精品解析：湖南邵东市创新学校2025-2026学年高一下学期5月创高杯考试数学试题

创新高级中学2026年上学期创高杯考试高一数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 若，是空间中两条不同的直线，则“存在平面，使，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，为的边上的中线，且，那么为（ ） A. B. C. D. 6. 某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 在直角梯形中，，，，，为的中点，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数：满足，则（ ） A. B. 的实部为1 C. 的共轭复数为 D. 在复平面中对应的点位于第四象限 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则在上的投影向量为 11. 在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则______． 13. 已知平面向量，，且，则_______． 14. 四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且与向量共线. （1）求的值； （2）若与垂直，求实数的值. 16. 的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 18. 在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． （1）求证：． （2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值． （3）求点C到平面PBD的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 创新高级中学2026年上学期创高杯考试高一数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到复数，再求模长即可． 【详解】解：，则． 3. 若，是空间中两条不同的直线，则“存在平面，使，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件与必要条件定义，借助直线与平面的关系判断即可得. 【详解】若，可知直线，是共面直线，则存在平面，使，，即必要性成立； 若存在平面，使，，则直线，可能相交，即充分性不成立； 综上所述：“存在平面，使，”是“”的必要不充分条件． 4. 中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得，而， 所以. 故选：A 5. 如图，为的边上的中线，且，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为中点，则，根据平面向量基本定理即可求解. 【详解】由， 所以， 故选：A. 6. 某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理可求得. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 所以． 7. 在直角梯形中，，，，，为的中点，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解． 【详解】解：在直角梯形中，，，，， 则，由为的中点， 得， 所以． 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题目条件有，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 【详解】因，平面ABCD，平面ABCD， 则，又因四边形ABCD为矩形，则. 则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：， 则外接球的表面积为： 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数：满足，则（ ） A. B. 的实部为1 C. 的共轭复数为 D. 在复平面中对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念及几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 的实部为1，虚部为1，故B正确； ，故A正确； 的共轭复数为，故C不正确； 在复平面中对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用向量模的三角不等式可判断C选项；利用投影向量的定义以及平面向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，化简可得，A对； 对于B选项，若，则， 又因为，解得或，B错； 对于C选项，， 当且仅当、同向时，即当时，即当时，等号成立， 故的最大值为，C对； 对于D选项，若，则， 则在上的投影向量为，D错. 11. 在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦定理，对进行边角互化，结合的取值范围得，再利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得为锐角，利用诱导公式、同角三角函数关系及正弦函数的单调性，可得，判断A；求出，判断B；求出判断C，D. 【详解】因为，所以，根据正弦定理边角互化得， 因为，，所以，即， 所以，即. 由余弦定理可知，，故， 若，则，注意到， 所以，（两者同负会有两个钝角，不成立），即，， 因为，，都是锐角， 所以， 于是，这和相矛盾， 故不成立，所以． 所以，，， 所以，故A选项正确； ，即， 所以或，即或， 当时，，； 当时，，，故B选项错误； 因为的面积为， 所以，当，时，，，， 解得，，； 当，时，，，， 解得，，， 故C选项错误，D选项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 已知平面向量，，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再利用即可. 【详解】由题意得，， 又，则，解得． 故答案为：． 14. 四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】法一：可将四棱锥放入正方体中，则可作出截面与正方体各棱交点，再利用相似三角形性质计算即可得解；法二：过点作直线，延长与直线交于点，则交于点，再作出相应的相似三角形，利用相似三角形性质计算即可得解. 【详解】法一：如图1，将四棱锥放入正方体中， 延长与正方体刚好交于点，延长与交于点，连接， 过点作与交于点， 此时，，，，四点共面，则与的交点为点， ，又，则，，， ，. 法二：如图2，过点作直线，延长与直线交于点， 连接交于点，过点作交于点， 则点为上靠近点的四等分点． ，，则，，， 又，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且与向量共线. （1）求的值； （2）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算坐标表示公式，结合平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 . 因为与共线，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 由与垂直， 得， 所以，解得. 16. 的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理、三角形的面积公式可化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由（1）可得出的值，结合正弦定理可求得的知，结合已知条件求出的值，由此可求出的周长. 【小问1详解】 由余弦定理可得，即， 因为，即，所以， 因为，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 由（1）可得，可得， 所以，，则，故， 因为，所以， 故， 因此，的周长为. 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 18. 在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得，进而求出角. （2）设，则，在中，根据正弦定理，再由三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 解：∵， 由正弦定理可得：， ∴， ∵，∴， ∴，∵为锐角， ∴，∴，∴； 【小问2详解】 解：由题意可知，设，∴， ∵，又∵，∴， 在中，由正弦定理可得：， 即：，∴， ∴ ， ∵，∴， ∴，∴， ∴三角形面积的取值范围为. 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． （1）求证：． （2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值． （3）求点C到平面PBD的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【小问1详解】 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． 【小问2详解】 连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． 【小问3详解】 由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $