式9-1】（25-26七年级上·湖南娄底·期中）经统计，六（1）班45人中一学期课外阅读量达到10本以上的有9人，5~10本的有30人，5本以下的有6人．下面能正确反映六（1）班一学期课外阅读量情况的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26六年级下·黑龙江大庆·期中）下面是六（1）班同学生日所在季节的扇形统计图． （1）六（1）班同学生日在春季的人数占六（1）班总人数的______．（填分数） （2）六（1）班同学生日在哪个______季节的人数最多． （3）已知六（1）班同学生日在冬季的人数比秋季的人数多______（填百分数） 【变式9-3】（25-26六年级下·上海·期中）从下面统计图中可以看出，种( )的面积最大，种( )的面积最小．如种南瓜的面积是，那么种茄子的面积是( )． 【考点10 圆柱与圆锥体积的关系】 【例10】（25-26六年级下·黑龙江大庆·月考）一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积和是72立方分米，这个圆锥比圆柱的体积少___． 【变式10-1】（25-26六年级下·上海·期中）一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍． A．4 B．6 C．8 D．不变 【变式10-2】（25-26六年级下·上海·期中）张明做了一个圆柱形容器和几个圆锥形容器，尺寸如下图所示，将圆柱内的水倒入（ ）号圆锥容器内正好装满． A．① B．② C．③ D．都不可以 【变式10-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图呈现的是一瓶已经喝了一些的果汁和一只圆锥形玻璃杯．图中．如果把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯中，最多可以倒满________杯．（容器壁厚度忽略不计） 【考点11 圆柱圆锥的浸没问题】 【例11】（2025七年级下·江苏无锡·期中）如图，把一个底面半径，高的圆锥体铁块放入到装有水的圆柱形容器中，完全沉没且没有水溢出，已知圆柱的内直径是，铁块放入后水面会上升__________． 【变式11-1】（25-26六年级下·上海·期末）如图，一个底面半径为的圆柱形容器，里面装有水，水面高度为，将一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块（圆柱铁块和圆锥铁块的底面半径相等，高相等）同时放入这个容器中，水面上升到，这个圆柱形铁块的体积为________（结果保留π）    【变式11-2】（2025六年级下·上海·期中）如图所示的容器中放入底面相等并且高都是分米的圆柱和圆锥形铁块，根据图（）图（）的变化知，圆柱形铁块的体积是 ________立方分米． 【变式11-3】（2025七年级上·江苏苏州·期中）两个圆柱形容器A、B，容器B的内部底面积是容器A的，将一个底面积为的圆柱形铁块放入容器A中，一个与它等底等高的圆锥形铁块放入容器B中，再以每分钟0.5升的速度分别向两个容器中同时匀速注水，当容器B中的水面到达圆锥的顶端时，容器A的水面正好和容器B的水面一样高；现将两个铁块交换位置，容器B的水面就上升了20厘米，圆锥的体积是______（取放铁块时流失水量忽略不计）；再继续按照原速向两个容器注水，当容器B中水面又上升20厘米时，容器A正好满了．容器A的容量是______． 【考点12 由二元一次方程（组）的解求参数】 【例12】已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式12-1】已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为______． 【变式12-2】在一本书上写着方程组的解是，其中P，□被墨汁盖住了，不过，我们仍可解出P的数值为______. 【变式12-3】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c写错而解得，则a=_____，b=_____，c=_____． 【考点13 二元一次方程（组）与几何图形综合】 【例13】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中．若⑤为正方形，则②的周长为_____；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为______． 【变式13-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O在上，与互补，平分平分，若与互余，则的度数为_______． 【变式13-2】（2025八年级上·全国·专题练习）茶园现有两种包装礼盒，两种礼盒均可装盒一样的小盒茶叶．若装在如图①所示的长方形礼盒中，刚好装满；若装在如图②所示的正方形礼盒中，中间会留一个边长为的小正方形空隙．则图②中正方形礼盒的边长为（  ） A． B． C． D． 【变式13-3】现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为(　　) A． B． C． D． 【考点14 利用二/三元一次方程（组）解决实际问题】 【例14】（25-26七年级上·广西崇左·期末）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【变式14-1】（24-25七年级上·重庆·期末）簪花在我国已有两、三千年的历史．热爱传统文化的涵涵购买了若干支丁香花、海棠花、玉兰花用于手工制作三款簪花头饰各一套（每款均用到三种花）．已知每款簪花中海棠花的用量等于玉兰花用量．A款丁香花用量为3枝，B款丁香花用量比C款丁香花用量少2枝；A款中玉兰花的用量为2枝，B款玉兰花的用量是它的丁香花用量的3倍；制作完成后统计发现，三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为．已知每款簪花成本等于所用花朵成本之和．若每枝丁香花、海棠花、玉兰花的成本分别是元、元、元，则C款簪花的成本是________元（用含、、的代数式表示）．若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，则C款簪花的成本是________元． 【变式14-2】王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为___________．（每个组人数大于1人） 【变式14-3】某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ） A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 【解答压轴篇】 【考点15 按比例分配应用题】 【例15】（25-26七年级上·河南郑州·期中）【按比分配】制造一个零件，甲需分钟，乙需分钟，丙需分钟．现在有个零件的制造任务分配给他们三人，要求在相同的时间内完成，丙应该分配到多少个零件? 【变式15-1】（2025七年级下·四川成都·期中）（比例应用题）疫情期间，志愿者要给某封控小区地面和门窗进行消杀，按照说明：的消毒液需要加入的水，按照此方法，如果用的消毒液，需要加入多少升水？（用比例解答） 【变式15-2】（2025七年级上·上海·期中）甲、乙、丙三人的彩球数的比例为，甲给了丙30个彩球，乙也给了丙一些彩球，比例变为．乙给了丙多少个彩球？ 【变式15-3】（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）2014年底南水北调中线工程开始从丹江口水库引水，向京（北京）津（天津）冀（河北）豫（河南）等地供水． (1)如图，使用南水北调中线工程调水时，水流的大体走向是（   ）． A．自西南向东北    B．自东南向西北    C．自东北向西南    D．自西北向东南 (2)根据南水北调中线一期工程水量分配方案，丹江口水库将输出95亿立方米的水，京津冀豫四省市按的比例进行分配，请计算一期工程河南省可分配到的水量是多少亿立方米？ 【考点16 百分数经济应用题】 【例16】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）“地摊经济”给城市带来烟火气，小明的爸爸采购了一大批服装准备摆地摊，已知每套服装进价为240元，出售标价为360元，为了吸引顾客，小明爸爸准备打折销售，但要保持利润不低于，那么最少可以打几折？ 【变式16-1】（25-26六年级下·上海·期中）个人所得税． 材料一：《中华人民共和国个人所得税法》第三条规定，个人所得税的税率： （一）综合所得（工资、劳务所得等），适用3%至45%的超额累进税率； （二）经营所得，适用5%至35%的超额累进税率； （三）利息、股息、红利所得，财产租赁、转让所得和偶然所得，适用比例税率，税率为20%． （注：超额累进税率：超过指定金额部分按税率缴税；比例税率：按比例缴税．） 材料二：某超市全体员工工资情况如下表． 员工 总经理 副总经理 部门经理 一般员工 人数 1 2 3 32 月工资/元 6000 5000 4000 3000 (1)月收入超过5000元的部分需向国家缴纳个人所得税．根据工资表，该公司哪些员工需要向国家交税？至少应纳税额多少元？ (2)大军是公司的一名一般员工，6月份他除了工资所得，还获得了银行股份分红10000元．六月份他需要缴纳个人所得税吗？如果需要，请算出他的应纳税额． 【变式16-2】（25-26六年级下·上海·月考）春节临近，为促进消费，不同的商家对同种型号的家电产品推出不同的优惠措施．甲电器商店对原售价5000元的某型号彩电采用购买一台按原价的给予返还优惠；乙电器商店推出每满50元就减8元的优惠措施；丙电器商店是先打九折，再减200元的方式促销． (1)如果王大伯要以尽可能低的价格买到这种型号的彩电，他应该去哪个商店？为什么？ (2)如果原售价5000元的某型号彩电都是在进价上加价作为售价，问三家商店这样的促销能盈利吗？最高的盈利率是多少？ 【变式16-3】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某公司为了激励员工，制定了分段奖励机制，就是根据员工每个月的销售业绩按一定的百分比进行提成，具体方案如下： 普通员工每月的基本工资是2000元． 月业绩在10000元以下的（包括10000元），没有提成； 月业绩超过10000元的，提成如下： A：超过的部分在0～10000元的（含10000元），超出部分按提成； B：超过的部分在10000～50000元之间的（含50000元），按提成： C：超过的部分大于50000元的，按提成． 根据以上奖金机制，回答下列问题： (1)员工甲上个月的销售业绩是35000元，他将得到多少奖金？ (2)员工乙是上个月该公司的销售状元，销售业绩是20万元，他上个月的收入是多少？ (3)员工丙上个月得到的提成奖金是4200元，她上个月的业绩是多少？ 【考点17 比例尺与地图问题】 【例17】（25-26六年级下·上海·期中）青白江区城市森林和谐广场位于青白江区华金大道二段，是青白江百姓休闲、娱乐的重要场所．把它绘制在比例尺为1∶5000的地图上，该广场平面图是一个长约是5厘米，宽约是3厘米的长方形．请问该广场实际面积约是多少平方米？ 【变式17-1】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）在比例尺是的地图上，量得A、B两地的公路线长为7.5厘米，一辆客车与一辆货车分别从A、B两地相对开出，3小时后两车相遇，客车每小时行85千米，货车每小时行多少千米？ 【变式17-2】（25-26六年级下·浙江杭州·期末）下面是一套比例尺为的住房平面图，图纸上量得相应长度如图． (1)空白部分是客厅，这套住房的客厅面积是多少？ (2)如果要在客厅四周墙面贴墙纸，客厅高3米，门窗部分面积约，那么贴墙纸部分的面积是多少？ 【变式17-3】（25-26七年级上·四川眉山·期末）阅读材料： 材料一：如何将中国的版图完整的画在纸上，并精准把握每一块区域的大小？如何画出一张精确的房屋或器械设计图，使每一个局部的大小都恰到好处？这些工作都需要“比例”大显身手，有了它，地理专家才能将山川河流“收入”背上的行囊，建筑师才能让纸上的草图变成精妙的成品． 材料二：比例尺=图上距离：实际距离，通常表示为1：m的形式． 解答问题： (1)数学兴趣小组借助于“眉山市地图”了解仁寿县政府与眉山市政府的距离（如图1） ①该地图的比例尺为： ②某同学在地图上测得，仁寿县政 府与眉山市政府的直线距离约为，那么根据比例尺可以计算出，仁寿县政府与眉山市政府的实际直线距离约为多少？ (2)某房地产开发公司准备修建房屋，如图，需要绘制图纸．如果按照1∶20的比例尺来绘制，且标识面积占房屋面积的，则至少需要多少平方米的专业绘图纸？（标注数据的单位为 mm ，结果精确到 0.01） 【考点18 比与比例的综合应用题】 【例18】（25-26六年级下·上海·期中）用比例的知识解决问题：某中学开展艺术节，活动包含话剧表演和舞蹈表演，参加话剧表演的人数与参加舞蹈表演的人数比是．现因话剧表演的剧本修改，从参加舞蹈表演的学生中调6人到话剧表演队后，那么两支演出队伍的人数比是．如果每人只能参演一个表演节目，那么最终参加话剧表演和舞蹈表演的学生分别为多少人？ 【变式18-1】（25-26六年级下·上海嘉定·期中）甲、乙两人二月存款之比为，三月甲又存了300元，乙取出100元，这时两人存款之比为，那么甲、乙两人二月各存了多少钱？ 【变式18-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）（工程问题）甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元? 【变式18-3】（25-26六年级下·上海·期中）有三个水桶，它们的总容积是升，现两桶装满水，桶是空的；小明发现若将桶水的全部和桶水的倒入桶，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，都可以将桶恰好装满．求： (1)A桶和B桶容积的比是多少？ (2)三个水桶的容积各是多少？ 【考点19 圆周长与弧长计算】 【例19】（25-26六年级下·湖南衡阳·期中）王阿姨是一位运动达人，她喜欢跑步和骑自行车．如图是王阿姨5月27日早晨户外跑步情况．其中平均配速是指跑步过程中平均每公里所需的时间，是衡量跑步效率的重要指标．（“公里”又称“千米”） (1)这天早晨王阿姨户外跑步的平均配速是多少分/公里？ (2)王阿姨的自行车前轮大，后轮小（如图2）．前轮的直径是厘米，后轮的直径是厘米，每个轮子都有一条通过轴心的标记线．在车子骑行前的一刹那，两个轮子的标记线正好都与地面垂直，前轮至少转动圈后，两根标记线又会同时与地面垂直，此时自行车骑行了米．（取） (3)5月28日早上王阿姨骑自行车早锻炼，自行车显示器显示后轮平均每分钟转动圈，她骑行的速度是米分（取）．如果骑自行车平均每分钟消耗的热量为千卡，那么要达到月日早晨跑步的总消耗量，王阿姨大约需要绕着原跑步路线骑行多少圈？（结果保留整数） 【变式19-1】（25-26六年级下·上海·期中）综合实践题：变速自行车中的数学奥秘 请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮．前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进．变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为、，后齿轮齿数为、、、、，后轮直径厘米． (1)①计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿_____． ②若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)①小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动圈． ②小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明需每分钟蹬多少圈？ 【变式19-2】（25-26九年级下·上海·期中）如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，…的圆心依次按A，B，C，D循环．当时，曲线的长度是多少？ 【变式19-3】（25-26九年级上·重庆长寿·期末）路口导向线是一个交通指示，是指车辆转弯时必须沿导向线有序行驶．如图1中的虚线，就是一个左转弯导向线． (1)如图2，车辆在一个十字路口时，既有左转弯导向线，也有右转弯导向线．如图3，已知左转弯导向线和右转弯导向线的圆心分别为点和点，且半径和分别为10米和4米，圆心角都为，求比长多少（结果保留）？ (2)如图4，已知五边形是一个商场，为地下车库入口，一个小汽车沿道路标线的方向驶向车库入口，途中没有红绿灯．已知和为笔直道路，且米，左转弯导向线和的圆心分别为点和点，且半径和均为10米，圆心角分别为，，汽车在笔直道路上的行驶速度为14米／秒，在左转弯时，为了安全起见，速度降为5米／秒，求该小汽车沿着标线从行驶到车库门口的行驶时间为多少秒（取3.14，汽车加速和减速的时间忽略不计）？ 【考点20 圆与扇形组合图形面积】 【例20】（25-26六年级下·上海·期中）如图，长方形建筑物，一只狗拴在墙角处，不能够进入长方形内部，长方形长 米，宽为 米，绳子长 米，求出小狗活动的范围有多少平方米？ 【变式20-1】（25-26六年级下·上海杨浦·期末）（1）如图1，是等边三角形，曲线……叫做“等边三角形的渐开线”，曲线的各部分均为圆弧．设的边长为3厘米，求前5段弧长的和（即曲线的长）是多少厘米？ （2）如图2，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为400厘米的正方形，拴狗的绳子长18米．现狗从点A出发，将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？ 【变式20-2】（25-26六年级下·上海闵行·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） （1）已知线段，一个半径长为的圆，沿着滚动，则扫过的面积是___________ 组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留） （2）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着 的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着 的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着 的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是___________． 【变式20-3】（25-26六年级下·上海松江·期中）定义：分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的封闭图形称为“圆弧三角形”．例如：如图1，等边的边长为a，分别以点A、B、C为圆心，a为半径画弧，则弧、弧、弧围成的图形就是“圆弧三角形”．（以下计算结果保留π） (1)等边的边长a为时，求“圆弧三角形”的周长； (2)如图2，在第（1）题的条件下，“圆弧三角形”上有一个直径为的圆O．“圆弧三角形”保持不动，圆O紧贴“圆弧三角形”的外侧滚动一周． ①求圆心O经过的路程长； ②直接写出圆O所扫过区域的面积． 【考点21 统计图表分析与计算】 【例21】（25-26六年级下·山东淄博·期末）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式，其计算公式：（）其中表示体重（），表示身高（）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，某数学实践小组开展了调查． 等级 偏瘦A 标准B 超重C 肥胖D 男 女 【数据收集、数据整理】小组成员通过问卷调查，收集数据，并绘制统计图． 【问题解决、作出决策】根据以上信息，解决下列问题： (1)本次调查的总人数为____________； (2)补全条形统计图； (3)一位男生的身高为，体重为，则他的体重指数属于____________等级；（请从A、B、C、D中选择一个填写） (4)若该校共有2000名学生，估计全校体重指数等级为“肥胖”的学生约为____________人． 【变式21-1】（25-26六年级下·河北邯郸·期末）刘朋同学对他所在学校六年级所有同学的上学方式进行了调查，以下是他根据调查后的数据绘制的统计图． (1)刘朋同学所在的学校六年级一共有（    ）名学生，请将条形统计图补充完整． (2)乘坐公交车上学的占调查总人数的（    ），乘私家车上学的人数比乘公交车上学的人数多（    ）． 【变式21-2】（25-26六年级下·上海·期中）某小学在课后延时服务时间开展了丰富多彩的“素养课程”．小智同学对六年学生参加“素养课程”的情况作了统计，并绘制出两种统计图． ①根据图中信息，求出参加音乐类课程人数，并在图中将音乐类的条形统计图补充完整． ②算一算参加美术类课程的人数比参加体育类课程的人数多百分之几？ ③你还能提出什么数学问题并解答？ 【变式21-3】（25-26七年级上·福建福州·期中）某中学七年级开展“最喜爱的球类运动”调查活动，并根据调查数据绘制了下面两幅不完整的统计图． (1)最喜爱篮球的学生比最喜爱足球的学生多百分之几？ (2)参加本次调查活动的学生人数是多少？ 【考点22 百分数统计意义应用】 【例22】（25-26六年级下·上海·期末）如图是某小学六年级的学生关于“最感兴趣的球类运动”的统计图，已知该学校六年级共有150名学生． (1)对踢足球最感兴趣的有多少名学生？ (2)该学校六年级学生对什么球类运动最感兴趣的人数最多？有多少名学生？ (3)你还能提出什么数学问题？自己提一提并解答． 【变式22-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一块1000平方米的菜地，3种蔬菜的种植面积分布情况如图所示． (1)表示白菜种植面积的扇形圆心角是多少度？ (2)萝卜的种植面积是多少平方米？ 【变式22-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）如图是鸡蛋各部分质量统计图． (1)从图中我们可以看出：一个鸡蛋中蛋壳的质量约占______，蛋黄的质量约占______． (2)如果一个鸡蛋重60克，这个鸡蛋中的蛋白重多少克？ 【变式22-3】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国陆地领土面积约为960万平方千米，各类地形面积占全国陆地领土总面积的百分比制成如图所示的扇形统计图． (1)该扇形统计图中，盆地面积占全国陆地领土面积的百分比为___________； (2)东北平原是我国最大平原，其面积约占全国平原总面积的，则东北平原的面积约为___________万平方千米； (3)求全国平原面积比丘陵面积多百分之几？ 【考点23 圆柱表面积与体积计算】 【例23】（25-26六年级下·上海·期中）组成木桶的木板如果长短不齐，那么木桶的盛水量就不是取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板，这就是人们常说的“木桶效应”．如图，一个底面直径为6分米的圆柱形木桶，高4.3分米．这个木桶破损了两处（如图），这个木桶最多能装多少升水？ 【变式23-1】（2025六年级下·上海·期中）如图是一卷家用生活卫生纸，已知纸的宽度是10厘米，中间硬纸轴的直径是3.5厘米．你知道制作一个这样的卫生纸至少需要多少平方厘米的硬纸板来制作纸轴吗？（接缝处忽略不计） 【变式23-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）春华商店销售一种圆柱形状的礼品盒，礼品盒的底面直径是厘米，高是厘米． (1)要给礼品盒盒的侧面都贴上一圈包装纸，包装纸的面积是多少平方厘米？（保留） (2)若该礼品盒成本每个元，打八折出售后，每个仍可盈利，求每个礼品盒的标价是多少元？ (3)在（）的条件下，“店庆”期间，商店按标价促销两种活动： 活动一：该礼品盒每个先提价，再在此基础上每满元减元； 活动二：购买的礼盒价钱在元之内时全部打九折，如超过元时，元打九折，超过元的部分打八折． 张鹏想买个这样的礼品盒，他参与哪种活动花钱更少？请说明理由． 【变式23-3】（25-26六年级下·黑龙江·月考）瑞瑞糕点店制作了一款如图所示的蛋糕胚，该蛋糕胚整体呈圆柱形，中间有12个底面和高都相同的空心圆柱，图（1）为蛋糕胚实物图，图（2）为抽象图，图（3）为蛋糕胚的俯视图．已知该蛋糕胚底面周长为60厘米，高比底面直径少，内部小圆柱的直径为2厘米．（注：取3） (1)求蛋糕胚的高： (2)求蛋糕胚的体积； (3)为了满足顾客多种口味的需求，蛋糕胚带有蓝莓、草莓、椰子和芒果4种不同口味， 制作工序如下： ①用奶油涂满整个蛋糕胚的侧面形成一个大圆柱如图（3），所涂奶油厚度为； ②将蛋糕胚子沿着图（3）中互相垂直的两条直径平均分成4个区域，将4种不同口味的果酱分别注入小圆柱中（每个区域注入一种果酱），各种原料单价如图表所示： 原料 单价（元/升） 蛋糕胚 15 奶油 20 草莓果酱 14 蓝莓果酱 30 椰子果酱 22 芒果果酱 24 求制作此蛋糕的成本是多少钱？ 【考点24 圆锥表面积与体积计算】 【例24】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）同学们，你们做过“鸡蛋浮起来”的实验吗？这个实验中也有许多数学问题． 实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来 准备材料：一个圆柱形玻璃杯（底面半径为），1个鸡蛋（小），1个鸭蛋（大），一些水和盐． 实验过程：①往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是； ②放入1个鸡蛋，这时水面上升到； ③放入1个鸭蛋，再测量水面高度 观察记录：鸡蛋和鸭蛋都悬浮在水中，如图1所示．水面高度变化和三种物体体积情况分别如图2、3所示． 根据实验所得数据，回答问题（π取3.14） (1)鸡蛋的体积是多少立方厘米？ (2)放入鸭蛋后，水面上升了多少厘米？ (3)从玻璃杯中取出鸡蛋和鸭蛋，再放入一个圆锥体，完全浸没于盐水中，此时玻璃杯内水位无变化（鸡蛋、鸭蛋表面带走的水量忽略不计）．若圆锥底面半径为，求圆锥的高是多少厘米？ 【变式24-1】（2025九年级·上海·期中）小明家把收获的一堆粮食在门前广场上堆成圆锥形（如图），用皮尺测得底面圆的周长约为，粮食堆成的高度为．为防止淋雨，至少需要多大面积的塑料薄膜才能将其盖住（π取）？ 【变式24-2】（25-26七年级下·上海·期末）如图，一种太空设备的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知下半部的圆柱的半径，，母线，上半部的圆锥的高，母线，该太空设备在重返地球大气层时，需承受与空气摩擦产生的高热，故其外表面需做特别处理． (1)该太空设备要接受防高热处理的面积大约是多少？（保留π） (2)该太空设备的容积大约是多少？（保留π） 【变式24-3】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体，如图，圆柱底面的半径是8米，高是3米，圆锥的高是3米．如果每立方米小麦约重750千克． (1)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库至少需要多少个这样的粮囤存储这些小麦（取3）? (2)由于粮囤使用多年，需要对所有粮囤进行翻新维修，粮库将此工程承包给甲乙两个队，甲工程队单独修需要8天，甲工程队单独完成需要的时间比乙工程队单独完成时间少，现在两队同时进行维修几天后，乙队因有其他任务调走，余下的工程量甲工程队需要3天时间完成，乙工程队维修了几天？ (3)若在（2）的条件下，已知每天甲工程队的费用是900元，每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，维修所有粮囤后，请你计算出甲乙两队的总费用． 【考点25 圆柱圆锥切拼问题】 【例25】（25-26六年级下·上海·期中）小文从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）．求这个笔筒的表面积和体积． 【变式25-1】（25-26六年级下·上海青浦·月考）如图所示，长方形纸片中，，把它分割成正方形纸片和长方形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，求圆锥的表面积．（保留） 【变式25-2】（25-26七年级下·上海·期中）将圆柱如图切分后拼成一个近似的长方体．切拼前后，圆柱的体积没有发生改变，表面积增加了． (1)切拼后，长方体的底面积等于原圆柱（ ）的面积；长方体的高等于原圆柱的（ ）． 因为：长方体的体积底面积高   所以：圆柱的体积（ ）． (2)如果圆柱的底面半径为2厘米，高为6厘米，那么拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？ 【变式25-3】（25-26六年级下·上海·期中）一个圆柱形木料，底面直径是，高是． (1)把木料沿底面直径垂直切成两半，表面积增加了多少平方厘米？ (2)把木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少立方厘米？ (3)若把削成的圆锥再沿底面直径垂直切成两半，切面是什么形状？切面的面积是多少平方厘米？（取3.14） 【考点26 二元一次方程组的特殊解法】 【例26】数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【变式26-1】已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【变式26-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法比较简单： 得：，即③ 得：④ 得：，，代入③得． 所以这个方程组的解是． (1)请你运用小明的方法解方程组． (2)规律探究：猜想关于，的方程组，的解是______． 【变式26-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【考点27 求解二元一次方程组中的参数】 【例27】当a，b都是实数，且满足，就称点为“完美点”． (1)判断点是否为“完美点”，并说明理由． (2)已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是“完美点”，请说明理由． 【变式27-1】（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【变式27-2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的二元一次方程变形为的形式（是常数），则其中一对常数称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________； (2)已知是关于的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求的值； (3)关于的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【变式27-3】（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【考点28 二/三元一次方程组的应用】 【例28】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【变式28-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 【变式28-2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【变式28-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 【问题背景】 巢湖素有“皖中明珠”之美誉，旅游度假资源丰富．某校八年级（1）班同学为了完成老师布置的综合与实践作业——制作《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》，分成了若干个学习小组，先通过携程、飞猪、美团、去哪儿等在线旅游平台提供的相关信息对巢湖市优质度假区、高档宾馆、精品民宿等三种不同类型的住宿资源进行了“金牌旅游住宿”的名称界定；然后，从中各选取两家通过电话咨询了解住宿的位置优势以及不同房间的基本住宿价格；最后，结合平台用户评分和商家电话介绍，在这三种住宿资源类型中均选择了假期预订量最高的家庭房进行了实地调查，希望给《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》的制作提供可靠的数据来源． 【材料收集与整理】 各学习小组在同一天奔赴不同金牌旅游住宿地进行调查，获取到度假区和高档宾馆类型的金牌旅游住宿均会结合市场需求根据房型实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨；精品民宿的定价也有淡季、旺季之分，但上涨比例相对灵活；通过各旅游平台下单、电话预定、现场订房的优惠差距可忽略不计．此外，不同类型的金牌旅游住宿费用差距较大，环境风格差异明显，消费群体有区别．具体材料如下： 材料一：度假区离巢湖市中心约15公里，离高铁站、高速公路收费站均在6公里以内．度假区的一房别墅住宿，可享受一站式家庭旅游体验，同时赠送温泉疗养项目，采用标准化管理．第一学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 度假区 淡季 旺季 未入住一房别墅间数 10 0 该房型日总收入（元） 9600 24000 材料二：高档宾馆在巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施、餐饮服务、交通服务等均符合标准化管理，品质有保障．第二学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 高档宾馆 淡季 旺季 未入住家庭房间数 5 0 该房型日总收入（元） 5600 10500 材料三：精品民宿距巢湖市中心约20公里，没有明确标注“家庭房”房型，但有适合亲子家庭的替代方案一：适合4个亲子家庭自行组团整体合租的集住宿、休闲、运动、书吧于一体的门庭小院，小院为稀缺型旅游住宿资源只有一座；方案二：在有儿童游乐和手工体验区的民宿公共区选择客栈标准间大床房组合（两者价格一样，各有20间可供选择）．第三学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 精品民宿 淡季 旺季 一座门庭小院价格 2000 2600 客栈标准间单价 300 360 【数据分析与运用】 任务1：（1）该度假区的一房别墅有多少间？一房别墅旺季每间价格为多少元？该高档宾馆旺季家庭房每间价格为多少元？ 任务2：（2）请通过计算说明该精品民宿旺季比淡季每间（座）上涨是否符合的标准？ 任务3：（3）如果有位游客在网络上看到了该校八（1）班同学分享的《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》视频，想在春节期间来巢湖亲子游，你会给他推荐哪种类型的金牌旅游住宿资源呢？请你说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期末复习压轴题28个考点 【新教材沪教版五四制】 【选填压轴篇】 2 【考点1 比的变化与不变量问题】 2 【考点2 求最简整数比】 3 【考点3 浓度与配比问题】 5 【考点4 经济利润与分段计费】 7 【考点5 百分数的应用】 9 【考点6 圆与扇形的阴影面积计算】 10 【考点7 弧长与扇形周长的综合应用】 13 【考点8 统计图表分析】 15 【考点9 百分数在统计图表中的应用 】 18 【考点10 圆柱与圆锥体积的关系】 21 【考点11 圆柱圆锥的浸没问题】 23 【考点12 由二元一次方程（组）的解求参数】 26 【考点13 二元一次方程（组）与几何图形综合】 28 【考点14 利用二/三元一次方程（组）解决实际问题】 32 【解答压轴篇】 35 【考点15 按比例分配应用题】 35 【考点16 百分数经济应用题】 38 【考点17 比例尺与地图问题】 41 【考点18 比与比例的综合应用题】 44 【考点19 圆周长与弧长计算】 47 【考点20 圆与扇形组合图形面积】 52 【考点21 统计图表分析与计算】 58 【考点22 百分数统计意义应用】 64 【考点23 圆柱表面积与体积计算】 67 【考点24 圆锥表面积与体积计算】 71 【考点25 圆柱圆锥切拼问题】 75 【考点26 二元一次方程组的特殊解法】 78 【考点27 求解二元一次方程组中的参数】 83 【考点28 二/三元一次方程组的应用】 88 【选填压轴篇】 【考点1 比的变化与不变量问题】 【例1】（25-26六年级下·上海·期中）一个比的比值是，如果前项不变，后项扩大到原数的3倍，这时的比值（ ）． A．扩大到原比值的9倍 B．扩大到原比值的3倍 C．缩小到原比值的 D．缩小到原比值的 【答案】C 【分析】本题考查了比的基本性质及比值的变化规律，解题的关键是明确“比值前项后项”，根据后项的变化分析比值的变化． 设比的前项为、后项为，由原比值得；后项扩大到原数的3倍后，新比值为，计算其与原比值的关系，判断变化情况． 【详解】解：设该比的前项为，后项为，则原比值为． 当后项扩大到原数的3倍时，新后项为，此时新比值为，即新比值是原比值的． 故选：C． 【变式1-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）一个比的前项是，如果前项增加，要使比值不变，后项应该（   ） A．增加 B．乘 C．乘 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查了比的基本性质，解题的关键是掌握比的基本性质．根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（除外）比值不变，即可求解． 【详解】解：比的前项是，如果前项增加，则前项变为：， ，相当于前项乘，要使比值不变，后项应乘， 故选：C． 【变式1-2】（25-26六年级下·上海·月考）一个比的前项缩小为原来的一半，后项不变，则比值（　　） A．不变 B．变为原来的 C．扩大2倍 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据比的基本性质进行判断即可． 【详解】解：设比例为， ， ∴比值变为原来的，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了比的基本性质，解题的关键是掌握比的基本性质． 【变式1-3】（25-26六年级·上海·期末）在中，如果前项增加33，要使比值不变，那么后项应　　 A．增加33 B．增加35 C．增加37 D．增加39 【答案】D 【分析】设原数分别为，，后项增加，由计算求解即可． 【详解】解：设原数分别为，，后项增加， 由题意可得： 解得： 故选：． 【点睛】本题考查了比例的应用．解题的关键在于熟练掌握比例的运算． 【考点2 求最简整数比】 【例2】（25-26七年级上·四川成都·期中）（a，b均不为0），则a与b的最简整数比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了化简比的方法，先化成乘积形式，再把乘积形式变成比例式，最后计算最简整数比即可． 【详解】解：因为， 所以， ， 故选：B． 【变式2-1】（25-26六年级下·上海宝山·月考）甲比乙多，甲比丙少，则甲乙丙______．（填最简整数比） 【答案】 【详解】解：设甲为，乙为，丙为， 根据题意得：，， ∴，， ∴甲乙丙． 【变式2-2】（2025七年级上·四川成都·期中）化成最简整数比：2小时15分时_______． 求比值：4.5千米公顷_______． 【答案】 150 【分析】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数；根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变；用比的前项除以后项即可求出比值． 【详解】解：2小时15分时 时时 ； 4.5千米公顷 公顷：3公顷 ； 故答案为：；150． 【变式2-3】（25-26七年级上·四川绵阳·期中）鸡、兔同笼，20个头，56条腿，鸡的只数和兔的只数的最简整数比是_______． 【答案】 【分析】假设全是兔，则有（条）腿，比已知56条腿多了条，因为一只兔子比一只鸡多出两条腿，解答即可． 本题考查了比的应用，熟练掌握比的计算是解题关键． 【详解】解：假设全是兔，则有（条）腿，比已知56条腿多了条， 因为一只兔子比一只鸡多出两条腿， 故鸡的只数为：（只），兔的只数为（只）， 故鸡的只数和兔的只数的最简整数比是， 故答案为：． 【考点3 浓度与配比问题】 【例3】（25-26七年级下·四川成都·期中）（浓度问题）有三个一样大的桶，一个装有浓度的酒精100升，一个装有水100升，还有一个桶是空的，现在要配制成浓度的酒精，只有5升和3升的空桶各一个可以作为量具（无其他度量刻度）．如果每一种量具至多用四次，那么最多能配制成浓度的酒精( )升． 【答案】20 【分析】本题关键是找出酒精和水的比例，然后根据提供的容器进行求解．把配成的酒精中纯酒精的量设为1，那么需要的酒精的量是：，配成的酒精的量是，加水的量是：；那么的酒精的量与水的量的比是：；就是说每3升的的酒精和2升水才能配成5升的酒精；先用3升的空桶量出3升的酒精，倒入5升的桶中，然后在这个桶中加满水就是5升的酒精，再倒入空桶，如此4次即可． 【详解】解：设配成的酒精中纯酒精的量为1， 那么需要的酒精的量是：， 配成的酒精的量是， 加水的量是：， ， 每3升的的酒精和2升水才能配成5升的酒精； 所以可以如下操作： 1、将的酒精先倒入3升的空桶， 2、将3升的酒精倒入5升的空桶， 3、向5升内装3升酒精的桶里加水至满， 4、5升的桶里此时是的酒精，将其倒入空桶， 5，如此反复，因为每一种量具最多用4次，故最多能配制成的酒精是升， 答：最多能配制成的酒精20升． 故答案为：20． 【变式3-1】（25-26六年级下·上海宝山·月考）《考工记》中记载了我国古代创制的六种铜锡比例不同的合金成分配比，称之为“六齐”，是中国也是世界上最早的合金配制记载．其中记载制作钟鼎所用的铜和锡的质量之比为，一位工艺大师按照这种方法制作了一个质量为180千克的鼎，这个鼎含铜___________千克． 【答案】150 【分析】根据比例列式计算即可． 【详解】解： （千克）． 【变式3-2】（25-26七年级上·天津·期中）把浓度为的三种盐水按质量比的比混合在一起，得到的盐水浓度为（   ） A．32% B．33% C．34% D．35% 【答案】B 【分析】本题主要考查比的应用，解题的关键是掌握比的意义． 根据题意列式，计算即可． 【详解】． 故选：B． 【变式3-3】（2025六年级下·上海·期中）红红用蜂蜜和水为家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如下表所示． 第一杯 第二杯 第三杯 第四杯 蜂蜜（g） 12 12 15 18 水（g） 48 60 50 90 第( )杯和第( )杯的蜂蜜与水的质量比的比值相同，把它们组成一个比例是( ) 【答案】 二 四 【分析】本题考查了比例的应用，根据蜂蜜和水的配比情况及求比值的方法，分别求出蜂蜜与水的比值，再找出相同的，列出比例即可，理解比例的概念是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 即第二杯和第四杯的蜂蜜与水的质量比的比值相同，把它们组成一个比例是， 故答案为：二；四；． 【考点4 经济利润与分段计费】 【例4】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）有甲、乙两家商店：如果甲店的利润增加，乙店的利润减少，那么两店的利润相等．原来甲店利润是乙店利润的________． 【答案】 【分析】本题考查了百分数的应用，正确列出运算式子是解题关键．先求出甲店的利润的与乙店的利润的相等，再利用除以即可得． 【详解】解：∵如果甲店的利润增加，乙店的利润减少，那么两店的利润相等， ∴甲店的利润的与乙店的利润的相等， ∴原来甲店利润是乙店利润的， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26七年级上·四川成都·期中）（分段收费）某国家对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部分按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分按照税率征收，超过6000美元的部分按税率征收（，为整数，且）假设该国某居民月收入为6500美元，支付了120美元所得税，则的值为（     ） A．6 B．3 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查税率问题，根据征收方法，列出方程，求出满足题意的正整数解，即可得出结果． 【详解】解：由题可知： ， 整理，得：， 故， 因为为整数，且， 所以，，符合要求． 故选A． 【变式4-2】（25-26七年级上·广西南宁·期中）一件商品，按现在的售价，利润是成本的；若成本降低，售价不变，则利润率（利润与成本的百分比）是______．（百分号前保留整数） 【答案】 【分析】此题考查了销售问题中的利润问题，百分数的应用，把成本看作1，现在利润是，若成本降低，是，利润是，用利润除以即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 故答案为： 【变式4-3】（25-26七年级上·湖北武汉·自主招生）一批衣服进价40元，打算以的利润卖出，卖了后打折，卖完后的总利润只有原来的，则打了_______折． 【答案】八 【分析】本题考查了商品折扣问题，正确理解题意，合理利用假设法是解题的关键． 不妨设这批衣服有10件，根据售价=进价(1利润率)，折扣实际售价原价求解即可． 【详解】解：设这批衣服有10件， 总利润： (元)， 卖出的利润： (元)， 实际总利润： (元)， 剩余每件利润： (元)， 打折：， 故答案为：八． 【考点5 百分数的应用】 【例5】（25-26六年级下·上海·月考）甲数和乙数的比为，则（   ） A．甲数是乙数的 B．乙数是甲数的 C．甲数比乙数多 D．乙数比甲数少 【答案】A 【分析】本题考查了比的应用，一个数是另一个数的百分之几，求一个数比另一个数多或少百分之几，根据比的性质进行计算即可． 【详解】解：A、甲数是乙数的，故该选项正确； B、乙数是甲数的，故该选项错误； C、甲数比乙数多，故该选项错误； D、乙数比甲数少，故该选项错误； 故选：A． 【变式5-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）甲数的与乙数的相等（甲数、乙数均大于0），甲数比乙数少（   ）． A． B． C． 【答案】A 【分析】本题考查已知一个数的几分之几，求这个数，以及求一个数比另一个数少百分之几的问题，设甲数的与乙数的相等都为1，进而求出甲数和乙数，用乙数减去甲数，再除以乙数，乘以，进行求解即可． 【详解】解：设甲数的与乙数的相等都为1，则：甲数为，乙数为， 故甲数比乙数少； 故选：A． 【变式5-2】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）琪琪的爸爸去年买了一种股票，该股票下跌了，今年要上涨（    ），才能使该股票不赔不赚． A．25 B．20 C．10 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了百分数的应用，设原价是1，先求出下跌后的价格，再根据股票保持原值求出变化的量，用变化的量除以下跌后的价格即可得出上涨的百分数． 【详解】解：设原价是1， ， ， 故选：． 【变式5-3】（25-26六年级下·上海·期中）买来20千克蘑菇，含水率是96%，经晾晒后含水率下降到90%，晾晒后蘑菇的质量是_____千克． 【答案】8 【分析】本题考查百分数的应用．以总质量20千克蘑菇为单位“1”，初始含水率为，因此干物质占总质量的，根据“求一个数的百分之几是多少”用乘法，可求出干物质的质量；再以晾晒后蘑菇的质量为单位“1”，这时干物质占，根据“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”用除法，即可求出晾晒后蘑菇的质量． 【详解】解： (千克) 所以晾晒后蘑菇的质量是8千克． 【考点6 圆与扇形的阴影面积计算】 【例6】（25-26六年级下·上海嘉定·期中）如图，一个圆剪拼成一个近似梯形，这个梯形的周长是厘米，则圆的面积是_______平方厘米（取）． 【答案】 【详解】解：由图可知，梯形的周长由4段半径与圆的周长组成， 故， 令，解得， ∴圆的面积为（平方厘米）． 【变式6-1】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）已知一座时钟的分针与时针的长度之比为，从下午2点到下午2点半，分针的针尖走过的距离是30，则时针扫过的面积为_____．（结果保留） 【答案】 【分析】先根据分针半小时转过的弧长和已知弧长求出时针长度，再根据时针半小时转过的圆心角，利用扇形面积公式计算时针扫过的面积． 【详解】解：设时针长度为， ∵分针与时针长度比为， ∴分针长度为． 由题意得，从下午2点到下午2点半，分针转过半周，圆心角为， ∴分针针尖走过的距离为 解得， ∵时针12小时转， ∴时针半小时转过的圆心角， ∴时针扫过的面积：． 【变式6-2】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，，长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则（   ）厘米． A．15 B．30 C．124.9 D．249.8 【答案】B 【分析】设厘米，根据得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设厘米， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴厘米． 【变式6-3】（2025七年级下·湖南长沙·竞赛）如图，矩形中，，，扇形半径，扇形的半径，则阴影部分的面积为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的特点和扇形的面积公式，根据题意可的扇形和扇形都为个圆，再根据阴影部分的面积扇形阴影部分面积扇形阴影部分面积，根据图形可知阴影部分的面积扇形面积矩形面积右下空白部分面积扇形面积右下空白部分面积，即可得到阴影部分的面积扇形面积扇形面积矩形面积，代入数据计算即可． 【详解】解：四边形为矩形， ， 由图可知：阴影部分的面积扇形面积矩形面积右下空白部分面积扇形面积右下空白部分面积， 阴影部分的面积扇形面积扇形面积矩形面积， ． 故答案为：． 【考点7 弧长与扇形周长的综合应用】 【例7】（25-26六年级下·上海闵行·期中）如图所示，把圆心角为，半径为6的扇形在直线l上向右作无滑动翻滚一周，那么圆心O所经过的路径长为________．（计算结果保留π） 【答案】 【分析】观察图形得从图（1）到图（2）的过程中，圆心O没移动；从图（2）到图（3）的过程和从图（4）到图（5）的过程中，圆心O所经过的路径都是以6为半径、圆心角为的弧；从图（3）到图（4）的过程中，圆心O所经过的路径是以6为半径、圆心角为的弧，然后根据圆的周长公式分别进行计算． 【详解】解：如图，从图（2）到图（3）的过程中，圆心O所经过的路径长， 从图（3）到图（4）的过程中，圆心O所经过的路径长， 从图（4）到图（5）的过程中，圆心O所经过的路径长， 所以扇形在直线l上向右作无滑动翻滚一周，则圆心O所经过的路径长． 【变式7-1】（2025·安徽阜阳·模拟预测）合肥逍遥津公园的“庐州之眼”摩天轮是城市地标之一，如图所示，该摩天轮的高度为（即最高点离地面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵该摩天轮高（即最高点离地面平台的距离），圆心到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为：． 【变式7-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）把一个半径6厘米的圆形纸片对折两次，得到一个扇形．这个扇形的周长是（    ）厘米． A．18.84 B．30.84 C．9.42 D．21.42 【答案】D 【分析】本题考查扇形周长的意义：扇形的周长等于扇形圆心角所对弧的长度加上两条半径。把一个半径6厘米的圆形纸片对折两次，得到一个扇形，这个扇形的圆心角是90度，90度的圆心角所对弧的长度等于该圆周长的，根据圆的周长公式：，把数据代入公式解答． 【详解】解： （厘米） 故选：D． 【变式7-3】（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，一个半径为1的圆从位置开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达位置（这3个圆的圆心与在同一直线上）时停止，该圆的圆心移动的路程为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算． 它从A位置开始，滚过与它相同的其他三个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过了3段弧长，其中有2段是半径为，圆心角为120度，1段是半径为，圆心角为60度的弧长，所以可求得． 【详解】解：如图， 圆心移动的路程． 故答案为：． 【考点8 统计图表分析】 【例8】（2025六年级下·上海·期中）六（）班和六（）班同学各人参加“校本课程”学习，学校老师对他们的参与情况进行统计，结果如下． 根据统计图可知，下列说法错误的是（ ）． A．参加书法的人数，六（）班比六（）班多 B．参加陶艺的人数，六（）班比六（）班多 C．参加拼装的人数，六（）班比六（）班多 D．参加科学的人数，六（）班比六（）班多 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形统计与统计图表的综合应用．从六（）统计图可知：大格表示人，小格表示人，即可从图中看出各组人数．从六（）统计图可知：以全班人为单位“”，以全班人数对应分率即可分别求出各组人数． 【详解】解：A选项：参加书法的人数，六（）有人，六（）有人，六（）班比六（）班多，故A选项说法正确， B选项：参加陶艺的人数，六（）有人，六（）有人，六（）班比六（）班多．故B选项说法正确． C选项：参加拼装的人数，六（）有人，六（）有人，六（）班比六（）班少．故C选项说法错误． D选项：参加科学的人数，六（）有人，六（）有人，六（）班比六（）班多．故D选项说法正确． 故选：C． 【变式8-1】（25-26六年级下·上海长宁·期中）小延调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图①及条形图②（柱的高度从高到低排列），条形图不小心被撕了一块．图②中括号里应填的颜色是（    ） A．红色 B．黄色 C．绿色 D．蓝色 【答案】B 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据柱的高度从高到低排列的和扇形所占的百分比得出绿色是4，所占的百分比是，求出调查的总人数，用总人数乘黄色所占百分比可得黄色的人数，用总人数减去其他人数，求出另一组的人数，再根据柱的高度从高到低排列，即得答案． 【详解】解：根据题意得： 总人数为：（人）， 则喜欢黄色的人数是：（人）， 因为喜欢红色的人数所占百分比最多，所以喜欢红色的人数为13人， 所以喜欢蓝色的人数是（人）， 因为柱的高度从高到低排列， 所以图②中括号里应填的颜色是黄色． 【变式8-2】（25-26六年级下·黑龙江大庆·期中）在“阳光体育节”活动中，某校对六（1）班、六(2)班同学各人参加体育活动的情况进行了调查，结果如下图所示．下列说法中正确的是（    ）． A．六（1）班喜欢乒乓球的人数比六（2）班多 B．六（1）班喜欢足球的人数比六（2）班多 C．六（2）班喜欢羽毛球的人数比六（1）班多 D．六（2）班喜欢篮球的人数比六（1）班少 【答案】D 【分析】本题考查扇形统计图和折线统计图，熟练掌握扇形统计图和折线统计图是解题的关键； 根据扇形统计图和折线统计图关联计算求解即可； 【详解】解：A、六（1）班喜欢乒乓球的人数是（人），六（2）班的有人，故六（1）班喜欢乒乓球的人数比六（2）班少，该选项错误； B、六（1）班喜欢足球的人数是（人），六（2）班的有人，故六（1）班喜欢足球的人数比六（2）班少，该选项错误； C、六（1）班喜欢羽毛球的人数是（人），六（2）班的有人，故六（2）班喜欢羽毛球的人数比六（1）班少，该选项错误； D、六（1）班喜欢篮球的人数是（人），六（2）班的有人，六（2）班喜欢篮球的人数比六（1）班少，该选项正确； 故选：D 【变式8-3】（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，是甲、乙两名同学的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足．观察图形，有以下几个推断： ①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；④甲的综合评分比乙高．其中合理的是______．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了统计图表，根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可，根据统计图表及其所反映的信息对各个选项作出分析是解题的关键． 【详解】解：由图形可知： 甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理； 甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故②合理； 甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，因此与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力，故③合理； 甲的综合评分为：（分）， 乙的综合评分为：（分）， 因为，所以甲的综合评分比乙低，故④不合理． 综上，合理的选项有①②③． 故答案为：①②③． 【考点9 百分数在统计图表中的应用 】 【例9】（25-26六年级下·上海·期中）下面分别是五、六两个年级学生参加各类活动小组情况的统计图．五年级和六年级参加艺术活动小组的人数相比，（ ）． A．五年级多 B．六年级多 C．一样多 D．无法比较 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的百分之几是多少、扇形统计图的特点及绘制． 从两幅扇形统计图中可知，五年级参加艺术活动小组的人数占五年级总人数的，六年级参加艺术活动小组的人数占六年级总人数的；把五年级、六年级各自的总人数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，即五年级参加艺术活动小组的人数＝五年级总人数，六年级参加艺术活动小组的人数＝六年级总人数，而题目没有说明五年级、六年级的总人数，所以无法比较五年级和六年级参加艺术活动小组的人数． 【详解】解：五年级参加艺术活动小组的人数＝五年级总人数， 六年级参加艺术活动小组的人数＝六年级总人数， 如果五、六年级的总人数相等，因为，则六年级参加艺术活动小组的人数多； 如果五、六年级的总人数不相等，那么无法比较两个年级参加艺术活动小组的人数． 故答案为：D． 【变式9-1】（25-26七年级上·湖南娄底·期中）经统计，六（1）班45人中一学期课外阅读量达到10本以上的有9人，5~10本的有30人，5本以下的有6人．下面能正确反映六（1）班一学期课外阅读量情况的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形统计图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意可分别得出一学期课外阅读量达到10本以上、5～10本、5本以下的人数占比，进而可得答案． 【详解】解：由题意知，一学期课外阅读量达到10本以上的人数占比为， 5～10本的人数占比为， 5本以下的人数占比为， ∴能正确反映六（1）班一学期课外阅读量情况的是B选项． 故选：B． 【变式9-2】（25-26六年级下·黑龙江大庆·期中）下面是六（1）班同学生日所在季节的扇形统计图． （1）六（1）班同学生日在春季的人数占六（1）班总人数的______．（填分数） （2）六（1）班同学生日在哪个______季节的人数最多． （3）已知六（1）班同学生日在冬季的人数比秋季的人数多______（填百分数） 【答案】 夏季 【分析】本题考查扇形图，百分数的应用，从扇形图中获取信息是解题的关键： （1）根据各部分的百分比之和为1，进行求解即可； （2）直接根据扇形图作答即可； （3）用冬季的百分数减去秋季的百分数再除以秋季的百分数，进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）由图可知，六（1）班同学生日在夏季的人数最多； 故答案为：夏季； （3）； 故答案为：． 【变式9-3】（25-26六年级下·上海·期中）从下面统计图中可以看出，种( )的面积最大，种( )的面积最小．如种南瓜的面积是，那么种茄子的面积是( )． 【答案】 白菜 茄子 【分析】本题考查了扇形统计图、求一个数的百分之几是多少、已知一个数的百分之几是多少，求这个数． 据题意可知，把种植白菜、茄子、南瓜的总面积看作单位“1”，茄子的面积等于“1”减去另外两种蔬菜对应的百分率，再比较三个百分数的大小；根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，用南瓜的面积除以其对应的百分率，得到三种蔬菜的总面积，再根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用三种蔬菜的总面积乘茄子对应的百分率，即可得解． 【详解】解： （） 从下面统计图中可以看出，种白菜的面积最大，种茄子的面积最小．如种南瓜的面积是，那么种茄子的面积是． 故答案为：白菜，茄子，． 【考点10 圆柱与圆锥体积的关系】 【例10】（25-26六年级下·黑龙江大庆·月考）一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积和是72立方分米，这个圆锥比圆柱的体积少___． 【答案】36立方分米 【分析】根据等底等高的圆锥体的体积是圆柱体的体积的，进行求解即可. 【详解】解：设圆锥体的体积为，则圆柱体的体积为， 由题意，得， 解得， 所以圆锥比圆柱的体积少. 【变式10-1】（25-26六年级下·上海·期中）一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍． A．4 B．6 C．8 D．不变 【答案】C 【分析】熟练掌握圆锥的体积公式，是解答此题的关键． 根据圆锥体积公式，计算变化后的体积与原体积的比值即可求解． 【详解】∵ 圆锥体积公式为， 设原圆锥底面半径为，高为，则原体积． 变化后，底面半径变为 ，高变为 ， ∴ 新体积 。 ∴ ． 即体积扩大到原来的 8 倍． 故选：C． 【变式10-2】（25-26六年级下·上海·期中）张明做了一个圆柱形容器和几个圆锥形容器，尺寸如下图所示，将圆柱内的水倒入（ ）号圆锥容器内正好装满． A．① B．② C．③ D．都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱与圆锥体积的关系、圆锥的体积、圆柱的体积． 根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，则当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，水的高是6，即可求出同底圆锥的高．据此解答即可． 【详解】解： 圆锥底面直径与水的底面直径相等，即它们底面积相等，圆锥的高是水的高的3倍，因此它们的体积相等．将圆柱内的水倒入③号圆锥容器内正好装满． 故选：C． 【变式10-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图呈现的是一瓶已经喝了一些的果汁和一只圆锥形玻璃杯．图中．如果把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯中，最多可以倒满________杯．（容器壁厚度忽略不计） 【答案】6 【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积计算．计算出果汁和玻璃杯的体积，再用果汁的体积除以玻璃杯的体积即可得到答案． 【详解】解：（杯） ∴最多可以倒满6杯， 故答案为：6． 【考点11 圆柱圆锥的浸没问题】 【例11】（2025七年级下·江苏无锡·期中）如图，把一个底面半径，高的圆锥体铁块放入到装有水的圆柱形容器中，完全沉没且没有水溢出，已知圆柱的内直径是，铁块放入后水面会上升__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱与圆锥的体积计算问题，根据铁块的体积不变，那么铁块的体积即圆柱形容器中上升的水的体积，是解答此题的关键所在． 先根据“圆锥的体积=”求出铁块的体积，进而抓住不变量，铁块的体积不变，铁块的体积即圆柱形容器中上升的水的体积，根据“圆柱的底面积=”求出圆柱底面积，进而根据“铁块的体积÷圆柱的底面积=水面上升的高度”进行解答即可． 【详解】解： （厘米）． 故答案为：． 【变式11-1】（25-26六年级下·上海·期末）如图，一个底面半径为的圆柱形容器，里面装有水，水面高度为，将一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块（圆柱铁块和圆锥铁块的底面半径相等，高相等）同时放入这个容器中，水面上升到，这个圆柱形铁块的体积为________（结果保留π）    【答案】 【分析】本题考查圆锥和圆柱体的体积，根据圆锥体是圆柱体体积的，以及圆锥和圆柱体的体积之和为上升的水的体积，进行求解即可． 【详解】解：因为圆柱铁块和圆锥铁块的底面半径相等，高相等， 所以圆锥铁块的体积是圆柱铁块的， 所以的圆柱铁块的体积， 所以圆柱形铁块的体积为； 故答案为：． 【变式11-2】（2025六年级下·上海·期中）如图所示的容器中放入底面相等并且高都是分米的圆柱和圆锥形铁块，根据图（）图（）的变化知，圆柱形铁块的体积是 ________立方分米． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积公式，圆柱和圆锥的体积公式可知，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的，设圆柱的体积是立方分米，则有，解方程即可求出圆柱形铁块的体积． 【详解】解：由圆柱和圆锥的体积公式可知，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的， 设圆柱的体积是立方分米， 根据题意得：， 解得：， 圆柱形铁块的体积是立方分米． 故答案为：． 【变式11-3】（2025七年级上·江苏苏州·期中）两个圆柱形容器A、B，容器B的内部底面积是容器A的，将一个底面积为的圆柱形铁块放入容器A中，一个与它等底等高的圆锥形铁块放入容器B中，再以每分钟0.5升的速度分别向两个容器中同时匀速注水，当容器B中的水面到达圆锥的顶端时，容器A的水面正好和容器B的水面一样高；现将两个铁块交换位置，容器B的水面就上升了20厘米，圆锥的体积是______（取放铁块时流失水量忽略不计）；再继续按照原速向两个容器注水，当容器B中水面又上升20厘米时，容器A正好满了．容器A的容量是______． 【答案】 500 3500 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设容器A的底面积为，则容器B的内部底面积是，圆锥和圆柱的高为，根据以每分钟0.5升的速度分别向两个容器中同时匀速注水，当容器B中的水面到达圆锥的顶端时，容器A的水面正好和容器B的水面一样高，列出方程，解方程求出x的值，再根据将两个铁块交换位置，容器B的水面就上升了，列出关于h的方程，求出，再求出圆锥的体积，根据再继续按照原速向两个容器注水，当容器B中水面又上升20厘米时，容器A正好满了，求出容器A的容积即可． 【详解】解：设容器A的底面积为，则容器B的内部底面积是，圆锥和圆柱的高为，根据题意得： ， 解得：， ∵将两个铁块交换位置，容器B的水面就上升了， ∴， 解得：， ∴圆锥的体积为：； 又注入容器B中水的体积为：， ∵注水速度相同， ∴又注入容器A中水的体积为：， ∴容器A的容积为： ． 故答案为：500；3500． 【考点12 由二元一次方程（组）的解求参数】 【例12】已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 【变式12-1】已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为______． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 【变式12-2】在一本书上写着方程组的解是，其中P，□被墨汁盖住了，不过，我们仍可解出P的数值为______. 【答案】- 【分析】将x=5代入x+y=1，可求得y的值，将x，y’的值代入x+py=2，即可求得p的值 【详解】解：将x=5代入x+y=1，得y=-4；将x=5，y=-4代入x+py=2中得：5-4p=2，解得p=- 【点睛】解答本题的突破口在于找到将x代入x+y=1中求得y，进而才可求P. 【变式12-3】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c写错而解得，则a=_____，b=_____，c=_____． 【答案】 ﹣2 ﹣2 ﹣2 【详解】分析：先把代入得 ，由方程组中第二个式子可得：c=-2，然后把解代入ax+by=-2即可得出答案． 解答：解：把代入， 得，解得，c=-2． 再把代入ax+by=-2， 得 ， 解得： ， 所以a=-2，b=-2，c=-2． 故答案为-2，-2，-2． 点评：本题考查了二元一次方程组的解，难度适中，关键是对题中已知条件的正确理解与把握． 【考点13 二元一次方程（组）与几何图形综合】 【例13】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中．若⑤为正方形，则②的周长为_____；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为______． 【答案】 8 1.4 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，利用整体代入求值． 设，，，，通过长方形的周长为16，则，求出⑤的长和宽为和，再通过⑤为正方形，即可求解②的周长为；长方形①的周长为9.4，则，得，由⑤的长和宽为和，即可求⑤的长与宽之差． 【详解】解：设，，，， ∵长方形的周长为16， ∴， 则⑤的长和宽为：和， 若⑤为正方形， 则， ∴， ∴， ∴②的周长为， 故答案为：8； ∵①的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵⑤的长和宽分别为和， ∴⑤的长与宽之差为， 故答案为：1.4． 【变式13-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O在上，与互补，平分平分，若与互余，则的度数为_______． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了角平分线、余角与补角、几何图形中的角度计算、二元一次方程组的应用等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 设，，由角平分线的定义可得，则；再根据与互余可得①；然后根据与互补可得②，①②联立求得x的值即可解答． 【详解】解：设，， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵与互余， ∴，即①； ∵与互补， ∴，即②， ①②联立可得：，解得：， ∴． 故答案为：． 【变式13-2】（2025八年级上·全国·专题练习）茶园现有两种包装礼盒，两种礼盒均可装盒一样的小盒茶叶．若装在如图①所示的长方形礼盒中，刚好装满；若装在如图②所示的正方形礼盒中，中间会留一个边长为的小正方形空隙．则图②中正方形礼盒的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据图形中的等量关系列出方程组是解题的关键．设小盒茶叶的长为，宽为，根据图①和图②的包装情况列出方程组，求解出、，进而得出正方形礼盒的边长． 【详解】解：设小盒茶叶的长为，宽为． 由得，代入得 正方形礼盒边长为（） 故选：． 【变式13-3】现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图③可知3个小长方形的宽与1个小长方形的长的和等于大长方形的宽，小长方形的4个长等于小长方形的3个长与3个宽的和，可列出关于a，b的方程组，解方程组得出a，b的值；利用a，b的值分别求得阴影部分面积与整个图形的面积，即可求得影部分面积与整个图形的面积之比． 【详解】解：根据题意、结合图形可得： ， 解得：， ∴阴影部分面积， 整个图形的面积， ∴阴影部分面积与整个图形的面积之比， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并利用大长方形的长与宽和小长方形的关系建立二元一次方程组是解题的关键． 【考点14 利用二/三元一次方程（组）解决实际问题】 【例14】（25-26七年级上·广西崇左·期末）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设A的标价为x元，B的标价为y元，根据第一次和第二次购买的总价建立方程组求出A、B的标价；然后设商店是打a折出售，由打折销售的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设A的标价为x元，B的标价为y元， 由题意，得, 解得：， 所以，A的标价为90元，B的标价为120元． 设商店是打a折出售这两种商品，由题意得，， 解得：． 答：商店是打6折出售这两种商品的． 故选：B． 【变式14-1】（24-25七年级上·重庆·期末）簪花在我国已有两、三千年的历史．热爱传统文化的涵涵购买了若干支丁香花、海棠花、玉兰花用于手工制作三款簪花头饰各一套（每款均用到三种花）．已知每款簪花中海棠花的用量等于玉兰花用量．A款丁香花用量为3枝，B款丁香花用量比C款丁香花用量少2枝；A款中玉兰花的用量为2枝，B款玉兰花的用量是它的丁香花用量的3倍；制作完成后统计发现，三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为．已知每款簪花成本等于所用花朵成本之和．若每枝丁香花、海棠花、玉兰花的成本分别是元、元、元，则C款簪花的成本是________元（用含、、的代数式表示）．若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，则C款簪花的成本是________元． 【答案】 79 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，二元一次方程组的应用，正确求解二元一次方程的整数解及利用整体思想求解二元一次方程组是解题的关键． 设B款丁香花的用量为x枝，C款玉兰花的用量为y枝，则可求出每种款式簪花各种花的用量，再根据三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为，可列出方程，化简得，可求得x与y的值，即可进一步求得答案；若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，可列方程组，求解方程组得，将此解代入计算，即得答案． 【详解】解：设B款丁香花的用量为x枝，C款玉兰花的用量为y枝， 则三款簪花的用量可列表为： A款 B款 C款 丁香花（枝） 3 x 海棠花（枝） 2 y 玉兰花（枝） 2 y 所以， 化简，得， ，， 可求得方程的正整数解为， 故C款簪花的成本是（元）； 故答案为：； 同时，A款簪花的成本是（）元，B款簪花的成本是（）元， 若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元， 则， ，得， ， 将代入①，得， 解得， ， 故C款簪花的成本是79元． 故答案为：，79． 【变式14-2】王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为___________．（每个组人数大于1人） 【答案】13 【分析】本题主要考查了方程的应用，分类讨论思想， 先设第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，可得，再根据已知得，然后从讨论，进而得出答案． 【详解】解：设期末考试第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，则， 即， ∴． ∵为正整数，， ∴． 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴或或， ∴； 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴不符合题意，舍去． 随着的值的减小，的值不断增大，不符合题意． 故答案为：13． 【变式14-3】某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ） A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 【答案】B 【详解】解：根据题意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，有9天下雨， 即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨， ①总天数﹣早晨下雨=早晨晴天； ②总天数﹣晚上下雨=晚上晴天； 列方程组， 解得， 所以一共有11天， 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用． 【解答压轴篇】 【考点15 按比例分配应用题】 【例15】（25-26七年级上·河南郑州·期中）【按比分配】制造一个零件，甲需分钟，乙需分钟，丙需分钟．现在有个零件的制造任务分配给他们三人，要求在相同的时间内完成，丙应该分配到多少个零件? 【答案】 【分析】本题考查了按比例分配应用题；解答本题的关键是根据“同一时间内，工作效率的比等于工作总量的比”，求三人工作量的比，再根据比与分数的关系分别求出三人分的零件个数占零件总数的几分之几，再根据分数乘法的意义列式解答． 【详解】解：甲，乙，丙三人工作量的比是：， 甲分配的零件：个， 乙分配的零件：个， 丙分配的零件：个， 答：丙分配的零件为个. 【变式15-1】（2025七年级下·四川成都·期中）（比例应用题）疫情期间，志愿者要给某封控小区地面和门窗进行消杀，按照说明：的消毒液需要加入的水，按照此方法，如果用的消毒液，需要加入多少升水？（用比例解答） 【答案】升 【分析】此题考查了比例的应用，设需要加入x水，根据题意得到，则，解方程即可. 【详解】解：设需要加入x水， 则 则， 解得， ， 答：需要加入升水. 【变式15-2】（2025七年级上·上海·期中）甲、乙、丙三人的彩球数的比例为，甲给了丙30个彩球，乙也给了丙一些彩球，比例变为．乙给了丙多少个彩球？ 【答案】5个 【分析】根据甲给丙的彩球个数列出算式，求出总的彩球个数，然后分别求出乙原来有球的个数和给丙以后还有球的个数，再求出结果即可． 【详解】解：彩球的总个数为： （个）， 乙给丙的彩球个数为： （个）． 答：乙给了丙5个彩球． 【点睛】本题主要考查了比的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 【变式15-3】（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）2014年底南水北调中线工程开始从丹江口水库引水，向京（北京）津（天津）冀（河北）豫（河南）等地供水． (1)如图，使用南水北调中线工程调水时，水流的大体走向是（   ）． A．自西南向东北    B．自东南向西北    C．自东北向西南    D．自西北向东南 (2)根据南水北调中线一期工程水量分配方案，丹江口水库将输出95亿立方米的水，京津冀豫四省市按的比例进行分配，请计算一期工程河南省可分配到的水量是多少亿立方米？ 【答案】(1)A (2)38亿立方米 【分析】本题考查方向与位置，比例的应用． （1）丹江口水库大约在西南方向，而北京、天津、河北、河南在丹江口的东北方向，据此可知使用南水北调中线工程调水时，水流的大体走向是自西南向东北； （2）根据比例分配，利用分数乘法求出河南省可分配到的水量即可． 【详解】（1）解：使用南水北调中线工程调水时，水流的大体走向是自西南向东北． 故选：A． （2）解： （亿立方米）． 答：一期工程河南省可分配到的水量是38亿立方米． 【考点16 百分数经济应用题】 【例16】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）“地摊经济”给城市带来烟火气，小明的爸爸采购了一大批服装准备摆地摊，已知每套服装进价为240元，出售标价为360元，为了吸引顾客，小明爸爸准备打折销售，但要保持利润不低于，那么最少可以打几折？ 【答案】最少打8折 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意，正确的列出不等式，是解题的关键． 设小明爸爸准备打x折销售，根据利润不低于，列出不等式，进行求解即可． 【详解】解：设可打折， 由题意得， 解得：． 则要保持利润不低于，最少打8折． 【变式16-1】（25-26六年级下·上海·期中）个人所得税． 材料一：《中华人民共和国个人所得税法》第三条规定，个人所得税的税率： （一）综合所得（工资、劳务所得等），适用3%至45%的超额累进税率； （二）经营所得，适用5%至35%的超额累进税率； （三）利息、股息、红利所得，财产租赁、转让所得和偶然所得，适用比例税率，税率为20%． （注：超额累进税率：超过指定金额部分按税率缴税；比例税率：按比例缴税．） 材料二：某超市全体员工工资情况如下表． 员工 总经理 副总经理 部门经理 一般员工 人数 1 2 3 32 月工资/元 6000 5000 4000 3000 (1)月收入超过5000元的部分需向国家缴纳个人所得税．根据工资表，该公司哪些员工需要向国家交税？至少应纳税额多少元？ (2)大军是公司的一名一般员工，6月份他除了工资所得，还获得了银行股份分红10000元．六月份他需要缴纳个人所得税吗？如果需要，请算出他的应纳税额． 【答案】(1)总经理；30元 (2)需要；2000元 【分析】此题考查有关纳税的实际问题．明确求一个数的百分之几是多少，用乘法列式，是解答的关键． （1）根据工资表，容易看出，月工资超过5000元的只有总经理1人；用总经理的月工资减去5000元，求出超过5000元的部分，再根据应纳税部分×税率＝应纳税额解答． （2）根据题意：利息、股息、红利所得，财产租赁、转让所得和偶然所得，适用比例税率，税率为20%，大军月工资3000元，这3000元不用纳税，但银行股份分红的10000元应按20%纳税，根据应纳税部分×税率＝应纳税额解答． 【详解】（1）解：（元）． 答：总经理需要交税，至少应纳税额30元． （2）（元）． 答：需要，他应该缴纳2000元． 【变式16-2】（25-26六年级下·上海·月考）春节临近，为促进消费，不同的商家对同种型号的家电产品推出不同的优惠措施．甲电器商店对原售价5000元的某型号彩电采用购买一台按原价的给予返还优惠；乙电器商店推出每满50元就减8元的优惠措施；丙电器商店是先打九折，再减200元的方式促销． (1)如果王大伯要以尽可能低的价格买到这种型号的彩电，他应该去哪个商店？为什么？ (2)如果原售价5000元的某型号彩电都是在进价上加价作为售价，问三家商店这样的促销能盈利吗？最高的盈利率是多少？ 【答案】(1)他应该去乙电器商店 (2)三家商店都能盈利，最高的盈利率是 【分析】（1）根据优惠方案，计算购买的费用，比较求解即可； （2）设某型号彩电进价为x元，根据题意，得，确定进价，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：甲电器商店对原售价5000元的某型号彩电采用购买一台按原价的给予返还优惠； 费用为：（元）； 乙电器商店推出每满50元就减8元的优惠措施， 费用为：（元）； 丙电器商店是先打九折，再减200元的方式促销， 费用为：（元）； 且， 故去乙电器商店更优惠． （2）解：设某型号彩电进价为x元，根据题意，得， 解得， 根据题意，得， 故三家商店这样的促销都盈利； 根据题意，丙商店售价最高，为4300元，其盈利也最高；乙商店售价最低，为4200元，其盈利也最低． 且最高盈利率为． 答：三家商店都能盈利，最高的盈利率是． 【变式16-3】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某公司为了激励员工，制定了分段奖励机制，就是根据员工每个月的销售业绩按一定的百分比进行提成，具体方案如下： 普通员工每月的基本工资是2000元． 月业绩在10000元以下的（包括10000元），没有提成； 月业绩超过10000元的，提成如下： A：超过的部分在0～10000元的（含10000元），超出部分按提成； B：超过的部分在10000～50000元之间的（含50000元），按提成： C：超过的部分大于50000元的，按提成． 根据以上奖金机制，回答下列问题： (1)员工甲上个月的销售业绩是35000元，他将得到多少奖金？ (2)员工乙是上个月该公司的销售状元，销售业绩是20万元，他上个月的收入是多少？ (3)员工丙上个月得到的提成奖金是4200元，她上个月的业绩是多少？ 【答案】(1)800元 (2)12200元 (3)100000元 【分析】本题考查百分数的实际应用以及分段计费问题，弄清楚每段的临界点和每段的提成标准，然后根据百分数乘法、除法的意义列式计算． （1）确定员工业绩超出10000元的部分，再根据所在A区间的提成比例计算奖金； （2）确定员工业绩超出10000元的部分，再根据所在区间的提成比例计算收入； （3）根据题意可得她上个月的业绩超过60000元，再求出超出部分所得奖金，即可求解． 【详解】（1）解： 元， 即他将得到800元奖金； （2）解：元， 奖金为元， 所以他上个月的收入是元； （3）解：若她上个月的业绩不超过60000元，则 奖金最多为元，不符合题意， ∴她上个月的业绩超过60000元， ∴超出部分所得奖金为元， ∴她上个月的业绩为元． 【考点17 比例尺与地图问题】 【例17】（25-26六年级下·上海·期中）青白江区城市森林和谐广场位于青白江区华金大道二段，是青白江百姓休闲、娱乐的重要场所．把它绘制在比例尺为1∶5000的地图上，该广场平面图是一个长约是5厘米，宽约是3厘米的长方形．请问该广场实际面积约是多少平方米？ 【答案】37500平方米 【分析】本题考查了图上距离与实际距离的换算、长方形的面积． 由题可知该广场的长和宽的图上距离分别是5厘米和3厘米，根据公式：实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据进行计算，可以求出该广场的长和宽的实际距离，再根据1米＝100厘米进行单位换算，最后根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出该广场实际面积，据此解答． 【详解】解：（厘米）， （厘米）， 25000厘米＝250米，15000厘米＝150米， （平方米）． 答：该广场实际面积约是37500平方米． 【变式17-1】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）在比例尺是的地图上，量得A、B两地的公路线长为7.5厘米，一辆客车与一辆货车分别从A、B两地相对开出，3小时后两车相遇，客车每小时行85千米，货车每小时行多少千米？ 【答案】货车每小时行65千米 【分析】本题考查了比例尺，相遇问题等知识；由比例尺求出两地的实际距离，再根据相遇问题即可求解． 【详解】解：A、B两地的公路线实际长为：（厘米）， 45000000厘米千米， （千米/小时）， 答：货车每小时行65千米． 【变式17-2】（25-26六年级下·浙江杭州·期末）下面是一套比例尺为的住房平面图，图纸上量得相应长度如图． (1)空白部分是客厅，这套住房的客厅面积是多少？ (2)如果要在客厅四周墙面贴墙纸，客厅高3米，门窗部分面积约，那么贴墙纸部分的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例尺的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）先将单位换算，再根据客厅的面积等于正方形的面积加上长方形的面积求解即可； （2）先求出客厅的周长，再求面积，最后减去门窗的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴这套住房的客厅面积是； （2）解：． 【变式17-3】（25-26七年级上·四川眉山·期末）阅读材料： 材料一：如何将中国的版图完整的画在纸上，并精准把握每一块区域的大小？如何画出一张精确的房屋或器械设计图，使每一个局部的大小都恰到好处？这些工作都需要“比例”大显身手，有了它，地理专家才能将山川河流“收入”背上的行囊，建筑师才能让纸上的草图变成精妙的成品． 材料二：比例尺=图上距离：实际距离，通常表示为1：m的形式． 解答问题： (1)数学兴趣小组借助于“眉山市地图”了解仁寿县政府与眉山市政府的距离（如图1） ①该地图的比例尺为： ②某同学在地图上测得，仁寿县政 府与眉山市政府的直线距离约为，那么根据比例尺可以计算出，仁寿县政府与眉山市政府的实际直线距离约为多少？ (2)某房地产开发公司准备修建房屋，如图，需要绘制图纸．如果按照1∶20的比例尺来绘制，且标识面积占房屋面积的，则至少需要多少平方米的专业绘图纸？（标注数据的单位为 mm ，结果精确到 0.01） 【答案】(1)①；②30.6 (2)0.35 【分析】本题考查了比例尺的应用． （1）①根据“眉山市地图”可知，该地图的比例尺； ②设仁寿县政府与眉山市政府的实际直线距离约为x，根据比例尺得，进而即可求出答案； （2）根据图纸可知，房屋的长和宽，由1∶20的比例尺可得，房屋在图纸上的长和宽，进而即可求出图纸面积． 【详解】（1）解：①根据“眉山市地图”可知，该地图的比例尺为：； ②设仁寿县政府与眉山市政府的实际直线距离约为x， 仁寿县政府与眉山市政府的直线距离约为， 根据比例尺可以计算出，， 解得， ， 仁寿县政府与眉山市政府的实际直线距离约为30.6； （2）根据图纸可知， 房屋的长为：， 宽为：， 则房屋在图纸上的长为， 宽为：， 图纸面积为：， 需要图纸的面积为平方米． 【考点18 比与比例的综合应用题】 【例18】（25-26六年级下·上海·期中）用比例的知识解决问题：某中学开展艺术节，活动包含话剧表演和舞蹈表演，参加话剧表演的人数与参加舞蹈表演的人数比是．现因话剧表演的剧本修改，从参加舞蹈表演的学生中调6人到话剧表演队后，那么两支演出队伍的人数比是．如果每人只能参演一个表演节目，那么最终参加话剧表演和舞蹈表演的学生分别为多少人？ 【答案】最终参加话剧表演的学生为15人，参加舞蹈表演的学生为27人 【分析】根据原来的人数比设出未知数，再根据调动后的人数比是列出比例式，利用比例的基本性质求解即可，按原来的比例设参数可简化计算过程． 【详解】解：设原来参加话剧表演的人数为，原来参加舞蹈表演的人数为， 根据题意，调动后话剧表演人数为，舞蹈表演人数为，人数比为， 列比例式得， 根据比例的基本性质交叉相乘得， 展开得， 整理得， 解得， 因此最终话剧表演人数为（人），最终舞蹈表演人数为（人）． 答：最终参加话剧表演的学生为15人，参加舞蹈表演的学生为27人． 【变式18-1】（25-26六年级下·上海嘉定·期中）甲、乙两人二月存款之比为，三月甲又存了300元，乙取出100元，这时两人存款之比为，那么甲、乙两人二月各存了多少钱？ 【答案】 甲二月存了3450元，乙二月存了4600元. 【分析】根据甲乙二月存款的比例设未知数，再根据三月的存款比例列出一元一次方程，利用比例的基本性质求解，得到未知数后计算出二人二月的存款数. 【详解】解：因为甲乙二月存钱之比为， 所以设甲二月存钱元，则乙二月存钱元， 由题意，三月甲存款为元，乙存款为元， 因为两人存款之比为， 所以， 解得：， 故，； 答：甲二月存了3450元，乙二月存了4600元. 【变式18-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）（工程问题）甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元? 【答案】甲：270元   乙：90元 【分析】本题考查工程问题与比例问题，关键是算出每人工资多少，以及甲、乙原来应派人数，先求出丙村应派出人数及每人工资，再求出甲村应派出人数，即可求出结论． 【详解】解：丙村应派出人数：人 每人工资： (元)； 甲村应派出人数：人 甲应得：元， 乙应得：元， 即甲、乙两村各应分得270元、90元． 【变式18-3】（25-26六年级下·上海·期中）有三个水桶，它们的总容积是升，现两桶装满水，桶是空的；小明发现若将桶水的全部和桶水的倒入桶，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，都可以将桶恰好装满．求： (1)A桶和B桶容积的比是多少？ (2)三个水桶的容积各是多少？ 【答案】(1)A桶和B桶容积的比是 (2)桶的容积是480升，桶的容积是400升，桶的容积是560升 【分析】本题考查了比例的应用；关键在于根据题目数量关系列出比例式，进而计算出每个水桶的容积之比，然后进行解答． （1）根据题意可得桶水的等于桶水的，即A桶和B桶容积的比是， （2）根据桶水为桶水，进而得出A、B、C桶容积的比是，结合三个水桶，它们的总容积是升，按比例分配进行计算即可求解． 【详解】（1）解：将桶水的全部和桶水的倒入桶， 或将桶水的全部和桶水的倒入桶， ∴桶水的等于桶水的 ∴桶水的全部等于桶水的 ∴A桶和B桶容积的比是 （2）解：设 A桶和B桶容积分别为，则即 将桶水的全部和桶水的倒入桶，可以将桶恰好装满． ∴ ∴ ∴A、B、C桶容积的比是 ∵三个水桶，它们的总容积是升， ∴桶容积是 升， 桶容积是升， 桶容积是升， 答：桶的容积是480升，桶的容积是400升，桶的容积是560升． 【考点19 圆周长与弧长计算】 【例19】（25-26六年级下·湖南衡阳·期中）王阿姨是一位运动达人，她喜欢跑步和骑自行车．如图是王阿姨5月27日早晨户外跑步情况．其中平均配速是指跑步过程中平均每公里所需的时间，是衡量跑步效率的重要指标．（“公里”又称“千米”） (1)这天早晨王阿姨户外跑步的平均配速是多少分/公里？ (2)王阿姨的自行车前轮大，后轮小（如图2）．前轮的直径是厘米，后轮的直径是厘米，每个轮子都有一条通过轴心的标记线．在车子骑行前的一刹那，两个轮子的标记线正好都与地面垂直，前轮至少转动圈后，两根标记线又会同时与地面垂直，此时自行车骑行了米．（取） (3)5月28日早上王阿姨骑自行车早锻炼，自行车显示器显示后轮平均每分钟转动圈，她骑行的速度是米分（取）．如果骑自行车平均每分钟消耗的热量为千卡，那么要达到月日早晨跑步的总消耗量，王阿姨大约需要绕着原跑步路线骑行多少圈？（结果保留整数） 【答案】(1)这天早晨王阿姨户外跑步的平均配速是分/公里 (2)， (3)她骑行的速度是米/分（取）．如果骑自行车平均每分钟消耗的热量为千卡，那么要达到月日早晨跑步的总消耗量，王阿姨大约需要绕着原跑步路线骑行圈 【分析】本题考查的是圆周长的应用． （1）用除以，即可解答； （2）根据圆周长直径，求出它们的周长，再写出它们的比，再化简，再用后轮的周长前轮的圈数，即可解答； （3）用后轮的周长乘，再除以，用后轮的周长乘，再用除以后轮的周长乘，即可解答． 【详解】（1）解：（分/公里） 答：这天早晨王阿姨户外跑步的平均配速是分/公里． （2）（厘米） （厘米） （厘米） 厘米米 答：前轮至少转动圈后，两根标记线又会同时与地面垂直，此时自行车骑行了米． 故答案为：，． （3）（厘米/分） 厘米/分米/分 （分钟） 公里厘米 （圈） 答：她骑行的速度是米/分（取）．如果骑自行车平均每分钟消耗的热量为千卡，那么要达到月日早晨跑步的总消耗量，王阿姨大约需要绕着原跑步路线骑行圈． 【变式19-1】（25-26六年级下·上海·期中）综合实践题：变速自行车中的数学奥秘 请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮．前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进．变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为、，后齿轮齿数为、、、、，后轮直径厘米． (1)①计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿_____． ②若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)①小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动圈． ②小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明需每分钟蹬多少圈？ 【答案】(1)①；②前齿轮齿，后齿轮齿；前齿轮齿后齿轮齿 (2)①，，；②自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是千米和千米； (3)小明需每分钟蹬圈圈 【分析】本题主要考查了圆的周长和面积的有关计算，分数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算公式，准确计算即可． （1）①根据题意化简比，即可求解； ②根据比的性质求出组合，根据比例式验证，即可求解； （2）①根据传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快，应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，进而根据前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数，即可求解； ②分别求得最小传动比和最大传动比，计算后轮的周长，进而求得最大距离和最小距离，注意单位的换算； （3）先转化单位，进而求得后轮要转的圈数，根据传动比，即可求解． 【详解】（1）解：①前齿轮齿后齿轮齿 故答案为：． ②前齿轮齿，后齿轮齿；前齿轮齿后齿轮齿 ∵ ∴ （2）①明想在上坡时更省力，传动比越小越省力， ∴应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为 ∵前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数 解得： ∴此时踏脚蹬一圈，后轮转动圈 故答案为：，，． ②小明的自行车前齿轮齿数为、，后齿轮齿数为、、、、， ∴最小传动比为： 最大传动比为： 小明以每分钟圈的速度蹬踏脚， ∵后轮直径厘米 ∴每分钟，后车轮前进的最少距离为：米，最大距离为：米 ∴自行车每小时行驶的最小距离为：千米，自行车每小时行驶的最大距离为：千米 （3）解：千米/小时 ∵后轮直径厘米 ∴后轮要转圈 ∵传动比， ∴小明需每分钟蹬圈圈 【变式19-2】（25-26九年级下·上海·期中）如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，…的圆心依次按A，B，C，D循环．当时，曲线的长度是多少？ 【答案】 【分析】首先根据题意得出扇形半径，进而利用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意可得出：，，，， 曲线的长度＝ ． 答：当时，曲线的长度是． 【点睛】此题主要考查了弧长计算公式应用，根据题意得出扇形半径是解题关键． 【变式19-3】（25-26九年级上·重庆长寿·期末）路口导向线是一个交通指示，是指车辆转弯时必须沿导向线有序行驶．如图1中的虚线，就是一个左转弯导向线． (1)如图2，车辆在一个十字路口时，既有左转弯导向线，也有右转弯导向线．如图3，已知左转弯导向线和右转弯导向线的圆心分别为点和点，且半径和分别为10米和4米，圆心角都为，求比长多少（结果保留）？ (2)如图4，已知五边形是一个商场，为地下车库入口，一个小汽车沿道路标线的方向驶向车库入口，途中没有红绿灯．已知和为笔直道路，且米，左转弯导向线和的圆心分别为点和点，且半径和均为10米，圆心角分别为，，汽车在笔直道路上的行驶速度为14米／秒，在左转弯时，为了安全起见，速度降为5米／秒，求该小汽车沿着标线从行驶到车库门口的行驶时间为多少秒（取3.14，汽车加速和减速的时间忽略不计）？ 【答案】(1)米 (2)秒 【分析】本题考查了弧长公式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接利用弧长公式，代入计算即可； （2）先计算的长为：（米），的长为：（米），再分别计算在笔直道路和转弯处行驶时间即可． 【详解】（1）解：的长为：（米）， 的长为：（米）， 且（米）． 比长米； （2）解：的长为：（米）， 的长为：（米）， 则该小汽车沿路线行驶的时间为： （秒）． 【考点20 圆与扇形组合图形面积】 【例20】（25-26六年级下·上海·期中）如图，长方形建筑物，一只狗拴在墙角处，不能够进入长方形内部，长方形长 米，宽为 米，绳子长 米，求出小狗活动的范围有多少平方米？ 【答案】小狗活动的范围有平方米． 【分析】此题主要考查的是圆的面积公式的灵活应用．根据题意，小狗能到达的面积是由三部分组成，一部分是以6米为半径的圆的面积，另一部分是以为半径的圆的面积，最后一部分是以为半径的圆的面积，根据圆的面积公式进行计算，最后再把三部分的面积相加即可得到答案． 【详解】解： （平方米）． 答：小狗活动的范围有平方米． 【变式20-1】（25-26六年级下·上海杨浦·期末）（1）如图1，是等边三角形，曲线……叫做“等边三角形的渐开线”，曲线的各部分均为圆弧．设的边长为3厘米，求前5段弧长的和（即曲线的长）是多少厘米？ （2）如图2，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为400厘米的正方形，拴狗的绳子长18米．现狗从点A出发，将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？ 【答案】（1）厘米；（2）米． 【分析】（1）利用弧长公式计算．但要先确定弧所对的圆心角都是120度，半径却在不断的增大，第一次是3厘米，第二次是6厘米，第三次是9厘米，依此下去第五次是15厘米，总和就是把五段弧加起来； （2）分别以B为圆心，为半径跑到F点，以E为圆心，为半径跑到G点，此时跑的距离是，以D为圆心，为半径跑到H点，此时距离是，以C为圆心，为半径跑到K点，此时距离是，以B为圆心，为半径跑到点L，此时距离是，求出总距离即可． 【详解】（1）解：前5段弧长的和（即曲线的长）是： （厘米）． 故前5段弧长的和（即曲线的长）是厘米． （2）解：以B为圆心，为半径跑到F点，此时跑的距离是， ∵，， ∴， 以E为圆心，为半径跑到G点，此时跑的距离是， ∵，， ∴， 以D为圆心，为半径跑到H点，此时距离是 ， ∵，， ∴， 以C为圆心，为半径跑到K点，此时距离是， ∵，， ∴， 以B为圆心，为半径跑到点L，此时距离是， ∴， ∴将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑米． 【点睛】本题考查了圆的应用和弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），等边三角形和正方形的性质，确定每一段弧所在圆的半径是解题的关键． 【变式20-2】（25-26六年级下·上海闵行·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） （1）已知线段，一个半径长为的圆，沿着滚动，则扫过的面积是___________ 组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留） （2）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着 的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着 的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着 的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是___________． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）扫过的面积即为一个长为，宽为圆的直径的长方形面积和一个半径长为的圆的面积； （2）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积； （3）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积； （4）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上扇形的面积，而扇形的面积是半径是、圆心角是． 【详解】解：（1）由图得，扫过的面积即为一个长为，宽为圆的直径的长方形面积和一个半径长为的圆的面积， 扫过的面积是． 故答案为：． （2）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积， 扫过的面积 （3）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上转弯处一个圆心角为直角，半径为2的扇形的面积， 扫过的面积． （4）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上扇形的面积，而扇形的面积是半径是、圆心角是， 扫过的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是含圆的组合图形的面积计算、扇形的面积公式，解题关键是理清楚圆的滚动过程． 【变式20-3】（25-26六年级下·上海松江·期中）定义：分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的封闭图形称为“圆弧三角形”．例如：如图1，等边的边长为a，分别以点A、B、C为圆心，a为半径画弧，则弧、弧、弧围成的图形就是“圆弧三角形”．（以下计算结果保留π） (1)等边的边长a为时，求“圆弧三角形”的周长； (2)如图2，在第（1）题的条件下，“圆弧三角形”上有一个直径为的圆O．“圆弧三角形”保持不动，圆O紧贴“圆弧三角形”的外侧滚动一周． ①求圆心O经过的路程长； ②直接写出圆O所扫过区域的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了圆的滚动问题，涉及弧长公式和扇形面积公式，难度较大，正确理解题意，找出滚动的路径和扫过的图形是解题的关键． （1）根据题意可得，再根据弧长公式即可求解； （2）①根据圆心O经过的路径长为，再由弧长公式求解即可； ②可知阴影部分的面积就是圆O所扫过的区域面积，则，再由扇形面积公式求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 答：“圆弧三角形”的周长为； （2）解：直径为的圆O，其半径为. ①如图： 圆心O经过的路径长为 ， 答：圆心O经过的路径长为； ②如图，阴影部分的面积就是圆O所扫过的区域面积： ∴ 答：圆O所扫过区域的面积为． 【考点21 统计图表分析与计算】 【例21】（25-26六年级下·山东淄博·期末）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式，其计算公式：（）其中表示体重（），表示身高（）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，某数学实践小组开展了调查． 等级 偏瘦A 标准B 超重C 肥胖D 男 女 【数据收集、数据整理】小组成员通过问卷调查，收集数据，并绘制统计图． 【问题解决、作出决策】根据以上信息，解决下列问题： (1)本次调查的总人数为____________； (2)补全条形统计图； (3)一位男生的身高为，体重为，则他的体重指数属于____________等级；（请从A、B、C、D中选择一个填写） (4)若该校共有2000名学生，估计全校体重指数等级为“肥胖”的学生约为____________人． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)B (4)120 【分析】本题考查了画条形统计图，读取条形统计图与扇形统计图的信息，以及由样本所占百分比估计总体的数量，解决本题的关键是读懂条形统计图与扇形统计图． （1）根据条形统计图可知超重C组男女生共13人，根据扇形统计图可知超重C组占比，由此求解总人数即可； （2）根据总人数为100人，计算标准B组中女生人数即可； （3）根据体重指数的计算公式计算即可； （4）先计算出肥胖D的占比，再根据全校总人数计算即可． 【详解】（1）解：∵由条形统计图可知超重C组男女生共13人， 由扇形统计图可知超重C组占比， ∴调查的总人数为人； 故答案为：100； （2）解：总人数为100人， 偏瘦A组共10人，标准B组男生32人，超重C组共13人，肥胖D组共6人， ∴标准B组中女生人数为人， 条形统计图如下： （3）解：∵一位男生的身高为，体重为， 由体重指数计算公式：（）， ∵该男生的体重指数满足， ∴他的体重指数属于B等级； 故答案为：B； （4）解：∵肥胖D的占比为， ∵全校人数共2000人， ∴全校体重指数等级为“肥胖”的学生约为人． 故答案为：120． 【变式21-1】（25-26六年级下·河北邯郸·期末）刘朋同学对他所在学校六年级所有同学的上学方式进行了调查，以下是他根据调查后的数据绘制的统计图． (1)刘朋同学所在的学校六年级一共有（    ）名学生，请将条形统计图补充完整． (2)乘坐公交车上学的占调查总人数的（    ），乘私家车上学的人数比乘公交车上学的人数多（    ）． 【答案】(1)400，见解析 (2)20，25 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据上学方式为私家车的信息求出总人数，再求出步行的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘坐公交车的人数除以参与调查的总人数，用乘私家车上学的人数减去乘公交车上学的人数，然后除以乘公交车上学的人数即可． 【详解】（1）解： ∴刘朋同学所在的学校六年级一共有400名学生， ∴步行的人数为（名）， 补全统计图如下： （2）解：， ∴乘坐公交车上学的占调查总人数的； ∴乘私家车上学的人数比乘公交车上学的人数多． 【变式21-2】（25-26六年级下·上海·期中）某小学在课后延时服务时间开展了丰富多彩的“素养课程”．小智同学对六年学生参加“素养课程”的情况作了统计，并绘制出两种统计图． ①根据图中信息，求出参加音乐类课程人数，并在图中将音乐类的条形统计图补充完整． ②算一算参加美术类课程的人数比参加体育类课程的人数多百分之几？ ③你还能提出什么数学问题并解答？ 【答案】①76，见详解；②；③参加其他类课程人数比参加体育类课程人数少百分之几？；（答案不唯一） 【分析】本题考查了统计图、求一个数比另一个数多/少百分之几、扇形统计图的特点及绘制、“提问题”“填条件”问题 ①把“素养课程”的总人数看作单位“1”，根据统计图可知，参加美术类课程人数占总人数的，对应的是120人，求单位“1”，用，求出总人数，再用总人数参加体育类课程人数参加美术类课程人数参加其他类课程人数，求出参加音乐类课程人数，补充完整统计图． ②把参加体育类课程人数看作单位“1”，用参加美术类课程人数与参加体育类课程人数的差，除以参加体育类课程的人数，再乘，即可解答． ③参加体育类课程人数比参加其他类课程人数多百分之几？把参加体育类课程人数看作单位“1”，用参加体育类课程人数与参加其他类课程人数差，除以参加体育类课程人数，再乘，即可解答（答案不唯一）． 【详解】①解：（人）， （人）， 如图： ②解： ， 答：参加美术类课程的人数比参加体育类课程的人数多； ③解：参加其他类课程人数比参加体育类课程人数少百分之几？ ， 答：参加其他类课程人数比参加体育类课程人数少．（答案不唯一） 【变式21-3】（25-26七年级上·福建福州·期中）某中学七年级开展“最喜爱的球类运动”调查活动，并根据调查数据绘制了下面两幅不完整的统计图． (1)最喜爱篮球的学生比最喜爱足球的学生多百分之几？ (2)参加本次调查活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)最喜爱篮球的学生比最喜爱足球的学生多； (2)参加本次调查活动的学生人数是人． 【分析】本题考查统计图表的综合应用，百分数的应用． （1）用喜欢篮球的学生数减去喜欢足球的学生数，求人数差占喜欢足球的学生数的百分比即可； （2）由条形统计图可得最喜欢篮球和最喜欢足球的学生数的和，由扇形统计图可得最喜欢篮球和最喜欢足球的学生数的和占总人数的百分比，相除即可得参加本次调查活动的学生人数． 【详解】（1）解： 答：最喜爱篮球的学生比最喜爱足球的学生多． （2）解： （人） 答：参加本次调查活动的学生人数是人． 【考点22 百分数统计意义应用】 【例22】（25-26六年级下·上海·期末）如图是某小学六年级的学生关于“最感兴趣的球类运动”的统计图，已知该学校六年级共有150名学生． (1)对踢足球最感兴趣的有多少名学生？ (2)该学校六年级学生对什么球类运动最感兴趣的人数最多？有多少名学生？ (3)你还能提出什么数学问题？自己提一提并解答． 【答案】(1)36名 (2)羽毛球，48名 (3)不唯一，见解析 【分析】本题考查了扇形统计图，以及百分数的应用，解答关键是找准单位“1”的量，解决本题关键是从图中读出数据，找出单位“1”，再根据基本的数量关系求解． （1）根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用该学校六年级学生人数乘该学校六年级学生对踢足球最感兴趣的人数占该学校六年级学生人数的百分数即可求解； （2）比较百分数大小后即可判断，然后根据（1）的方法即可求解最感兴趣的运动最多的人数； （3）（答案不唯一）该学校六年级学生对打篮球运动最感兴趣的有多少人？同（1）的解法． 【详解】（1）解： （名）， 答：对踢足球最感兴趣的有36名学生． （2）解：，即该学校六年级学生对打羽毛球类运动最感兴趣的人数最多． （名）， 答：该学校六年级学生对打羽毛球类运动最感兴趣的人数最多，最多有48名． （3）解：（答案不唯一）该学校六年级学生对打篮球运动最感兴趣的有多少人？ （人）， 答：该学校六年级学生对打篮球运动最感兴趣的有39人． 【变式22-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一块1000平方米的菜地，3种蔬菜的种植面积分布情况如图所示． (1)表示白菜种植面积的扇形圆心角是多少度？ (2)萝卜的种植面积是多少平方米？ 【答案】(1)表示白菜种植面积的扇形圆心角 (2)萝卜的种植面积是200平方米 【分析】（1）直接用乘以白菜种植面积的百分比即可得到答案； （2）用乘以萝卜种植面积的百分比即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：表示白菜种植面积的扇形圆心角． （2）解：（平方米） 答：萝卜的种植面积是200平方米． 【点睛】本题主要考查了百分数的应用，正确计算是解题的关键． 【变式22-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）如图是鸡蛋各部分质量统计图． (1)从图中我们可以看出：一个鸡蛋中蛋壳的质量约占______，蛋黄的质量约占______． (2)如果一个鸡蛋重60克，这个鸡蛋中的蛋白重多少克？ 【答案】(1)； (2)如果一个鸡蛋重60克，这个鸡蛋中的蛋白重克 【分析】（1）根据扇形统计图的数据即可得到答案； （2）用鸡蛋的重量乘以蛋白的占比即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得一个鸡蛋中蛋壳的质量约占，蛋黄的质量约占， 故答案为：；； （2）解：克， 答：如果一个鸡蛋重60克，这个鸡蛋中的蛋白重克． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图和百分数的应用，正确读懂统计图是解题的关键． 【变式22-3】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国陆地领土面积约为960万平方千米，各类地形面积占全国陆地领土总面积的百分比制成如图所示的扇形统计图． (1)该扇形统计图中，盆地面积占全国陆地领土面积的百分比为___________； (2)东北平原是我国最大平原，其面积约占全国平原总面积的，则东北平原的面积约为___________万平方千米； (3)求全国平原面积比丘陵面积多百分之几？ 【答案】(1)19 (2) (3)全国平原面积比丘陵面积多 【分析】本题考查百分数的应用．正确理解题意是解题的关键． （1）用1减去平原，丘陵，山地，高原所占的百分比即可； （2）用乘以，再乘以即可； （3）用计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：（万平方千米） 故答案为：； （3）解： 答：全国平原面积比丘陵面积多． 【考点23 圆柱表面积与体积计算】 【例23】（25-26六年级下·上海·期中）组成木桶的木板如果长短不齐，那么木桶的盛水量就不是取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板，这就是人们常说的“木桶效应”．如图，一个底面直径为6分米的圆柱形木桶，高4.3分米．这个木桶破损了两处（如图），这个木桶最多能装多少升水？ 【答案】98.91升 【分析】本题考查圆柱的体积，由图可知，这个木桶的破损处距离桶口最深为8厘米，即0.8分米，那么最多盛水的高度为分米，据此根据圆柱的体积，代入数据求出体积，最后把单位转化为升即可． 【详解】解：8厘米分米 （立方分米）， 98.91立方分米升， 答：这个木桶最多能装98.91升水． 【变式23-1】（2025六年级下·上海·期中）如图是一卷家用生活卫生纸，已知纸的宽度是10厘米，中间硬纸轴的直径是3.5厘米．你知道制作一个这样的卫生纸至少需要多少平方厘米的硬纸板来制作纸轴吗？（接缝处忽略不计） 【答案】109.9平方厘米 【详解】本题考查圆柱的侧面积，利用圆柱的侧面积公式求解即可． 【分析】解：由题意得， （平方厘米） 答：制作一个这样的卫生纸至少需要109.9平方厘米的硬纸板来制作纸轴． 【变式23-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）春华商店销售一种圆柱形状的礼品盒，礼品盒的底面直径是厘米，高是厘米． (1)要给礼品盒盒的侧面都贴上一圈包装纸，包装纸的面积是多少平方厘米？（保留） (2)若该礼品盒成本每个元，打八折出售后，每个仍可盈利，求每个礼品盒的标价是多少元？ (3)在（）的条件下，“店庆”期间，商店按标价促销两种活动： 活动一：该礼品盒每个先提价，再在此基础上每满元减元； 活动二：购买的礼盒价钱在元之内时全部打九折，如超过元时，元打九折，超过元的部分打八折． 张鹏想买个这样的礼品盒，他参与哪种活动花钱更少？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)活动一花钱更少，理由见解析 【分析】（）利用圆柱侧面积公式，代入底面直径厘米、高厘米，直接计算出包装纸面积为平方厘米； （）设标价为元，根据“八折售价成本”列方程，解得标价为元； （）先算个礼品盒标价总额为元，分别按活动一“提价后满减”、活动二“元内九折、超元部分八折”计算花费，对比得出活动一更省钱． 【详解】（1）解：∵，， ∴根据圆柱侧面积公式为：， （平方厘米）． （2）解：设每个礼品盒的标价为元， 根据题意：打八折后的售价成本， 列方程：， 解得：， 答：每个礼品盒的标价是元． （3）解：个标价总价格：元， 张鹏买个礼品盒，分别计算两种活动的花费： 活动一：提价后总价：元 ， 满减：， 共减免元 ， 活动一总花费：元． 活动二： 元以内打九折：元 超过元的部分：元， 这部分打八折：元， 实际花费：元 ∵， ∴活动一花钱更少． 答：参与活动一花钱更少． 【变式23-3】（25-26六年级下·黑龙江·月考）瑞瑞糕点店制作了一款如图所示的蛋糕胚，该蛋糕胚整体呈圆柱形，中间有12个底面和高都相同的空心圆柱，图（1）为蛋糕胚实物图，图（2）为抽象图，图（3）为蛋糕胚的俯视图．已知该蛋糕胚底面周长为60厘米，高比底面直径少，内部小圆柱的直径为2厘米．（注：取3） (1)求蛋糕胚的高： (2)求蛋糕胚的体积； (3)为了满足顾客多种口味的需求，蛋糕胚带有蓝莓、草莓、椰子和芒果4种不同口味， 制作工序如下： ①用奶油涂满整个蛋糕胚的侧面形成一个大圆柱如图（3），所涂奶油厚度为； ②将蛋糕胚子沿着图（3）中互相垂直的两条直径平均分成4个区域，将4种不同口味的果酱分别注入小圆柱中（每个区域注入一种果酱），各种原料单价如图表所示： 原料 单价（元/升） 蛋糕胚 15 奶油 20 草莓果酱 14 蓝莓果酱 30 椰子果酱 22 芒果果酱 24 求制作此蛋糕的成本是多少钱？ 【答案】(1)12厘米 (2)3168立方厘米 (3)72.36元 【分析】本题考查圆柱体的体积，熟练掌握体积公式是解题的关键： （1）根据底面周长求出直径，根据高比底面直径少，求出高即可； （2）用总体积减去12个空心圆柱的体积，进行求解即可； （3）根据图3所示，每种果酱注满3个空心小圆柱，可求所需的每种果酱的体积，根据“用奶油涂满整个蛋糕外表面形成一个大圆柱，所涂奶油厚度为”求出奶油的体积，最后用原材料的价格×该体积可得出蛋糕成本． 【详解】（1）解：， （厘米）； 答：蛋糕胚的高为厘米； （2）解： （立方厘米）； 答：蛋糕胚的体积为3168立方厘米； （3）解：果酱：（立方厘米）， V奶油：（立方厘米）， 成本： （元）． 答：制作此蛋糕的成本是72.36元． 【考点24 圆锥表面积与体积计算】 【例24】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）同学们，你们做过“鸡蛋浮起来”的实验吗？这个实验中也有许多数学问题． 实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来 准备材料：一个圆柱形玻璃杯（底面半径为），1个鸡蛋（小），1个鸭蛋（大），一些水和盐． 实验过程：①往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是； ②放入1个鸡蛋，这时水面上升到； ③放入1个鸭蛋，再测量水面高度 观察记录：鸡蛋和鸭蛋都悬浮在水中，如图1所示．水面高度变化和三种物体体积情况分别如图2、3所示． 根据实验所得数据，回答问题（π取3.14） (1)鸡蛋的体积是多少立方厘米？ (2)放入鸭蛋后，水面上升了多少厘米？ (3)从玻璃杯中取出鸡蛋和鸭蛋，再放入一个圆锥体，完全浸没于盐水中，此时玻璃杯内水位无变化（鸡蛋、鸭蛋表面带走的水量忽略不计）．若圆锥底面半径为，求圆锥的高是多少厘米？ 【答案】(1)47.1立方厘米 (2)1厘米 (3)7.5厘米 【分析】（1）鸡蛋的体积等于水面上升高度与杯子底面积的乘积； （2）加入鸡蛋、鸭蛋后，水面上升高度之比等于鸡蛋与鸭蛋体积之比； （3）根据题意，运用等体积模型：圆锥的体积=鸡蛋与鸭蛋的体积之和，运用鸡蛋与鸭蛋的体积之和除以三分之一圆锥的底面积即可． 【详解】（1）解：（立方厘米）， 答：鸡蛋的体积是47.1立方厘米； （2）解：（厘米）， 答：放入鸭蛋后，水面上升了1厘米； （3）解：根据题意，得（厘米）， 答：圆锥的高是7.5厘米． 【变式24-1】（2025九年级·上海·期中）小明家把收获的一堆粮食在门前广场上堆成圆锥形（如图），用皮尺测得底面圆的周长约为，粮食堆成的高度为．为防止淋雨，至少需要多大面积的塑料薄膜才能将其盖住（π取）？ 【答案】至少需要的塑料薄膜才能将其盖住 【分析】先根据底面圆周长求出底面半径，再结合圆锥的高求出母线长，最后利用圆锥侧面积公式计算所需塑料薄膜的面积． 【详解】解：如图，由题意，得． 底面圆的周长约为， ， ， 圆锥的侧面积． 故至少需要的塑料薄膜才能将其盖住． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积计算，掌握先求底面半径和母线长，再利用圆锥侧面积公式求解是解题的关键． 【变式24-2】（25-26七年级下·上海·期末）如图，一种太空设备的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知下半部的圆柱的半径，，母线，上半部的圆锥的高，母线，该太空设备在重返地球大气层时，需承受与空气摩擦产生的高热，故其外表面需做特别处理． (1)该太空设备要接受防高热处理的面积大约是多少？（保留π） (2)该太空设备的容积大约是多少？（保留π） 【答案】(1)22.4 (2)16 【分析】本题考查圆锥和圆柱体的侧面积，圆锥和圆柱体的体积，熟练掌握相关公式，是解题的关键： （1）求出圆锥和圆柱体的侧面积之和再加上圆柱的底面圆的面积即可； （2）求出圆锥和圆柱体的体积之和即可． 【详解】（1）解：该太空设备要接受防高热处理的面积大约是； （2）解：该太空设备的容积大约是． 【变式24-3】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体，如图，圆柱底面的半径是8米，高是3米，圆锥的高是3米．如果每立方米小麦约重750千克． (1)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库至少需要多少个这样的粮囤存储这些小麦（取3）? (2)由于粮囤使用多年，需要对所有粮囤进行翻新维修，粮库将此工程承包给甲乙两个队，甲工程队单独修需要8天，甲工程队单独完成需要的时间比乙工程队单独完成时间少，现在两队同时进行维修几天后，乙队因有其他任务调走，余下的工程量甲工程队需要3天时间完成，乙工程队维修了几天？ (3)若在（2）的条件下，已知每天甲工程队的费用是900元，每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，维修所有粮囤后，请你计算出甲乙两队的总费用． 【答案】(1)10个 (2)乙工程从维修了3天 (3)7200元 【分析】该题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，工程问题以及比例的应用，解答的关键是掌握圆柱和圆锥的体积计算公式，以及由题意得出等量关系式； （1）先算出圆柱半径，根据半径算出粮囤体积，得出一个粮囤存储小麦数量，再用1440吨除以一个粮囤存储小麦数量即可求出； （2）先算出乙工程队单队完成时间，甲乙各自的工作效率，设乙工程队维修了x天，列出方程求解即可； （3）设乙工程队的费用为元，根据每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，列出比例式求解即可解答； 【详解】（1）圆柱半径： 粮囤体积为：， 一个粮囤存储小麦数量为：， 个； （2）乙工程队单队完成时间为：天， 甲工作效率为：，乙工作效率为： 设乙工程队维修了x天，由题意得，， 解得：， 答：乙工程从维修了3天； （3）设乙工程队的费用为元， 解得：， 由（2）知甲工程队维修了天，乙维修了3天， 甲乙总费用：元； 【考点25 圆柱圆锥切拼问题】 【例25】（25-26六年级下·上海·期中）小文从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）．求这个笔筒的表面积和体积． 【答案】表面积为平方厘米，体积为942立方厘米 【分析】本题主要考查了圆柱的表面积、圆柱的体积、圆柱的展开图，解题的关键是掌握以上公式． 要用一个长方形和一个圆组成一个无盖圆柱，则长方形是圆柱侧面，圆是底面．此时底面圆周长就是侧面长方形的长，根据底面周长，可求出底面圆半径．再根据无盖圆柱表面积，体积＝，h即为长方形的宽．据此计算得出答案． 【详解】解：底面圆半径为（厘米） 底面圆直径为（厘米） 圆柱的高：（厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （立方厘米）， 答：这个笔筒的表面积为平方厘米，体积为942立方厘米． 【变式25-1】（25-26六年级下·上海青浦·月考）如图所示，长方形纸片中，，把它分割成正方形纸片和长方形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，求圆锥的表面积．（保留） 【答案】 【分析】设，则，当裁出的圆的直径与长方形的宽（长大于宽）相等时，圆的半径最大，据此结合圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形的弧长建立方程求出x的值，最后根据圆锥的表面积等于其侧面积加上底面积列式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵要在长方形中裁出半径最大的圆， ∴裁出的圆的直径与长方形的宽（长大于宽）相等，即为， ∵裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面， ∴， 解得， ∴， ∴圆锥的表面积为． 【变式25-2】（25-26七年级下·上海·期中）将圆柱如图切分后拼成一个近似的长方体．切拼前后，圆柱的体积没有发生改变，表面积增加了． (1)切拼后，长方体的底面积等于原圆柱（ ）的面积；长方体的高等于原圆柱的（ ）． 因为：长方体的体积底面积高   所以：圆柱的体积（ ）． (2)如果圆柱的底面半径为2厘米，高为6厘米，那么拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)底面；高；底面积高 (2)124.48平方厘米 【分析】此题考查的是圆柱体积公式的推导方法及应用，圆柱的表面积公式、长方体的表面积公式及应用． （1）把圆柱切拼成一个近似的长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高； （2）如果圆柱的底面半径为2厘米，则拼成的长方体的宽为2厘米，拼成的长方体的长等于圆柱底面周长的一半，拼成长方体的高等于圆柱的高；根据圆的周长，计算出长方体的长，再根据长方体的表面积（长宽长高宽高），代入相应数值计算，据此解答． 【详解】（1）解：切拼后，长方体的底面积等于原圆柱底面的面积；长方体的高等于圆柱的高． 因为长方体的体积底面积高， 所以圆柱的体积底面积高， 故答案为：底面；高；底面积高； （2）解：长方体的长： （厘米）， （平方厘米）， 答：拼成的长方体的表面积是124.48平方厘米． 【变式25-3】（25-26六年级下·上海·期中）一个圆柱形木料，底面直径是，高是． (1)把木料沿底面直径垂直切成两半，表面积增加了多少平方厘米？ (2)把木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少立方厘米？ (3)若把削成的圆锥再沿底面直径垂直切成两半，切面是什么形状？切面的面积是多少平方厘米？（取3.14） 【答案】(1)表面积增加了400平方厘米 (2)削去部分的体积是立方厘米 (3)切面是等腰三角形，面积是100平方厘米 【分析】本题考查了圆柱的体积和表面积，圆锥的特征． （1）根据沿直径纵剖成两份，表面积增加的部分是两个长方形的面积，即可解答； （2）由题意得出削去部分的体积是圆柱体积的，结合圆柱的体积公式进行列式计算，即可作答； （3）根据圆锥的特点结合三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：沿底面直径垂直切，增加的表面积是2个长方形的面积（长方形的长圆柱的高，宽底面直径）， 增加的表面积（平方厘米）； （2）解：最大圆锥与圆柱等底等高， 则削去部分的体积（立方厘米）； （3）解：切面是等腰三角形，面积是（平方厘米）． 【考点26 二元一次方程组的特殊解法】 【例26】数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 【变式26-1】已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)没有，理由见详解 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【详解】（1）解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， （2）解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 【变式26-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法比较简单： 得：，即③ 得：④ 得：，，代入③得． 所以这个方程组的解是． (1)请你运用小明的方法解方程组． (2)规律探究：猜想关于，的方程组，的解是______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得，再运用题目中的方法求解此方程组； （2）先得，再运用题目中的方法求解此方程组． 【详解】（1）解：， 得：，即， ：， 得，， 把代入得， 所以这个方程组的解是； （2）解： 得：， ∴， ∵， ∴， 得：， 得，， 把代入得， 这个方程组的解是． 【变式26-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，，方程组的解为 (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． （1）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答； （2）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答． （3）利用换元法结合方程组的解的定义得到，再解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：设 ，， ∴原方程组可变为：， 解这个方程组得， 即， 所以， 故答案为：，； （2）解：设， ∴原方程组可化为：， 解得， ∴ 解得； （3）解：由题意得，， 解得：． 【考点27 求解二元一次方程组中的参数】 【例27】当a，b都是实数，且满足，就称点为“完美点”． (1)判断点是否为“完美点”，并说明理由． (2)已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是“完美点”，请说明理由． 【答案】(1)A（2，3）不是完美点．理由见解析 (2)m=．理由见解析 【分析】（1）根据完美点的定义判定即可； （2）用m表示a、b，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：A（2，3）不是完美点．理由如下： 令， 解得 ， ∵， ∴A（2，3）不是完美点． （2）解：解关于x，y的方程组， 解得， 解关于a，b的方程组， 解得， ∵， ∴， ∴m=， ∴当m=时，点B（x，y）是完美点． 【点睛】本题考查二元一次方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． 【变式27-1】（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 【变式27-2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的二元一次方程变形为的形式（是常数），则其中一对常数称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________； (2)已知是关于的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求的值； (3)关于的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． （1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入求出k的值即可； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 【变式27-3】（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 【考点28 二/三元一次方程组的应用】 【例28】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)使加工出的A，B板块恰好用完，能做个礼盒 (3)9 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 （2）解：由题意可得， ， 解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，， 解得， ∵x、a都是正整数， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，是整数，符合题意， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为9，此时，A、B分别有32块和16块，这样使礼盒制作完毕后的板块恰好用完． 【变式28-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 【答案】(1)该食品厂到A地的距离是50 km，到B地的距离是100 km． (2)该食品厂买进原料220 t，卖出食品200 t． (3)卖出的食品每吨的售价是10000元． 【分析】（1）设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是，根据食品厂到地的距离是到地的倍且，两地间的距离为公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料，卖出食品，根据两次运输（第一次：地→食品厂，第二次：食品厂→地）共支出公路运费元、铁路运费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费元，要想该批食品销售完后工厂共获利元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是． 根据题意，得 解得 故该食品厂到地的距离是，到地的距离是． （2）解：设该食品厂买进原料，卖出食品． 由题意，得 解得 故该食品厂买进原料，卖出食品． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元． 由题意，得， 解得． 故卖出的食品每吨的售价是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式28-2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 【变式28-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 【问题背景】 巢湖素有“皖中明珠”之美誉，旅游度假资源丰富．某校八年级（1）班同学为了完成老师布置的综合与实践作业——制作《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》，分成了若干个学习小组，先通过携程、飞猪、美团、去哪儿等在线旅游平台提供的相关信息对巢湖市优质度假区、高档宾馆、精品民宿等三种不同类型的住宿资源进行了“金牌旅游住宿”的名称界定；然后，从中各选取两家通过电话咨询了解住宿的位置优势以及不同房间的基本住宿价格；最后，结合平台用户评分和商家电话介绍，在这三种住宿资源类型中均选择了假期预订量最高的家庭房进行了实地调查，希望给《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》的制作提供可靠的数据来源． 【材料收集与整理】 各学习小组在同一天奔赴不同金牌旅游住宿地进行调查，获取到度假区和高档宾馆类型的金牌旅游住宿均会结合市场需求根据房型实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨；精品民宿的定价也有淡季、旺季之分，但上涨比例相对灵活；通过各旅游平台下单、电话预定、现场订房的优惠差距可忽略不计．此外，不同类型的金牌旅游住宿费用差距较大，环境风格差异明显，消费群体有区别．具体材料如下： 材料一：度假区离巢湖市中心约15公里，离高铁站、高速公路收费站均在6公里以内．度假区的一房别墅住宿，可享受一站式家庭旅游体验，同时赠送温泉疗养项目，采用标准化管理．第一学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 度假区 淡季 旺季 未入住一房别墅间数 10 0 该房型日总收入（元） 9600 24000 材料二：高档宾馆在巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施、餐饮服务、交通服务等均符合标准化管理，品质有保障．第二学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 高档宾馆 淡季 旺季 未入住家庭房间数 5 0 该房型日总收入（元） 5600 10500 材料三：精品民宿距巢湖市中心约20公里，没有明确标注“家庭房”房型，但有适合亲子家庭的替代方案一：适合4个亲子家庭自行组团整体合租的集住宿、休闲、运动、书吧于一体的门庭小院，小院为稀缺型旅游住宿资源只有一座；方案二：在有儿童游乐和手工体验区的民宿公共区选择客栈标准间大床房组合（两者价格一样，各有20间可供选择）．第三学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 精品民宿 淡季 旺季 一座门庭小院价格 2000 2600 客栈标准间单价 300 360 【数据分析与运用】 任务1：（1）该度假区的一房别墅有多少间？一房别墅旺季每间价格为多少元？该高档宾馆旺季家庭房每间价格为多少元？ 任务2：（2）请通过计算说明该精品民宿旺季比淡季每间（座）上涨是否符合的标准？ 任务3：（3）如果有位游客在网络上看到了该校八（1）班同学分享的《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》视频，想在春节期间来巢湖亲子游，你会给他推荐哪种类型的金牌旅游住宿资源呢？请你说明理由． 【答案】（1）度假区一房别墅有20间，一房别墅旺季每间价格为1200元，高档宾馆旺季家庭房每间价格为700元 （2）精品民宿旺季门庭小院价格上涨30%，客栈标准间价格上涨20%，均不符合25%的标准 （3）推荐高档宾馆，理由是其位于巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施等齐全且品质有保障，旺季每间价格700元较为适中（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）设该度假区的一房别墅有y间，淡季的房价为x元，根据题意，得 ，解方程组即可得解；设该高档宾馆淡季家庭房每间价格为m元，共有n间，根据题意，得，解方程组即可得解； （2）设一座门庭小院价格上涨，客栈标准间单价上涨，根据题意，得 ，，比较解答即可； （3）只要合理即可答案不唯一． 【详解】（1）解：设该度假区的一房别墅有y间，淡季的房价为x元，根据题意，得 ， 解得， 故， 故度假区一房别墅有20间，一房别墅旺季每间价格为1200元； 设该高档宾馆淡季家庭房每间价格为m元，共有n间，根据题意，得， 解得， 故， 故高档宾馆旺季家庭房每间价格为700元； （2）解：设一座门庭小院价格上涨，客栈标准间单价上涨，根据题意，得 ，， 解得，， 故精品民宿旺季门庭小院价格上涨30%，客栈标准间价格上涨20%，均不符合25%的标准； （3）解：推荐高档宾馆，理由是其位于巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施等齐全且品质有保障，旺季每间价格700元较为适中（答案不唯一，合理即可） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $