高一数学下学期期末模拟卷（提高篇）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

**基本信息** 高一数学期末模拟卷（提高篇）立足人教A版必修第二册，以投壶游戏、香料收纳盘等情境融合向量、统计、立体几何等知识，凸显数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量共线、复数虚部、统计量比较、概率递推、正四棱台体积|投壶游戏情境考查概率递推，体现文化传承| |多项选择|3/18|复数分类、解三角形判定、正方体动点轨迹|正方体动点问题融合线面垂直与轨迹长度，考查空间观念| |填空题|3/15|百分位数计算、猜数字概率、外接球表面积|猜数字游戏概率模型，培养数据意识| |解答题|5/77|概率应用、向量共线证明、频率分布直方图、解三角形综合、三棱柱体积与二面角|以“创建文明城市”知识竞赛为情境的统计题，强化数学语言表达|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量平行的坐标表示求解可得. 【解答过程】由，得，解得. 故选：A. 2．（5分）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】，再根据复数的除法和乘法运算计算得，进而得到答案. 【解答过程】因为，所以， 所以复数的虚部是1， 故选：A. 3．（5分）已知高一三班的某次数学测试中，某学习小组的成绩如下：70，75，94，85，85，90，86，90，85，100，则该小组成绩的平均数、众数、中位数的大小关系是（   ） A．众数=中位数<平均数 B．众数<中位数<平均数 C．众数<平均数<中位数 D．众数=平均数<中位数 【答案】B 【解题思路】根据众数、中位数、平均数的概念，求出相应的这三个数，比较大小，即得答案. 【解答过程】学习小组的成绩从小到大排列如下：70，75，85，85，85，86，90，90，94，100， 众数为85；中位数为， 平均数为, 故众数<中位数<平均数, 故选：B. 4．（5分）“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可. 【解答过程】第4次仍然由甲投掷分为四类： 第一类，前三次均为甲中，概率为； 第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为； 第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为； 第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为． 所以第4次仍然由甲投掷的概率为． 故选：D. 5．（5分）如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm，2cm．若该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用（   ） A．7天 B．11天 C．15天 D．19天 【答案】A 【解题思路】根据棱台的体积公式，计算求值，再计算出使用的天数. 【解答过程】由题意可知，设香料收纳盘的高为，则收纳盘的容积为． 收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则所用的容积为， 所以剩余的香料粉的容积为， 因此根据比例关系可得剩余的香料粉还可以连续使用7天. 故选：A． 6．（5分）在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由余弦定理结合条件，得，再由余弦定理结合基本不等式求得的最小值，进而得到的最大值，再求的面积的最大值即可. 【解答过程】在中， 又∵，∴ 故 ， ∵,∴, 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为． 故选：B. 7．（5分）四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为2，中位数为1 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，极差为4 D．平均数为2，方差为2.4 【答案】D 【解题思路】利用平均数、中位数、众数、极差、方差的定义逐一分析选项即可. 【解答过程】对于A，平均数为2，中位数为1，说明5次点数总和为，且将5次点数从小到大排序，第三位为1， 则从小到大排序前三位是1,1,1，后两位点数之和为，不确定是否出现点数6，故A错误； 对于B，中位数为3，众数为2，说明将5次点数从小到大排序，第三位为3，且2至少出现过两次， 则从小到大排序前三位是2,2,3，后两位不确定是否出现点数6，故B错误； 对于C，中位数为3，极差为4，说明将5次点数从小到大排序，第三位为3， 极差可能是，也可能是，不确定是否出现点数6，故C错误； 对于D，平均数为2，方差为2.4，说明5次点数总和为， 若出现点数6，则其他四次点数之和为，只能是1,1,1,1， 则方差， 所以一定没有出现点数6，故D正确. 故选：D. 8．（5分）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，作出球心，利用外接球半径，外接圆半径，可求得即可得到二面角的大小. 【解答过程】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心， ，，即， 所以在中点处，， ，， ，且在垂直平分线上， 所以， 三棱锥的外接球表面积为， ，， 又平面，平面，所以， 则，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以共面， 所以就是二面角的平面角， 或. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）若复数 ，则下列说法正确的是（    ） A．当或时，z为实数 B．若z为纯虚数，则或 C．若复数z对应的点位于第二象限，则 D．若复数z是方程的解，则 【答案】ACD 【解题思路】根据复数的类型、几何意义，复数方程的解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【解答过程】对于A，当时，；当时，， 故或时，均为实数，A正确； 对于B，若为纯虚数，则，解得，故B错误； 对于C，复数对应的点位于第二象限，则，解得，故C正确； 对于D，由，则， 则，即， 因为复数z是方程的解， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 10．（6分）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则 C．若中C为钝角，则 D．若，，，则解的个数为2 【答案】ABD 【解题思路】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，由正弦定理可得，然后由可判断选项正误. 【解答过程】对于A，， 则，因A，B为三角形内角，则， 从而，则为等腰三角形，故A正确； 对于B，，由余弦定理， ，故B正确； 对于C，因C为钝角，则. 则，因正弦函数在上递增， 则，故C错误； 对于D，由正弦定理， 因，且 ，则， 使，即解的个数为2，故D正确. 故选：ABD. 11．（6分）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ）    A．存在点使得 平面 B．直线与平面所成角正弦值为 C．的最小值为 D．若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解题思路】利用面面平行的判定推理平面平面，然后利用直线与平面相交判断A；利用定义法作出线面角，并在直角三角形中求出线面角的正弦判断B；把三角形与三角形置于同一平面内，利用余弦定理求出线段长判断C；先利用线面垂直的判定推理平面，取棱的中点利用面面平行的判定推理得平面平面，进而平面，从而求出点的轨迹为正六边形，求解周长即可判断D． 【解答过程】对于A：先证平面平面，由正方体性质可知，且， 且，所以四边形和均为平行四边形， 所以，，因为平面， 在平面外，所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面， 又为的中点，为线段上动点（包括端点）， 所以直线与平面相交，从而直线与平面相交，故A错误； 对于B：连接，则，由平面，平面， 得，又，，平面， 则平面，过作交于，连接， 于是平面，是直线与平面所成的角，，，所以，故B正确；    对于C，把三角形与三角形置于同一平面内，连接， 则的最小值为， 在中，，， ， 由余弦定理得，C正确；    对于D，由正方体的性质知平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，平面，故平面； 如图，    取棱的中点分别为， 连接，可得六边形为正六边形， 而，平面，平面，故平面， 同理可证平面，，，平面， 故平面平面，所以平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形，边长为， 其周长为，所以点的轨迹为正六边形，则点的轨迹长度为，D正确． 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是__________. 【答案】6 【解题思路】先根据中位数是众数的倍，求出，然后根据百分位数的定义可求得结果. 【解答过程】因为数据1，4，4，，7，8(其中)的中位数为，众数为4， 所以，得， 因为， 所以这组数据的第60百分位数是6; 故答案为：6. 13．（5分）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 【答案】 【解题思路】根据已知确定所有可能情况，再列举出的对应情况，应用古典概型的概率求法求概率. 【解答过程】由题设，所有可能的有序数对共有个， 而的情况有 ，共有16个， 所以任意找两人玩这个游戏，他们“心有灵犀”的概率为. 故答案为：. 14．（5分）在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解题思路】由题意作图，根据外接球的性质确定球心位置，利用余弦定理、正弦定理以及勾股定理，结合球的表面积公式，可得答案. 【解答过程】由题意，取的外接圆圆心为，取的中点为，空间中取点， 连接，其中，平面，如下图： 则点是三棱锥的外接圆圆心， 在中，由余弦定理可得， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又，则在平行四边形中，， 易得，则外接球表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响. (1)求； (2)求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用独立事件的乘法公式和对立事件的性质求解即可； （2）利用概率的性质求解即可. 【解答过程】（1）设事件为“甲能猜对灯谜”， 事件为“乙能猜对灯谜”， 由题意得，与相互独立，且,， 故甲、乙都猜不对的概率：, 故. （2）甲、乙恰有一人猜对灯谜的事件为, 且， 故甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率为. 16．（15分）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求向量与的夹角； (3)若，求实数m的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）由平面向量的共线定理求解； （2）由向量的夹角公式求解； （3），由向量的模的公式求解． 【解答过程】（1）由向量与共线，得，得， 得，， 则， 故． （2）， 设向量与的夹角为， 则， 由，得， 故向量与的夹角为：． （3）， 由得，， 解得． 17．（15分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)，平均数约为74 (2)6人 (3)，36 【解题思路】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数的计算公式计算平均数即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【解答过程】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． （2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 18．（17分）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可； （3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以 . 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 19．（17分）如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）作出辅助线，根据三线合一性质得到，，从而证明出线面垂直； （2）解法1：设点到平面的距离为，先求出点到的距离，由（1）知，平面，先计算出，并求出，由等体积法求出； 解法2：过C作，垂足为E，由（1）得面面垂直，推出平面，则即为点到平面的距离，求出点到的距离，根据三角形面积得到方程，求出，点C到平面的距离为； （3）求出，由余弦定理得，由勾股定理逆定理得，，连接，即为二面角的平面角，由勾股定理逆定理得，求出，得到答案. 【解答过程】（1）证明：设，连接， 因为四边形为菱形，所以，， 又因为为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面. （2）解法1：设点到平面的距离为， 在中，，， 可得点到的距离为， 由（1）知，平面， 所以， 又因为，所以. 解法2：由（1）知，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 过C作，垂足为E，所以平面， 则即为点到平面的距离， 在中，，， 可得点到的距离为， 所以，则， 所以点C到平面的距离为；    （3）由（2）知，，， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， 解得， 又，则，所以， 故四边形为矩形，， 又为等边三角形，故，又， 则，所以， 设，连接，，所以， 又，所以即为二面角的平面角， 因为，，，所以， 由勾股定理逆定理得， 所以，所以二面角的正弦值为. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷（提高篇） 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第二册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（5分）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 3．（5分）已知高一三班的某次数学测试中，某学习小组的成绩如下：70，75，94，85，85，90，86，90，85，100，则该小组成绩的平均数、众数、中位数的大小关系是（   ） A．众数=中位数<平均数 B．众数<中位数<平均数 C．众数<平均数<中位数 D．众数=平均数<中位数 4．（5分）“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm，2cm．若该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用（   ） A．7天 B．11天 C．15天 D．19天 6．（5分）在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为2，中位数为1 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，极差为4 D．平均数为2，方差为2.4 8．（5分）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）若复数 ，则下列说法正确的是（    ） A．当或时，z为实数 B．若z为纯虚数，则或 C．若复数z对应的点位于第二象限，则 D．若复数z是方程的解，则 10．（6分）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则 C．若中C为钝角，则 D．若，，，则解的个数为2 11．（6分）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ）    A．存在点使得 平面 B．直线与平面所成角正弦值为 C．的最小值为 D．若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是__________. 13．（5分）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 14．（5分）在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响. (1)求； (2)求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率. 16．（15分）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求向量与的夹角； (3)若，求实数m的值. 17．（15分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 18．（17分）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 19．（17分）如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $