专题11 动点与角度（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题10 动点与角度 目录 专题10 动点与角度 1 2 类型一、角度：异面直线角 2 类型二、角度：线面角 6 类型三、角度：二面角 9 类型四、动点：旋转角最值 13 类型五、动点：射影角范围 15 类型六、动点：翻折型角度最值 19 类型七、角度不等式：线线角不等式 22 类型八、 角度不等式：线面角不等式 26 类型九、 角度不等:面面角不等式 30 34 结束 45 类型一、角度：异面直线角 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 例1．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设上靠近D的三等分点为E，连接，      因为，分别为棱，上靠近点的三等分点， 所以，则且， 四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角， 因此线面角，得，则, 由.得且，则且， 则四边形为平行四边形，故， 则（或其补角）即为异面直线，所成角； 作，垂足为F，则，则， 故，则； 由平面，平面，则， 结合，平面，则平面， 则平面，平面，则， 而，故， 在中，，则, 即异面直线，所成角的余弦值为. 变式1-1． （2026·河南开封·模拟预测）图1是一个边长为2的正三角形纸片，沿虚线剪掉三个角处的四边形，剩余部分沿的三条边折叠成一个正三棱柱（无盖），如图2，当正三棱柱的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，求得，得到正三棱柱的体积为，利用导数求得，求得的单调性，得到时，取得最大值，结合异面直线所成角的求法，即可求解. 【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为， 则，所以，其中，解得， 所以正三棱柱的体积为： ， 可得 令，即，解得或， 因为，所以， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，此时， 在直角中，可得， 连接，可得， 在正三棱柱中，可得， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成的角， 在中，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 变式1-2． （25-26高一下·云南昆明·期中）已知正三棱台的体积为，，，，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正三棱台的性质，结合已知条件求出相关边的长度，进而利用余弦定理计算异面直线所成角的余弦值． 【详解】如图，设正三棱台的上、下底面中心分别为，，高为， ， ，， ， 解得， 在正中，， 同理得， 在直角梯形中，， 在等腰梯形中，由于，分别是和的中点， 为等腰梯形的高， ，即； 同理在等腰梯形中，对角线， ； 设的中点为，连接，， 且， 是异面直线和所成的角（或补角）， 又在中，； 在中，由余弦定理，得， 异面直线和所成角的余弦值为． 变式1-3． （22-23高一下·海南海口·期末）在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个二面角，且使得，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线的性质，作出异面直线的夹角，根据余弦定理求出三角形的边长，再根据余弦定理，求出异面直线夹角的余弦值，进而求出异面直线夹角. 【详解】 如图所示，作的中点，连接， 因为是的中点，根据三角形中位线定理可知，在中，，且， 所以直线的夹角，就是异面直线与所成的角， 因为，所以根据勾股定理可知， 因为，所以， 由，所以， 因为，则在中，所以， 因为，所以在中，即， 因为，所以在中，所以， 因为，所以在中，即， 可得， 所以在中， 所以，因为异面直线与所成的角在上，所以异面直线与所成的角为. 故选：B. 类型二、角度：线面角 计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. （2026·四川巴中·一模）在四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作，，作点在平面投影为，连接，，设，由直线与平面所成角的定义可得为与平面所成角,由线面垂直的性质定理可得，进而可得，，并求得，，即可得答案. 【详解】如图，过作，，作点在平面的投影为，连接，， 设， 因， 则，． 因为平面，，平面， 所以，，且为与平面所成角． 又，，， ，平面，，平面， 所以平面，平面． 又平面，平面， 则，． 又，，， 则， 故， 结合，得． 又， 则, 故与平面所成角的正弦值等于． 故选：A． 变式2-1． （25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知正三棱锥的体积为，高为2，点是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设底面边长为，则正三角形的面积为，根据条件结合体积公式，可得a值，连接并延长交于点，则点是的中点，求出各个长度，根据面积公式，可得的面积，设点到平面的距离为，利用等体积法，可求得h，即可求出点到平面的距离为，根据余弦定理，求出BE，根据三角函数的定义，即可得答案. 【详解】设正三棱锥的底面边长为，则正三角形的面积为， 因为正三棱锥，所以. 过点作平面的垂线，垂足为，则， 所以正三棱锥的体积为， 即，解得， 连接并延长交于点，则点是的中点， 所以，，连接，则， 则， 所以的面积为， 设点到平面的距离为，所以，解得， 因为点是的中点，所以点到平面的距离为， 在中，，由余弦定理得， 在中，，，由余弦定理得， 解得， 设与平面所成的角为，则.    故选：D. 变式2-2． （25-26高二上·辽宁大连·月考）在三棱锥中，，则棱与平面所成的角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作平面于，在平面内过作，垂足分别为，连接，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【详解】过点作平面于，在平面内过作， 垂足分别为，连接， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以， 又平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 所以，又， 因此四边形为正方形，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故选：B. 变式2-3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知正四棱台中，上底面与下底面的面积之比为，且其内切球的半径为2，则与面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱台及其内接球的性质，结合题给上、下底面面积之比以及内接球半径，计算得出相应边长的值，利用面面平行得出即为直线与平面所成的角，从而求解. 【详解】    如图，根据正四棱台的性质可知，上底面与下底面均为正方形， 则，即，设，，则， 取为上下底面中心，取为中点，连接，则， 根据内切球的性质，球心为中点，记为球与平面的切点，则. 所以，，， 因为，，， 根据勾股定理得出，所以， 同理，. 所以分别为的角平分线，即. 因为，，， 所以. 连接，则，为在底面投影，则位于上，，四边形为矩形， 因为，，则， 所以，， 因为面与面平行，所以与面所成的角即为与面所成的角， 所以. 故选：A. 类型三、角度：二面角 计算二面角，常用方法 1. 向量法：二面角的大小为(), 2.定义法：在棱上任一点，分别在两个半平面内做棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角 3.垂面法：做与棱垂直的平面，交二面角两个半平面，两条交线所成的角即为二面角的平面角 例3．（2026·安徽·模拟预测）我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，，，要使三棱锥恰好是一个“鳖臑”， 则有，，由，，可得二面角的平面角 为，在中，． 变式3-1． （2026·湖南衡阳·模拟预测）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设E为AC的中点，连接BE，DE，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面平面，结合已知条件有为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，过点E作交OC于点F，易知即为二面角的平面角，即可求其正切值. 【详解】设E为AC的中点，连接BE，DE. 因为为等边三角形， 所以，又，且，BE，平面， 所以平面， 又平面，即， 由题意易知，，，又， 所以. 因为，所以， 即，又，AC，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 又，则，故为等腰直角三角形. 综上，四面体的球心O为的中心，即在线段BE靠近E的三等分点处. 过点E作交OC于点F，连接DF，则即为二面角的平面角. 在中，，，可求得，又， 所以. 变式3-2． （25-26高二上·山东·期中）在矩形中，，，将沿对角线折起，使得点到达点的位置，若二面角的大小为，则的长度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据折叠前矩形的性质，结合二面角的定义，利用余弦定理和直角三角形的边角关系可求的长度. 【详解】矩形中，过点作于点，过点作于点，并延长交于点. 所以. 因为，，所以. 所以. 所以. 所以，所以是的中点. 所以，. 如图，将沿对角线折起，使得点到达点的位置. 因为，所以为二面角的平面角，所以. 中，，所以，所以. 因为，所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以. 所以. 故选：A 变式3-3． （25-26高三上·河北邯郸·期中）水平放置在地面上的正四棱台的容器的体积为，两个底面边长分别为和，侧棱长为，当容器中装入体积为的水时，水面与四条侧棱分别交于点，，，，如图，则平面与平面所成二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把正四棱台补成一个正四棱锥，根据正四棱锥的性质，求得，且，再由题意，求得，得到，证得二面角为平面与平面所成的角，再由，可得，在直角中，即可求解. 【详解】如图所示，把正四棱台补成一个正四棱锥， 设正四棱台的上底面与下底面的中心分别为，连接，与平面交于点， 则平面，平面，平面， 设四棱锥的体积为，正四棱台的体积为， 正四棱台的体积为，则， 因为正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为， 可得， 过作，则平面，因为平面，所以， 在直角中，可得，即， 设，可得，所以， 由棱锥的体积公式，可得，即， 当容器中装入体积为的水时，可得， 设，则，解得， 又由，所以， 所以， 因为平面平面，所以平面与平面所成的角， 即为平面与平面所成的角， 在正方形中，可得，在等腰中，可得， 所以二面角为平面与平面所成的角， 又因为，可得， 在直角中，， 则，即平面与平面所成二面角的正弦值为. 故选：D.    类型四、动点：旋转角最值 两条异面直线成定角时，几何特征是圆锥： 1.选定两条异面直线，固定其中一条作为中心轴线，让另一条直线绕其旋转，运动直线扫出的轨迹为圆锥侧面。 2.旋转过程中，动直线与轴线的夹角、两直线间的最短距离始终保持不变，初始异面直线的夹角就是圆锥的半顶角。 3.动直线多数位置与轴线仍为异面关系，仅转到共面位置时变为相交直线。 4.圆锥上任意两条母线的夹角有固定范围，最大夹角为初始异面直线夹角的两倍。 5.若判断过定点、与两条异面直线成指定角度的直线数量，可分别以两条异面直线为轴线作圆锥，两圆锥的交线数量即为所求直线条数。 例4．（24-25高二下·四川成都·课堂练习）异面直线、成角，为、外的一个定点，若过有且仅有2条直线与、所成的角相等且等于，则角属于集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将异面直线，平移到点，则由直线与所成的角相等且等于有且只有2条，得到使直线在面的射影为的角平分线，由此能出结果. 【详解】解：先将异面直线，平移到点，即过点作，， 则，， 而的角平分线与，的所成角为， 而的角平分线与，的所成角为， 当，直线与，所成的角相等且等于有且只有2条， 使直线在面的射影为的角平分线； 故选：A. 变式4-1．（22-23高一 全国专题练习）若，，是两两异面的直线，与所成的角是，与、与所成的角都是，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在空间选取一点,过分别作的平行线 、 ,并设 、确定的平面为,再将直线平移至,使经过点,根据直线与平面所成角的定义和异面直线所成角的定义,通过讨论可得直线与所成的角范围是. 【详解】作图如下： 在空间选取一点, 过作, 设直线、确定的平面为， 将直线平移至,使经过点， 当直线时, 与所成的角都是直角, 此时所成的角达到最大值; 当直线恰好在平面内,且平分所成的锐角时, 与所成的角都是, 此时所成的角达到最小值. 所以与所成的角范围是. 因为 , 所以与所成的角等于与所成的角, 即与所成的角范围是. 故选D 【点睛】本题给出两条异面直线的所成角,要我们找出与它们成等角的第三条直线所成角的范围,着重考查了线面垂直、直线与平面所成角和异面直线所成角等知识;通过作平行线把空间异面直线所成角转化到同一平面内分析临界值是求解本题关键;属于中档题. 变式4-2． （21-22高二上·上海静安·月考）异面直线a，b成80°角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且仅有n条直线与a，b所成的角相等且等于45°，则n＝_____． 【答案】2 【分析】先将异面直线平移到点处，分别求出和的角平分线与和的所成角，然后由运动思想分析即可. 【详解】解：如图： 先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE＝80°，∠EPD＝100°， 而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为40°， 而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为50°， 因为45°＞40°，45°＜50°， 所以直线与a，b所成角相等且等于45°有且只有两条， 且直线在面PBE的射影为∠BPE的角平分线， 故答案为：2． 变式4-3． （25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为，则直线可能有条，则_____________. 【答案】 【分析】结合等角定理，分、、、、与进行讨论即可得. 【详解】过点作异面直线、的平行线、， 则直线、交成、两个角； 当时，直线不存在； 当时，直线只能是直线、所夹角的平分线，故有1条； 当时，过点在空间可作2条直线与直线、均成角； 当时，直线可以是120°角的平分线，再加上前一情况的2条，此时共有3条； 当时，过点在空间可以作4条直线与直线、均成角； 当时，存在唯一一条直线与、都垂直，故有1条. 故答案为：. 类型五、动点：射影角范围 线面角核心思维是做射影垂线： 1.找直线在平面内的射影：过直线上一点向平面作垂线，垂足与斜足的连线就是射影。 2.线面角定义：直线与它在平面内射影的夹角，范围在 0° 到 90° 之间。 3.最值规律：直线与平面内所有直线的夹角里，线面角是最小角。 4.解题步骤：先作垂线定射影，再找夹角；求最值直接利用 “线面角为最小角” 结论分析。 例5．（25-26高二上·上海黄浦·期末）已知圆锥的底面半径与高均为5，用平行于该圆锥底面的平面截这个圆锥，得到的小圆锥的高为2.设和分别为圆和圆圆周上的两点，当直线与圆锥底面所成角的大小不超过时，线段长度的取值范围是____________. 【答案】 【分析】过点作底面圆，连接，根据线面角的概念可知即为直线与圆锥底面所成角的平面角，结合已知条件即可得解. 【详解】过点作底面圆，连接， 设半径为，半径为，则，解得， 所以即为直线与圆锥底面所成角的平面角， 由题意可知，，即，解得， 又因为， 其中，当且仅当共线时等号成立， 所以， 所以线段长度的取值范围是， 故答案为： 变式5-1．（25-26高三上·上海·期中）如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，三角形面积可取最大最小值。 【详解】如图，过C作直线l垂直于平面， 因为与平面所成的角分别为，则点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，的面积可取最大最小值， 于是，有，即， 所以，即， 所以的面积为， 所以， 故答案为: . 变式5-2．（24-25高三·全国·一轮复习）设α，β，γ分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则sin 的取值范围为_. 【答案】 【分析】在长方体中有，证明，证明，，根据琴声不等式证明 ，证明，据此即可求解. 【详解】设长方体的一个顶点出发的长、宽和高分别为，相应对角线长为， 则，， 注意到 ， 因为，均为锐角，所以，从而， 即，同理，， 又在上为凸函数， 由琴生不等式有 ， 则cos ≥，即sin ≤， 另一方面， ， 由均为锐角，则，从而， 又时，有→， 综上，≤. 故答案为：. 变式5-3． （2025·河南郑州·二模）已知正四棱锥的底面边长与高均为2，设是正方形及其内部的点构成的集合，点是正方形的中心，若集合，则直线与平面所成角的正切值的最小值为________． 【答案】2 【分析】根据题意得到点的范围，根据几何关系得到与平面所成角最小即为最大时，找到最大距离位置后，计算得到答案. 【详解】如图，在正方形内，分别是的中垂线在正方形内部分， 由，则点在五边形及其内部， 同理，，，点在相应的五边形及其内部， 综上，点在正方形及其内部， 可设与平面所成角为，由图可得：， 因为，所以要让最小，只需最大， 由几何关系可知点在正方形的顶点时，，此时取得最小值2. 故答案为：2. 类型六、动点：翻折型角度最值 翻折型角度最值范围： 1.定翻折核心要素：先明确翻折前的平面图形、翻折边、翻折后形成的二面角，锁定翻折过程中长度不变、垂直不变的边和角。 2.找角度对应关系：确定目标角（线线角、线面角、二面角），翻折后找到该角对应的几何位置，明确角的两边或边与平面的关联。 3.析变量与不变量：区分翻折中的不变量（线段长、部分垂直关系）和变量（二面角大小、点的空间位置），目标角的最值随变量变化。 4.定最值临界位置：分析变量变化时目标角的变化趋势，找到极端位置（如二面角为 0°/180°、点投影落在特殊点），此时取到最大或最小值。 · 验几何关系合理性：验证临界位置下的线面、面面位置关系，确保符合翻折后的空间几何逻辑，排除不合理情况。 例6．（25-26高二上·山西·期中）如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折至的位置，使得二面角为，则的最小值为__________.    【答案】1 【分析】根据勾股定理得到，利用线性运算得到，然后平方得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】    设，，则. 如图，作，，垂足分别为，，连接， 则， 两边平方得. 由图可知，，，， ， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据二面角的大小得到，然后利用线性运算、数量积的运算律和基本不等式求的最值即可. 变式6-1． （2024·四川·一模）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为__________． 【答案】/ 【分析】取的中点，连接交于点，连接，由面面垂直的性质得到平面，再根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】如图，取的中点，连接交于点，连接．易知四边形为正方形，则， 由翻折前后的不变性可知，， 当平面平面时，又平面平面，平面， 所以平面． 由题意可知，，， 所以． 故答案为： 变式6-2． （21-22高一下·北京·期末）如图，等腰梯形沿对角线翻折，得到空间四边形，若，则直线与所成角的大小可能为______.（写出一个值即可） 【答案】（答案在内即可） 【分析】由题意，补全等腰梯形为正三角形，则直线与所成角的大小为直线与所成角，再根据线线角的范围求解即可 【详解】由题意，补全等腰梯形为正三角形，则直线与所成角的大小为直线与所成角，易得当等腰梯形沿对角线翻折时，的轨迹为以为顶点，为高的圆锥侧面，设，在上取使得，则直线与所成角即，故，因为，，故，故，故只需写出内的角度即可，如         故答案为：（答案在内即可） 变式6-3． （24-25高一下·新疆哈密·期末）在中，，，点为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角.当折起后三棱锥的体积最大时，求________，此时二面角的正切值为________. 【答案】 / 【分析】设，利用表示三棱锥的体积，借助三角函数的值域求体积的最大值及对应的，根据线面垂直，结合二面角的定义可得为二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】如图： 因为为直角三角形，且，，所以. 设（），过作，交直线于点，则. 在中，由正弦定理，. 所以. 当平面平面时，三棱锥的高最大，为. 所以 设，因为，所以，则.所以. 因为在上单调递增，所以.所以（当时取等号）. 此时取得最大值，为.此时，如下图： 因为为中点，因为，所以与重合，所以平面.取中点，连接,， 因为，所以，由于平面，平面,故, 平面，所以平面，平面，故， 所以为二面角的平面角.在直角中，，， 所以.故答案为：； 类型七、角度不等式：线线角不等式 线线角不等式： 一、核心规律 1.空间两条直线的夹角，只取锐角或者直角，不会取钝角。 2.两条直线对应方向向量的夹角，可能是锐角、直角或钝角；若这个夹角是钝角，直线夹角就取它的补角。3.直线夹角的大小，一定介于 0 度到 90 度之间，且不等于 0 度。 二、解题步骤 1.确定两条直线各自对应的方向向量。 2.算出两个方向向量之间的夹角大小。 3.进行判断：算出的夹角是锐角或直角，就直接作为线线角；算出的夹角是钝角，就用一百八十度减去这个角度，得到线线角。 4.最终结果务必符合范围，角度在 0 度到 90 度之间。 例7．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四边形是矩形，沿直线将翻折成，则异面直线与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接与交于点，设点在平面内的射影为，证得是直线与平面所成的角，根据与不共线，得到，进而得到结论. 【详解】如图所示，连接与交于点， 由，可知， 设点在平面内的射影为， 连接，因为，所以， 所以点为的外心，可得， 因为，， 又由平面平面，所以是直线与平面所成的角， 又因为与不共线，所以，即， 所以. 故选：B. 变式7-1． （2021·浙江绍兴·二模）如图，平面，斜线在平面内的射影，是平面内过点的直线，若是钝角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点在平面内作，垂足为点，连接，比较各选项中两个角的同名三角函数值的大小，由此可判断各选项的正误. 【详解】过点在平面内作，垂足为点，连接， 平面，平面，，同理可知， ，，平面， 平面，，所以，，， ，在中，，则， 因为余弦函数在上单调递减，所以，，A选项错误； 易知、均为锐角，且，， 在中，，所以，， 因为余弦函数在上单调递减， 所以，，从而可得，B选项正确； 因为，， 由于与的大小关系不确定，无法比较与的大小关系，C选项错误； 因为，， 由于、的大小关系不确定，无法比较与的大小关系，D选项错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查角的大小的比较，解题的关键在于确定各选项中同名三角函数值的大小关系，结合三角函数的单调性来比较各角的大小. 变式7-2． （24-25高一·全国·课后作业）如图，PO是平面的斜线，O是斜足，于点A，BC是内过点O的直线．若是锐角，则有． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三余弦定理可得，即，再逐一检验A,B,D选项即可得解. 【详解】解：由三余弦定理可得： ， 又为锐角， 所以， 所以， 所以， 即， 故C正确， 则选项A错误， 同理，则选项D错误， 又大小无法确定，则不能比较大小，即选项B错误， 故选C. 【点睛】本题考查了三余弦定理，属中档题. 变式7-3． （25-26高一·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，，平面平面，若，，与平面所成的角为，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在射线取，过作的垂线，垂足为，连接，设过三点平面交棱于，在四棱锥中可讨论的大小关系. 【详解】 在射线取，过作的垂线，垂足为，连接， 因为，，， 故，故，即. 设过三点平面交棱于， 以下在四棱锥中讨论的大小关系. 连接，它们交于点. 因为平面平面，，平面平面， 平面，故平面， 所以为直线与平面所成的角，故， 而为与平面内的直线（异于射影）所成的角， 故. 因为，，故为的平面角， 结合平面平面可得，故为等腰直角三角形. 又，，，故， 故，而，，故， 故，故， 因为，，，故平面， 而平面，故，而，故平面. 因为，故为的角平分线. 又，且， 在直角三角形中，， 因为，，故，而均为锐角，故， 综上，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是在原来的四棱锥中构造出新的四棱锥，然后利用线面角的定义得出，再由正切值的大小关系得出，解题时充分分析新几何体的结构特征，分析几何关系以及不等关系，进而求解. 类型八、 角度不等式：线面角不等式 线面角不等式： 1.直线与平面所成的角，取值在 0 度到 90 度之间，包含 0 度和 90 度。 2.直线和平面中所有直线形成的夹角里，线面角是最小的那个角。 3.直线与平面垂线的夹角，和线面角相加等于九十度。 4.（1）找出平面的垂线，以及直线在平面上的投影。 （2）确定直线和它在平面内投影形成的夹角。 （3）核对角度范围，该角必须在 0 度至 90 度之间。 （4）结合大小关系，列出对应的角度不等关系。 例8．（20-21高二下·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界），记二面角的平面角大小为，直线､与平面所成角分别为､，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目考察二面角和线面角的概念，首先，将折成，通过辅助线找到分别在图中的位置，因为，所以比较三个角的大小，可以等价于比较的大小，根据图中的直角三角形可以表示出三个角的正弦值，通过比较各线段的长度判断正弦的大小，从而推出角度的大小 【详解】 沿直线将折成之后如图一所示，记中点为,在底面的投影为，所以平面 连接，则 所以，在三个直角三角形中，，， 设，因为，所以， ， 当点落在平面内时，如图二所示，中，，所以 中， 由余弦定理可得： 所以， 所以：，所以，且 所以 故选：A 【点睛】题目比较综合，有一定的难度，关键点在于找到折叠之后的二面角和线面角的位置，其中的大小比较容易判断，如果要比较的大小，还需要在底面中结合解三角形的方法去计算，才能准确比较大小 变式8-1．（2025·浙江温州·模拟预测）已知正四面体，Q为内的一点，记与平面所成的角分别为，则下列不等式恒成立的个数为（    ） ①      ② ③        ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合正四面体的特点，四个面是全等的等边三角形，表示出与平面所成的角分别为，求出，再根据选项的特点进行判断. 【详解】取点Q为 的中心，设正四面体的棱长为1，则 ， 所以，排除①； ， ，因此 ②是正确的， 所以， 所以排除④； 取BC的中点D，连接PD,AD,易知AP与平面PBC所成的角为 ， 且 ，所以 ， ， 所以当点Q靠近点A时，QP与平面PBC所成的角的正切值大于1， 所以，排除③ . 故选：B 【点睛】充分利用正四面体的几何特征，观察选项的特点，进行计算. 变式8-2．（24-25高一全国课堂作业）如图，在大小为的锐二面角中，，，、，，，、分别为、的中点.记直线与半平面的夹角为，直线与半平面的夹角为.若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】构造直三棱柱，可得出，，，由，推导出，由可得，推导出，即可得出结论. 【详解】如下图所示，构造直三棱柱，分别取、的中点、，连接、、， 则，，则，同理可得， 且，、分别为、的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，，同理可知， 所以，，，故， 且，、分别为、的中点，且， 设，则，，， ，则为的中点，故点与点重合， ，，，平面， 平面，则，故， 在中，，则， ，则，所以，， 由于、均为锐角，所以，，则， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 平面，平面，， 又，，，所以，， 且为锐角，所以，， ，， 所以，， 易知、，且余弦函数在上单调递减，所以，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间角的大小比较，解题的关键在于根据对应角的同名三角函数的大小关系结合同名三角函数的单调性来进行比较. 变式8-3．（24-25高一全国课堂作业）如图，将矩形纸片折起一角落得到，记二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过作平面，垂足为，过作，垂足为，可证，利用三角变换公式可证，从而可得正确的选项. 【详解】 如图，过作平面，垂足为，过作，垂足为， 设， 因为平面，平面，故， 而，故平面，而平面， 所以，故， 又，. 在直角三角形中，，同理， 故，同理， 故，故， 整理得到， 故， 整理得到即， 若，由 可得即， 但，故，即，矛盾， 故. 故A正确，B错误. 由可得， 而均为锐角，故，，故CD错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：空间中不同类型的角的关系，应利用点线面的位置关系构建关于角的等式关系，注意平面几何、三角变换、解三角形等计算中的应用. 类型九、 角度不等:面面角不等式 面面角不等式： 1.两个平面形成的夹角，取值范围在 0 度到 180 度之间，包含两端角度。 2.日常解题所用的二面角，优先取两个平面形成的锐角或直角。 3.二面角与它的补角相加等于一百八十度，二者满足大小不等关系。 4.（1））找出两个平面的交线，分别在交线上取一点。 （2）在两个平面内，过该点分别作出垂直于交线的直线。 （3）判定两条垂线形成的夹角，或是其补角作为面面角。 （4））结合角度范围，确定最终角度并梳理对应的不等关系。 例9．（2025·湖北·模拟预测）已知长方体中，，，点是底面上的一个动点.设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，记表示，中的最大者，表示，中的最小者，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，初步确定点所在的位置.举特例说明与的大小关系不确定，排除AB；再按点在不同位置时，研究与，与的大小，即可得出结论. 【详解】如图，取长方体的下底面的各边中点,,,，上底面的中心为，下底面的中心为. 平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为， 过作于，作于，则，. 所以，等价于到的距离比到的距离大，所以在如图所示的阴影范围内. 在和中，，为公共边，为共同的中点， ，的大小由与，所成的角大小所决定.所成角越小，则对应角越大. 显然与和所成的角的大小关系不确定： 当在靠近时与直线所成的角较小，与直线所成的角则接近于，此时. 同样当接近于时，故A、B错误； 与的大小关系实际上是看在的左侧还是右侧. 若在左侧，则； 若在右侧，则； 若是在上，则. 同样，在的前面，则； 在上，则； 在的后面，则， 所以当在内时，，， ，. 因为，所以. 因为，所以. 因此，， 根据对称性，在其余区域内，具有相同的结论. 故选：C 变式9-1． （2024·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过边的中点作，垂足为，则就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为，设漏壶上口宽为，下底宽为，高为，在中，根据等差数列即可求解. 【详解】三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸， 如图，在正四棱台中，为正方形的中心，是边的中点， 连结，过边的中点作，垂足为， 则就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为， 设漏壶上口宽为，下底宽为，高为， 在中，，， 因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列，下底宽也成等差数列，且公差相等， 所以为定值， 又因为三个漏壶的高成等差数列，所以. 故选：． 【点睛】关键点点睛：对于情境类问题首先要阅读理解题意，其次找寻数学本质问题，本题在新情境的基础上考查等差数列的相关知识. 变式9-2． （23-24高三下·上海·开学考试）如图，已知中为直角，是线段上任意一点（不含端点），沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的大小关系与点位置有关 C． D．与的大小关系与大小有关 【答案】C 【分析】根据二面角的几何法可得即为二面角的平面角，进而在以及中运用余弦定理，即可作差后结合余弦函数的单调性求解. 【详解】过点作直线于点，过点作直线于点， 则可知，分别在点的两边， 如图，将线段平移到处，过作于，连接， ，，，则即为二面角的平面角， 设， ，， 在中，， 在中，，， 同理，，，， 由题意平面，平面，， 在中，， 在中， ， （当时取等号）， 由于，故等号取不到， ，,，在,上为递减函数， 故，故C正确． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：在中利用余弦定理，在中继续适用余弦定理，两者结合可得，利用作差法以及三角函数的性质求解. 变式9-3． 23-24高一下·浙江杭州·期中）已知正方体边长为1，点分别在线段和上，，动点在线段上，且满足，分别记二面角，的平面角为，则总有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出三个二面角的平面角，求出其正切值后比较大小可得． 【详解】 作平面，垂足为，则， 因为平面， 所以， 作，，，垂足分别为， 连接，由于，平面，平面， 所以平面， 又平面，从而， 所以，同理，， 所以，，， 因为点是正方形对角线的交点，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 就是在平面上的射影，， 又，， 且， 则， 由得， 从而，所以， 所以，又，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是作出二面角的平面角，然后求出角的正切值，再利用正方体的性质比较线段长的大小，从而可得结论． 压轴专练 一、单选题 1．（25-26高二下·云南玉溪·期中）如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得，可知平面与平面所成的角为，利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】直三棱柱，平面平面，平面平面，，平面，得平面， 平面，平面，所以， 由，，得， 直三棱柱的体积为，所以 又，可知平面与平面所成的角为， 因为，所以平面与平面所成的角为. 2．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 3．（2026·贵州黔西南·二模）定义：对于空间一个平面和该平面外两点，，若在平面内存在一点使得取得最小值，则称为，两点关于平面的“最短距点”.如图，已知正方体的棱长为2，与交于点，点为线段的中点，其中，点是，两点关于平面的“最短距点”，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称确定的位置，即可根据相似以及二倍角公式求解. 【详解】延长到，使得，连接交平面于， 根据两点之间线段最短可知：此时是，两点关于平面的“最短距点”， 连接，则， 故，故， 因此， ， 因此， 故直线与所成角的余弦值为. 4．（25-26高二下·江西南昌·期中）如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，则 ， 为的中点，， 且，且， 四边形是平行四边形， ，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角， 因为平面，所以为直线与平面所成角， 则为直线与平面所成角， 设正方体的棱长为，， 是的中点，所以 ，， ， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 故选项C正确. 5．（2025高三·全国·专题练习）一条直线与直二面角的两个面所成的角分别为，，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与平面的位置，分两种情况，根据直线和交线是否垂直计算判断即可求解. 【详解】设直二面角的两个面交线为，设直线与两个面所成的角分别为和， 当直线垂直时，. 当直线不垂直时， 如图，由，知，即 综上可知， 故选：B. 6．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面是矩形，平面，若直线与平面，平面和平面所成的角分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件中的垂直关系结合线面角定义，确定直线与平面，平面和平面所成的角，求出各角正弦、余弦的表达式，逐项验证求解即可. 【详解】 如图所示，设，，， 因为平面，因为平面，所以， 为直角三角形， 所以直线与平面所成角为，即， 因为为矩形，所以为直角三角形， 所以， 在中，， 所以，， 因为为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 为直角三角形， 所以直线与平面所成角为，即， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，， 因为为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以 为直角三角形， 所以直线与平面所成角为，即， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，， 对于A， ，A错误； 对于B， ，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：D. 7．（2025高一下·全国·专题练习）已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，再根据题意求出的长度，由二面角的定义可得二面角的平面角为，代入计算，即可得到结果. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，， 所以，， 因平面，则为直线与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：C 8．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3（如图），则下列说法错误的是（    ）    A． B．直线BC与平面BEDF所成的角为 C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F-ADP的体积为定值 D．若点P为棱ED上的动点，则的最小值为 【答案】B 【分析】对于A选项，正八面体，证明平面，再判断，对于B，可知平面，找到直线与平面所成的角为，在三角形中计算角度；对于C，利用等体积变换计算三棱锥的体积；对于D，由题意分析和，将两个三角形翻折到同一平面内，可得取最小值. 【详解】对于A选项，正八面体，连接， 对称性可知，⊥平面，且相交于点，为的中点， 又，， 故四边形为菱形，四边形为菱形， 可知是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故，故A正确 对于B，由A选项可知平面，故直线与平面所成的角为， 且由题意得，故， 故，B错误； 对于C，三棱锥的体积， 其中点到平面的距离为，设菱形的面积为， 则 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，故C正确. 对于D，由题意得为等边三角形，边长为3，    在中，，为等腰直角三角形，    将沿直线ED翻折到平面EAD内，如图，易得, 则的最小值为为 ， D正确. 故选：B. 二、填空题 9．（2026高三·全国·专题练习）在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若点在平面内且不在对角线上，过点在平面内作一直线，使与直线成角，且.这样的直线可作________条. 【答案】2 【详解】在平面内作，使与相交成角. ，直线与也成角，即为所求. 且与是异面直线，当时，这样的直线有2条. 10．（23-24高一下·安徽黄山·期末）如图1，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.（如图2）.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列四个判断中，正确的个数有___________个. ①    ②    ③    ④.    【答案】3 【分析】通过空间直线、平面的位置关系作出相应角，结合解直角三角形得出对应三个角的正余弦值一一判定即可. 【详解】    对于②，如图所示，连接，因为平面与平面的交线为，所以， 又因为直线与圆的另一个交点为，所以，即平面与平面的交线为就是直线， 因为，分别是，的中点，所以， 而平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以，所以 由题意易知：，面，则面，而面，则，即二面角的大小，故②正确； 对于③，； 由Q满足，点是中点，平面，则，面， 结合题意此时四边形为矩形，则直线与平面所成的角， 即； 过Q作，且使得，连接，显然，此时四边形为平行四边形，， 则异面直线与所成的角，结合上面说明得面， 而面，则，即. ∴，故③正确； 对于①，由③可知，注意到，所以，故①正确； 对于④，故④错误； 故正确的序号有：①②③，共3个. 故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过定义法找到对应的线线角、线面角以及面面角之间的关系，从而建立适当的“桥梁”，由此即可顺利得解. 11．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段检测）四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且（），二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，则的值为______． 【答案】 【分析】先找出和，因为平面知，二面角的平面角可由三垂线法作出，再用表示出和，代入，解方程即可. 【详解】    由平面，连接，则是在面内是射影， 则直线与平面所成的角为， 平面，平面， ；又底面是正方形， ，而平面，所以平面， 连接，过点D在平面内作于F，连接 故是二面角的平面角，即. 在中，， 在中，， 从而； 在中，. 由，得，所以， 由，解得，即为所求. 故答案为： 12．（2023·江苏南通·模拟预测）在四棱锥中，底面为正方形，，为空间中一动点，为的中点，平面． 若，则的轨迹围成封闭图形的体积为___；若与平面所成的角等于，则平面与的轨迹的交线长为___． 【答案】 【分析】由得在为直径的球面上，计算可得结果； 计算与平面所成的角从而可得为定值，根据定弦对定角可知M轨迹为以为弦的球的一部分球冠，再计算与面的交线长即可. 【详解】第一空：由可知，即在为直径的球面上， 因为底面为正方形，, 而为的中点，平面，则为直角三角形． 所以，故的轨迹围成封闭图形的体积为：； 第二空：由题意可得，，而面，面, 故面，所以与平面所成的角等于， 易得, 又为定值，为定锐角，故的轨迹为以为弦的球的上方与下方合着的球冠,其与平面的交线为圆（如下图所示）. 如图所示， 连接AC、BD交于N，连接AG、PN交于Q.则N为AC中点，故NG平行等于AP，故AQ:QG=2:1. 故，即AG⊥PN,PN面PBD，AG面PBD， 故AG面PBD. 即平面与的轨迹的交线为Q为圆心MQ为半径的圆,如图所示，连接MQ，设，由上知,则有,化简得：，解得（舍负值），故交线长为：. 故答案为：； 【点睛】本题考察立体几何的动点轨迹问题，属于压轴题.关键在于由定弦定角确定轨迹为球面，从而确定球心与半径，需要很强的空间想象能力及计算能力. 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 动点与角度 目录 专题10 动点与角度 1 1 类型一、角度：异面直线角 1 类型二、角度：线面角 2 类型三、角度：二面角 3 类型四、动点：旋转角最值 4 类型五、动点：射影角范围 5 类型六、动点：翻折型角度最值 5 类型七、角度不等式：线线角不等式 6 类型八、 角度不等式：线面角不等式 8 类型九、 角度不等:面面角不等式 9 10 结束 类型一、角度：异面直线角 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 例1．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式1-1． （2026·河南开封·模拟预测）图1是一个边长为2的正三角形纸片，沿虚线剪掉三个角处的四边形，剩余部分沿的三条边折叠成一个正三棱柱（无盖），如图2，当正三棱柱的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式1-2． （25-26高一下·云南昆明·期中）已知正三棱台的体积为，，，，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式1-3． （22-23高一下·海南海口·期末）在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个二面角，且使得，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 类型二、角度：线面角 计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. （2026·四川巴中·一模）在四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值等于（    ）． A． B． C． D． 变式2-1． （25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知正三棱锥的体积为，高为2，点是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 变式2-2． （25-26高二上·辽宁大连·月考）在三棱锥中，，则棱与平面所成的角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 变式2-3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知正四棱台中，上底面与下底面的面积之比为，且其内切球的半径为2，则与面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 类型三、角度：二面角 计算二面角，常用方法 1. 向量法：二面角的大小为(), 2.定义法：在棱上任一点，分别在两个半平面内做棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角 3.垂面法：做与棱垂直的平面，交二面角两个半平面，两条交线所成的角即为二面角的平面角 例3．（2026·安徽·模拟预测）我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式3-1． （2026·湖南衡阳·模拟预测）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 变式3-2． （25-26高二上·山东·期中）在矩形中，，，将沿对角线折起，使得点到达点的位置，若二面角的大小为，则的长度为（    ） A． B． C． D．3 变式3-3． （25-26高三上·河北邯郸·期中）水平放置在地面上的正四棱台的容器的体积为，两个底面边长分别为和，侧棱长为，当容器中装入体积为的水时，水面与四条侧棱分别交于点，，，，如图，则平面与平面所成二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 类型四、动点：旋转角最值 两条异面直线成定角时，几何特征是圆锥： 1.选定两条异面直线，固定其中一条作为中心轴线，让另一条直线绕其旋转，运动直线扫出的轨迹为圆锥侧面。 2.旋转过程中，动直线与轴线的夹角、两直线间的最短距离始终保持不变，初始异面直线的夹角就是圆锥的半顶角。 3.动直线多数位置与轴线仍为异面关系，仅转到共面位置时变为相交直线。 4.圆锥上任意两条母线的夹角有固定范围，最大夹角为初始异面直线夹角的两倍。 5.若判断过定点、与两条异面直线成指定角度的直线数量，可分别以两条异面直线为轴线作圆锥，两圆锥的交线数量即为所求直线条数。 例4．（24-25高二下·四川成都·课堂练习）异面直线、成角，为、外的一个定点，若过有且仅有2条直线与、所成的角相等且等于，则角属于集合（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（22-23高一 全国专题练习）若，，是两两异面的直线，与所成的角是，与、与所成的角都是，则的取值范围是 A． B． C． D． 变式4-2． （21-22高二上·上海静安·月考）异面直线a，b成80°角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且仅有n条直线与a，b所成的角相等且等于45°，则n＝_____． 变式4-3． （25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为，则直线可能有条，则_____________. 类型五、动点：射影角范围 线面角核心思维是做射影垂线： 1.找直线在平面内的射影：过直线上一点向平面作垂线，垂足与斜足的连线就是射影。 2.线面角定义：直线与它在平面内射影的夹角，范围在 0° 到 90° 之间。 3.最值规律：直线与平面内所有直线的夹角里，线面角是最小角。 4.解题步骤：先作垂线定射影，再找夹角；求最值直接利用 “线面角为最小角” 结论分析。 例5．（25-26高二上·上海黄浦·期末）已知圆锥的底面半径与高均为5，用平行于该圆锥底面的平面截这个圆锥，得到的小圆锥的高为2.设和分别为圆和圆圆周上的两点，当直线与圆锥底面所成角的大小不超过时，线段长度的取值范围是____________. 变式5-1．（25-26高三上·上海·期中）如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 变式5-2．（24-25高三·全国·一轮复习）设α，β，γ分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则sin 的取值范围为_. 变式5-3． （2025·河南郑州·二模）已知正四棱锥的底面边长与高均为2，设是正方形及其内部的点构成的集合，点是正方形的中心，若集合，则直线与平面所成角的正切值的最小值为________． 类型六、动点：翻折型角度最值 翻折型角度最值范围： 1.定翻折核心要素：先明确翻折前的平面图形、翻折边、翻折后形成的二面角，锁定翻折过程中长度不变、垂直不变的边和角。 2.找角度对应关系：确定目标角（线线角、线面角、二面角），翻折后找到该角对应的几何位置，明确角的两边或边与平面的关联。 3.析变量与不变量：区分翻折中的不变量（线段长、部分垂直关系）和变量（二面角大小、点的空间位置），目标角的最值随变量变化。 4.定最值临界位置：分析变量变化时目标角的变化趋势，找到极端位置（如二面角为 0°/180°、点投影落在特殊点），此时取到最大或最小值。 · 验几何关系合理性：验证临界位置下的线面、面面位置关系，确保符合翻折后的空间几何逻辑，排除不合理情况。 例6．（25-26高二上·山西·期中）如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折至的位置，使得二面角为，则的最小值为__________. 变式6-1． （2024·四川·一模）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为__________． 变式6-2． （21-22高一下·北京·期末）如图，等腰梯形沿对角线翻折，得到空间四边形，若，则直线与所成角的大小可能为______.（写出一个值即可） 变式6-3． （24-25高一下·新疆哈密·期末）在中，，，点为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角.当折起后三棱锥的体积最大时，求________，此时二面角的正切值为________. 类型七、角度不等式：线线角不等式 线线角不等式： 一、核心规律 1.空间两条直线的夹角，只取锐角或者直角，不会取钝角。 2.两条直线对应方向向量的夹角，可能是锐角、直角或钝角；若这个夹角是钝角，直线夹角就取它的补角。3.直线夹角的大小，一定介于 0 度到 90 度之间，且不等于 0 度。 二、解题步骤 1.确定两条直线各自对应的方向向量。 2.算出两个方向向量之间的夹角大小。 3.进行判断：算出的夹角是锐角或直角，就直接作为线线角；算出的夹角是钝角，就用一百八十度减去这个角度，得到线线角。 4.最终结果务必符合范围，角度在 0 度到 90 度之间。 例7．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四边形是矩形，沿直线将翻折成，则异面直线与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1． （2021·浙江绍兴·二模）如图，平面，斜线在平面内的射影，是平面内过点的直线，若是钝角，则（    ） A． B． C． D． 变式7-2． （24-25高一·全国·课后作业）如图，PO是平面的斜线，O是斜足，于点A，BC是内过点O的直线．若是锐角，则有． A． B． C． D． 变式7-3． （25-26高一·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，，平面平面，若，，与平面所成的角为，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 类型八、 角度不等式：线面角不等式 线面角不等式： 1.直线与平面所成的角，取值在 0 度到 90 度之间，包含 0 度和 90 度。 2.直线和平面中所有直线形成的夹角里，线面角是最小的那个角。 3.直线与平面垂线的夹角，和线面角相加等于九十度。 4.（1）找出平面的垂线，以及直线在平面上的投影。 （2）确定直线和它在平面内投影形成的夹角。 （3）核对角度范围，该角必须在 0 度至 90 度之间。 （4）结合大小关系，列出对应的角度不等关系。 例8．（20-21高二下·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界），记二面角的平面角大小为，直线､与平面所成角分别为､，则（    ） A． B． C． D． 变式8-1．（2025·浙江温州·模拟预测）已知正四面体，Q为内的一点，记与平面所成的角分别为，则下列不等式恒成立的个数为（    ） ①      ② ③        ④ A．0 B．1 C．2 D．3 变式8-2．（24-25高一全国课堂作业）如图，在大小为的锐二面角中，，，、，，，、分别为、的中点.记直线与半平面的夹角为，直线与半平面的夹角为.若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 变式8-3．（24-25高一全国课堂作业）如图，将矩形纸片折起一角落得到，记二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，，则（    ）． A． B． C． D． 类型九、 角度不等:面面角不等式 面面角不等式： 1.两个平面形成的夹角，取值范围在 0 度到 180 度之间，包含两端角度。 2.日常解题所用的二面角，优先取两个平面形成的锐角或直角。 3.二面角与它的补角相加等于一百八十度，二者满足大小不等关系。 4.（1））找出两个平面的交线，分别在交线上取一点。 （2）在两个平面内，过该点分别作出垂直于交线的直线。 （3）判定两条垂线形成的夹角，或是其补角作为面面角。 （4））结合角度范围，确定最终角度并梳理对应的不等关系。 例9．（2025·湖北·模拟预测）已知长方体中，，，点是底面上的一个动点.设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，记表示，中的最大者，表示，中的最小者，若，则（   ） A． B． C． D． 变式9-1． （2024·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，则（    ） A． B． C． D． 【点睛】关键点点睛：对于情境类问题首先要阅读理解题意，其次找寻数学本质问题，本题在新情境的基础上考查等差数列的相关知识. 变式9-2． （23-24高三下·上海·开学考试）如图，已知中为直角，是线段上任意一点（不含端点），沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的大小关系与点位置有关 C． D．与的大小关系与大小有关 变式9-3． 23-24高一下·浙江杭州·期中）已知正方体边长为1，点分别在线段和上，，动点在线段上，且满足，分别记二面角，的平面角为，则总有（    ） A． B． C． D． 压轴专练 一、单选题 1．（25-26高二下·云南玉溪·期中）如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州黔西南·二模）定义：对于空间一个平面和该平面外两点，，若在平面内存在一点使得取得最小值，则称为，两点关于平面的“最短距点”.如图，已知正方体的棱长为2，与交于点，点为线段的中点，其中，点是，两点关于平面的“最短距点”，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江西南昌·期中）如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）一条直线与直二面角的两个面所成的角分别为，，则满足（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面是矩形，平面，若直线与平面，平面和平面所成的角分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一下·全国·专题练习）已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3（如图），则下列说法错误的是（    ）    A． B．直线BC与平面BEDF所成的角为 C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F-ADP的体积为定值 D．若点P为棱ED上的动点，则的最小值为 二、填空题 9．（2026高三·全国·专题练习）在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若点在平面内且不在对角线上，过点在平面内作一直线，使与直线成角，且.这样的直线可作________条. 10．（23-24高一下·安徽黄山·期末）如图1，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.（如图2）.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列四个判断中，正确的个数有___________个. ①    ②    ③    ④.    11．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段检测）四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且（），二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，则的值为______． 12．（2023·江苏南通·模拟预测）在四棱锥中，底面为正方形，，为空间中一动点，为的中点，平面． 若，则的轨迹围成封闭图形的体积为___；若与平面所成的角等于，则平面与的轨迹的交线长为___． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $