期末复习解答题练习：解三角形-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以七大题型系统整合解三角形核心问题，通过解题指津提炼通性通法，构建“定理应用—变式拓展—综合迁移”的逻辑链条，强化运算与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求边和周长|6题|面积公式、正余弦定理结合，知二求一|基础定理直接应用，构建边角关系| |边和周长的最值/范围|8题|基本不等式求最值，边化角结合三角函数求范围|从定量计算到变量分析，拓展定理应用场景| |面积最值/范围|5题|面积公式与正余弦定理结合，基本不等式或三角函数求范围|面积公式与边角关系的综合转化| |中线|6题|平行四边形性质、向量法，边化角求范围|特殊线段与定理的结合，强化几何直观| |角平分线|6题|角平分线定理、面积拆分法，函数法求范围|角平分线性质与定理的综合应用| |高线|6题|直角三角形边角关系，面积公式求高，三角函数求范围|高线与直角三角形、面积的关联| |四边形计算|4题|正弦定理多次应用，补角余弦定理结合|解三角形向平面图形的拓展，培养空间观念|

高一下数学期末复习解答题精练：解三角形 （七大题型，共41小题） 题型一：求三角形的边和周长 【解题指津】 求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其问题的本质为这三者之间的关系，知二求一。 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c． （1）求C； （2）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 【解析】 （1）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0，已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC，2cosCsinC＝sinC，∴cosC，∴C； （2）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵SabsinCab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． （1）求角C； （2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长． 【解析】 （1）由得：2ccosB﹣（2a+b）＝0⇒2ccosB＝2a+b，边化角得：2sinCcosB＝2sinA+sinB， 在△ABC中，A＝π﹣B﹣C，故sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，代入上式得：2sinCcosB＝2（sinBcosC+cosBsinC）+sinB，展开化简得：﹣2sinBcosC﹣sinB＝0，因为B∈（0，π），sinB≠0，两边同除以﹣sinB得：，又C∈（0，π），因此； （2）由三角形面积公式，得：，由c2＝a2+b2﹣2abcosC，代入，，得13＝a2+b2+ab，即13＝（a+b）2﹣ab＝（a+b）2﹣3⇒（a+b）2＝16，因为a，b＞0，故a+b＝4，故△ABC的周长为． 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab． （1）求C； （2）若a+b＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 【解析】 （1）∵（a+b+c）（a+b﹣c）＝（a+b）2﹣c2＝a2+b2﹣c2+2ab＝3ab ∴a2+b2﹣c2＝ab， 由余弦定理得，∵C∈（0，π），∴； （2） 由面积公式得，∴ab＝4，由（1）知a2+b2﹣c2＝ab，∴a2+b2＝4+c2，又∵a+b＝4，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×4＝8，∴4+c2＝8，解得c＝2，∴△ABC的周长为a+b+c＝6． 4．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinAcosC+csinAcosAbcosA＝0． （1）求角A的大小； （2）若△ABC的面积为4，且2b＝a+c，求△ABC的周长． 【解析】 （1）因为asinAcosC+csinAcosAbcosA＝0，所以由正弦定理可得sinAsinAcosC+sinCsinAcosAsinBcosA，可得sinA（sinAcosC+sinCcosA）sinBcosA，可得sinAsinBsinBcosA，因为sinB＞0，所以sinAcosA，可得tanA，因为A∈（0，π），所以A． （2）因为△ABC的面积为4bcsinAbc，所以bc＝16，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣bc＝b2+c2﹣16，又2b＝a+c，可得a＝2b﹣c，代入上式可得，（2b﹣c）2＝b2+c2﹣16，化简可得3b2＝4bc﹣16＝48，解得b＝4，所以c＝4，因为A，所以△ABC为等边三角形，可得△ABC的周长为12． 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2+bc． （1）求角A的大小； （2）若三角形的面积为，且b+c＝5，求b和c的值． 【解析】 （1）∵b2+c2＝a2+bc，∴cosA，∵A∈（0，π），∴A． （2）S△ABCsin，化为bc＝4，又b+c＝5，解得b＝4，c＝1或b＝1，c＝4． 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB＝2acosA． （1）求角A的大小； （2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值． 【解析】 （1）由正弦定理及bcosC+ccosB＝2acosA得，sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosA，所以sin（B+C）＝sinA＝2sinAcosA，因为sinA≠0，所以1＝2cosA，即cosA，又A∈（0，π），所以A． （2） 因为△ABC的面积为，所以SbcsinAbc•，即bc＝4，由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以4＝b2+c2﹣2bc•（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，所以b+c＝4，解得b＝c＝2． 题型二：求三角形的边和周长的最值或取值范围 【解题指津】 1.若是求周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法 （1）若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，看是否满足取等条件。 （2）若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 2.若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2B＝sin2A+sin2C﹣sinAsinC． （1）求角B； （2）若△ABC为锐角三角形，，求△ABC周长的取值范围． 【解析】 （1）sin2B＝sin2A+sin2C﹣sinAsinC可转化为b2＝a2+c2﹣ac，即a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理，又B∈（0，π），所以； （2）因为△ABC为锐角三角形，所以，解得，由正弦定理可得，，所以 ，因为，所以，所以，所以，所以，即△ABC周长的取值范围是． 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，，求△ABC周长的取值范围． 【解析】 （1）因为，由正弦定理得，故，在△ABC中，sinA＞0，则，可得，所以，所以． （2）由正弦定理可得2R＝4（R为△ABC外接圆的半径），所以a＝4sinA，c＝4sinC，因为，则，，所以，因为△ABC为锐角三角形，则，解得，则，，所以，故周长范围为． 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，． （1）求角A； （2）若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围． 【解析】 （1）根据，结合正弦定理得，化简得sinAcosC＝2sinBcosA﹣sinCcosA，可得sinAcosC+sinCcosA＝2sinBcosA，即sin（A+C）＝2sinBcosA，在△ABC中，sin（A+C）＝sinB，所以sinB＝2sinBcosA，结合sinB＞0，化简得，A∈（0，π），所以． （2）根据正弦定理得，所以，，可得，根据△ABC为锐角三角形，可得，解得B∈（，），所以B∈（，），可得，，所以△ABC的周长a+b+c的取值范围是． 10．已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB（sinA+cosB）． （1）若C，求A； （2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围． 【解析】 （1）∵C，又cosA+sinB（sinA+cosB），∴cosA+sin（A）sinAcos（A），∴cosAcosAsinAsinA（cosAsinA），∴，∴tanA＝1，又A∈（0，π），∴A； （2）∵cosA+sinB（sinA+cosB），∴sinA﹣cosA＝sinBcosB，∴2sin（A）＝2sin（B），∴AB或ABπ，∴A＝B或A+B（舍），又AD＝BD＝2，∴∠A＝∠ABD，∴∠CBD，在△BCD中，由正弦定理可得，∴，∴|CD|，又sinC＝sin（2B），又△ABC为锐角三角形，∴，∴B∈（，），∴∈（，），∴sinC＝sin（2B）∈（，1），∴|CD|∈（1，2）． 11．记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R＝2，且tanB+tanC． （1）求B和b的值； （2）求AC边上高的最大值． 【解析】 （1）∵tanB+tanC，∴，即sinBcosC+cosBsinCsinAcosB， ∴sin（B+C）sinAcosB，∴sinAsinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB，0＜B＜π，∴B，由正弦理得2R，∴b＝2R•sinB＝2×24； （2）由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2ac•cosB，即42＝a2+c2ac，由基本不等式可得16＝a2+c2ac≥2acac，当且仅当a＝c时取等号，∴ac8（2），∴S△ABC•acsinBac8（2）＝4+4，又S△ABC•b•h，∴h≤2+2．∴AC边上高的最大值为2+2． 12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC． （1）求角A的值； （2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 【解析】 （1）△ABC中，因为sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC，由正弦定理得a2﹣b2﹣c2＝bc，...①，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，...② 由①②解得cosA，又A∈（0，π），所以A； （2）由a＝BC＝3，sinA＝sin，根据正弦定理得2，所以b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin（B）＝3cosBsinB，所以a+b+c＝3+2sinB+（3cosBsinB）＝3sinB+3cosB＝3+2sin（B）；又0＜B，所以当B时，△ABC周长取得最大值为3+2． 13．已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcosC+ccosB＝2acosA． （1）求A； （2）若b+c＝5，△ABC的面积为，求△ABC的周长； （3）若a＝1，求△ABC周长的取值范围． 【解析】 （1）由正弦定理及2acosA＝ccosB+bcosC，得2sinAcosA＝sinCcosB+sinBcosC，所以2sinAcosA＝sin（C+B）＝sinA，因为A∈（0，π），所以sinA＞0，所以，所以． （2）因为△ABC的面积为，所以，所以bc＝6，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝25﹣18＝7，所以，所以△ABC周长为a+b+c． （3）由正弦定理得，，所以，所以b+c，因为△ABC为锐角三角形，所以，解得，所以，，所以，故△ABC周长的取值范围为． 14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中a＝2，且满足． （1）求角A； （2）求△ABC周长的取值范围； （3）若△ABC为锐角三角形，求c﹣2b的取值范围． 【解析】 （1）因为，由正弦定理得，则．整理可得，又因为B∈（0，π），可得sinB＞0，整理可得，因为A∈（0，π），所以； （2）由（1）知，，由余弦定理得b2+c2﹣a2＝2bccosA＝bc，因为a＝2，所以b2+c2＝bc+4≥2bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，又因为（b+c）2＝b2+c2+2bc＝3bc+4≤16，即0＜b+c≤4， 因为b+c＞a＝2，所以2＜b+c≤4，所以4＜a+b+c≤6，即△ABC周长的取值范围是（4，6]； （3）因为a＝2且，由正弦定理得，可得，因为A+B+C＝π，所以，所以 ＝4cos（B），又因为锐角△ABC中，即，解得，所以，所以，则，即．所以c﹣2b的取值范围为． 题型三：求三角形的面积最值或取值范围 【解题指津】 通常根据面积公式来求值。 1.利用正余弦定理求边长，然后求得面积 2.结合余弦定理与面积公式也可求得面积。 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1.利用基本不等式可以求面积的最大值。 2.若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 15．在△ABC中，，，． （1）求sinC的值； （2）求△ABC的面积． 【解析】 （1）由，且A为锐角，得，因为A+B+C＝π，， 所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB； （2）在△ABC中，由正弦定理，得，由△ABC的面积公式，得． 16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若△ABC为锐角三角形且，求△ABC面积的取值范围． 【解析】 （1）因为，所以cosA≠0，所以cosC（tanBtanC﹣1）＝2cosA，，整理得﹣cos（B+C）＝2cosAcosB，在△ABC中，B+C＝π﹣A，所以cos（B+C）＝﹣cosA，故cosA＝2cosAcosB，因为cosA≠0，所以，又B∈（0，π），故． （2）由正弦定理得，所以a＝2sinA，c＝2sinC．因为，所以．三角形为锐角三角形，故，解得．三角形面积，又，所以 ，因为，所以，则．因此． 17．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且（a+c）sinA+csinC＝bsinB． （1）求B； （2）若a＝2c，b＝2，求△ABC的面积． 【解析】 （1）根据题意可知，（a+c）sinA+csinC＝bsinB及正弦定理得（a+c）a+c2＝b2，所以a2+c2﹣b2＝﹣ac，由余弦定理得，因为0＜B＜π，所以； （2）a2+c2﹣b2＝﹣ac，因为a＝2c，b＝2，所以4c2+c2﹣4＝﹣2c2，解得，所以． 18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 【解析】 （1）根据题意，由正弦定理得，因为0＜A＜π，故sinA＞0，消去sinA得．因为0＜B＜π，，故或者，而根据题意A+B+C＝π，故不成立，所以，又因为A+B+C＝π，代入得3B＝π，所以． （2）因为△ABC是锐角三角形，由（1）知，A+B+C＝π得到，故， 解得．又由正弦定理，由三角形面积公式有：．又因，故，故．故S△ABC的取值范围是 19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若； （i）求△ABC周长的取值范围； （ii）求△ABC面积的最大值． 【解析】 （1）在△ABC中，由及正弦定理得，即，整理得，而sinC＞0，则，于是（1+cosA）2＝3sin2A＝3（1﹣cos2A），整理得2cos2A+cosA﹣1＝0，即（2cosA﹣1）（cosA+1）＝0，而0＜A＜π，解得，所以； （2）（i）由余弦定理得，当且仅当时取等号，因此，而，则，所以，所以△ABC周长的取值范围是； （ii）由（i）知3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当时取等号，所以bc≤3，因此，所以△ABC面积的最大值为． 题型四：求三角形的中线 【解题指津】 解三角形中求中线可以应用以下两个性质： 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得) 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小． （2）若，b+c＝5，D为BC中点，求AD的长． 【解析】 （1）在△ABC中，由，得， 整理得，则，而sinB＞0，所以sinAcosA，于是，由A为三角形内角得，． （2），b+c＝5，，由余弦定理得7＝a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc＝25﹣3bc，解得bc＝6，由D为BC中点，得． 21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，c＝6，． （1）求b的值； （2）若D是BC边的中点，求AD的值． 【解析】 （1）因为，由正弦定理sinAsinBsinBcosA，在△ABC中，sinB＞0， 得，由0＜A＜π，得，所以，因为，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，则，b2+b﹣6＝（b+3）（b﹣2）＝0，解得b＝2（负值已舍）； （2）因为D是BC边的中点，所以，所以40+12＝52，所以． 22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为． （1）求角A的大小； （2）若b＝3，c＝6，D是BC的中点，求AD的长． 【解析】 （1）由余弦定理可得：S△ABC．由余弦定理可得：b2+c2﹣a2＝2bccosA， 所以S△ABCbccosA，又由三角形的面积公式可得：，所以，bc≠0，所以，又A∈（0，π），所以； （2）因为D为BC的中点，所以，两边平方可得：，所以． 23．在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（2sinAcosA）＝asinB． （1）求A； （2）若a＝2，点D为BC的中点，求AD的最大值． 【解析】 （1）∵b（2sinAcosA）＝asinB．∴sinB（2sinAcosA）＝sinAsinB，∴2sinAcosA＝sinA，∴tanA，∵0＜A＜π，∴A， （2）由D为BC的中点得2，两边平方得，422+2•2＝b2+c2+2bc＝b2+c2+bc，又由余弦定理得b2+c2﹣bc＝4≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，故bc≤4，∴b2+c2＝4+bc，AD2＝4+2bc≤12．即AD2的最大值3，所以AD的最大值． 24．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b﹣ca•cosC，c＝2． （1）求A； （2）若△ABC为锐角三角形，D为BC中点，求AD的取值范围． 【解析】 （1）∵，∴由正弦定理可得，，又sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），∴，∴，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，则，又0＜A＜π，∴； （2）由（1）知，根据题意可得，，解得，在△ABC中，由正弦定理可得，∴，∵，∴tanC∈（1，+∞），∴b∈（2，4），∵D为BC的中点，∴，∴，∵b∈（2，4），∴AD的取值范围为． 25．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosB＝（2c﹣b）cosA． （1）求A； （2）若a＝2，D为BC边的中点，求AD长的最大值； （3）若b＝4，求△ABC面积的取值范围． 【解析】 （1）因为acosB＝（2c﹣b）cosA，所以由正弦定理得：sinAcosB＝2sinCcosA﹣sinBcosA，所以2sinCcosA＝sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B）＝sinC，因为，所以sinC≠0，所以，因为，所以A； （2）因为a＝2，所以由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc，所以bc＝b2+c2﹣4≥2bc﹣4，所以bc≤4，当且仅当b＝c时等号成立，因为D为BC边的中点，所以，所以，所以AD长的最大值为； （3）由正弦定理，得，因为，且△ABC为锐角三角形，所以，解得，所以，所以c∈（2，8），所以． 题型五：解三角形中的角平分线问题 【解题指津】 1.利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。利用角平分线性质，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，通过面积公式建立方程，直接解出角平分线长度。 2.求角分线的范围：将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 26．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，D是线段AC上一点，且2bcosC＝2a﹣c． （1）求角B； （2）若，BD平分∠ABC，求AD． 【解析】 （1）由边角转换可得2sinBcosC＝2sinA﹣sinC，A＝π﹣B﹣C，则sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，则2sinBcosC＝2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinC，整理得：2cosBsinC﹣sinC＝（2cosB﹣1）sinC＝0，又sinC≠0，故2cosB﹣1＝0，即，又0＜B＜π，则； （2），则ac＝8，又，则b2＝a2+c2﹣2accosB，得12＝a2+c2﹣ac，解得或，由角平分线性质得，，则，所以AD的长度为或． 27．记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c＝3，b2＝a2+3a+9． （1）求B； （2）点D在AC上，BD平分∠ABC，且BD＝2，求b． 【解析】（1）根据c＝3，可得b2＝a2+3a+9＝a2+c2+ac，所以a2+c2﹣b2＝﹣ac，可得，结合B∈（0，π），可得； （2）如图所示，可知，因为S△ABC＝S△ABD+S△BCD，所以，结合c＝3、BD＝2，可得，解得a＝6，在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accos∠ABC＝63，可得． 28．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量，满足∥． （1）求B； （2）若角B的平分线交边AC于点D，BD＝2，求△ABC面积的最小值． 【解析】 （1）因为向量，满足∥，所以（a+b）（sinA﹣sinB）＝（a﹣c）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝c（a﹣c），即a2﹣b2＝ac﹣c2，所以a2+c2﹣b2＝ac，所以2accosB＝ac，所以cosB，因为B∈（0，π），所以； （2），，， 因为S△ABC＝S△ABD+S△CBD，即，即，可得，则，当且仅当时取等号，所以．即△ABC面积的最小值为． 29．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B的值； （2）若△ABC的面积为，∠ABC的平分线BD交AC于D，求线段BD的最大值． 【解析】 （1）根据正弦定理可知，及，得，即a2+c2﹣b2＝ac，根据余弦定理得，0＜B＜π，∴； （2）如图所示，∵，∴ac＝4，∵BD为∠ABC的平分线，S△ABC＝S△ABD+S△DBC，∴，，当且仅当a＝c＝2时，等号成立，∴线段BD的最大值为． 30．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且A≠C． （1）求证：B＝2C； （2）已知BD是∠ABC的平分线，若a＝6，求线段BD长度的取值范围． 【解析】 （1）由题意得，即，所以sin2B＝sin2C+sinAsinC， 由正弦定理得b2＝c2+ac，又由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，所以c＝a﹣2ccosB，故sinC＝sinA﹣2sinCcosB，故sinC＝sin（B+C）﹣2sinCcosB，整理得sinC＝sin（B﹣C），又△ABC为锐角三角形，则，，，所以C＝B﹣C，因此B＝2C； （2）在△BCD中，由正弦定理得，所以，所以．因为△ABC为锐角三角形，且B＝2C，所以，解得，故，所以，因此线段BD长度的取值范围． 31．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若D为边BC上一点，满足BD＝2CD，且AD＝2，求△ABC的面积最大值； （3）若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，且AD＝1，求b+2c的最小值． 【解析】 （1）因为，由正弦定理得， 又因为B=π-（A+C），可得，所以，所以，因为0＜C＜π，所以sinC≠0，可得，所以，又因为0＜A＜π，故； （2）因为D为边BC上，满足BD＝2CD，所以，所以，所以，所以，即有，所以，所以，即bc≤6，当且仅当时，即c＝2，b时，取等号，所以； （3） 由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，则，可得，则，故，当且仅当，即b，c时，等号成立，即b+2c的最小值为． 题型六：解三角形中的高线问题 【解题指津】 1.高线将三角形分成两个直角三角形，可以利用面积或直角三角形的边角关系建立方程。 2.求高线的范围：将高线表示为底边和对应角的正弦的乘积，转化为三角函数的值域问题，或结合底边的取值范围进行估算。 32．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c＝2b，A＝120°． （1）求cosB的值； （2）若a＝4，求BC边上的高． 【解析】 （1）在△ABC中，c＝2b，A＝120°，由余弦定理得，所以，所以； （2）由（1）可得，，，则△ABC的面积，设BC边上的高为h，则，所以，故BC边上的高为． 33．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b＝c+2acosC． （1）求A； （2）若b﹣c＝2，△ABC的面积为，求BC边上的高． 【解析】 （1）已知2b＝c+2acosC，由正弦定理得2sinB＝sinC+2sinAcosC，在△ABC中，sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，可得2cosAsinC＝sinC，又C∈（0，π），故sinC＞0，可得，因为A∈（0，π），所以； （2）由△ABC的面积为，即，由（1）知，则，解得bc＝3，又b﹣c＝2，故b＝2+c，将b＝2+c代入bc＝3得c2+2c﹣3＝0，解得c＝1，负数舍去，故b＝2+c＝3，由余弦定理得a，设BC边上的高为h，则，即，解得． 34．锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若b+c＝6，求BC边上的高AD长的最大值． 【解析】 （1）因为C＝π﹣（A+B），所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，又，所以，所以，所以cosB＝0或，若cosB＝0，则，与△ABC为锐角三角形矛盾，舍去，从而，则，又，所以； （2）由（1）知，化简得a2＝36﹣3bc， 因为，所以，所以，又，所以bc≤9，当且仅当b＝c＝3时取等号，所以，所以，故AD长的最大值为． 35．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，求BC边上的高AD的最大值． 【解析】 （1）根据正弦定理可得：，又b2+c2﹣a2＝2bccosA，∴，∴； （2），∴，当且仅为b＝c时取等号，∵，∴，∴，∴，∴AD的最大值为． 36．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC＝0， （1）求B的大小； （2）已知，BD为AC边上的高，求BD的取值范围． 【解析】 （1）根据（2a+c）cosB+bcosC＝0，结合正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC＝0，即2sinAcosB+（sinBcosC+cosBsinC）＝0，化简得2sinAcosB+sin（B+C）＝0，因为ΔABC，sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA，且sinA≠0，所以2sinAcosB+sinA＝0，即2cosB+1＝0，解得，结合B∈（0，π），可得． （2）由正弦定理得，所以c＝2sinC，在RtΔABD中，，因为，可得，所以，即． 37．记锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角A的大小； （2）若a＝2，求BC边上的高的取值范围． 【解析】 （1）∵，∴由正弦定理可得，，∴tanA+tanB+tanC，∵A+B+C＝π，∴﹣tan（B+C）+tanB+tanC，∵，∴，∴（tanB+tanC），∴，∴tan（B+C）＝﹣tanA，∴tanA，∵A∈（0，π），∴； （2）由（1）可得，，设BC的高为h，由三角形的等面积法可得，，即h，由正弦定理可得，，∵，∴，∴4sinBsinCsin2B，∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，∴，∴，∴，故BC边上的高的取值范围为（2，2]． 题型七：解三角形中有关四边形的计算 【解题指津】 1.若题目中所有的角都可用某一个角度表示，假设这个角为，将别的未知的角用来表示，然后多次使用正弦定理。在求范围与最值的问题中使用较多。 2.若有互为补角的两个角，则可以两次使用余弦定理。正余弦定理结合面积公式使用，解决四边形问题。 38．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5． （1）求cos∠ADB； （2）若DC＝2，求BC． 【解析】 （1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB． （2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5． 39．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∠BAC＝∠DAC． （1）证明：BC＝CD； （2）已知，△ABC的外接圆半径为1，求△ABD面积的最大值． 【解析】 （1）证明：设∠BAC＝∠DAC＝θ，因为∠ABC+∠ADC＝180°，所以sin∠ABC＝sin∠ADC， 在△ABC中，由正弦定理得，，① 在△ACD中，由正弦定理得，，② 由①②可证得：BC＝CD； （2）因为△ABC的外接圆半径r＝1，由正弦定理r＝2，得BC＝CD＝2sinθ，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC，即，即，① 在△ACD中，同理可得，② 由①②可知，AB，AD是关于的方程的两根，所以AB•AD＝2cos2θ．△ABD的面积为．由，得到，又因为，所以，所以．即△ABD面积的最大值为． 40．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝1，，． （1）求△ABC的面积； （2）若∠CAD＝2∠BAC，且，求AD的长． 【解析】 （1）在△ABC中，根据余弦定理知AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，即，解得，根据三角形的面积公式可知，； （2）在△ABC中，根据正弦定理知，解得，又在△ABC中，，所以，因为∠CAD＝2∠BAC，所以，，所以在△ACD中，∠ACD＝π﹣（∠CAD+∠D），所以，在△ACD中，根据正弦定理得，解得． 41．如图，平面四边形ABCD中，AB＝1，BD＝2，∠ABD＝60°，∠CAD＝∠CBD＝θ． （1）当θ＝45°时，求AC； （2）求当θ为何值时，△BCD的面积最大？并求出其最大值． 【解析】 （1）在△ABD中，AB＝1，BD＝2，∠ABD＝60°，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABD＝1+4﹣4cos60°＝3，所以，则BD2＝AB2+AD2，所以∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，∠CAD＝∠CBD，所以∠ACB＝∠ADB＝30°，在△ABC中，由正弦定理得， 所以； （2）在△ABC中，由正弦定理得，所以，所以△BCD的面积为1，因为∠BAD＝90°，所以0°＜θ＜90°，故0°＜2θ＜180°，所以当2θ＝90°，即θ＝45°时，△BCD的面积S取最大值1． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下数学期末复习解答题精练：解三角形 （七大题型，共41小题） 题型一：求三角形的边和周长 【解题指津】求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其问题的本质为这三者之间的关系，知二求一。 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c． （1）求C； （2）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． （1）求角C； （2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长． 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab． （1）求C； （2）若a+b＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 4．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinAcosC+csinAcosAbcosA＝0． （1）求角A的大小； （2）若△ABC的面积为4，且2b＝a+c，求△ABC的周长． 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2+bc． （1）求角A的大小； （2）若三角形的面积为，且b+c＝5，求b和c的值． 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB＝2acosA． （1）求角A的大小； （2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值． 题型二：求三角形的边和周长的最值或取值范围 【解题指津】 1.若是求周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法 （1）若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，看是否满足取等条件。 （2）若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 2.若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2B＝sin2A+sin2C﹣sinAsinC． （1）求角B； （2）若△ABC为锐角三角形，，求△ABC周长的取值范围． 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，，求△ABC周长的取值范围． 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，． （1）求角A； （2）若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围． 10．已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB（sinA+cosB）． （1）若C，求A； （2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围． 11．记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R＝2，且tanB+tanC． （1）求B和b的值； （2）求AC边上高的最大值． 12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC． （1）求角A的值； （2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 13．已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcosC+ccosB＝2acosA． （1）求A； （2）若b+c＝5，△ABC的面积为，求△ABC的周长； （3）若a＝1，求△ABC周长的取值范围． 14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中a＝2，且满足． （1）求角A； （2）求△ABC周长的取值范围； （3）若△ABC为锐角三角形，求c﹣2b的取值范围． 题型三：求三角形的面积最值或取值范围 【解题指津】 通常根据面积公式来求值。 1.利用正余弦定理求边长，然后求得面积 2.结合余弦定理与面积公式也可求得面积。 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1.利用基本不等式可以求面积的最大值。 2.若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 15．在△ABC中，，，． （1）求sinC的值； （2）求△ABC的面积． 16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若△ABC为锐角三角形且，求△ABC面积的取值范围． 17．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且（a+c）sinA+csinC＝bsinB． （1）求B； （2）若a＝2c，b＝2，求△ABC的面积． 18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若； （i）求△ABC周长的取值范围； （ii）求△ABC面积的最大值． 题型四：求三角形的中线 【解题指津】 解三角形中求中线可以应用以下两个性质： 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得) 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小． （2）若，b+c＝5，D为BC中点，求AD的长． 21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，c＝6，． （1）求b的值； （2）若D是BC边的中点，求AD的值． 22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为． （1）求角A的大小； （2）若b＝3，c＝6，D是BC的中点，求AD的长． 23．在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（2sinAcosA）＝asinB． （1）求A； （2）若a＝2，点D为BC的中点，求AD的最大值． 24．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b﹣ca•cosC，c＝2． （1）求A； （2）若△ABC为锐角三角形，D为BC中点，求AD的取值范围． 25．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosB＝（2c﹣b）cosA． （1）求A； （2）若a＝2，D为BC边的中点，求AD长的最大值； （3）若b＝4，求△ABC面积的取值范围． 题型五：解三角形中的角平分线问题 【解题指津】 1.利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。利用角平分线性质，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，通过面积公式建立方程，直接解出角平分线长度。 2.求角分线的范围：将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 26．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，D是线段AC上一点，且2bcosC＝2a﹣c． （1）求角B； （2）若，BD平分∠ABC，求AD． 27．记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c＝3，b2＝a2+3a+9． （1）求B； （2）点D在AC上，BD平分∠ABC，且BD＝2，求b． 28．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量，满足∥． （1）求B； （2）若角B的平分线交边AC于点D，BD＝2，求△ABC面积的最小值． 29．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B的值； （2）若△ABC的面积为，∠ABC的平分线BD交AC于D，求线段BD的最大值． 30．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且A≠C． （1）求证：B＝2C； （2）已知BD是∠ABC的平分线，若a＝6，求线段BD长度的取值范围． 31．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若D为边BC上一点，满足BD＝2CD，且AD＝2，求△ABC的面积最大值； （3）若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，且AD＝1，求b+2c的最小值． 题型六：解三角形中的高线问题 【解题指津】 1.高线将三角形分成两个直角三角形，可以利用面积或直角三角形的边角关系建立方程。 2.求高线的范围：将高线表示为底边和对应角的正弦的乘积，转化为三角函数的值域问题，或结合底边的取值范围进行估算。 32．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c＝2b，A＝120°． （1）求cosB的值； （2）若a＝4，求BC边上的高． 33．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b＝c+2acosC． （1）求A； （2）若b﹣c＝2，△ABC的面积为，求BC边上的高． 34．锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若b+c＝6，求BC边上的高AD长的最大值． 35．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，求BC边上的高AD的最大值． 36．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC＝0， （1）求B的大小； （2）已知，BD为AC边上的高，求BD的取值范围． 37．记锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角A的大小； （2）若a＝2，求BC边上的高的取值范围． 题型七：解三角形中有关四边形的计算 【解题指津】 1.若题目中所有的角都可用某一个角度表示，假设这个角为，将别的未知的角用来表示，然后多次使用正弦定理。在求范围与最值的问题中使用较多。 2.若有互为补角的两个角，则可以两次使用余弦定理。正余弦定理结合面积公式使用，解决四边形问题。 38．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5． （1）求cos∠ADB； （2）若DC＝2，求BC． 39．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∠BAC＝∠DAC． （1）证明：BC＝CD； （2）已知，△ABC的外接圆半径为1，求△ABD面积的最大值． 40．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝1，，． （1）求△ABC的面积； （2）若∠CAD＝2∠BAC，且，求AD的长． 41．如图，平面四边形ABCD中，AB＝1，BD＝2，∠ABD＝60°，∠CAD＝∠CBD＝θ． （1）当θ＝45°时，求AC； （2）求当θ为何值时，△BCD的面积最大？并求出其最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $