专题01 二次根式（期末复习讲义，6知识6重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

专题01 二次根式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二次根式概念、有意义条件 题型02 二次根式性质化简 题型03 二次根式大小比较问题 题型04 二次根式混合运算（必考解答题） 题型05 二次根式化简求值（高频压轴解答题） 题型06 二次根式与勾股定理综合应用（跨章节） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式概念与有意义条件 1. 明确二次根式定义并能精准识别； 2. 熟练求解整式、分式、根式组合式中自变量的取值范围 必考，选择/填空题，命题特点：高频结合分式、不等式、零指数幂综合考查； 核心易错：只考虑被开方数非负，忽略分母不为0、零指数底数不为0的隐藏条件。 二次根式核心性质 1. 精准熟记两大核心公式 2. 清晰区分两个公式的适用条件与形式差异，杜绝混用； 高频必考，选择/填空+计算基础步骤 命题特点：根式化简的核心基础，贯穿所有计算题型 最简二次根式与同类二次根式 1. 掌握最简二次根式两大标准 2. 熟练将普通二次根式化为最简形式 3. 能准确判定同类二次根式，并正确合并。 必考，选择辨析+解答计算， 命题特点：基础题型，侧重解题规范性； 核心易错：未化简直接判定同类根式；被开方数含平方因数未拆尽；误合并非同类二次根式。 二次根式乘除运算与分母有理化 1. 熟练运用乘除运算法则 2. 掌握单项分母、两项平方差型分母有理化方法； 3. 乘除运算结果必须化为最简二次根式。 高频解答题，命题特点：常单独考查或结合化简求值考查； 核心易错：忽略公式中字母取值条件；分母有理化不彻底；运算后未化简根式。 二次根式加减运算 1. 牢记加减运算核心步骤：先化简、再找同类、最后合并； 2. 明确只有同类二次根式可合并，非同类根式不能合并； 3. 规范书写步骤，杜绝跳步、漏项。 期末基础解答题必考，；命题特点：试卷基础送分题型，考查计算熟练度； 核心易错：未化为最简就盲目合并；合并时系数加减计算错误；遗漏常数项。 二次根式化简求值（高频难点） 1. 掌握“先化简、后代入”的解题原则，杜绝直接硬算； 2. 熟练运用整体代入、因式分解、配方等技巧简化计算； 3. 能挖掘题目隐含条件解题。 高频压轴小问，命题特点：中等偏难，试卷区分度题型； 核心易错：直接代入数值导致计算量过大出错；忽略字母取值隐含条件；化简不彻底。 二次根式与勾股定理综合应用 1. 能利用勾股定理列出含二次根式的边长表达式； 2. 熟练化简几何图形中根式形式的边长、周长、面积； 3. 解决直角三角形相关的几何计算、简单实际应用问题。 跨章节高频考题，命题特点：期末必考综合题型，结合几何知识考查； 核心易错：几何边长关系分析错误；根式化简不彻底导致结果出错。 知识点01 二次根式的定义 1.概念：形如 （）的式子叫做二次根式，其中为被开方数。 2.必备两大条件：① 带有二次根号；② 被开方数为非负数。 3.核心特性：双重非负性，即 、，是期末填空、选择、压轴小题高频考点。 知识点02 二次根式有意义的条件 单一二次根式 ： 分式型 ： 且 根式和型 ： 分式根式复合型 ： 知识点03 二次根式三大核心运算性质（必考公式） 性质1（双重非负）： 性质2（先开方再平方）： 性质3（先平方再开方）： 记忆口诀：先开后平方，直接还原；先平方后开方，必带绝对值。 知识点04 二次根式的乘除 1.乘法法则： 2.除法法则： 知识点05 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 同时满足两个条件，缺一不可： 被开方数中不含分母、小数； 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 示例： 是最简二次根式， 均不是最简。 2.同类二次根式 定义：将二次根式化为最简形式后，被开方数完全相同的二次根式。 运算规则：二次根式加减运算，仅能合并同类二次根式，系数相加减，根号及被开方数保持不变。 知识点06 分母有理化方法 单项分母有理化：分子分母同乘分母根式，例： 两项分母有理化：分子分母同乘共轭根式，例： 题型一 二次根式概念与有意义条件 解｜题｜技｜巧 初中三大非负数：、、。 若任意两个及以上非负数相加和为0，则每一项均为0，即：。 易｜错｜点｜拨 但凡遇到根式、分式复合型式子，分两步检查：先查根号内非负，再查分母不为0。 【典例1-1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次根式的定义为形如的式子， ∴A选项是负整数，不符合二次根式的形式； B选项是整数，不符合二次根式的形式； C选项是无理数，不符合二次根式的形式； D选项满足的形式，是二次根式． 故选：D． 【典例1-2】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）使代数式有意义的x的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数， ∴要使有意义，需满足 ， 解不等式得：， 即． 【典例1-3】（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【详解】∵要使有意义，需同时满足两个条件： ①二次根式被开方数非负，即， ②分式分母不为0，即，解得， ∴的取值范围为且． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 题型二 二次根式性质化简 答｜题｜模｜板 1. 统一转化为绝对值形式：； 2. 根据题干条件（取值范围、数轴位置）判断括号内式子正负； 3. 去绝对值：正数直接保留本身，负数变相反数。 易｜错｜点｜拨 ：仅适用于 ，先开方再平方，结果一定为原数； ：适用于全体实数，先平方再开方，结果一定非负。 【典例2-1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， 故选：． 【典例2-2】（25-26八年级上·河北保定·期末）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川达州·期末）在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 【详解】解：隐含条件， 解得：， ∴． 题型三 二次根式大小比较问题 解｜题｜技｜巧 平方比较法（适用于两个正数）：平方后数值越大，原根式越大。例： 作差法： 则 ，反之则小 分子有理化法（适用于根式相减）：，转化为分母比较大小 【典例3-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 【典例3-2】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 【详解】（1）解：， 则的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：对于任意的正整数，有， 则 故答案为：； （3）解：设、， 则， ， 由于， 则，即， 因此． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：>． （2）解：①证明：∵， ，而， ∴， ∴． ②如图，，，． ∵， ∴． 题型四 二次根式混合运算（必考解答题） 解｜题｜技｜巧 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内，最终结果必须化为最简二次根式。 完全平方公式： 平方差公式：（分母有理化核心公式） 【典例4】（25-26八年级上·福建漳州·期末）计算：． 【详解】解：原式 ． 【变式4-1】（25-26八年级上·山西运城·期末）计算 (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式4-2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 题型五 二次根式化简求值（高频压轴解答题） 解｜题｜技｜巧 先化简、后代入，优先整体代换，不单独求解未知数，大幅简化计算。 【典例5-1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【详解】解：， ∴， ， 把代入，原式． 【变式5-2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 【详解】（1）解：对于，分子分母同乘，得 ； 对于，分子分母同乘，得 ． 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ∴； （3）解： ． 【变式5-1】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知求代数式的值． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴ 【变式5-4】（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 题型六 二次根式与勾股定理综合应用（跨章节） 答｜题｜模｜板 1. 找准题干中的直角三角形，确定直角边、斜边； 2. 根据勾股定理 列出含根式的关系式； 3. 化简计算结果，最终保留最简二次根式。 【典例6-1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可得， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为 ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴最小值为； （3）解：∵， ∴代数式的值表示点到点和点的距离之和， 设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为， ∴， ∴代数式的最小值为． 【典例6-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：． 理由如下： 过点A作，交的延长线于点H，连接， ，， 为的中点， ， ， ，， 沿直线折叠得到， ， ， ， ， ， ． 【变式6-1】（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． 又∵， ∴， 展开得， 化简得． （2）设千米，则千米． ∵，，， ∴， 即， 展开得， 化简得， ∴，即千米． （3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式． 作点关于的对称点，连接交于点，过作于，则， ∴， ∴的长为的最小值． 在中，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【变式6-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ②过点作，过点作，连接，如图， ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． （2）解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． （3）解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 【变式6-3】（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 【变式6-4】（24-25八年级上·广东深圳·期末）【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A，E两点在直线同侧，分别过点A，E作，C为线段上一动点，连接，．已知，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为： ； （2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵在直角三角形和直角三角形中，由勾股定理得： ，， ∴， 作点E关于的对称点，得，根据题意，得， 故当A、C、三点共线时，的值最小，如图， 以为一边构造矩形，得到 ∴在中，由勾股定理得： ， ∴当A、C、三点共线时，的值最小，且最值为17； （3）解：由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 作点B关于的对称点，得，且， 根据题意，得， 故当A、P、三点共线时，的值最小，且最小值为， 根据两点间距离公式，得 ， ∴代数式的最小值是． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 对于A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于B选项：的被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于D选项：的被开方数不含分母，且5不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 故选：D． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解不等式得． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 4．（25-26八年级上·河南漯河·期末）已知，则代数式的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． 5．（25-26八年级上·上海·期末）如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是：_____． 【答案】 【详解】解：对于代数式在实数范围内有意义，需要被开方数，且分母 ， 解得； 要使，需要，解得； 故答案为：． 6．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，则______． 【答案】12 【详解】解：， ， 又∵， ∴，， ． 7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 8．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知：，，则代数式的值是（    ） A．6 B．24 C．42 D．96 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：输入， 第一步运算：， ， ， 选择“是”的分支进行运算， 输出值为： ． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则______． 【答案】15 【详解】解：， 所以，两边平方，得， 则，即， ∴， ∴， ， ∴： ， 故答案为：15． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 5．（25-26八年级下·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法：根据，得，∴，∴．把的值整体代入，得． 仿照上述方法解决问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【详解】（1）解：在图中，， 在图中， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 2．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【详解】（1）解：∵两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式， ∵， ∴的有理化因式是：， 故答案为：； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解： ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 4．（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知，求的值．小华是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)求的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：原式 ． （3）解：， 理由：， ， ， ， ． 5．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：①当时， ，，， ∴中最长边的长度为． ②∵， ∴，， ∴ ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值， ∴， ∴ ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二次根式概念、有意义条件 题型02 二次根式性质化简 题型03 二次根式大小比较问题 题型04 二次根式混合运算（必考解答题） 题型05 二次根式化简求值（高频压轴解答题） 题型06 二次根式与勾股定理综合应用（跨章节） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式概念与有意义条件 1. 明确二次根式定义并能精准识别； 2. 熟练求解整式、分式、根式组合式中自变量的取值范围 必考，选择/填空题，命题特点：高频结合分式、不等式、零指数幂综合考查； 核心易错：只考虑被开方数非负，忽略分母不为0、零指数底数不为0的隐藏条件。 二次根式核心性质 1. 精准熟记两大核心公式 2. 清晰区分两个公式的适用条件与形式差异，杜绝混用； 高频必考，选择/填空+计算基础步骤 命题特点：根式化简的核心基础，贯穿所有计算题型 最简二次根式与同类二次根式 1. 掌握最简二次根式两大标准 2. 熟练将普通二次根式化为最简形式 3. 能准确判定同类二次根式，并正确合并。 必考，选择辨析+解答计算， 命题特点：基础题型，侧重解题规范性； 核心易错：未化简直接判定同类根式；被开方数含平方因数未拆尽；误合并非同类二次根式。 二次根式乘除运算与分母有理化 1. 熟练运用乘除运算法则 2. 掌握单项分母、两项平方差型分母有理化方法； 3. 乘除运算结果必须化为最简二次根式。 高频解答题，命题特点：常单独考查或结合化简求值考查； 核心易错：忽略公式中字母取值条件；分母有理化不彻底；运算后未化简根式。 二次根式加减运算 1. 牢记加减运算核心步骤：先化简、再找同类、最后合并； 2. 明确只有同类二次根式可合并，非同类根式不能合并； 3. 规范书写步骤，杜绝跳步、漏项。 期末基础解答题必考，；命题特点：试卷基础送分题型，考查计算熟练度； 核心易错：未化为最简就盲目合并；合并时系数加减计算错误；遗漏常数项。 二次根式化简求值（高频难点） 1. 掌握“先化简、后代入”的解题原则，杜绝直接硬算； 2. 熟练运用整体代入、因式分解、配方等技巧简化计算； 3. 能挖掘题目隐含条件解题。 高频压轴小问，命题特点：中等偏难，试卷区分度题型； 核心易错：直接代入数值导致计算量过大出错；忽略字母取值隐含条件；化简不彻底。 二次根式与勾股定理综合应用 1. 能利用勾股定理列出含二次根式的边长表达式； 2. 熟练化简几何图形中根式形式的边长、周长、面积； 3. 解决直角三角形相关的几何计算、简单实际应用问题。 跨章节高频考题，命题特点：期末必考综合题型，结合几何知识考查； 核心易错：几何边长关系分析错误；根式化简不彻底导致结果出错。 知识点01 二次根式的定义 1.概念：形如 （）的式子叫做二次根式，其中为被开方数。 2.必备两大条件：① 带有二次根号；② 被开方数为非负数。 3.核心特性：双重非负性，即 、，是期末填空、选择、压轴小题高频考点。 知识点02 二次根式有意义的条件 单一二次根式 ： 分式型 ： 且 根式和型 ： 分式根式复合型 ： 知识点03 二次根式三大核心运算性质（必考公式） 性质1（双重非负）： 性质2（先开方再平方）： 性质3（先平方再开方）： 记忆口诀：先开后平方，直接还原；先平方后开方，必带绝对值。 知识点04 二次根式的乘除 1.乘法法则： 2.除法法则： 知识点05 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 同时满足两个条件，缺一不可： 被开方数中不含分母、小数； 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 示例： 是最简二次根式， 均不是最简。 2.同类二次根式 定义：将二次根式化为最简形式后，被开方数完全相同的二次根式。 运算规则：二次根式加减运算，仅能合并同类二次根式，系数相加减，根号及被开方数保持不变。 知识点06 分母有理化方法 单项分母有理化：分子分母同乘分母根式，例： 两项分母有理化：分子分母同乘共轭根式，例： 题型一 二次根式概念与有意义条件 解｜题｜技｜巧 初中三大非负数：、、。 若任意两个及以上非负数相加和为0，则每一项均为0，即：。 易｜错｜点｜拨 但凡遇到根式、分式复合型式子，分两步检查：先查根号内非负，再查分母不为0。 【典例1-1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 【典例1-2】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）使代数式有意义的x的取值范围（　　） A． B． C． D． 【典例1-3】（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【变式1-1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型二 二次根式性质化简 答｜题｜模｜板 1. 统一转化为绝对值形式：； 2. 根据题干条件（取值范围、数轴位置）判断括号内式子正负； 3. 去绝对值：正数直接保留本身，负数变相反数。 易｜错｜点｜拨 ：仅适用于 ，先开方再平方，结果一定为原数； ：适用于全体实数，先平方再开方，结果一定非负。 【典例2-1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26八年级上·河北保定·期末）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川达州·期末）在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 题型三 二次根式大小比较问题 解｜题｜技｜巧 平方比较法（适用于两个正数）：平方后数值越大，原根式越大。例： 作差法： 则 ，反之则小 分子有理化法（适用于根式相减）：，转化为分母比较大小 【典例3-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）比较大小： ______ （填 、或） 【典例3-2】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）比较大小：______（填“”“”或“”）． 【变式3-2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 题型四 二次根式混合运算（必考解答题） 解｜题｜技｜巧 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内，最终结果必须化为最简二次根式。 完全平方公式： 平方差公式：（分母有理化核心公式） 【典例4】（25-26八年级上·福建漳州·期末）计算：． 【变式4-1】（25-26八年级上·山西运城·期末）计算 (1)； (2)． 【变式4-2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1)； (2)． 【变式4-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 题型五 二次根式化简求值（高频压轴解答题） 解｜题｜技｜巧 先化简、后代入，优先整体代换，不单独求解未知数，大幅简化计算。 【典例5-1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）先化简，再求值：已知，求的值． 【变式5-2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 【变式5-1】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知求代数式的值． 【变式5-2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【变式5-3】（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 【变式5-4】（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 题型六 二次根式与勾股定理综合应用（跨章节） 答｜题｜模｜板 1. 找准题干中的直角三角形，确定直角边、斜边； 2. 根据勾股定理 列出含根式的关系式； 3. 化简计算结果，最终保留最简二次根式。 【典例6-1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【典例6-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【变式6-1】（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【变式6-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【变式6-3】（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【变式6-4】（24-25八年级上·广东深圳·期末）【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A，E两点在直线同侧，分别过点A，E作，C为线段上一动点，连接，．已知，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为： ； （2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南漯河·期末）已知，则代数式的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 5．（25-26八年级上·上海·期末）如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是：_____． 6．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，则______． 7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 8．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知：，，则代数式的值是（    ） A．6 B．24 C．42 D．96 2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则______． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 5．（25-26八年级下·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法：根据，得，∴，∴．把的值整体代入，得． 仿照上述方法解决问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3) 【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 2．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 3．（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 4．（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知，求的值．小华是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)求的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 5．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $