精品解析：河北省唐县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

数学试题 试卷满分150分，考试用时120分钟 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，可知的虚部为1. 2. 设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上的投影向量的定义建立方程，求解夹角的余弦值，结合夹角的取值范围确定夹角. 【详解】设向量与的夹角为， 根据投影向量的定义，在上的投影向量为， 可得 ，因此，解得 . 又因为，所以. 3. 已知不共线，，若三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意有， ， 若三点共线，则存在实数使得， 因为不共线，所以有，得. 4. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得. 【分析】依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示： 因为，所以为边长为的等边三角形， 又，且，所以是的中位线， 设，则平面，且， 所以正四棱台的高， 所以正四棱台的体积. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由，可得可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C，由，可得，又，则有，故C正确； 对于D，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误. 6. 如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（ ） A. E、F、G、H四点共面 B. 与是异面直线 C. 、、三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形，则不平行，所以D不正确. 7. 如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图所示，取的中点，连接，． ，， 为二面角的平面角， 根据已知条件可得，，． 在中，由余弦定理， ， ． 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】对于A选项，使用正弦定理即可求解；对于B选项，使用余弦函数单调性即可判断；对于C选项，使用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可判断；对于选项D，使用正弦定理边化角，再使用诱导公式即可判断； 【详解】对于A选项，若，则的外接圆半径满足，，圆面积为,故选项A错误; 对于B选项，若，由于在中，,函数在上单调递减，故，选项B错误； 对于C选项，由正弦定理可得，， ， 所以C为钝角，故为钝角三角形，选项C正确； 对于选项D,由可得 ，即， 则为等腰三角形，故选项D错误; 二、多选题(本题共3小题，每题6分，共18分.每题全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 设复数在复平面内对应的点为为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则 C. 若，则或 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及模长公式可判断选项；由点的坐标为，可得，代入方程，解方程即可判断选项；根据模长公式，模长为1，举出反例即可判断选项；根据复数的几何意义可判断对应的图形为圆环，求出圆环面积即可判断选项. 【详解】解：设复数，则在复平面内对应点为， 选项，因为，， 所以与不一定相等，错误； 选项，由点坐标为，则，所以， 化简整理得，则，解得，， 所以，正确； 选项，当时，，错误； 选项，由，， 根据复数的几何意义可知，表示圆心为内半径长为，外半径长为的圆环， 所以圆环面积，正确. 10. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A，由图可知，将线条延伸即可得到梯形. 选项B，三棱锥如下图所示，，. 选项C，因为 平面，所以与面所成角的正弦值即为的正弦值.不难得出正弦值最大时点处于点的位置，. 选项D，将平面与平面沿展开得到下图，可以看到最短的距离便是两点之间的连线，. 11. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则点的轨迹经过的内心. D. 若，则为的垂心 【答案】ABD 【解析】 【分析】A作出辅助线，得到各个三角形面积之间的关系，求出面积比值；B推出的角平分线与垂直，为等腰三角形；C设的中点为，得到三点共线；D得到⊥，⊥，⊥. 【详解】A，过点作，分别交于点， 则四边形为平行四边形，，， 因为，故，即， 不妨设，故， 因为，为的中点，所以到的距离为到的距离的， 所以，则， 则，A正确； B，，该向量为方向上的单位向量之和，位于的平分线上， 又，即的角平分线与垂直，则为等腰三角形，B正确； C，过点作⊥，垂足为，设的中点为， 则， 则，则三点共线， 点的轨迹经过的重心，C错误； D，，则，则⊥， 同理可得⊥，⊥，则为的垂心，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.） 12. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和斜二测画法可知四边形为直角梯形，且，从而可求出原图形的面积. 【详解】 过点作，则， 在等腰中，. 所以原图形中， 所以. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】在中，由正弦定理及有两解， 得且，解得， 所以所求的取值范围是. 14. 如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG，找到异面直线所成的角或其补角即，然后找线面位置关系，求相关线段长，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG， 则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角． 易知平面，所以平面，所以. 因为，，所以， 所以由勾股定理得， 又，， 所以在△中，由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 15. 向量是同一平面内的两个向量，其中. （1）若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）若，与共线且，求. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先利用，求得，再由与共线时，求得，进而得到答案； （2）先求得，设，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 由向量， 因为与的夹角为钝角，可得，即，解得； 当与共线时，可得，解得， 当时，与方向相反，夹角为，不符合题意； 综上可得且，即实数的取值范围为 【小问2详解】 由向量，可得， 因为向量与共线，可设， 又因为，可得，解得， 当时，；当时，. 16. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助余弦定理与等面积法计算即可得. 【小问1详解】 已知，由余弦定理可得 ， 因为，代入 中，得， 化简得，则， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知，又， 由余弦定理得， 即， 又因为，所以， 由面积关系可得： ， 所以， 则. 18. 记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. （1）求； （2）若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： （3）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1）； （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行得到方程，结合正弦定理和特殊角的三角函数值得到答案； （2）由平面向量基本定理可用表示向量，两边平方，由基本不等式可得，从而由三角形面积公式可得最大值； （3）由锐角三角形得到角的范围，由正弦定理，将边化角，求出取值范围 【小问1详解】 ，即， 由正弦定理得， 因为，所以，故，即， 因为，所以； 【小问2详解】 ， ，则， 即，解得， 由基本不等式可得， 即，解得，当且仅当时，等号成立， ， 【小问3详解】 由正弦定理得， 所以， 故 为锐角三角形，故， 解得，故 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）点M为线段上靠近C的四等分点， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【小问1详解】 因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 【小问2详解】 因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. 【小问3详解】 如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 试卷满分150分，考试用时120分钟 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知不共线，，若三点共线，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（    ） A. B. C. D. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（ ） A. E、F、G、H四点共面 B. 与是异面直线 C. 、、三线共点 D. 7. 如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰直角三角形 二、多选题(本题共3小题，每题6分，共18分.每题全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 设复数在复平面内对应的点为为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则 C. 若，则或 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 11. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则点的轨迹经过的内心. D. 若，则为的垂心 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.） 12. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 14. 如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 15. 向量是同一平面内的两个向量，其中. （1）若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）若，与共线且，求. 16. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； 18. 记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. （1）求； （2）若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： （3）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $