精品解析：河北省唐县第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

高一下学期4月期中考试数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 5. 已知向量，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 已知在中，为垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A. 点为的内心 B. 点为的外心 C. D. 等边三角形 7. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 是的充要条件 D. 若，则中至少有一个为0 10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ） A B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的形状能唯一确定 11. 已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与垂直的单位向量的坐标为________. 13. 在中，，设边长为，若满足条件的有且只有一个，则的取值范围是______. 14. 如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的夹角为，，，， （1）若，求实数t取值范围； （2）是否存在实数t，使得，若存在，求实数t. 16. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 17. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 18. 记的内角的对边分别为，已知，. （1）求角与； （2）若点为的所在平面内一点，且满足，求的值； （3）若点为的重心，且，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期4月期中考试数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将复数利用复数的四则运算求解出来，即可得出虚部. 【详解】由题意，得，所以的虚部为， 故选：B． 2. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得，再代入投影向量的公式即可. 【详解】因为，所以， 所以， 设的夹角为， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 4. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 5. 已知向量，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直坐标运算列式，再结合齐次式计算求解即可得出正切值. 【详解】因为，所以， 所以， 解得或. 故选：C. 6. 已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A. 点为的内心 B. 点为的外心 C. D. 为等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解. 【详解】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B. 7. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，则，在中，列式运算得解. 【详解】，， ，则， 在中，， ，即. 所以该雕像的高度约为4m. 故选：A. 8. 如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，其中，则， 因为，所以，又， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 是的充要条件 D. 若，则中至少有一个为0 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，根据复数模的计算公式判断；C选项，根据复数定义判断；D选项，根据列方程，解方程即可. 【详解】若，则可以为，故A错； 设，，， 则， ， 所以，，故B正确； 当，时，为虚数，不能比较大小，故C错； ，则，解得或，故D正确. 故选：BD. 10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的形状能唯一确定 【答案】AB 【解析】 【分析】应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，则，故B正确； 由余弦定理，可知为锐角， 但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误； 由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误. 故选：AB 11. 已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】通过对向量新定义运算的理解，结合向量的数量积公式、三角函数关系以及向量模的计算公式来逐一分析各个选项. 【详解】对于A，由，得，而，因此， 又，则或，所以，A正确； 对于B，，当时，， 当时，，B错误； 对于C，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，C正确； 对于D，由，得，由，得， 两式平方相加得，则， 当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与垂直的单位向量的坐标为________. 【答案】或 【解析】 【分析】设与垂直的单位向量的坐标为，根据题意可得，解得答案即可. 【详解】设与垂直的单位向量的坐标为， 可得，解得或 ， 故答案为：或 13. 在中，，设边长为，若满足条件的有且只有一个，则的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求出范围. 【详解】在中，由正弦定理，得， 当时，只有一个解，； 当时，只有一个解，则，即，解得， 所以的取值范围是或. 故答案为：或 14. 如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积为，利用扇形面积公式、三角形面积公式和正弦定理进行求解. 【详解】设，则，， 由，，得， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则，， 所以，，则， ， 所以， 又知扇形AOB面积为， 故阴影部分的面积为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的夹角为，，，， （1）若，求实数t取值范围； （2）是否存在实数t，使得，若存在，求实数t. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由列式求得值； （2）利用共线向量定理列式求解即可. 【小问1详解】 ，夹角为，且，， . 由，得 ，解得； 【小问2详解】 由，得存在，使得， 即，解得 所以存在实数，使得. 16. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； 解法二：直接由余弦定理化简求解即可； （2）解法一：先由三角形的面积公式得到，再结合可得，进而求解即可； 解法二：由，结合三角形的面积公式得到，进而求解即可. 【小问1详解】 由，得， 解法一：由正弦定理得， 又中，，所以， 所以， 于是， 又，所以， 又，所以. 解法二：由余弦定理得， 化简得， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 由是平分线，得， 解法一：， 又， 所以 . 解法二：由得 . 即， 解得， 所以. 17. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）﹒ 【解析】 【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得； (2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得； (3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围． 【小问1详解】 在直角梯形中，易得，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， 故； 【小问2详解】 ， 当时，， 设，， 则， ， ∵不共线，∴，解得，即； 小问3详解】 ∵，， ∴， ＝， 由题意知，， ∴当时，取到最小值＝， 当时，取到最大值， ∴的取值范围是． 18. 记的内角的对边分别为，已知，. （1）求角与； （2）若点为的所在平面内一点，且满足，求的值； （3）若点为的重心，且，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可得，再利用三角恒等变换可求得； （2）利用向量数量积定义可得为的外心，再由正弦定理可得； （3）利用重心性质可得，再利用余弦定理可得，可得面积为. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得. 又因为，所以. 又因为，由正弦定理得， 即， 因为，所以，且， 所以. 【小问2详解】 由， 可得， 解得，即， 所以为的外心， 由正弦定理得， 所以. 【小问3详解】 设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点，如下图所示： 又因为，所以. 在中，由和，可得. 在和中，有， 由余弦定理可得， 故， 所以， 所以的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$