专题04 一次函数的几何变换（高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数与平移、对称、旋转的几何变换，通过探究活动提炼变换规律，构建“概念-规律-应用”的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移|10题（含探究题）|上下平移“上加下减”，左右平移“左加右减”；结合图形交点求参数范围|从基础平移规律到与四边形、动点综合，实现从代数表达式到几何位置关系的转化| |对称|11题（含性质探究）|关于坐标轴对称的点坐标关系；函数图象对称的表达式变换|从点对称到函数图象对称，渗透数形结合思想，强化对称性质的应用| |旋转|9题（含综合题）|绕点旋转后直线表达式的推导；结合旋转性质求交点、面积|从简单旋转到与图形面积、动点轨迹结合，提升空间观念与推理能力|

专题04 一次函数的几何变换 考点01 一次函数与图形的平移 考点02 一次函数与图形的对称 考点03 一次函数与图形的旋转 考点01 一次函数与图形的平移 1．将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，再代入条件解不等式即可． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位，得到一次函数， ∵平移后，， ∴， 解得． 2．在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位长度，平移后的直线经过，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数平移规律求出平移后的直线解析式，再将点代入解析式，计算即可求出的值． 【详解】解：根据一次函数图象平移规律：上加下减， 将直线向上平移4个单位长度， 可得平移后的直线解析式为： ， 平移后的直线经过， 把代入得： ． 3．已知一次函数（k、b为常数，且）的图象由一次函数的图象向下平移4个单位长度得到，则下列关于一次函数的说法正确的是（   ） A．当时， B．y随x的增大而增大 C．它的图象与y轴交于点 D．它的图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的平移、一次函数图象与性质，求出平移后的解析式是解题的关键． 根据一次函数图象平移规则“上加下减”，向下平移4个单位，b值减少4，得出新函数解析式，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵函数向下平移4个单位， ∴新函数为， A：当时， 解得， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，，该选项错误，不符合题意； B：∵， ∴y随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意； C：当时，， ∴图象与y轴交于点，该选项正确，符合题意； D：∵，， ∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，该选项错误，不符合题意． 故选C． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的d的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移d个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则． 5．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，然后根据平移的规律，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵边长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； ∵直线与正方形有交点， ∴的取值范围是． 6．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（    ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 【答案】D 【分析】连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，然后计算出过点且平行于直线的直线解析式即可； 本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线平行于， ∴， ∴， 将点代入， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线要向下平移个单位， ∴时间为秒， 故选：D． 7．如图，，，动点P从原点O出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右移动，直线l：经过点P．设点P移动的时间为t秒，下列结论中正确的有（    ） ①；②当直线l经过点B时，t的值为7；③当直线l与线段有交点，且l与x轴，y轴以及线段所围成的封闭图形内部（不含边界）仅有5个整点（横、纵坐标均为整数）时，t的取值范围为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：动点P从原点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右移动，t秒后P的坐标为， 直线l：经过点， 代入得：， 解得，结论①正确； 已知，直线l的解析式为． 将代入得：， 解得，所以结论②正确； 线段的端点为，，是一条垂直于x轴的线段． 直线l：与的交点横坐标为3，代入得，交点需满足，即， 封闭图形内部的整点： 当时，直线l：，内部整点为、、，共3个，不符合； 当时，直线l：，内部整点为、、、、，共5个，符合； 实际满足“内部仅有5个整点”的t范围是，而非． 所以结论③错误． 8．如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、规律型：点的坐标及坐标与图形变化平移，能根据题意得出点的坐标可表示为是解题的关键．根据题意，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：令，则， 在中，， 解得舍负， 则， 所以点坐标为， 因为由沿射线方向平移个单位长度得到， 即向上平移个单位长度，再向右平移一个单位长度， 所以点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， 点的坐标为， ， 所以点的坐标可表示为， 当时，点的坐标为 故答案为： 9．如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】向上平移个单位后，得到新解析式为，直线于坐标轴的交点为，，当直线过，确定m的值，后确定范围即可． 本题考查了一次函数的平移，直线与坐标轴的交点，熟练掌握平移是解题的关键． 【详解】解：向上平移个单位后，得到新解析式为， 又直线于坐标轴的交点为，， 当直线过，时，解得，， 故与直线的交点在第一象限的的取值范围是． 故答案为：． 10．【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②见解析；③左，2 (2)左，9 (3)右， (4)见解析 【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决． （1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式； ②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可； ③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位； （2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可； （3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离； （4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画． 【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得； 故答案为：； ②当时，；当时，， 过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示： ③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到， ∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到． 故答案为：左，2； （2）解：令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 将向下平移3个单位，得到． 令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． ∵将点向左平移9个单位得到， ∴直线相当于将向左平移9个单位得到． 故答案为：左，9； （3）解：同理，直线与轴的交点是． 直线向下平移个单位后的函数为， 令，得，解得， ∴新交点为． ∵，即点向右平移个单位得到， ∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到． 故答案为：右，； （4）解：如图所示： 考点02 一次函数与图形的对称 11．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 12．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行条件k相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可． 【详解】A、点代入①，通过；②，通过；③，不通过；④，通过，通过的是①②④，该选项错误； B、交点在y轴上需时y值相等，时，①，②，③，④，②和④y值不相等，该选项错误； C、函数的，①，③，均与平行，该选项正确； D、②与③，关于x轴对称需x取相同值时，y值互为相反数，但时均为，不相反，该选项错误； 故选：C． 13．对于函数的图象我们可以这么理解：如果点在的图象上，那么点一定也在的图象上．我们发现：点和点是关于y轴对称的．若在函数上，存在两个点，给出下面四个结论： ①若，当时，x有唯一的对应值5； ②当点A在点B上方时，则无论a为何值，都有； ③若，，则无论a为何值，都有；   ④若对于，，都有，则a满足条件的最大整数值为． 上述结论中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】结论①：当时，方程的解为或，存在两个解，故①错误． 结论②：点A在点B上方仅表示，不保证，故②错误． 结论③：代入和求解即可判断③错误． 结论④：根据得到，则，然后得到，，代入求出，进而求解即可． 【详解】①当时， 当时，得 解得得或，结论错误； ②点A在点B上方仅说明，但无法确定与的大小关系，结论错误； ③将和代入， 得，， ∴，结论错误； ④若对于，，都有， 则， ， 整理得：， ，， ，， ， ，即， 满足条件的最大整数值为0．故④错误． 综上，正确结论的个数是0． 故选A． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解不等式组等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查新定义问题的理解与应用，平面直角坐标系中的轴对称，一次函数与方程的综合，准确理解新定义是解题关键． 根据“对偶关系”的定义，点和点关于轴对称，即若坐标为，则坐标为，且在图象上，据此列方程求解即可． 【详解】解：①设在上，坐标为，则为， ∵在上， ∴， 解得， 可知存在这样的点和，故具有对偶关系，①错误； ② 对于和，设对偶值存在，则存在使， 解得，则对偶值为，不是，故②错误； ③对偶值为，在上，则纵坐标为，横坐标也为，即， ∵与关于轴对称， ∴， 代入，得， 解得，故③正确； ④ 设在上，坐标为，则为， ∵在上，且， ∴， 即， ∵， ∴，与结论不符，故④错误． 综上，只有③正确，共个． 故选：． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中点坐标公式、轴对称的性质、一次函数的图象与性质，连接，利用中点坐标公式求得线段的中点，再根据轴对称的性质得，直线l垂直平分，进而得直线l经过一、三象限，且经过点B，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点，点， ∴线段的中点， ∵点A与点A′关于直线l成轴对称， ∴直线l垂直平分， ∴直线l经过一、三象限，且经过点B， ∴直线l的解析式是， 故选：C． 16．在平面直角坐标系中，将函数的图象中横坐标的部分沿轴翻折，横坐标的部分保持不变，这两部分共同组成新图象．若新图象上所有点的纵坐标的取值范围是，则常数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据把的部分沿轴翻折，可得翻折后的解析式为，当时，对应的有，在取值范围内；的部分没有翻折，且当时，有，因为纵坐标的取值范围是，可得不等式组为，解不等式组可得：，所以的取值范围是． 【详解】解：如下图所示， 把部分沿轴翻折，对应的部分的解析式为 当时，可得：， 当时，可得：， 当时，； 当时，对应的部分的解析式为， ， ， 解得：， ， ． 17．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数的性质． 根据“对偶值”的定义，点在函数上，点在函数上，且与关于轴对称，因此它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数．设点的坐标为， 则点的坐标为，代入求出，再求的值即可． 【详解】解：设点的坐标为， 由于点与点关于轴对称，则点的坐标为， 又∵点在函数上， ∴， 即， 解得， 则对偶值为． 故答案为：． 18．将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点，再把代入中求出n关于m的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴翻折后的图象函数表达式是， 故答案为：． 19．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 0 ．．． 则___________，___________； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据图象可知当时，的值是___________； ②观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值： (4)下列关于该函数性质的描述正确的是___________（填序号）． ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，随的增大而增大； ③当时随的增大而减小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①或5；②存在，最小值为 (4)①③ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可； （2）①描点，连线，画出函数图象即可；②观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可 （3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． （4）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． 【详解】（1）解：将代入，得：； 将代入，得：； 故，， 故答案为：，； （2）如图即为所求， （3）①根据图象可知当时，的值是或； 故答案为：或 ②观察函数图象，由图象可知，函数存在最小值，为；： （4）解：①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，随的增大而增大； ③∵当时随的增大而减小．∴当时随的增大而减小． 故答案为：①③ 20．关于函数的图象与性质的相关探究． 【绘制图象】 （1）请在平面直角坐标中，画出函数的图象． 列表： … 0 1 2 … … 6 0 3 … 描点、连线：请在下图中画出该函数图象 【探究性质】 （2）根据图象我们可得到函数的性质，下列说法正确的是___________；（填序号） ①函数图象始终在轴及其上方； ②函数图象过原点； ③函数图象关于轴对称； ④当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （3）我们曾经研究过：一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移2个单位长度得到，我们可以借鉴这一经验继续探究： 把函数的图象向___________（填“上”或“下”）平移___________个单位长度可以得到函数的图象． 【答案】（1）见解析；（2）①②③④；（3）上；3． 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数的性质，一次函数图象的平移问题，正确画出对应的函数图象是解题的关键． （1）求出和时的函数值，再描点，连线画出对应的函数图象即可； （2）根据（1）所画函数图象逐一判断即可； （3）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 函数图象如下所示： （2）由函数图象可知函数图象始终在轴及其上方；函数图象过原点；函数图象关于轴对称；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴正确的有①②③④． （3）由题意得，把函数的图象向上平移3个单位长度可以得到函数的图象． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】逐一分析每种变换后，函数的图象是否经过点． 【详解】解：①函数沿轴翻折后的解析式为， ∴， 当时，代入得，， ∴函数的图象沿x轴翻折后不过点； ②对于，当时，， ∴直线与轴的交点的坐标为； 设点关于直线的对称点Q为，则线段的中点坐标为， ∴， ∴ ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴, 当时，， ∴点在函数的图象， ∴函数的图象沿函数的图象翻折后过点； ③∵点 ∴ ∴将点绕原点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕原点按顺时针方向旋转后不过点P(2,2)； ④如图，将点绕点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕点按顺时针方向旋转过点 所以，正确的结论有2个． 考点03 一次函数与图形的旋转 22．将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出函数图象，然后得到原点到直线的距离最小，进而根据两点距离公式计算两点之间距离，最后问题可求解． 【详解】解：画出函数的图象，如下所示： 当时，则有，解得：；当时，则有， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 过点O作于点C， ∴， 由将一次函数的图像绕原点旋转一周，可知：只要满足旋转后直线经过的点到原点的距离大于或等于即可； ∴A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】逐一分析每种变换后，函数的图象是否经过点． 【详解】解：①函数沿轴翻折后的解析式为， ∴， 当时，代入得，， ∴函数的图象沿x轴翻折后不过点； ②对于，当时，， ∴直线与轴的交点的坐标为； 设点关于直线的对称点Q为，则线段的中点坐标为， ∴， ∴ ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴, 当时，， ∴点在函数的图象， ∴函数的图象沿函数的图象翻折后过点； ③∵点 ∴ ∴将点绕原点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕原点按顺时针方向旋转后不过点P(2,2)； ④如图，将点绕点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕点按顺时针方向旋转过点 所以，正确的结论有2个． 24．当k变化时，两条直线：和：的最大距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，当两个不同的一次函数的解析式的k相同的时候，这两条直线在坐标系中的图象是平行的，解题要运用数形结合的思想，通过画图来求解．先观察两个一次函数的解析式发现，这两个图象分别经过一个定点，直线：经过定点，：经过定点，然后可将大致图象在坐标系中画出，来观察两直线的最大距离，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，直线：和：的图象大致如下： 则直线：经过定点，：经过定点， ∴， 依题意，这两条直线图象可分别绕着A点、B点旋转，当这两条直线与互相垂直时，两直线之间的距离有最大值，且为， 当这两条直线与不垂直时，两直线之间的距离（垂线段最短）， ∴当k变化时，两条直线：和：的最大距离为 故选：B． 25．在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴，y轴于点A，B，把直线绕点O逆时针旋转，交y轴于点，交直线于点C，则的面积是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及直角三角形的性质等知识，依据题意，先求出的坐标，再根据直线绕点逆时针旋转求出旋转后的解析式，根据三角形面积公式即可求解，解题的关键是求出把直线绕点逆时针旋转后的解析式． 【详解】解：直线：分别交轴，轴于点， 当时，，当时，， ∴， 点绕点逆时针旋转后的坐标为， 设直线绕点逆时针旋转后的解析式为 ∴， 解得：， ∴， 联立方程组， 解得：， ∴的面积为：， 故选：C． 26．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 27．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，点A，点O旋转后的对应点是点，点． （Ⅰ）画出旋转后的，其中点的坐标为_____； （Ⅱ）边上一点P旋转后对应点为点，当取得最小值时，点P的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查作图—旋转变换、最短路线问题，一次函数，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图，再根据直角坐标系写出点的坐标即可； （2）取点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则点P即为所求．利用待定系数法求出直线的解析式，再令，求出的值，即可得出答案； 【详解】解：（Ⅰ）如图，即为所求． 点的坐标为． 故答案为：． （Ⅱ）由旋转可得， ， 取点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P， 此时为最小值， 则点P即为所求． 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 令，得， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 28．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段，又将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段如此下去，得到线段，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化—旋转，点的变化规律，勾股定理，二次根式的乘法运算，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键． 根据题意得出，，，如此下去，得到线段，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴可得出线段每旋转8次旋转一周， ∵， ∴点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在直线上， 可设，， ， ∴， ∴（舍负）， ∴ 故答案为：． 29．如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3)作图见解析， (4)，作图见解析， 【分析】（1）利用描点法作图即可； （2）根据一次函数的平移即可解答； （3）先求得直线与轴，轴的交点，利用轴对称的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答； （4）先利用旋转的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，可得， 解得， ∴直线经过，， 作图如下： ； （2）解：将直线向下平移4个单位得到直线，作图如下： 可得直线所对应的函数表达式为； （3）解：当时，可得， 解得， 当时，， 是直线上的点， 直线与直线关于轴成轴对称， 是直线上的点， 设直线的表达式为， 把代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： ； （4）解：根据（3）中可得，且直线经过点， 将直线绕点逆时针旋转得到直线， 点绕点逆时针旋转的对应点为点 直线经过，， 设直线的表达式为， 把，代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： . 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数的几何变换 考点01 一次函数与图形的平移 考点02 一次函数与图形的对称 考点03 一次函数与图形的旋转 考点01 一次函数与图形的平移 1．将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位长度，平移后的直线经过，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3．已知一次函数（k、b为常数，且）的图象由一次函数的图象向下平移4个单位长度得到，则下列关于一次函数的说法正确的是（   ） A．当时， B．y随x的增大而增大 C．它的图象与y轴交于点 D．它的图象经过第一、二、四象限 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是________． 5．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（    ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 7．如图，，，动点P从原点O出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右移动，直线l：经过点P．设点P移动的时间为t秒，下列结论中正确的有（    ） ①；②当直线l经过点B时，t的值为7；③当直线l与线段有交点，且l与x轴，y轴以及线段所围成的封闭图形内部（不含边界）仅有5个整点（横、纵坐标均为整数）时，t的取值范围为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为______． 9．如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是___________． 10．【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 考点02 一次函数与图形的对称 11．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 12．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 13．对于函数的图象我们可以这么理解：如果点在的图象上，那么点一定也在的图象上．我们发现：点和点是关于y轴对称的．若在函数上，存在两个点，给出下面四个结论： ①若，当时，x有唯一的对应值5； ②当点A在点B上方时，则无论a为何值，都有； ③若，，则无论a为何值，都有；   ④若对于，，都有，则a满足条件的最大整数值为． 上述结论中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 16．在平面直角坐标系中，将函数的图象中横坐标的部分沿轴翻折，横坐标的部分保持不变，这两部分共同组成新图象．若新图象上所有点的纵坐标的取值范围是，则常数的取值范围是__________． 17．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为______． 18．将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是_______． 19．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 0 ．．． 则___________，___________； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据图象可知当时，的值是___________； ②观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值： (4)下列关于该函数性质的描述正确的是___________（填序号）． ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，随的增大而增大； ③当时随的增大而减小． 20．关于函数的图象与性质的相关探究． 【绘制图象】 （1）请在平面直角坐标中，画出函数的图象． 列表： … 0 1 2 … … 6 0 3 … 描点、连线：请在下图中画出该函数图象 【探究性质】 （2）根据图象我们可得到函数的性质，下列说法正确的是___________；（填序号） ①函数图象始终在轴及其上方； ②函数图象过原点； ③函数图象关于轴对称； ④当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （3）我们曾经研究过：一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移2个单位长度得到，我们可以借鉴这一经验继续探究： 把函数的图象向___________（填“上”或“下”）平移___________个单位长度可以得到函数的图象． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点03 一次函数与图形的旋转 22．将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（    ） A． B． C． D． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．当k变化时，两条直线：和：的最大距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 25．在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴，y轴于点A，B，把直线绕点O逆时针旋转，交y轴于点，交直线于点C，则的面积是（） A． B． C． D． 26．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，点A，点O旋转后的对应点是点，点． （Ⅰ）画出旋转后的，其中点的坐标为_____； （Ⅱ）边上一点P旋转后对应点为点，当取得最小值时，点P的坐标为_____． 28．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段，又将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段如此下去，得到线段，则点的坐标为___________． 29．如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $