专题01 四边形解答题期末提分必刷30题（高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题01 四边形解答题（期末提分必刷30题） 考点01 平行四边形判定与性质综合 考点02 矩形判定与性质综合 考点03 菱形判定与性质综合 考点04 正方形判定与性质综合 考点01 平行四边形判定与性质综合 1．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F为上的两点且．求证：． 2．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，分别延长，，，至点，，，，使点，，，分别是，，，的中点，连接．若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)四边形的周长为___________． 3．如图，在中，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的面积． 4．如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求证：． 5．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当t为何值时，？为什么？ 6．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 7．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 8．如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值； (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． 证明：； 当，时，求的长． 9．如图1，在中，延长至点E，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将沿直线翻折，点E刚好落在的中点F处，延长交的延长线于点H，交于点G．写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将沿直线翻折，点E落在上F处，若，，，求的面积． 考点02 矩形判定与性质综合 10．如图所示，将矩形沿直线折叠，使点落在处，与相交于点，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 11．如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 12．如图，点E、F分别在的边、上，连接、、、，请你从以下四个选项：①；②；③；④中选择两个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_________（填序号），根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． (2)在（1）的条件下，若，求证：． 13．如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 14．实践与探究：老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题： 已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？       【实践操作】（1）如图1，航天小组同学将绕中点__________（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形． 【特例探究】（2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现： ①当D，B，三点共线时，连接（如图2），四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． ②当，三点构成以为斜边的直角三角形时，请直接写出线段的长．    15．如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 16．如图1，矩形纸片中，点在边上．连接，将矩形纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，与交于点；如图2，继续将纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，、分别与交于点、． (1)如图2，若，则= ． (2)如图3，点恰好落在边上（即点与点重合）． ①若，，求的长． ②已知，，若，，三点恰好在同一条直线上，试探究、之间的数量关系并写出证明过程． 考点03 菱形判定与性质综合 17．如图，在矩形中，对角线和相交于点，过作，交于，交于，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 18．如图1，在菱形中，，对角线，点为对角线交点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，已知菱形的边长为8，为边的中点，连接交对角线于点，于点，有，求的长． 19．如图，在中，，点，，分别为边，的中点，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 20．如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接． (1)①试猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，则四边形的面积为________． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积． 21．如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 22．在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 23．已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 考点04 正方形判定与性质综合 24．如图，在正方形中，点是上的点，于点，于点． (1)猜想、、的关系并证明； (2)若正方形边长为，，求的长(用含的式子表示)． 25．如图，在正方形中，点E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G，连接．    (1)若，求的长度； (2)当点E是边的中点时，求证：． 26．如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为，求线段的长． 27．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 28．已知四边形是正方形，点E是射线上一点，连接，点D关于直线的对称点为M，射线与直线相交于点G． (1)若点M在对角线上，则 度； (2)如图，若E是的中点，试用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)若点E在边的延长线上，且，在备用图上画出示意图，并求的长． 29．如图，在边长为的正方形中， (1)如图1，，垂足为点，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长； (3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 30．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则 ． (2)折纸2：请用一个正方形纸片折出一个以所在直线为角的一边，角的度数为的角（不借助任何工具），在给出的正方形图形中画出你的折叠方法，并简要说明理由． (3)折纸3：如图，操作一；将边长为4的正方形片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形沿着折叠，使得点D落在平面内点处；操作三：正方形纸片沿着折叠再展开，折痕与边于点P，连接，求线段的长度． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形解答题（期末提分必刷30题） 考点01 平行四边形判定与性质综合 考点02 矩形判定与性质综合 考点03 菱形判定与性质综合 考点04 正方形判定与性质综合 考点01 平行四边形判定与性质综合 1．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F为上的两点且．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先利用平行四边形的性质得到，，然后得到，证明出四边形为平行四边形，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴． 2．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，分别延长，，，至点，，，，使点，，，分别是，，，的中点，连接．若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)四边形的周长为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理． （1）根据平行四边形的性质可得，，由点，，，分别是，，，的中点，可得，，，，进而得到，，即可证明； （2）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明： 的对角线，相交于点， ，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 3．如图，在中，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，所以，，则有，然后通过等边对等角得，得，从而求证； （）连接，先证明，所以，，由（）知，通过等腰三角形“三线合一”得，由勾股定理得，最后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由（）知， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴ ． 4．如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，可得，，可得，由等边对等角，结合已知可得，可得，即可证得结论； （2）由平行四边形的性质，结合已知可得，证明，可得，可得点为的中点，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴． 5．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当t为何值时，？为什么？ 【答案】(1) (2)或，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可； （2）分当点在点左侧时和当点在点右侧时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动， ∴，， ∴当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴当t为6时，四边形是平行四边形； （2）解：当或时，，理由如下： 作于点， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 当时，， 分2种情况： ①当点在点左侧时，则，解得； ②当点在点右侧时，则，解得； 综上：当或时，. 6．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）过点作于点，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，同理求出，根据平行四边形的面积公式，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 7．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值； (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． 证明：； 当，时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析； 【分析】（1）在中，由勾股定理可得的长，进而可得的长，再根据平行四边形的性质即可得解； （2）根据垂直的定义结合同角的余角相等可得，由平行四边形的性质可得，由平行线的性质等量代换可得，，根据“”即可证得；连接，，，证明，进而证明，得到，，推出是等腰直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：，，， 在中，由勾股定理得， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ； 解：如图2，连接，，， ， ，，，， 在中，是的中点， 是的中点，即， ，即， ， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ． 9．如图1，在中，延长至点E，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将沿直线翻折，点E刚好落在的中点F处，延长交的延长线于点H，交于点G．写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将沿直线翻折，点E落在上F处，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）先根据平行四边形性质证明，进而得到，再根据四边形是平行四边形和翻折性质，利用等角对等边可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）过点B作于点M，由翻折可知，结合平行四边形的性质可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质和三线合一，求得，接着由勾股定理求得，即可由面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵延长至点E，使得， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵将沿直线翻折，点E刚好落在的中点F处， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，过点B作于点M， ∵四边形是平行四边形，， ∴，, 由翻折可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点02 矩形判定与性质综合 10．如图所示，将矩形沿直线折叠，使点落在处，与相交于点，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)10 【分析】（1）由折叠得，由得，从而，即可证明是等腰三角形； （2）设，则，，在中，用勾股定理列方程求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 由折叠可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，， ∴， 所以． 11．如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 12．如图，点E、F分别在的边、上，连接、、、，请你从以下四个选项：①；②；③；④中选择两个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_________（填序号），根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． (2)在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】(1)①②或①③或②③，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的判定定理选择条件，先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①②或①③或②③ 选择①②，证明如下： 四边形是平行四边形    ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形． 选择①③ 四边形是平行四边形    ， ， 四边形是平行四边形 ∵ ， ∴四边形是矩形； 选择②③ 四边形是平行四边形    ， ∵ ∴ ∴ ∵； ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是矩形； （2）解：在中，， ， 13．如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明四边形是平行四边形，再根据得到结论即可； （2）过点作于点，由矩形的性质得到，证明为的中位线，求出，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， 为的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 14．实践与探究：老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题： 已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？       【实践操作】（1）如图1，航天小组同学将绕中点__________（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形． 【特例探究】（2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现： ①当D，B，三点共线时，连接（如图2），四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． ②当，三点构成以为斜边的直角三角形时，请直接写出线段的长．    【答案】（1）旋转 （2）①四边形是矩形，理由见解析 ②或 【分析】（1）由旋转的性质可得答案； （2）①由旋转可得：，进而证明，得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形，根据，可证明四边形是矩形； ②当，三点构成以为斜边的直角三角形时，，结合题意画出图形，运用勾股定理逐一求解即可． 【详解】解：（1）解：将绕中点旋转得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形， 故答案为：旋转； （2）①四边形是矩形，证明如下： 证明：由旋转可得：， 由条件可知， 当，，三点共线时，， ， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； ②当，三点构成以为斜边的直角三角形时，， 如图，当为锐角时，作于，    ， 四边形是矩形， ，， ， ， ； 如图，当为钝角时，作，垂足为，    同理可证四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ． 综上所述，当，三点构成以为斜边的直角三角形时，线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的概念和性质、平行四边形的判定、矩形的判定和勾股定理等知识点，根据题意正确画出旋转后的大致图形是解答本题的关键． 15．如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析； (2)①平行四边形，理由见解析；②的长为或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形和平行四边形的判定以及勾股定理的应用． （1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状； （2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状； ②根据点是的三等分点分情况讨论，结合勾股定理求出的长度． 【详解】（1）四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； （2）①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或． 16．如图1，矩形纸片中，点在边上．连接，将矩形纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，与交于点；如图2，继续将纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，、分别与交于点、． (1)如图2，若，则= ． (2)如图3，点恰好落在边上（即点与点重合）． ①若，，求的长． ②已知，，若，，三点恰好在同一条直线上，试探究、之间的数量关系并写出证明过程． 【答案】(1) (2)①②，证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质以及勾股定理． （1）由，可得，，由折叠性质得，，故，由，可得，最后折叠性质即可解答； （2）①两次利用折叠的性质以及平行线的性质得到，设，则，，在中，由勾股定理可得：，求解方程即可解答；②先证明四边形是平行四边形，进一步推导是等边三角形，结合等边三角形的性质以及由①可知即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ， 由折叠性质得，， ，， ， ， 由折叠性质得，， ； （2）解：①， ，， 由折叠可知：， , ， ， ， 由折叠可知：， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠可知：， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 解得，（舍去）， 的长为； ②，证明如下： 四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ，， 由①可知, ， 化简得． 考点03 菱形判定与性质综合 17．如图，在矩形中，对角线和相交于点，过作，交于，交于，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知条件和矩形的性质易证，进而可得四边形是平行四边形，又因为，从而结论得证； （2）设，由已知和矩形的性质可得，在中，利用勾股定理可求出的值，进而可求出菱形的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，对角线和相交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：设， ∵四边形是菱形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴菱形的周长． 18．如图1，在菱形中，，对角线，点为对角线交点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，已知菱形的边长为8，为边的中点，连接交对角线于点，于点，有，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等面积法等知识，掌握等面积法求高是解题的关键． （1）利用勾股定理得到，再由菱形的面积直接计算即可； （2）连接交于点，利用等腰三角形的性质可得，进而得到，再利用等面积法求的长即可． 【详解】（1）解：∵菱形对角线互相垂直且平分， ∴， ∴对角线， ∴面积； （2）解：如图2，连接交于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形边长为8，且点为边中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图，在中，，点，，分别为边，的中点，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了三角形中位线定理、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理分别求出，根据菱形的面积公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：，点，分别为的中点， ， 点为的中点， ， ， 四边形是菱形． （2）解：，点分别为边，的中点， ， ． ， 四边形是菱形， ， 20．如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接． (1)①试猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，则四边形的面积为________． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积． 【答案】(1)①四边形是菱形，理由见解析；②24 (2)8 【分析】本题考查矩形的性质和菱形的性质与判定，掌握矩形和菱形的性质是解题关键． （1）①根据矩形性质先得到，再利用垂直和平分的条件得到，最后借助H为中点，通过等量代换得到，即可通过四边相等的四边形是菱形证明结论； ②利用矩形和菱形的性质，找到图中矩形和菱形被对角线分割而成的三角形的面积关系，求解即可； （2）同（1）②理，改矩形为正方形不影响图中三角形的面积关系，按照同样的面积关系计算即可． 【详解】（1）①解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 又， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点H是中点，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：∵四边形是矩形， ∴， 由中点的性质，可知， ∵， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， 由菱形的对称性可知，， ∴四边形的面积为； （2）解：∵正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质， ∴（1）中的结论仍成立， 由（1）可知，，， ∴四边形的面积为． 21．如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线，的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 22．在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）先证明，则，，可得，则，得四边形是平行四边形，连接，证明四边形是矩形，则，，当时，四边形是矩形，则或，解方程即可得到答案； （2）①由（1）知：，连接，由四边形为菱形得到，，则，则，由勾股定理得到，则，求得，则，则，即可得到； ②根据点G，H所在边的不同分情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接， ∵四边形是矩形，M，N分别是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得：或； （2）解：①由（1）知：， 如图2，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，点G在上，点在上时，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， 即，解得， ∴，， 同理可得， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线，运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，点G在线段上，同时点在线段上， 即时， ， ， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 如图，点G在线段上，同时点在上， 即时， ，， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 综上所述，四边形的面积是矩形面积的时，的值为． 23．已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． （1）说明四边形是平行四边形即可； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解； （3）连接交于点，当四边形是菱形时，，则，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，总是互相平分． （2）解：若四边形是菱形，则， ∴在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴t的值为3． （3）解：存在． 如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， 解得， ∴当秒时，四边形是菱形． 考点04 正方形判定与性质综合 24．如图，在正方形中，点是上的点，于点，于点． (1)猜想、、的关系并证明； (2)若正方形边长为，，求的长(用含的式子表示)． 【答案】(1)，理由见解析； (2) 【分析】（1）用正方形的边相等和角为直角的性质，通过角的互余关系推导相等角，再证明与全等，结合全等三角形的对应边相等，通过线段的和差关系得出、、的数量关系； （2）在中，先利用含角的直角三角形的性质求出的长度，再通过勾股定理求出的长度，最后结合（1）的数量关系计算的长度． 【详解】（1）解：猜想，证明如下： 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：在中，，，， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． 25．如图，在正方形中，点E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G，连接．    (1)若，求的长度； (2)当点E是边的中点时，求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各判定定理． （1）利用正方形的性质以及余角的性质证明，然后利用证明，即可求解； （2）由（1）中的全等三角形我们可得出，因此，和中，有一条公共边，，因此两三角形全等，那么，由（1）知，因此，即可证明． 【详解】（1）解：如图，      ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴； （2）证明：∵点E位于线段中点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 26．如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为，求线段的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再由翻折的性质得，，，证明得，即可得出结论； （2）①根据折叠的性质和线段中点的定义可得，，再结合三角形外角的性质可推出，即可得证； ②设，表示出、，根据点是的中点求出、，得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵把沿折叠得到， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）①证明：∵把沿折叠得到， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：由（1）得，， ∴， 设， ∵正方形边长为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即线段的长． 27．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定定理、勾股定理、熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，由平行线的性质可得，由旋转得．再证明得出，即可得证； （2）证明得出，，由勾股定理得出，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （3）先证明四边形是矩形．再求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ，， ． ，， ． 由旋转，得．             在和中， ， ，         ． ， ． （2）解：在和中， ， ， ，．         在中，由勾股定理，得．     ， ． 在中，由勾股定理，得， ． （3）证明：∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形． ， ， ∴四边形是正方形． 28．已知四边形是正方形，点E是射线上一点，连接，点D关于直线的对称点为M，射线与直线相交于点G． (1)若点M在对角线上，则 度； (2)如图，若E是的中点，试用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)若点E在边的延长线上，且，在备用图上画出示意图，并求的长． 【答案】(1)67.5 (2)，证明见解析 (3)见解析， 【分析】（1）由对称的性质可得，再根据正方形的性质即可求解； （2）连接，证明和，得出即可解答； （3）先证明，则，再证明，最后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：如图： ∵点D关于直线的对称点为M， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 连接， ∵点D关于直线的对称点为M， ∴， 而 ∴， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵； （3）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．如图，在边长为的正方形中， (1)如图1，，垂足为点，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长； (3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据垂直平分线的性质得出，，，设，可得，，可求出，设，则，利用勾股定理得出，解方程求出值即可； （3）如图，过点作于点，连接，并延长交于点，连接，可证明四边形是矩形，得出，，即可证明，根据可得出，，，，证明，得出，，利用勾股定理求出，利用中位线的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵垂直平分，且， ∴，，， 设， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得：，即． （3）解：如图，过点作于点，连接，并延长交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合，涉及全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的性质及矩形的判定与性质，合理作出辅助线是解题关键． 30．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则 ． (2)折纸2：请用一个正方形纸片折出一个以所在直线为角的一边，角的度数为的角（不借助任何工具），在给出的正方形图形中画出你的折叠方法，并简要说明理由． (3)折纸3：如图，操作一；将边长为4的正方形片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形沿着折叠，使得点D落在平面内点处；操作三：正方形纸片沿着折叠再展开，折痕与边于点P，连接，求线段的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由邻补角的性质先求解再由对折的性质求解结合正方形的性质解答即可； （2）先将纸片对折（点A与点D重合，点B与点C重合），折痕为，再沿折叠，使点A落在上的点M处，则即为所求； （3）连接，证明，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解： ， 由折叠可得：， 正方形， ， ； （2）解：如图，先将纸片对折（点A与点D重合，点B与点C重合），折痕为，再沿折叠，使点A落在上的点M处，则即为所求； 理由如下：连接， 由对折得：， ∴， 又由折叠知， ∴， 是等边三角形， ∴； （3）解：如图，连接， ∵由边长为4的正方形片对折，再沿对折， 正方形纸片沿着折叠再展开，折痕与边交于点P， ， ， ∵， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 在中，． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $