专题06 一次函数中的面积问题、存在性问题、新定义探究问题 （高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题06 一次函数中的面积问题、存在性问题、新定义探究问题 考点01 一次函数中的面积问题 考点02 一次函数中存在性问题（如存在等腰三角形、直角三角形、平行四边形等类型） 考点03 一次函数中的新定义与探究问题 考点01 一次函数中的面积问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与坐标轴分别交于，两点，已知，且． (1)求一次函数的表达式； (2)当轴上有一点，使得的面积为10，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求得点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）点C的坐标为，则，根据的面积为10得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图像经过点和点， ∴，解得：， ∴． （2）解：点C的坐标为，则， ∵的面积为10， ∴，解得或， ∴点C的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． (1)求直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）由正比例函数解析式求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据一次函数的解析式求得B的坐标，然后设D点坐标为，分类讨论，当D在第二象限或第四象限时，分别求出D点坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得， 点的坐标为． 将点代入中，得， 解得， 所以，函数表达式为； （2）解：∵一次函数为， 当时，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵点D在直线上， ∴设， ∵的面积与的面积相等， ∴， ①当点D在第二象限时，即时； ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为； ②当点D在第四象限时，即时； ∴， 解得：， ∴点D的坐标为， 综上所述点D的坐标为或． 3．如图在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C．直线与直线交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)直线上存在一点E使，求点的坐标； 【答案】(1)，． (2) (3)或 【分析】（1）将点的坐标先后代入两条直线的解析式，求出和的值； （2）求出、两点坐标得到的长度，以为底、点纵坐标为高，计算的面积； （3）过点作轴，交于点，先求得点的坐标，得出，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点在直线上， 将点代入可得， 点的坐标为， 将点代入可得，解得． 综上，，． （2）解：根据（1）可知，， 分别令，， 解得，， 则点的坐标为，点的坐标为， 由可得． （3）解：如图，过点作轴，交于点， 当时，，解得：，则 将代入，则 ∴，则 设， ∵ ∴，即 解得：或 ∴或 4．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合问题，解题关键是能将点的坐标与一次函数的关系理清楚． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，． (1)①作图：经过点画出的垂线，垂足为， ②直接写出的长度； (2)与轴交于点，请求出点的坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发以每秒个单位长度的速度向上运动，设运动时间为秒，运动过程中射线和射线交于点．若三角形的面积等于，求出的值． 【答案】(1)①图见解析；② (2) (3) 【分析】（1）①根据垂线定义作图即可；②先利用割补法求出的面积，结合，由即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，令解析式中，计算出对应的值，即可得出点的坐标； （3）先根据动点的运动速度和时间，分别表示出、两点的坐标；再用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，求出的取值范围，依题意作出图形，联立两个解析式解方程组，得到交点的坐标；利用为水平线段的特点，以为底，以点与点的纵坐标差为高，结合三角形面积等于的条件列出关于的方程；最后解方程并验证在射线相交的有效范围内，得到最终的值． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②如图，在外作矩形方框， ， ∵，， ∴，解得 （2）解：设的解析式为，代入，，得 ， 解得， ∴的解析式为， 令，则， ∴ （3）解：∵ 动点从以每秒个单位向左运动，动点从以每秒 个单位向上运动，运动时间为秒， ∴，， 设直线的解析式为，把、代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把、代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当时，射线和射线无交点，故； ∵，， ∴当时，点在上，此时点和点重合，此时， ∵， ∴， ∴， 如图， ∵射线和射线交于点， ∴联立方程得 ， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 满足，且不会使运算中分母为，符合题意． 6．如图，直线分别与x轴、y轴交于点，，且与直线：交于点． (1)求直线所对应的表达式； (2)直线：交于x轴于点D，求点D的坐标； (3)若点是直线在第一象限内的一个动点． ①求的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当的面积为20时，求点P的坐标． 【答案】(1)直线： (2)点D的坐标为 (3)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的表达式即可； （2）先求得，利用待定系数法求得直线的表达式，再令，求得，即可求解； （3）①利用三角形面积公式求解即可；②令，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线：； （2）解：直线与直线交于点， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴直线：， 令，得， 解得， ∴点D的坐标为； （3）解：①的面积， ∵点是直线：在第一象限内的一个动点， ∴的面积，即． ②当时，即， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为． 7．阅读材料： 在数轴上，表示一个点：在平面直角坐标系中，表示一条直线：以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分：如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： (1)图3阴影部分（含边界）表示的是______（填写不等式）表示的平面区域； (2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； (3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为，且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出经过，的直线为，可得图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； （2）用待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，即得阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点， 满足条件的在内（包括边界），再求出，列方程求得，用三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：设经过，的直线为， ， 解得， 经过，的直线为， 观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； （2）解：设直线解析式为， 把代入得：， 解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 将代入得：， 解得， 直线解析式为， 观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）解：如图，作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点， 则可得， 题中需要， 满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分， 在中，， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得（负数舍去）， ． ， ，， 设，则， ， ， 解得， ． 即所有点P组成的平面区域的面积为． 考点02 一次函数中存在性问题（存在等腰三角形、直角三角形问题、平行四边形） 8．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数的表达式； (2)一次函数的图象上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标或 (3)点的坐标为：或或 【分析】（1）先将代入，求出点的坐标，再由待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，得出，设点，当点位于轴上方时，，当点位于轴下方时，，分别求得值，再代入解析式求得值，即可得到答案； （3）设点，得到，，，分情况讨论，当时，当时，分别列出方程，解之即可． 【详解】（1）解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ， 解得：， 点的坐标； 一次函数的图象过点和点， 则有， 解得：，， 一次函数表达式为． （2）解：一次函数的图象上存在点，使得； 理由如下： 对于一次函数，令，得：， 解得， 所以点， 所以， 设点， 当点位于轴上方时，， 解得：， 当点位于轴下方时，， 解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 故点的坐标或． （3）解：设点， 则， ， ， 当时，， 所以， 解得：或， 此时点的坐标为或； 当时，， 所以， 解得：， 此时点的坐标为； 综上分析可知：点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题进行分类讨论是解题的关键． 9．已知平面直角坐标系内有平行四边形，其中顶点坐标为，，，． (1)判断平行四边形的形状； (2)连接， ①若一次函数与该平行四边形有交点，试求出t的取值范围； ②已知，连接，直线与x轴交于点F，当A，B，F三点共线时，求的面积． 【答案】(1)矩形 (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，根据点的坐标特征得出点与点、线段与线段之间的关系是解题关键； （1）由题意得轴；轴；推出，即可判断； （2）根据，求出，；①求出临界状态当一次函数与矩形交于点时，当一次函数与矩形交于点时的t即可求解； ②由题意得；根据，，，推出是的中点，即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴轴； ∵，， ∴轴； ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵， 解得：（舍） ∴，； ①当一次函数与矩形交于点时， 则； 当一次函数与矩形交于点时， ，解得：； ∴若一次函数与该平行四边形有交点，则； ②由题意得：点F为轴上的点， ∵轴； ∴当A，B，F三点共线时，； ∵，，； ∴是的中点， ∴，解得：； ∴； ∴ 10．如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象与x轴交于A点． (1)A点坐标为 ； (2)一次函数图象上是否存在一点C，使得四边形是平行四边形？如存在，求出C点坐标．若不存在，说明理由； (3)将绕点O顺时针旋转，旋转得，问：能否使以点O、、D、为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， (3)的坐标为或或． 【分析】（1）由一次函数解析式，令可求得点的坐标； （2）由两点距离可求得、的长，根据四边形为平行四边形即可得点坐标，进而即可判断； （3）分三种情况，以直角三角形的面积求出斜边上的高再利用勾股定理即可得点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 当时，， 解得， 点坐标为， 故答案为：； （2）解：存在一点，使得四边形是平行四边形，如图， ，，， ， ，， ， 当时，， 点在一次函数的图象上， 存在一点，使得四边形是平行四边形，点坐标为； （3）解：由题意可知；，， ①旋转后，若轴，连接，成四边形，如图， ， 四边形构成平行四边形， 此时，设与轴交于， 则，， 点的坐标为； ②旋转后，若的中点在轴上，成四边形，如图2， ， ， 四边形构成平行四边形 作轴交于， 则，， 点的坐标为； ③旋转后，若轴，成四边形，如图， 又， 四边形构成平行四边形 此时，设与轴交于， 则，， 点的坐标为 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了旋转的性质，三角形的面积公式，勾股定理，平行四边形的性质，题中运用直角三角形的勾股定理知识，求出线段的长是解题的关键． 11．如图，点的坐标是点的坐标是，一次函数的图像是直线，点在直线上． (1)若点在第二象限内，设的面积为，求关于的函数关系式，并求的取值范围 (2)若一次函数的图像与轴的交点为，且是直角三角形，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求得直线与轴的交点坐标以及的长，再根据点在直线上，确定点离轴的距离，最后根据三角形的面积计算公式，求得关于的函数关系式和的取值范围； （2）先判断是等腰直角三角形，再分两种情况进行讨论：是直角和是直角，分别求得的值． 【详解】（1）解：在一次函数中，当时，， 直线与轴交于， 点的坐标是， ， 点在直线上， ， 的面积， 即， 点在第二象限内， ； （2）如图， 在一次函数中，当时，， 直线与轴交于， 是等腰直角三角形， ， ①当是直角时，是等腰直角三角形， 此时，，点在第一象限，离轴的距离为，离轴的距离为 ， ； ②当是直角时，是等腰直角三角形， 此时，，点在第一象限，离轴的距离为，离轴的距离为 ， ， 综上所述，当或时，是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了两条直线相交问题，解决问题的关键是掌握三角形面积的计算方法，以及等腰直角三角形的性质．解题时注意分类讨论思想的运用． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A、的坐标分别为，，以、为邻边作平行四边形，一次函数（k、b为常数，且）的图象过点． (1)点的坐标为_____； (2)当一次函数的图象将分成面积相等的两部分时，求的值． (3)直接写出一次函数的图象与的边只有两个公共点时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质、平行四边形的性质、平移的性质等知识点．熟练掌握平行四边形的性质以及数形结合的思想是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质和平移性质解答即可； （2）根据一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分得到一次函数过原点，进行求解即可； （3）求出一次函数图象经过A点的k值，和一次函数经过C点的k值，再根据一次函数的性质，即可确定k的取值范围． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴可由平移得到， ∵点，点，点， ∴，即． 故答案为：． （2）解：一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B， 将代入，得， ∴， ∴， ∵一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B， ∴当一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分时，图象必过点， ∴，解得：． （3）解：当直线经过A点时，得：，解得； 当直线经过C点时，得：，解得：， ∵一次函数的图象与平行四边形的边只有两个公共点， ∴或． 13．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班  李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． 问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是________． 问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在轴上确定一点，使的值最小，并求出的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题4．如图5，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值． 【答案】问题1．“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米；问题2．；问题3．（1）见解析，P点坐标为（2，0）；（2）；问题4．线段PE+PC的最小值是． 【分析】问题1．作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′②如图2中，王小二从A处牵牛到河边饮水然后回到家B的最短路程，根据勾股定理计算即可； 问题2．由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果； 问题3．（1）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，利用对称的性质得到PA=PA′，则PA+PB=PA′+PB=BA′，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点A′的坐标，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求得P点坐标； （2）利用两点间的距离公式求出BA′即可． 问题4．过A作AE⊥CD，交BD于P，连接CP，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可． 【详解】解：问题1：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，过点A′作A′M⊥BD并交BD线于点M， ∴AC=A′C=300米， 在Rt△A′BM中，A′M=CD=900米，BM=BD+DM=BD+ A′C=1200米， A′B=（米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； 问题2：如图，连接BE， 设BE与AC交于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于AC对称， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最小． 即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度． ∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3， ∴BE=． 故答案为：． 问题3．（1）如图，作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到PA=PA′，则PA+PB=PA′+PB=BA′，BA′的值最小； A点关于x轴对称的点A′的坐标为（-2，-4）， 设直线BA′的解析式为y=kx+b， 把A′（-2，-4），B（4，2）代入得： ，解得， ∴直线BA′的解析式为y=x-2， 当y=0时，x-2=0，解得x=2， ∴P点坐标为（2，0）； （2）PA+PB的最小值= BA′=； 问题4．过A作AE⊥CD，交BD于P，连接CP， 此时线段PE+PC最小，且PE+PC=AE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB=BD=8，OC=AC=6， ∴BC=10，即 设CE=x，则DE=10-x，AB=CD=AD=BC=10， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即CE=， ∴AE=， ∴线段PE+PC的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 考点03 一次函数中的新定义与探究问题 14．我们约定：一个函数图像与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点．下列说法正确的是（   ） A．的零点是 B．的零点是1和 C．若有零点，则 D．在自变量取值范围为实数的一次函数中，存在一个一次函数没有零点 【答案】C 【分析】本题考查解方程及二次函数与一元二次方程的关系，根据0点定义直接列式即可判断A，B，根据函数与x轴有交点，分与两类求解即可判断C， 【详解】解：当时，，解得：，故是的零点，故A错误不符合题意， 当时，，解得：，，故的零点是和，故B错误不符合题意， 当时，，若，解得，此时，若，有零点，即有解，，解得：，故C正确，符合题意， 一次函数与x轴都有交点，故一次函数有零点，故D错误不符合题意， 故选：C． 15．在平面直角坐标系中，对于非坐标轴上的点给出如下定义：过点向两坐标轴作垂线段，若垂线段和坐标轴围成的矩形的周长为，则称点为系矩形点．图中的，两点均为系矩形点． (1)已知点是系矩形点，则______； (2)点在第一象限，且是系矩形点，则点的坐标可以是______；写出一个即可 (3)点在直线上，且点是系矩形点，求点； (4)已知一次函数的图象上存在系矩形点，则的取值范围是______． 【答案】(1)或 (2)答案不唯一 (3)或 (4)或 【分析】（1）由定义，可得，求出的值即可； （2）写出符合条件的一个坐标即可； （3）设，由题意可得，再分情况求解绝对值方程即可； （4）构造以，，，为顶点的正方形，直线与该正方形区域有公共点时的取值即为所求． 【详解】（1）解：∵点是系矩形点，即矩形周长为， ∴ 或， 故答案为：或； （2）∵在第一象限，且是系矩形点， ∴的横坐标与纵坐标的和是，的坐标可以是， 故答案为： 答案不唯一； （3）设， 点是系矩形点， ， 当时，， 解得， ∴ 当时， ，无解， 当时，， 解得， ∴ 综上所述，的坐标为或； （4）如图，以，，，为顶点作正方形， 当直线与正方形区域有公共点时，一次函数的图象上存在系矩形点， 当经过点时，， 当经过点时，， 或时，一次函数的图象上存在系矩形点， 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过构造正方形区域，寻找满足条件的的值是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】(1)①是；②或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力． （1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：分点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）解：①∵点 ， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是2的“等垂点”， 故答案为：是． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． （2）解：设 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即或， ∵点在上， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 当时，如图，过作轴于点， 同理可得或， ∵点在上， ∴或， 解得(舍)或， ∴． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 17．在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“旋垂点”．例如：如图1，，，三点中，因为，且，所以点为2的“旋垂点”． (1)①点，，则___________2的“旋垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图2，若点，，则点是4的“旋垂点”，则点的坐标为___________． (2)如图3，若点为，一次函数上存在2的“旋垂点”，点在轴上，求2的“旋垂点”的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“旋垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在内，，，连接，直接写出的面积． 【答案】(1)①是；②或 (2)或 (3)6 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）①根据“旋垂点”的定义，进行判断即可； ②分两种情况：C分在B点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）根据是否在原点分情况讨论，设，如图，过作轴于点，证明，进而得或，再根据点在上，则，解方程即可； （3）同理求出，得到点在上，则 ，再由勾股定理逆定理得为直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，，，， ∴，， ∴， 则是2的“旋垂点”， 故答案为：是； ②分以下两种情况： 当点C在点B上方时，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F和点E， ∵点，，且点C是4的“旋垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当点C在点B下方时，过点B作x轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点C是4的“旋垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或； （2）解：∵与轴交点， ∴，， ∴当在原点，在点时，是2的“旋垂点”，此时 当不在原点时，设， 如图，过作轴于点， 轴， ， ， ， ， ， ，， ，， 即， 点在上， ， 解得， ， 或； （3）解：∵直线上存在无数个5的“旋垂点”， ∴点，，， 设， 过点作轴于点，如图所示： 由（1）同理可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在上， 即直线为， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴ ， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 即的面积为6． 18．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点是平面内任意一点．过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，若四边形的周长为，则点叫做“周六点”．例如：如图中的是一个“周六点”． (1)若为第一象限的“周六点”，求的值； (2)点的坐标为，若点是“周六点”，的最小值为 ； (3)若一次函数的图象上存在“周六点”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合运用、解二元一次方程组、勾股定理． (1)根据为第一象限的“周六点”，可知，解方程即可求出的值； (2)设点的坐标是，点是“周六点”，可得：，点的坐标为，过点作，轴，轴，四边形是正方形，利用勾股定理求出的长度，根据垂线段最短可知，利用三角形的面积公式求出的长度； (3)根据“周六点”的定义，可知“周六点”点在正方形上且不与点、、、重合，一次函数一定经过点，又因为一次函数上有“周六点”，可知图象一定与正方形有交点，且交点不与正方形的顶点重合，分情况求出的取值范围即可． 【详解】（1）解： 为第一象限的“周六点”， ， 解得：； 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作轴，轴，， 四边形是正方形， 此时，最小， 四边形是正方形， 点是“周六点”， 设点的坐标是， 则有， 最小， 点在第一象限， ， 即， 点的坐标为， ， 当时，， 点的坐标是， ， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 在中，， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：一次函数必经过点， 如下图所示， 点是“周六点”， 点在正方形上且不与点、、、重合， 即直线与正方形的边相交 (正方形的顶点除外)， 当时，一次函数经过点， 此时，， 解得：， 当时，直线与直线重合， 要使直线与正方形的边相交 (正方形的顶点除外)， ∴， 解得：； ∴； 当时，一次函数经过点， 此时，， 解得：； 则， 要使直线与正方形的边相交  (正方形的顶点除外)， ∴， ∴； 综上所述，或． 19．如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，依此类推，得到直线上的点，与直线上的点． （1）的纵坐标为_____； （2）的长为_____（用含有n的式子表示）． 【答案】 2 【分析】本题考查了一次函数的性质及点的坐标求解． （1）先求出的坐标，再根据平行于x轴求出的纵坐标； （2）通过求出前几个的长度，找出规律，进而得到的表达式． 【详解】解：（1）∵平行于x轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同， 当时，， ∴， ∴点的纵坐标为2， 故答案为：2； （2）把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 通过观察可得：，， ∴， 故答案为：． 20．阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是______． (2)已知一次函数的图象与x轴．y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把化为，再进一步求解即可； （2）求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 由，得， 当时，， ； （2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B， 当，则， ∴， 的面积为3， ， 解得或， 因为函数是一次函数， 所以，即， 解得的和均满足该条件， 故k的值为7或． 21．小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究． (1)列表：下表列出了与的几组对应值，请写出，的值：________，n=________； x … … … … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； 【答案】(1)， (2)见详解 (3)①② 【分析】本题考查了通过作函数图象，通过图象来研究函数性质，自变量取值范围、对称性、增减性，掌握函数性质是解题的关键． （1）将，代入函数解析式即可求解； （2）用光滑的曲线顺次连接起来，即可求解； （3）①由得，分母不为，即可求解；②由表格可得第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数，即可求解； 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ； 故答案：，． （2）解：如图，用光滑的曲线顺次连接起来， （3）①解：由得 自变量x的取值范围是， 故答案：； ②解：由表格得： 与，与，与，， 第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数， 函数图像关于点中心对称， 故答案：． 22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，直线．直线l与坐标轴分别交于点C，D两点，在直线l上从左到右有两个动点M、N（点M在点N的左侧），且． (1)求C、D两点的坐标． (2)将直线l上的任意一点沿l方向平移1个单位，由于l与x轴正方向夹角为，根据勾股定理，平移1个单位时，该点横、纵坐标均增加个单位，如图2，点沿直线l向上平移1个单位得到E点坐标为，如图3，将线段沿直线l的方向平移（平移方向与直线l同向或反向），平移距离为t（），得到线段．若平移后的线段与y轴有交点，求t的取值范围． (3)如图4，当点M、N在直线l上滑动（保持）时，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，最小值为 【分析】（1）分别令和求得对应的y和x的值即可解答； （2）根据题意先判断线段的平移方向，然后写出平移后对应点的横坐标，然后根据平后要与y轴相交，可知平移后的点的横坐标大于等于0，且点的横坐标小于等于0时，满足题意，据此列出不等式解答即可； （3）过点O作，过点N作，交于点，过点E作于点，作轴于点G，延长交y轴于点F，连接，则四边形是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质推出直线l垂直平分，从而得到，进而可知当F、N、A三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小，最后利用勾股定理求得，即可解答． 【详解】（1）解：在中， 令，得， ∴； 令，得， ∴； （2）解：由题意可知，直线l与x轴正方向夹角为，平移距离为t（）， ∵点，， ∴当线段沿直线l的反向（左下方）平移时，才可能与y轴相交， ∴此时点A平移后的对应点的横坐标为；点B平移后的对应点的横坐标为， ∵线段与y轴有交点， ∴， 解得； ∴平移后的线段与y轴有交点时，t的取值范围是； （3）解：存在，最小值为； 如图，过点O作，过点N作，交于点，过点E作于点，作轴于点G，延长交y轴于点F，连接， 则四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵，l与x轴正方向夹角为，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即直线l垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∵和为定值， ∴当F、N、A三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小， ∵，， ∴， ∴四边形的周长最小值为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数中的面积问题、存在性问题、新定义探究问题 考点01 一次函数中的面积问题 考点02 一次函数中存在性问题（如存在等腰三角形、直角三角形、平行四边形等类型） 考点03 一次函数中的新定义与探究问题 考点01 一次函数中的面积问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与坐标轴分别交于，两点，已知，且． (1)求一次函数的表达式； (2)当轴上有一点，使得的面积为10，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． (1)求直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 3．如图在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C．直线与直线交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)直线上存在一点E使，求点的坐标； 4．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，． (1)①作图：经过点画出的垂线，垂足为， ②直接写出的长度； (2)与轴交于点，请求出点的坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发以每秒个单位长度的速度向上运动，设运动时间为秒，运动过程中射线和射线交于点．若三角形的面积等于，求出的值． 6．如图，直线分别与x轴、y轴交于点，，且与直线：交于点． (1)求直线所对应的表达式； (2)直线：交于x轴于点D，求点D的坐标； (3)若点是直线在第一象限内的一个动点． ①求的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当的面积为20时，求点P的坐标． 7．阅读材料： 在数轴上，表示一个点：在平面直角坐标系中，表示一条直线：以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分：如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： (1)图3阴影部分（含边界）表示的是______（填写不等式）表示的平面区域； (2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； (3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为，且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为______． 考点02 一次函数中存在性问题（存在等腰三角形、直角三角形问题、平行四边形） 8．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数的表达式； (2)一次函数的图象上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 9．已知平面直角坐标系内有平行四边形，其中顶点坐标为，，，． (1)判断平行四边形的形状； (2)连接， ①若一次函数与该平行四边形有交点，试求出t的取值范围； ②已知，连接，直线与x轴交于点F，当A，B，F三点共线时，求的面积． 10．如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象与x轴交于A点． (1)A点坐标为 ； (2)一次函数图象上是否存在一点C，使得四边形是平行四边形？如存在，求出C点坐标．若不存在，说明理由； (3)将绕点O顺时针旋转，旋转得，问：能否使以点O、、D、为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 11．如图，点的坐标是点的坐标是，一次函数的图像是直线，点在直线上． (1)若点在第二象限内，设的面积为，求关于的函数关系式，并求的取值范围 (2)若一次函数的图像与轴的交点为，且是直角三角形，求此时点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A、的坐标分别为，，以、为邻边作平行四边形，一次函数（k、b为常数，且）的图象过点． (1)点的坐标为_____； (2)当一次函数的图象将分成面积相等的两部分时，求的值． (3)直接写出一次函数的图象与的边只有两个公共点时的取值范围． 13．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班  李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． 问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是________． 问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在轴上确定一点，使的值最小，并求出的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题4．如图5，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值． 考点03 一次函数中的新定义与探究问题 14．我们约定：一个函数图像与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点．下列说法正确的是（   ） A．的零点是 B．的零点是1和 C．若有零点，则 D．在自变量取值范围为实数的一次函数中，存在一个一次函数没有零点 15．在平面直角坐标系中，对于非坐标轴上的点给出如下定义：过点向两坐标轴作垂线段，若垂线段和坐标轴围成的矩形的周长为，则称点为系矩形点．图中的，两点均为系矩形点． (1)已知点是系矩形点，则______； (2)点在第一象限，且是系矩形点，则点的坐标可以是______；写出一个即可 (3)点在直线上，且点是系矩形点，求点； (4)已知一次函数的图象上存在系矩形点，则的取值范围是______． 16．在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 17．在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“旋垂点”．例如：如图1，，，三点中，因为，且，所以点为2的“旋垂点”． (1)①点，，则___________2的“旋垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图2，若点，，则点是4的“旋垂点”，则点的坐标为___________． (2)如图3，若点为，一次函数上存在2的“旋垂点”，点在轴上，求2的“旋垂点”的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“旋垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在内，，，连接，直接写出的面积． 18．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点是平面内任意一点．过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，若四边形的周长为，则点叫做“周六点”．例如：如图中的是一个“周六点”． (1)若为第一象限的“周六点”，求的值； (2)点的坐标为，若点是“周六点”，的最小值为 ； (3)若一次函数的图象上存在“周六点”，求的取值范围． 19．如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，依此类推，得到直线上的点，与直线上的点． （1）的纵坐标为_____； （2）的长为_____（用含有n的式子表示）． 20．阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是______． (2)已知一次函数的图象与x轴．y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 21．小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究． (1)列表：下表列出了与的几组对应值，请写出，的值：________，n=________； x … … … … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； 22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，直线．直线l与坐标轴分别交于点C，D两点，在直线l上从左到右有两个动点M、N（点M在点N的左侧），且． (1)求C、D两点的坐标． (2)将直线l上的任意一点沿l方向平移1个单位，由于l与x轴正方向夹角为，根据勾股定理，平移1个单位时，该点横、纵坐标均增加个单位，如图2，点沿直线l向上平移1个单位得到E点坐标为，如图3，将线段沿直线l的方向平移（平移方向与直线l同向或反向），平移距离为t（），得到线段．若平移后的线段与y轴有交点，求t的取值范围． (3)如图4，当点M、N在直线l上滑动（保持）时，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 1 / 37 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