精品解析：黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

哈师大附中2025-2026学年度下学期高二期中考试数学试题 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 第Ⅰ卷 （选择题共58分） 一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D 2. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 960 B. 20 C. 120 D. 160 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理得到通项公式，得到常数项. 【详解】的通项公式为， 令，解得， 故的展开式中，常数项为. 故选：D 3. 已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算，注意在时，． 【详解】因为， 所以，， ， ，， ， 故选：C． 4. 已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.46 C. 0.58 D. 0.62 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】设事件B为“选出的运动员能晋级”， 为“选出的运动员是一级运动员”， 为“选出的运动员是二级运动员”， 为“选出的运动员是三级运动员”， 则，，， 又根据题意可得，，， 由全概率公式可得： ， 任选一名运动员能够晋级的概率为0.46. 故选：B. 5. 为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：，．则下列选项不正确的是（  ） A. B. 由散点图知变量和正相关 C. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 D. 如果研发投入亿元，估计产品收益为亿元 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出，，即可求解判断选项A；画出散点图即可判断选项B；根据公式求出回归方程即可判断选项C；结合选项C，将代入计算即可判断选项D． 【详解】对于A，依题意得， ，故A正确； 对于B，由图表可得散点图如下，由散点图知变量和正相关，故B正确； 对于C，由，，，，所以，故C错误； 对于D，结合选项C，当时， ，故D正确． 6. 某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（ ） A. 480种 B. 444种 C. 408种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 7. 连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（ ）． A. B. 是增函数 C. 的图象关于轴对称 D. 的图象关于点中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线及其对称性依次判断各项的正误. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，根据正态分布曲线，当x增大时减少，所以是减函数，错误； 对于C，，显然的图象不关于轴对称，错误； 对于D，因为X服从正态分布，正态曲线关于对称， 所以，则，正确． 故选：D 8. 已知随机变量所有可能的取值为，若，则（ ） A. 存在 B. 任意 C. 存在 D. 任意 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得到的范围及其关系，根据均值与方差的公式可得到的表达式，消去参数或后，根据二次函数的性质可得到的范围，举反例可判断B，作差法比较大小可判断C，换元法可判断D. 【详解】由题意知，，，即，，，所以. 由知，， 因为，，所以，故A错误. 当时，，故B错误. 将代入得， 又，由二次函数的性质可知， 由上知， (或) 所以，即，故C错误. 令， 则的值域等价于函数的值域， 由二次函数的性质知的值域为，故D正确. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A，B，C，D四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区，则下列说法正确的是（ ） A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法 B. 若恰有一个区无人去，则共有36种不同的安排方法 C. 若甲不去A区，且每个区均有人去，则共有18种不同的安排方法 D. 若A区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有16种不同的安排方法 【答案】AC 【解析】 【分析】全排列可得A正确；利用先特殊后一般，先组合后排列，得出结果判断其余选项； 【详解】某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A，B，C，D四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区． 对于选项A，若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法，即选项A正确； 对于选项B，若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法；即选项B错误； 对于选项C，若甲不去A区，且每个区均有人去，则共有种不同的安排方法，即选项C正确； 对于选项D，若A区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有种不同的安排方法，即选项D错误． 故选：AC． 10. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用赋值法分别判断A、B、C，令得，对等式两侧同时求导函数及赋值即可判断D. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，令，则，故B正确； 对于C，令，则，故C正确； 对于D，令，则， 对等式两侧同时求导函数得， 令得，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子放有2个红球，2个黄球，2个绿球，黄色箱子放有2个黄球，1个绿球，绿色箱子放有1个黄球，2个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取1个小球，如此重复，抽取3个小球，抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖，3个小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（ ） A. 甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为 B. 甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为 C. 甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为 D. 甲第一次取球取到红球获奖的概率最大 【答案】ABC 【解析】 【分析】设分别表示第一次抽取到的是红球，黄球，绿球，分别表示获得一等奖，二等奖，根据事件的关系与条件概率公式逐项求解即可得结论. 【详解】设分别表示第一次抽取到的是红球，黄球，绿球， 分别表示获得一等奖，二等奖， 对于，所以A正确； 对于，所以B正确； 对于C，设甲获奖为事件，甲获得一等奖的概率为 甲获得二等奖的概率为，所以， 甲第一次取到绿球且获奖的概率为， 所以甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为，故C正确； 对于D，甲第一次取球取到红球获奖的概率为， 甲第一次取球取到黄球获奖的概率为， 甲第一次取球取到绿球获奖的概率为， 则甲第一次取球取到绿球或者黄球获奖的概率最大，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. ．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，则质点位于的位置的概率为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】计算质点移动次可能的结果，质点位于的位置的可能结果，根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由题意可得：质点移动次可能的结果有种， 质点位于的位置则指点向右移动次向左移动次， 从质点移动次中选一次向左移动，其它次向右移动共有种， 由古典概率公式可得：质点位于的位置的概率为， 故答案为：. 13. 第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事. 若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少分配到1名志愿者，每名志愿者只去1个场馆，且甲不能去A场馆，乙必须去B场馆，则共有______种分配方法. 【答案】7 【解析】 【分析】分甲、乙被分配1个场馆和甲、乙被分配不同场馆进行讨论，结合分步计算原理及排列组合求解． 【详解】三个场馆每个场馆至少分配到1名志愿者， 所以4名志愿者将以2，1，1分配给三个场馆， 第一类，甲、乙被分配1个场馆，甲、乙只能分配到B场馆，此类共有种方法， 第二类，甲、乙被分配不同场馆，则甲只能分配到C场馆， 若剩下2人（丙丁）分配到同一个场馆，则只能分配到A场馆，有1种方法； 若剩下2人（丙丁）分配到不同场馆，则2人先选1人分配到A场馆， 剩下1人可选择分配到B场馆或C场馆，共有种， 则总共种分配方法． 14. 现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则___________. 【答案】8 【解析】 【分析】方法一：根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案. 【详解】方法一：设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为， 第三次取出的是白球的取法有如下四种情形： 白白白，取法数为： 红白白，取法数为： 白红白，取法数为： 红红白：取法数为： 所以第三次取出的是白球的总情形数为： 则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：， 因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第三个球是白球的概率为： 当时，. 故答案为:8． 方法二：设“取出第个袋子”，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”， 则，且，，，两两互斥，， ，，所以， 所以，，即，解得：. 故答案为：． 【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题 根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况) 再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想) 最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可. 累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤. 四、解答题：本大题共5小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组.调查发现：甲组成员共人，其中男生人. （1）根据以上数据，填空下述列联表： 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关； （3）现从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签，记赠送书签的人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 【答案】（1）答案见解析 （2）认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关. （3） . 【解析】 【15题详解】 根据题中数据可得列联表如下： 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 【16题详解】 零假设学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关. 【17题详解】 从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签， 这人中，甲组的人数为人，乙组的人数为人， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， ，，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 所以. 16. 已知等差数列和正项等比数列满足，，． （1）求和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解； （2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算. 【小问1详解】 设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； 【小问2详解】 由（1）可知，， 则 17. 某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验．研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标y（单位：）随给药剂量x（单位：mg）的变化情况．为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图（如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量）． （1）观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； （2）设这14组数据得到的经验回归方程为． （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； （ⅱ）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数．（结果精确到0.01） 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）模型一的拟合效果更好，理由见解析 （2）（ⅰ）点，理由见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据残差图，比较带状区域的宽度即可得出判断； （2）（ⅰ）计算出残差即可求解；（ⅱ）根据相关系数公式及经验回归方程计算即可． 【小问1详解】 模型一的拟合效果更好，理由如下： 模型一残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型二的带状宽度窄，所以模型一的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应就越高． 【小问2详解】 （ⅰ）点，理由如下： 因为模型一的拟合效果更好，经验回归方程为， 所以该方程相应于点的残差为，故选点； （ⅱ）由题可知，， 所以， 由，， 所以 ． 18. 已知函数． （1）若曲线在处的切线斜率为，求a的值； （2）讨论函数在区间上的极值点个数； （3）设，证明：当时，对，恒成立． 【答案】（1） （2）当或 时，在上无极值点；当 时， 在上有一个极值点 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在的导数值是过该点的切线的斜率，所以对函数求导可得切线斜率，进而得的值； （2）先求函数的导函数，再分三种情况分类讨论，分析导函数的正负情况，再结合导函数的零点求解，进而判断求出函数极值点的个数； （3）将转化成以为自变量的函数，分析这个二次函数对称轴的范围，进一步得出在上单调递增，问题可转化为证明，再次转化成，研究其最小值即可. 【小问1详解】 由已知可得，由题意得，解得. 【小问2详解】 ，因为 ，所以 ，故， 若 ，则恒成立，所以在上单调递增，无极值点； 若 ，则恒成立，所以 在上单调递减，无极值点； 若，由 得 ， 在上， 单调递减，存在唯一的，使得， 当时，，当时， ， 所以在 上单调递增，在上单调递减，有一个极值点； 综上所述，当或 时，在上无极值点；当时，在 上有一个极值点. 【小问3详解】 因为，令是关于 的二次函数， 对称轴为 ， 令，则， 令，则；，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证 令，则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. 综上：当时，恒成立． 19. 已知袋子中共有个大小形状完全相同的球，其颜色分别为红色、黄色和蓝色，其中红球有个，现从中随机、不放回的逐个取出小球，直到将球全部取出． （1）求第二次取出的是红球的条件下，第一次取出的不是红球的概率； （2）若红球、黄球和蓝球的个数分别为3个、2个和2个，求红球被全部取出时，剩余的黄球个数比蓝球个数多的概率； （3）记随机变量为最后一个红球被取出时袋子中剩余球的个数，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的公式求解即可； （2）先求出当最后一个红球被取出时，剩余的黄球和蓝球个数相同的概率，再结合黄球和蓝球个数相同，即可求解； （3）先根据题意得到的取值，再求出每个取值的概率，进而根据期望公式即可求解． 【小问1详解】 设第一次取出的不是红球为事件A，第二次取出是红球为事件B， 则，， 所以． 【小问2详解】 当最后一个红球被取出时，剩余的黄球和蓝球个数相同的情况可分三类： ①最后一个红球为第3个时（前3个都是红球）， 即前3个红球全排列，后4个球（2黄2蓝）全排列，共有种； ②最后一个红球为第5个时（前4个球中有2红1黄1蓝，第5个是红球）， 即选1个红球放第5位，在2黄和2蓝中各选1个，前4个球（2红1黄1蓝）全排列，后2个球（1黄1蓝）全排列，共有种； ③最后一个红球为第7个时（前6个球中有2红2黄2蓝，第7个是红球）， 即选1个红球放第7位，前6个球（2红2黄2蓝）全排列，共有种， 所以当最后一个红球被取出时，剩余的黄球和蓝球个数相同的概率为， 又黄球和蓝球个数相同，所以黄球个数比蓝球个数多的概率与蓝球个数比黄球个数多的概率相同， 所以剩余的黄球个数比蓝球个数多的概率为． 【小问3详解】 随机变量的取值为， ，，，，， 设红球被全部取出时，一共被取出了个球， 则随机变量的分布列， 所以， 又， ， ， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大附中2025-2026学年度下学期高二期中考试数学试题 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 第Ⅰ卷 （选择题共58分） 一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 2. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 960 B. 20 C. 120 D. 160 3. 已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.46 C. 0.58 D. 0.62 5. 为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：，．则下列选项不正确的是（  ） A. B. 由散点图知变量和正相关 C. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 D. 如果研发投入亿元，估计产品收益为亿元 6. 某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（ ） A. 480种 B. 444种 C. 408种 D. 360种 7. 连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（ ）． A. B. 是增函数 C. 的图象关于轴对称 D. 的图象关于点中心对称 8. 已知随机变量所有可能的取值为，若，则（ ） A. 存在 B. 任意 C. 存在 D. 任意 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A，B，C，D四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区，则下列说法正确的是（ ） A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法 B. 若恰有一个区无人去，则共有36种不同的安排方法 C. 若甲不去A区，且每个区均有人去，则共有18种不同的安排方法 D. 若A区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有16种不同的安排方法 10. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子放有2个红球，2个黄球，2个绿球，黄色箱子放有2个黄球，1个绿球，绿色箱子放有1个黄球，2个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取1个小球，如此重复，抽取3个小球，抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖，3个小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（ ） A. 甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为 B. 甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为 C. 甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为 D. 甲第一次取球取到红球获奖的概率最大 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. ．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，则质点位于的位置的概率为_______________________． 13. 第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事. 若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少分配到1名志愿者，每名志愿者只去1个场馆，且甲不能去A场馆，乙必须去B场馆，则共有______种分配方法. 14. 现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组.调查发现：甲组成员共人，其中男生人. （1）根据以上数据，填空下述列联表： 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关； （3）现从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签，记赠送书签的人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 16. 已知等差数列和正项等比数列满足，，． （1）求和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 17. 某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验．研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标y（单位：）随给药剂量x（单位：mg）的变化情况．为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图（如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量）． （1）观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； （2）设这14组数据得到的经验回归方程为． （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； （ⅱ）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数．（结果精确到0.01） 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 18. 已知函数． （1）若曲线在处的切线斜率为，求a的值； （2）讨论函数在区间上的极值点个数； （3）设，证明：当时，对，恒成立． 19. 已知袋子中共有个大小形状完全相同的球，其颜色分别为红色、黄色和蓝色，其中红球有个，现从中随机、不放回的逐个取出小球，直到将球全部取出． （1）求第二次取出的是红球的条件下，第一次取出的不是红球的概率； （2）若红球、黄球和蓝球的个数分别为3个、2个和2个，求红球被全部取出时，剩余的黄球个数比蓝球个数多的概率； （3）记随机变量为最后一个红球被取出时袋子中剩余球的个数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $