专题06 立体几何初步（高效培优专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题06 立体几何初步 题型一：几何体的结构特征 题型二：斜二测画法与直观图 题型三：点线面位置关系及其判定 题型四：平行关系的判定与证明 题型五：垂直关系的判定与证明 题型六：异面直线所成角 题型七：空间几何体的表面积与体积 题型八： 球体及其内外接问题 题型九： 解答题 题型一：几何体的结构特征 1．(25-26高一下·河北邢台卓越联盟·)下列几何体是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高一·江苏无锡第六高级中学·期中)（多选）下列几何体中不是棱柱的是（    ） A． B． C． D． 3．下列几何体是棱台的是（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高一·北京丰台区·期中)如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（    ） A．①是棱台 B．②不是圆台 C．③是棱锥 D．④是棱柱 5．(25-26高一·青海西宁大通回族土族自治县朔山中学·)如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 6．(25-26高一下·河北保定定州·期中)与三棱台的顶点数相同的几何体可以是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．五棱锥 7．(25-26高一·广东广州中学·期中)棱台不具有的性质是（   ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱延长后交于一点 D．侧棱长都相等 8．(25-26高一下·湖南邵阳第二中学等校·期中)下列关于空间几何体的说法中，正确的个数是（    ） ①正四棱柱都是长方体；②棱台的侧棱长均相等；③一个多面体至少有4个面. A．0 B．1 C．2 D．3 9．(25-26高一·福建龙岩学院附属中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．直四棱柱就是长方体 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 10．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)下列说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体 C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体 11．(25-26高一·贵州贵阳修文中学·期中)下列命题中为真命题的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台 C．棱台的侧面都是等腰梯形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 12．(25-26高一下·重庆礼嘉中学·期中)正方形绕对角线旋转一周所得到的几何体（   ） A．由两个圆锥构成 B．由一个圆锥和一个圆台构成 C．由圆台组成 D．由两个棱柱构成 13．(25-26高一·陕西宝鸡陈仓区天王高级中学等校·期中)（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 14．(25-26高一下·重庆礼嘉中学·期中)（多选）下列结论正确的是（   ） A．圆锥的轴截面是等边三角形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．用一个平面去截三棱锥，必得到一个三棱锥和一个三棱台 D．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 题型二：斜二测画法与直观图 1．(25-26高一·黑龙江佳木斯第二中学·期中)如图是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一下·河南郑州第一中学·期中)如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为_________. 3．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一下·河南荥阳高级中学·期中)如图，是平面四边形的直观图，若是边长为2的正方形，则四边形OABC的周长为______． 5．(25-26高一下·山东临沂蒙阴县实验中学·期中)如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 6．(25-26高一下·河北张家口宣化第一中学等校·期中)如图，的直观图是，已知是等腰直角三角形，且，则边上的高为（    ）   A．4 B． C． D．8 7．(25-26高一下·河北石家庄精英中学·调研)如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为2的正三角形，则原图中边在轴上的射影长度为（   ） A． B． C． D．3 8．(25-26高一·广东东莞大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学·期中)如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（    ）   A．6 B． C． D．8 9．(25-26高一下·广东广州第八十九中学·期中)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（   ）   A． B．1 C． D．2 10．(25-26高一·浙江嘉兴清华附中嘉兴实验高级中学·期中)如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 11．(25-26高一下·吉林吉林永吉县第四中学·期中)如图所示正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（    ）   A．12 B．8 C．8 D．8 12．(24-25高一下·天津部分区·期中)如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 13．(24-25高一下·青海海南州·期末)如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 14．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 15．(25-26高一下·安徽芜湖皖江中学·)（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（     ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 16．(25-26高一下·广西南宁宾阳中学·期中)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是（   ） A．平行四边形在直观图中仍是平行四边形 B．三角形在直观图中仍是三角形 C．菱形的直观图是菱形 D．梯形的直观图是梯形 题型三：点线面位置关系及其判定 1．(25-26高一·河北衡水部分学校·)经过两条不同直线的平面个数可能为（   ） A．1 B．2 C．0或1 D．1或2 2．(25-26高一下·福建南平武夷山二中·期中)若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与是异面直线 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都相交 D．内存在唯一一条直线与平行 3．(25-26高一·广东湛江雷州第二中学·期中)给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；       ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；               ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．(25-26高一下·河南许昌·期中)下列说法中错误的是（   ） A．空间四边形可以确定四个平面 B．当三点共线时，有无数个平面 C．若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点 D．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行 5．(25-26高一·浙江宁波镇海中学·期中)若直线l与平面相交，则下列说法中正确的是（   ） A．α内的所有直线与l都相交 B．α内的所有直线与l都是异面直线 C．α内不存在与l垂直的直线 D．α内不存在与l平行的直线 6．(25-26高一·黑龙江佳木斯第二中学·期中)已知是不同的直线是不重合的平面，若则（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高一·江苏扬州树人集团·期中)如果直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面 8．(25-26高一下·吉林长春九台区第一中学、农安县实验中学等校·期中)三棱柱的9条棱所在的直线中，与直线是异面直线的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．(25-26高一下·重庆渝北中学·期中)如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（    ）   A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 10．(25-26高一下·广西南宁宾阳中学·期中)如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 题型四：平行关系的判定与证明 1．(25-26高一下·江苏东台第一中学·调研)下列命题正确的个数为（    ） （1）如果直线，那么平行于经过的任何平面 （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行 （3）如果直线，和平面满足，，那么 （4）如果直线，和平面满足，，，那么 A．1 B．2 C．3 D．4 2．(25-26高一下·河北石家庄精英中学·调研)若是异面直线，下列四个命题中正确的是（   ） A．过不在上任一点，必可作直线与都平行 B．过不在上任一点，必可作直线与都相交 C．过不在上任一点，必可作平面与都平行 D．过可以并且只可以作一个平面与平行 3．(25-26高一·广东深圳高级中学（集团）·期中)设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则m，n是异面直线 D．若m，n是异面直线，，，，，则 4．(25-26高一下·重庆渝北中学·期中)已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题： ①若，，则或； ②若，，则； ③若，，，，则； ④若，，，则或与异面 以上命题正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 5．(25-26高一·广东东莞东莞中学松山湖学校·)已知三条不同的直线，，，两个不重合的平面，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 6．(25-26高一·广东广雅中学花都校区·期中)已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，且，，则 D．若，，，则 7．(25-26高一下·河北邢台卓越联盟·)如图，，且与均不重合，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．(25-26高一·浙江嘉兴八校联盟·期中)如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论： ①直线与是相交直线； ②直线与是平行直线； ③直线与是异面直线； ④直线与是异面直线. 其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 9．(25-26高三·上海普陀区·)已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 10．(25-26高一·浙江A9协作体·期中)如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 11．(25-26高一·广东深圳高级中学（集团）·期中)在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：垂直关系的判定与证明 1．(25-26高一·广东广州铁一中学等校·期中)在空间中，下面命题为假命题的个数是（   ） ①过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直 ②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 ③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 ④过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直 A．4 B．3 C．2 D．1 2．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（    ） A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，且在平面内 3．(25-26高一下·广西南宁宾阳中学·期中)在正方体中，直线（与直线不重合）平面，则（   ） A． B． C．与异面但不垂直 D．与相交但不垂直 4．(25-26高一·福建厦门外国语学校·期中)在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（ ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．平面平面 5．(25-26高一下·江苏东台第一中学·调研)设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(25-26高三上·湖南常德·)若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 7．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 8．(25-26高一下·山西定襄县定襄中学校·期中)设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，则；④若，，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．(25-26高一·北京顺义区第九中学·期中)已知不重合的直线，，与两个平面，，则下列四个命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．(25-26高一·浙江宁波镇海中学·期中)已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 11．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（   ） A．若，，且，则与为异面直线 B．若，，且，则 C．若，，且，则与为异面直线 D．若，，且，则 12．(25-26高一·天津蓟州区·期中)设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 13．(25-26高二上·北京怀柔区第二中学·期中)如图，在三棱柱中，侧棱底面,是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（    ） A．与是异面直线 B．平面 C． D．平面 题型六：异面直线所成角 1．(25-26高一下·安徽六安第一中学·期中)正方体中，点分别是的中点，则与所成角为（ ） A． B． C． D． 2．(25-26高一·北京广渠门中学·期中)如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．(25-26高一·福建厦门外国语学校·期中)如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．(25-26高一下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高一下·江苏镇江丹阳·期中)在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______. 7．(25-26高一·贵州毕节实验高级中学·)如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 8．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)在正方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 9．(25-26高一·江苏泰州中学·期中)如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 题型七：空间几何体的表面积与体积 1．(25-26高一下·河北邢台·)若一个正三棱锥的高是，底面边长是3，则该正三棱锥的体积为______． 2．(25-26高一下·广东深圳第二外国语学校·期中)如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 3．(25-26高一·福建厦门外国语学校·期中)如图，正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点，则几何体的体积为______.   4．(25-26高一下·北京平谷中学·期中)如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点.若四面体各棱长均为，则该四面体的表面积为_____，体积为_____.   5．(25-26高一·福建同安第一中学·期中)已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（） A． B． C． D． 6．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点分别在棱上，其中，则几何体的体积为______． 7．(25-26高一下·重庆巴蜀中学校·期中)已知正四棱台的体积为14，若，则正四棱台的高为___________． 8．(25-26高一·黑龙江佳木斯第二中学·期中)已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（    ） A． B． C． D． 9．(25-26高一下·湖南邵阳第二中学等校·期中)正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 10．(25-26高一·黑龙江佳木斯第二中学·期中)已知一个圆锥的母线长为6，侧面积 则此底面半径为_____. 11．(25-26高一·福建厦门翔安第一中学·期中)某圆锥的底面半径是2，母线长为4，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 12．(25-26高一下·福建福州八县协作校·期中)已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 13．(25-26高一下·山东青岛莱西·)圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 14．(25-26高一下·天津第三中学·期中)已知一个圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积是_____. 15．(25-26高一·福建龙岩学院附属中学·期中)圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，高为，则圆台的表面积为______. 16．(25-26高一下·江苏镇江丹阳·期中)已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（   ） A． B． C． D． 17．(25-26高一下·山东临沂蒙阴县实验中学·期中)圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A． B． C． D． 题型八：球体及其它内切外接问题 1．(25-26高一·广东广雅中学花都校区·期中)已知半径为的球的体积与表面积相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(25-26高一下·北京平谷中学·期中)某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 3．(25-26高一下·安徽芜湖皖江中学·)冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体若半球部分的体积为，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一下·福建福州八县协作校·期中)三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高一·浙江宁波六校联盟·期中)在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 6．(25-26高一下·江苏常州北郊高级中学·期中)已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．(25-26高一·广东梅州曾宪梓中学等六校·期中)设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．(25-26高一下·山东临沂蒙阴县实验中学·期中)已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______. 9．(25-26高一下·河北石家庄二中教育集团·期中)某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的表面积为________． 10．(25-26高一·黑龙江佳木斯第二中学·期中)已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 11．(25-26高一下·广东广州铁一中学等校·)已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与球O相切，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（    ） A．2 B． C． D． 12．已知直三棱柱的各顶点都在一个球面上，且，，，则这个球的表面积为______. 13．(25-26高一下·重庆礼嘉中学·期中)半径为6的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（   ） A． B． C． D． 14．(25-26高一下·吉林敦化实验中学校·期中)已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 15．(25-26高一下·四川成都第七中学·期中)已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 16．(25-26高一·浙江杭州第二中学·期中)如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 17．(25-26高一下·湖南邵阳邵东振华中学·期中)已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 18．(25-26高一下·山东济宁第一中学·期中)如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 题型九：解答题 1．(25-26高一下·江苏镇江丹阳·期中)如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.   (1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 2．(25-26高一下·江苏南通崇川区、通州区、启东·期中)如图，在正方体中，为棱的中点． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)作出平面与正方体表面的交线，写出作图过程并说明理由． 3．(25-26高一下·宁夏银川永宁县上游高级中学·期中)如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点．   (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：点在直线上； (3)求证：、、、四点共面． 4．(25-26高一下·山东泰安新泰中学·期中)在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 5．(25-26高一下·吉林长春九台区第一中学、农安县实验中学等校·期中)如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 6．如图，正方体中，为的中点，     (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)证明：平面. 7．(25-26高一·天津蓟州区·期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； 8．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 9．(25-26高一下·云南昆明第三中学·期中)《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 10．(25-26高一下·山东泰安第一中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)设点在上，且，证明：平面； 11．(25-26高一·北京顺义区第二中学·期中)如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面． 求证：(1)平面平面；(2)是线段的中点；(3)平面． 12．(25-26高一·北京广渠门中学·期中)如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求证：． 13．(25-26高一·福建龙岩第一中学等校·期中)如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 14．(25-26高一·天津实验中学滨海学校·期中)如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点在线段上，且. (1)设平面平面，证明：； (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由. 15．(25-26高一·福建厦门湖滨中学·期中)如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 16．(25-26高一下·山东青岛第九中学·期中)如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 17．(25-26高一下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 18．(25-26高一·广东湛江吴川第四中学·期中)已知按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中. (1)画出的原图并求其面积； (2)若以的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积和表面积. 19．(25-26高一·浙江嘉兴清华附中嘉兴实验高级中学·期中)如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的外接球的表面积； (3)证明：平面． 20．(25-26高一下·河北石家庄二中教育集团·期中)如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点． (1)求证：平面； (2)已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； (3)求的体积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 立体几何初步 题型一：几何体的结构特征 题型二：斜二测画法与直观图 题型三：点线面位置关系及其判定 题型四：平行关系的判定与证明 题型五：垂直关系的判定与证明 题型六：异面直线所成角 题型七：空间几何体的表面积与体积 题型八： 球体及其内外接问题 题型九： 解答题 题型一：几何体的结构特征 1．(25-26高一下·河北邢台卓越联盟·)下列几何体是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，A是圆柱，BD不存在全等的两个底面，不是棱柱，C是棱柱. 2．(25-26高一·江苏无锡第六高级中学·期中)（多选）下列几何体中不是棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱；选项A：是三棱柱，属于棱柱；选项B：是直四棱柱，属于棱柱； 选项C：是棱台，不是棱柱；选项D：是三棱锥，不是棱柱 3．下列几何体是棱台的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台，只有D是棱台 4．(25-26高一·北京丰台区·期中)如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（    ） A．①是棱台 B．②不是圆台 C．③是棱锥 D．④是棱柱 【答案】A 【详解】图①不是由棱锥截到的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥．图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱． 5．(25-26高一·青海西宁大通回族土族自治县朔山中学·)如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【详解】剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥. 6．(25-26高一下·河北保定定州·期中)与三棱台的顶点数相同的几何体可以是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．五棱锥 【答案】D 【详解】三棱台的顶点数为6，三棱锥的顶点数为4，四棱锥的顶点数为5，四棱柱的顶点数为8，五棱锥的顶点数为6. 7．(25-26高一·广东广州中学·期中)棱台不具有的性质是（   ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱延长后交于一点 D．侧棱长都相等 【答案】D 【详解】根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台， 所以棱台具有的性质是：上、下底面多边形相似；每个侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点； 故选项A,B,C都是棱台具有的性质，棱台的侧棱有的相等，有的不相等，故选项D是棱台不具有的性质. 8．(25-26高一下·湖南邵阳第二中学等校·期中)下列关于空间几何体的说法中，正确的个数是（    ） ①正四棱柱都是长方体；②棱台的侧棱长均相等；③一个多面体至少有4个面. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，长方体是底面为矩形的直四棱柱；因为正方形是特殊的矩形，所以正四棱柱是特殊的长方体，①说法正确；对于②棱台是由棱锥用平行于底面的平面截取而来，只有正棱台的侧棱才相等，一般的棱台侧棱长不一定相等，所以这个说法错误；对于③面数最小的多面体是三棱锥（四面体）它有4个面，所以多面体至少有4个面，这个说法正确. 9．(25-26高一·福建龙岩学院附属中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．直四棱柱就是长方体 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 【答案】B 【详解】对A：底面是矩形的直四棱柱才是长方体，故A错误；对B：如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，则该四棱锥的四个侧面都是直角三角形，故B正确；对C：如图，平面平面，与是边长相等的等边三角形，则与也是等腰三角形，但此三棱锥不是正三棱锥，故C错误；对D：根据棱台的概念，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D错误. 10．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)下列说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体 C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体 【答案】D 【详解】对于A，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥，A错误；对于B，长方体是底面为矩形，且侧棱与底面垂直的四棱柱，B错误；对于C，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还需各侧棱延长后相交于一点，C错误；对于D，如果一个棱柱的所有面都是正方形，说明上、下底面是正方形的四棱柱，各侧面都是正方形，则有各侧棱都垂直于底面，且所有棱长都相等，所以这个棱柱是正方体，D正确． 11．(25-26高一·贵州贵阳修文中学·期中)下列命题中为真命题的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台 C．棱台的侧面都是等腰梯形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】A 【详解】对于A选项，圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 对于B选项，用一个平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台，B错误； 对于C选项,只有正棱台的侧面才是等腰梯形，C错误； 对于D选项, 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，D错误. 12．(25-26高一下·重庆礼嘉中学·期中)正方形绕对角线旋转一周所得到的几何体（   ） A．由两个圆锥构成 B．由一个圆锥和一个圆台构成 C．由圆台组成 D．由两个棱柱构成 【答案】A 【详解】如图所示，在正方形中，设对角线与交于点，根据正方形的性质，可得，且，即对角线将正方形分为两个全等的等腰直角三角形和， 根据旋转体的定义，将正方形绕旋转一周时： 1. 线段绕旋转形成以为顶点，为底面圆心，为底面半径的圆锥侧面； 2. 线段绕旋转形成以为顶点，为底面圆心，为底面半径的圆锥侧面； 3. 线段和旋转后形成的侧面与上述侧面重合， 综上可得，正方形绕对角线旋转一周所得到的几何体由两个圆锥构成. 13．(25-26高一·陕西宝鸡陈仓区天王高级中学等校·期中)（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 【答案】ABD 【详解】只有以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体才叫圆锥，故A错误；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故B错误；四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故C正确；如下几何体不是棱柱，  故D错误. 14．(25-26高一下·重庆礼嘉中学·期中)（多选）下列结论正确的是（   ） A．圆锥的轴截面是等边三角形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．用一个平面去截三棱锥，必得到一个三棱锥和一个三棱台 D．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 【答案】BD 【详解】对于A，圆锥的轴截面中有两边都是母线，相等，故轴截面是等腰三角形，但底面直径不一定等于母线，故不一定为等边三角形，故A错误；对于B，长方体是直四棱柱，直四棱柱的底面不一定是矩形， 所以直四棱柱不一定是长方体，故B正确；对于C，用一个平行于底的平面去截三棱锥，才得到一个三棱锥和一个三棱台，故C错误；对于D，四棱柱、四棱台、五棱锥都有六个面，所以都是六面体，故D正确. 题型二：斜二测画法与直观图 1．(25-26高一·黑龙江佳木斯第二中学·期中)如图是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直观图得到原图是一个直角三角形，且，，， 所以，所以的周长为，故C正确. 2．(25-26高一下·河南郑州第一中学·期中)如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为_________. 【答案】/ 【详解】如图，作出原图，由斜二测画法，在原图中，所以由勾股定理知，故的周长为. 3．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点作于点D，故，因为，所以，，同理过点作于点E，可得，所以，所以原平面图形OABC如图所示，其中，，，，故原平面图形的周长为，故选：A．     4．(25-26高一下·河南荥阳高级中学·期中)如图，是平面四边形的直观图，若是边长为2的正方形，则四边形OABC的周长为______． 【答案】16 【详解】把直观图转化为原图四边形，如图所示,由作图可知四边形为平行四边形，，高为，,故周长为. 5．(25-26高一下·山东临沂蒙阴县实验中学·期中)如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】A 【详解】由题意知，，如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形，因为，是的中点，所以，且，故，故，所以四边形的周长为. 6．(25-26高一下·河北张家口宣化第一中学等校·期中)如图，的直观图是，已知是等腰直角三角形，且，则边上的高为（    ）   A．4 B． C． D．8 【答案】A 【详解】因为是等腰直角三角形，，所以，将直观图还原成原图，画出，如图所示，则，所以原中边上的高为4.   7．(25-26高一下·河北石家庄精英中学·调研)如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为2的正三角形，则原图中边在轴上的射影长度为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】由题意，过点作轴，交轴于点，还原后的图形如图．在中，，又因为== 所以， 故，故C正确． 8．(25-26高一·广东东莞大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学·期中)如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（    ）   A．6 B． C． D．8 【答案】A 【详解】由直观图可得如下平面图形，则，，，则原的面积为.   9．(25-26高一下·广东广州第八十九中学·期中)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（   ）   A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】直观图中，直角中，，又，故，由勾股定理得，画出原图形，则，，，   故，故原图形的面积为. 10．(25-26高一·浙江嘉兴清华附中嘉兴实验高级中学·期中)如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过作交于，因为直观图为等腰梯形，所以，所以，原平面图如下图所示，且，，，所以四边形的面积为：. 11．(25-26高一下·吉林吉林永吉县第四中学·期中)如图所示正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（    ）   A．12 B．8 C．8 D．8 【答案】C 【详解】根据斜二测画法可知，原图形为平行四边形，如图所示，  其中，，所以原图形的面积为. 12．(24-25高一下·天津部分区·期中)如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【详解】由题设，A错；由斜二测画法知，，，，易知原四边形为直角梯形，，所以，四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 13．(24-25高一下·青海海南州·期末)如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】过作交轴于点，可得，因为，所以为等腰直角三角形，所以，根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 14．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【详解】设轴与交点为D，因为轴，轴，所以，因为轴，所以四边形为平行四边形，故,又, 轴，得, 故．所以四边形面积为,因为四边形面积是四边形的面积的，所以四边形的面积为． 15．(25-26高一下·安徽芜湖皖江中学·)（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（     ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】BC 【详解】作出如图所示，由图可得是等腰直角三角形，A错误；，，所以的周长为，B正确；的面积为，C正确；的面积为，D错误． 16．(25-26高一下·广西南宁宾阳中学·期中)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是（   ） A．平行四边形在直观图中仍是平行四边形 B．三角形在直观图中仍是三角形 C．菱形的直观图是菱形 D．梯形的直观图是梯形 【答案】C 【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确；对于B，三角形的三个顶点不共线，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线，三角形的直观图依然是三角形，B正确；对于C，如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点均在坐标轴上，中心在原点，设，则菱形的边长均为，作出该菱形的直观图,根据斜二测画法知, ，,由余弦定理，， ,显然，即不是菱形，故C错误；对于D，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，故一个梯形的直观图仍然是梯形，D正确. 题型三：点线面位置关系及其判定 1．(25-26高一·河北衡水部分学校·)经过两条不同直线的平面个数可能为（   ） A．1 B．2 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【详解】若两条直线平行或相交，则有且仅有1个平面经过两条不同直线； 若两条直线异面，则不存在经过两条不同直线的平面，即0个. 2．(25-26高一下·福建南平武夷山二中·期中)若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与是异面直线 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都相交 D．内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【详解】依题意，直线与平面相交，内的直线与直线相交或异面，故B正确，ACD错误. 3．(25-26高一·广东湛江雷州第二中学·期中)给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；       ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；               ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由三个不在同一直线上的不同的点确定一个平面，故①错误；一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误；两条相交直线确定一个平面，故③正确；两条平行直线确定一个平面，故④正确. 4．(25-26高一下·河南许昌·期中)下列说法中错误的是（   ） A．空间四边形可以确定四个平面 B．当三点共线时，有无数个平面 C．若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点 D．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行 【答案】D 【详解】对于A，空间四边形的四个顶点不共面，可以确定四个平面，故A正确，不符合题意； 对于B，当三点共线时，平面可以绕直线旋转，有无数个平面，故B正确，不符合题意； 对于C，若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面无公共点，故C正确，不符合题意； 对于D，若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内，故D错误，符合题意． 5．(25-26高一·浙江宁波镇海中学·期中)若直线l与平面相交，则下列说法中正确的是（   ） A．α内的所有直线与l都相交 B．α内的所有直线与l都是异面直线 C．α内不存在与l垂直的直线 D．α内不存在与l平行的直线 【答案】D 【详解】选项 A：若直线与平面相交，则内的直线与可能相交，也可能异面（不经过交点的直线与异面），并非所有直线都与相交，故A错误； 选项 B：同理，内经过与交点的直线与相交，并非所有直线都与异面，故B错误； 选项 C：当直线与平面垂直时，在平面内所有直线与垂直，故C错误； 选项 D：若内存在直线与平行，根据线面平行的判定定理，可推出，与 “直线与平面相交” 矛盾，因此内不存在与平行的直线，故 D 正确. 6．(25-26高一·黑龙江佳木斯第二中学·期中)已知是不同的直线是不重合的平面，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又因，所以，因此. 7．(25-26高一·江苏扬州树人集团·期中)如果直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面 【答案】D 【详解】如图：长方体中，直线，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线， 当与是从同一点出发的对角线时，如图和，此时与相交，当与不是从同一点出发的对角线时，如图和，此时与异面，所以与相交或异面. 8．(25-26高一下·吉林长春九台区第一中学、农安县实验中学等校·期中)三棱柱的9条棱所在的直线中，与直线是异面直线的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】三棱柱如图，与直线是异面直线的直线为，，共2条. 9．(25-26高一下·重庆渝北中学·期中)如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（    ）   A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】由图可知：直线、直线、直线均与直线异面，故ABD错误；连接， 由题意可知：，，则，可知四点共面，所以直线与直线不是异面直线，故C正确. 10．(25-26高一下·广西南宁宾阳中学·期中)如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 【答案】D 【详解】若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故A不正确； 若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确； 若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故C错误，D正确. 题型四：平行关系的判定与证明 1．(25-26高一下·江苏东台第一中学·调研)下列命题正确的个数为（    ） （1）如果直线，那么平行于经过的任何平面 （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行 （3）如果直线，和平面满足，，那么 （4）如果直线，和平面满足，，，那么 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面，错误， 理由如下：还有可能在经过的平面内； （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行，错误， 理由如下：直线与平面内的直线平行或异面； （3）如果直线，和平面满足，，那么，错误， 理由如下：直线，还可能相交或异面； （4）如果直线，和平面满足，，，那么，正确，理由如下： 若，则存在使得，又，所以. 2．(25-26高一下·河北石家庄精英中学·调研)若是异面直线，下列四个命题中正确的是（   ） A．过不在上任一点，必可作直线与都平行 B．过不在上任一点，必可作直线与都相交 C．过不在上任一点，必可作平面与都平行 D．过可以并且只可以作一个平面与平行 【答案】D 【详解】如图，，是异面直线，设不在，上的任意一点为．假设过点可作直线，，则．这与已知，是异面直线相矛盾．所以假设不成立，即不存在过点的直线与，都平行．故A错误；若点或（P不在直线上），则不能够作直线与，都相交，故B错误； 若点或，则不能够作平面与，都平行，故C错误；在直线上取，点，过，分别作直线，与直线平行，，可确定平面，即平行于，此时在平面上，故D正确． 3．(25-26高一·广东深圳高级中学（集团）·期中)设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则m，n是异面直线 D．若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【详解】对于A，由，得平行、相交或者是异面直线，A错误；对于B，由，得或，B错误；对于C，由，得平行、相交或者是异面直线，C错误；对于D，由，得存在过的平面，则，而，是异面直线，则是相交直线，又，不在内，则，又，是内的两条相交直线，因此，D正确. 4．(25-26高一下·重庆渝北中学·期中)已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题： ①若，，则或； ②若，，则； ③若，，，，则； ④若，，，则或与异面 以上命题正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【详解】对于①，若，，则或，所以①正确； 对于②，若，，则与平行或异面，所以②错误； 对于③，缺少与相交的条件，无法推出，所以③错误； 对于④，若，，，则或与异面，所以④正确. 5．(25-26高一·广东东莞东莞中学松山湖学校·)已知三条不同的直线，，，两个不重合的平面，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【详解】对于A，由，得或，A错误； 对于B，由，得或相交，B错误； 对于C，由，则存在过的平面（与不重合），，由，同理在内存在直线， 因此，而不在内，则，又，，所以，C正确； 对于D，，，，，当时，则与平行、相交、在平面内均有可能，D错误. 6．(25-26高一·广东广雅中学花都校区·期中)已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，且，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】若，，，则，或直线m和直线n异面，或直线m和直线n相交，故A错误；若，，，，则当直线m和直线n是两条相交直线时，当时平面与平面可能相交，故B错误；若，，，且，，则当直线n在平面外，则，若此时直线m和直线n是两条相交直线，则由面面平行判定定理可得，当直线n在平面外且，则平面与平面相交，或，当，则平面与平面相交，故C错误；若，，，则由线面平行性质定理可得，故D正确. 7．(25-26高一下·河北邢台卓越联盟·)如图，，且与均不重合，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于AB，由于，且与均不重合，由且，可得，又因，据线面平行性质定理可得，同理，故AB正确；对于C，且，可得，故C正确；对于D，由，可得相交，不可能平行，故D错误. 8．(25-26高一·浙江嘉兴八校联盟·期中)如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论： ①直线与是相交直线； ②直线与是平行直线； ③直线与是异面直线； ④直线与是异面直线. 其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】A 【详解】因为平面，平面，且，故直线与是异面直线，故①错误；因为平面平面，平面，平面，所以没有公共点， 又，不平行，故不平行，即为异面直线，即四点不共面，所以直线与也是异面直线，故②错误；因为平面，平面，， 所以直线BN与是异面直线，故③正确；因为平面，但平面，， 所以直线AM与是异面直线，故④正确． 9．(25-26高三·上海普陀区·)已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”，但“”不成立，故充分性不成立；若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立；所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 10．(25-26高一·浙江A9协作体·期中)如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【详解】由，而平面，故A错误；由，而平面，故B错误；因为且，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，故C错误；如图所示，连接交于，连接，所以点是的中点，又点是的中点，所以，而平面，平面，所以平面，故D正确. 11．(25-26高一·广东深圳高级中学（集团）·期中)在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】在三棱柱中，E是棱的中点，连接，连接，由平面，平面平面，平面，得，所以. 题型五：垂直关系的判定与证明 1．(25-26高一·广东广州铁一中学等校·期中)在空间中，下面命题为假命题的个数是（   ） ①过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直 ②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 ③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 ④过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】在空间中，过直线外一点有无数条直线与这条直线垂直，①错误；过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，②错误；过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，③错误；过平面外一点，有无数个平面与这个平面垂直，④错误；四个都是假命题. 2．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（    ） A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，且在平面内 【答案】C 【详解】设，因为，在平面内，过点P作，垂足为A，由面面垂直的性质定理可知，，假设过点P有两条直线都与平面垂直，根据线面垂直的性质，这两条直线平行，又因为都过点P，所以这两直线重合，因此，过点P且与平面垂直的直线只有一条，且在平面内. 3．(25-26高一下·广西南宁宾阳中学·期中)在正方体中，直线（与直线不重合）平面，则（   ） A． B． C．与异面但不垂直 D．与相交但不垂直 【答案】B 【详解】在正方体中，因为，且平面，所以平面，又因为（与直线不重合）平面，所以.   4．(25-26高一·福建厦门外国语学校·期中)在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（ ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【详解】在平面内取一点，作，，垂足分别为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以 同理：平面，，因为平面，所以平面，故C选项正确；又平面，所以，故A选项正确；对于B，取中点，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即点到平面的距离为的长度，因为，所以，故B选项正确；对于D，因为平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，，所以，所以平面平面不成立，故错误. 5．(25-26高一下·江苏东台第一中学·调研)设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由于题干未指定与n为平面内两条相交直线，故且不能必然推出， 故“且”是“”的不充分条件；，故“且”是“”的必要条件. 所以，“且”是“”的必要不充分条件. 6．(25-26高三上·湖南常德·)若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】A 【详解】选项A，若，，，，根据面面垂直的性质定理可得：，故A选项正确；选项B，若，，则直线与直线可能平行，可能异面，故B选项不正确； 选项C，若，，则直线与直线可能平行，可能相交，也可能异面，故C选项不正确； 选项D，若，，，则直线与直线可能平行，可能相交（包括垂直），也可能异面，故D选项不正确；故选：A. 7．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】D 【详解】对于①：因为，，，所以直线的方向向量是平面的法向量，由两个平面垂直，所以这两个平面的法向量也垂直，即这两条直线也垂直，故①正确；对于②：由，，则或，而，则不能判断，所以②不正确；对于③：若，，，则或，所以结论不一定成立，故③不正确；对于④：，，若，则；若，则，所以④正确；故选：D. 8．(25-26高一下·山西定襄县定襄中学校·期中)设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，则；④若，，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】命题①，若，则垂直于内任意一条直线，又，可知在内存在直线与平行，所以，又，所以，①正确； 命题②，若，，则，又，所以，②正确； 命题③，若，，则与可能相交、异面或，③错误； 命题④，若，，利用线面所成角的性质可得，④正确. 9．(25-26高一·北京顺义区第九中学·期中)已知不重合的直线，，与两个平面，，则下列四个命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，由线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，若，，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于D，若，，可得或，故D错误. 10．(25-26高一·浙江宁波镇海中学·期中)已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 【答案】C 【详解】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 对于B：由，，则可能有，或，故B错误； 对于C：由，，，则，故C正确；     对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误． 故选：C 11．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（   ） A．若，，且，则与为异面直线 B．若，，且，则 C．若，，且，则与为异面直线 D．若，，且，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，且，则与为异面直线或平行直线或相交直线，故A错误； 对于B，若，，且，则，，故B正确；对于C，若，，且，则与可能为相交直线，如下图所示：  所以若，，且，则与为异面直线为假命题，故C错误；对于D，若，，且，则与可能相交，如下图所示：  ，也可能为异面直线，所以若，，且，则为假命题，故D错误. 12．(25-26高一·天津蓟州区·期中)设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，则可能会平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，且，根据线面垂直的性质可知，故C正确； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 13．(25-26高二上·北京怀柔区第二中学·期中)如图，在三棱柱中，侧棱底面,是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（    ） A．与是异面直线 B．平面 C． D．平面 【答案】C 【详解】对于A：与都在平面内，不是异面关系，故A错误； 对于B：假设平面成立，则有,而由题可知，即与不垂直，因此假设不成立，故与平面不垂直，故B错误；对于C：由题可知该三棱柱为直三棱柱，故平面,平面,.在正三角形中，是的中点，故.又平面,平面又平面,故C正确；对于D：取的中点，连接，分别是的中点，故又，.因此四点共面，平面,因此与平面不平行.故D错误.故选C. 题型六：异面直线所成角 1．(25-26高一下·安徽六安第一中学·期中)正方体中，点分别是的中点，则与所成角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示：设正方体边长为，取中点，连接. 易知正方体中，所以与所成角即与所成角.又分别为中点.所以.所以三角形为等边三角形，即与所成角为.所以与所成角为 2．(25-26高一·北京广渠门中学·期中)如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接,，因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形，则,所以异面直线与所成角为（或其补角）,不妨假设正方体的边长为,则,,, ,所以在中，由余弦定理得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为. 3．(25-26高一·福建厦门外国语学校·期中)如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，，在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，，在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 4．(25-26高一下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以即为直线与所成的角，设正方体的棱长为，则，，在中，，所以， 即直线与所成角的余弦值为. 5．(25-26高一下·江苏镇江丹阳·期中)在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接，在中，为的中点，为的中点，所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角，设三棱锥棱长为，则，，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 6．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______. 【答案】/ 【详解】如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG，则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角．易知平面，所以平面，所以.因为，，所以，所以由勾股定理得，又，，所以在△中，由余弦定理得，故异面直线与所成角的余弦值为． 7．(25-26高一·贵州毕节实验高级中学·)如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 【答案】 【详解】设圆锥底面圆心为，连接，为弧的两个三等分点，，又，为等边三角形，，，即为异面直线与所成角，平面，平面，，，，，即与所成角的正切值为. 8．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)在正方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【详解】如图，因为，所以点M在棱AB上，且，由得，点N为棱BC的中点，在棱CD上取一点P，使得，连接，PN，则，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角．设正方体棱长为6，则，，所以， ，．所以，异面直线与所成角的余弦值为．   9．(25-26高一·江苏泰州中学·期中)如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 【答案】 / / 【详解】延长与延长线交于点F，连接，则直线即为直线，故，由，得，又，于是，故，由平面平面，平面平面，平面平面，则，又，因此，故，所以，所以. 题型七：空间几何体的表面积与体积 1．(25-26高一下·河北邢台·)若一个正三棱锥的高是，底面边长是3，则该正三棱锥的体积为______． 【答案】 【详解】因为底面边长是3，底面为正三角形，故底面面积为：； 则该正三棱锥的体积为． 2．(25-26高一下·广东深圳第二外国语学校·期中)如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 【答案】 【详解】正三棱锥的侧面展开图如下图所示，因为为正三棱锥，所以，依题意可知，所以三角形是等腰直角三角形，在中，由余弦定理可得：，所以，解得：，所以.所以最短路程为. 3．(25-26高一·福建厦门外国语学校·期中)如图，正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点，则几何体的体积为______.   【答案】 【详解】正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点，则正四棱锥的底面边长和高均为，则，，故几何体的体积为. 4．(25-26高一下·北京平谷中学·期中)如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点.若四面体各棱长均为，则该四面体的表面积为_____，体积为_____.   【答案】 【详解】若四面体各棱长均为，则长方体为棱长为1的正方体，且四面体为正四面体，所以，. 5．(25-26高一·福建同安第一中学·期中)已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由，则，所以，则， 所以直棱柱的底面周长，又直棱柱的高，所以棱柱的侧面积，所以棱柱的表面积. 6．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点分别在棱上，其中，则几何体的体积为______． 【答案】 【详解】如图所示，连接.因为，所以梯形和梯形的面积相等，所以四棱锥和四棱锥的体积相等；因为，所以点到平面和平面的距离相等，因为和的面积相等，所以三棱锥和三棱锥的体积相等.所以，因为， 所以几何体的体积等于. 7．(25-26高一下·重庆巴蜀中学校·期中)已知正四棱台的体积为14，若，则正四棱台的高为___________． 【答案】 【详解】正四棱台的上下底面均为正方形，因此下底面面积，上底面面积， 设正四棱台的高为，根据棱台体积公式，. 8．(25-26高一·黑龙江佳木斯第二中学·期中)已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正四棱台的高为，则，故. 9．(25-26高一下·湖南邵阳第二中学等校·期中)正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为，侧棱长为2，则上下底面对角线的长度为2和4，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积. 10．(25-26高一·黑龙江佳木斯第二中学·期中)已知一个圆锥的母线长为6，侧面积 则此底面半径为_____. 【答案】1 【详解】令圆锥的半径为，且母线，则侧面积，可得. 11．(25-26高一·福建厦门翔安第一中学·期中)某圆锥的底面半径是2，母线长为4，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，圆锥的侧面积为 12．(25-26高一下·福建福州八县协作校·期中)已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形，所以该圆锥的母线长为4， 所以. 13．(25-26高一下·山东青岛莱西·)圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆锥母线长，表面积 14．(25-26高一下·天津第三中学·期中)已知一个圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积是_____. 【答案】 【详解】设圆锥母线长为，则，解得，所以圆锥高为，则圆锥的体积为. 15．(25-26高一·福建龙岩学院附属中学·期中)圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，高为，则圆台的表面积为______. 【答案】 【详解】由题意，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，∴上下圆面积分别为：，，作出截面图，并作出截面上端点对底边的垂线，如下图所示，由几何知识得，，，，，在Rt中，，由勾股定理得，，∴圆台的侧面积为：，∴圆台的表面积为：. 16．(25-26高一下·江苏镇江丹阳·期中)已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，圆台的轴截面是一个等腰梯形，母线的长度就是线段的长度，由于圆台的上、下底面半径分别为，高为，因此等腰梯形的上底、下底分别为，高为，则，即，故B正确. 17．(25-26高一下·山东临沂蒙阴县实验中学·期中)圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设圆台的上底面周长为，下底面周长为， 因为扇环所对的圆心角为180°，所以，解得，，解得，故圆台的母线，高，故圆台的体积. 题型八：球体及其它内切外接问题 1．(25-26高一·广东广雅中学花都校区·期中)已知半径为的球的体积与表面积相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为半径为的球的体积与表面积相等，所以. 2．(25-26高一下·北京平谷中学·期中)某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 【答案】 【详解】设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得，所以胶囊的表面积为. 3．(25-26高一下·安徽芜湖皖江中学·)冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体若半球部分的体积为，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设半球半径为，圆锥母线长为，由 ，得，又 ，故， 所以所用塑料的面积至少为 4．(25-26高一下·福建福州八县协作校·期中)三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球，又该长方体的外接球半径为，则球的体积是. 5．(25-26高一·浙江宁波六校联盟·期中)在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 【答案】A 【详解】设的外接圆半径为，由题可知为等边三角形，由正弦定理，，则，设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为，由题可得平面，而平面，过点作，交于点，连接，则，易得矩形，则，在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 6．(25-26高一下·江苏常州北郊高级中学·期中)已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知圆锥底面半径，内切球表面积为，设内切球半径为，则，解得， 设圆锥的母线长为，高为，则，，即，解得或（舍去），，设圆锥表面积为，则． 7．(25-26高一·广东梅州曾宪梓中学等六校·期中)设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】球的体积公式为，由题意内切球体积，代入得： ，整理得： ，设正四面体棱长为，高为，如图为正四面体，为的中心，根据正弦定理知的外接圆半径， 所以，设是正四面体PABC的内切球球心，内切球半径为， 则根据等体积法得：．故 对两边立方得： ，将​代入上式，得： ，因此该正四面体的棱长为. 8．(25-26高一下·山东临沂蒙阴县实验中学·期中)已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______. 【答案】 【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体，显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，球的半径，则该球的表面积为. 9．(25-26高一下·河北石家庄二中教育集团·期中)某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的表面积为________． 【答案】 【详解】如图所示，设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点，所以，设，所以，又，所以，即， 化简得：，解得或（舍去），所以圆锥的表面积为. 10．(25-26高一·黑龙江佳木斯第二中学·期中)已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 【答案】 【详解】作出圆台和内切球的组合体的轴截面，设圆台的内切球的半径为，结合圆的性质，得到圆台的母线长为，结合梯形性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 11．(25-26高一下·广东广州铁一中学等校·)已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与球O相切，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】四个半径为1的小球两两相切，它们的球心之间的距离均为，因此，这四个球心构成一个棱长为的正四面体，为正四面体中心，连接并延长交底面于点，为底面中心，连接并延长交于点，所以，,所以,设，所以，所以，所以，即正四面体外接球半径为，也是四个小球公共的对称中心，设大球的半径为，大球与四个小球都相切，由于四个小球被包围在大球内部，它们与大球内切，因此大球球心到每个小球球心的距离等于，由对称性，大球球心应与正四面体的中心重合，故.因为棱长为的正四面体的顶点都在球的表面上，即球该正四面体的外接球，棱长为的正四面体的外接球半径为.联立得. 12．已知直三棱柱的各顶点都在一个球面上，且，，，则这个球的表面积为______. 【答案】 【详解】设的外心分别为,连接，可知外接球的球心为的中点， 连接在，由，， 可得,由正弦定理可得的外接圆的半径, 在直角三角形中，外接球的半径, 所以直三棱柱的外接球的表面积为, 13．(25-26高一下·重庆礼嘉中学·期中)半径为6的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，已知球O的半径，作轴截面，如图， 由勾股定理得：，圆柱侧面积，当且仅当时等号成立，因此圆柱侧面积的最大值为，球的表面积为，故两者差值为. 14．(25-26高一下·吉林敦化实验中学校·期中)已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，圆台的轴截面为球的大圆的内接梯形，易知球心落在梯形上下底中点连线上，设球半径为．在直角三角形中，，在直角三角形中，，故或，所以或，两边平方整理得或，得，所以（负值舍去）． 故球的体积．   15．(25-26高一下·四川成都第七中学·期中)已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知球的表面积为，设球的半径为，则得，解得，因为球与圆台上下底面都相切，所以圆台的高.设圆台上下底面半径分别为、（满足），因为圆台有内切球，则母线长，即 .又，所以 ， 即 ，整理得 解得，即 ， ，母线.所以圆台的表面积 . 16．(25-26高一·浙江杭州第二中学·期中)如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： 所以圆台的母线长.由勾股定理得：，化简得①.又，代入①得：，，解得或.若时，则，，所以圆台的侧面积；若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去.因此，圆台的侧面积为. 17．(25-26高一下·湖南邵阳邵东振华中学·期中)已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 【答案】/ 【详解】由圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为，设该圆台的母线为，高为，则，解得，则，设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，（若球心在下底的上方，则为正值，反之为负值）所以，解得，所以该圆台的外接球表面积为．   18．(25-26高一下·山东济宁第一中学·期中)如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 【答案】 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径，，，，，由正四面体ABCD的表面积为，即，解得，由，解得，由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径，因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径，因此中等球的表面积为；最小球内切于高的正四面体，最小球半径，因此最小球的表面积为，所以九个球的表面积为． 题型九：解答题 1．(25-26高一下·江苏镇江丹阳·期中)如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.   (1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 【详解】（1）如图，取棱的中点，连接，在正方体上底面内过点作直线，使得， 连接，因为是的中点，是的中点， 所以，，又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，故，所以.   （2）取棱的中点，连接， 又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以， 所以直线与所成角，即为或其补角， 在中，，，所以， 所以直线与所成角的余弦值为 . （3）因为是的中点，是的中点，所以，， 又在正方体中，易得，，所以，， 记直线与交于点，因为平面，所以平面， 同理，平面，所以平面平面， 所以直线三条直线交于一点. 2．(25-26高一下·江苏南通崇川区、通州区、启东·期中)如图，在正方体中，为棱的中点． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)作出平面与正方体表面的交线，写出作图过程并说明理由． 【详解】（1）在正方体中，，则为异面直线与所成角， 由于四边形为正方形，则，即异面直线与所成角为. （2）连接，在正方体中，， 则为异面直线与所成角， 而，则为等边三角形，即， 则异面直线与所成角为. （3）设的中点为，连接， 因为为的中点，所以，在正方体中，，， 则四边形为平行四边形，即，则，则四点共面， 因此平面与正方体表面的交线为，如图， 3．(25-26高一下·宁夏银川永宁县上游高级中学·期中)如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点．   (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：点在直线上； (3)求证：、、、四点共面． 【详解】（1）根据正方体的性质可知，是异面直线与所成的角或其补角， ，分别是，的中点，∴是等腰直角三角形， ，即异面直线与所成角的大小为． （2），平面，平面， ，平面，平面， 平面平面，即，点在直线上． （3）连接，，，，因为，分别为，的中点，所以， 又因为正方体，，所以，所以、、、四点共面．   4．(25-26高一下·山东泰安新泰中学·期中)在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【详解】（1）如图，和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O，因为F为的中点，所以且，则；同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合.由此可证得，故D，B，F，E四点共面. （2）设平面为.由于，所以四点共面（设为）. 因为，，所以.又，，所以， 所以.同理可证得，从而有.连接，交于点R， 因为，所以与平面的交点就是与的交点. 所以与的交点R就是所求的交点. 5．(25-26高一下·吉林长春九台区第一中学、农安县实验中学等校·期中)如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 【详解】（1）证明：连接，正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为、分别是、的中点，所以，所以. 又两条平行线确定一个平面，所以，，、四点共面. （2）取中点，连接，. 正方体中，、为中点，则，， 所以四边形为平行四边形，所以. 正方形中，，， 又、为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以. 又平面，平面，所以平面. 由（1）知，，同理可得，平面. 又，，平面，所以平面平面. 又平面，所以平面. 6．如图，正方体中，为的中点，     (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)证明：平面. 【详解】（1）连接，，在正方体中， 则，，所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，所以平面. （2）连接交于，连接，， 因为四边形是正方形，所以为的中点， 在中，因为为的中点，为的中点，所以， 又因为平面，所以平面. （3）在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 7．(25-26高一·天津蓟州区·期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； 【详解】（1）连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于，所以平面. 8．(25-26高一下·河北沧州沧衡八县联考·期中)如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 9．(25-26高一下·云南昆明第三中学·期中)《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 【详解】（1）取的中点，连接， 由分别为的中点， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. （2）因为，所以， 因为底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 所以， 因为，，所以，， 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 10．(25-26高一下·山东泰安第一中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)设点在上，且，证明：平面； 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）取的中点，则， 因为，所以，则且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面． 11．(25-26高一·北京顺义区第二中学·期中)如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面． 求证：(1)平面平面；(2)是线段的中点；(3)平面． 【详解】（1）因为为正方形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，所以平面平面. （2）设，连接， 因为平面，平面，平面平面，则， 平行四边形中，， 又因为，则为平行四边形，则， 且为中点，则， 即，所以是线段的中点. （3）因为为正方形，则，， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面，所以平面. 12．(25-26高一·北京广渠门中学·期中)如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求证：． 【详解】（1）因为平面，平面，且平面平面， 所以． （2）取中点，连接， 因为分别为中点，所以且， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （3）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 13．(25-26高一·福建龙岩第一中学等校·期中)如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点，所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 14．(25-26高一·天津实验中学滨海学校·期中)如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点在线段上，且. (1)设平面平面，证明：； (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以； （2）存在，且，证明如下： 过作，交于点，过作交于点， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又平面，，所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为平面，又平面，所以， 所以，又，则， 由，，所以 因为，，所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，即. 15．(25-26高一·福建厦门湖滨中学·期中)如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）在正方体中，连接，由点分别为棱的中点， 得，由且，得四边形为平行四边形， 则，所以. （2）连接分别交于点，连接， 在正方体中，且， 则，即，同理， 因此，则，又平面，平面， 所以平面； （3）存在，，理由如下： 由，得，则，又， 于是，又平面，平面， 则平面，延长交于，延长交于，连接，     由为中点，得，因此， 由分别为的中点，得， 则，， 于是，又，即，则四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 所以当时，平面平面. 16．(25-26高一下·山东青岛第九中学·期中)如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 【详解】（1）取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点， 得，，而，且，则， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． （2）在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高， 而，四棱锥的体积， 由，得，三棱柱的体积， 所以多面体的体积为． 17．(25-26高一下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 18．(25-26高一·广东湛江吴川第四中学·期中)已知按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中. (1)画出的原图并求其面积； (2)若以的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积和表面积. 【详解】（1）由斜二测画法知，原图中，， 的原图如下图所示：； （2）以的边为旋转轴旋转一周所得几何体为：底面圆半径为4，高为4，母线长为的圆锥，故所得几何体的体积为， 所得几何体的表面积为. 19．(25-26高一·浙江嘉兴清华附中嘉兴实验高级中学·期中)如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的外接球的表面积； (3)证明：平面． 【详解】（1）因为，所以圆柱的母线长为，底面半径为， 则圆柱的侧面积 （2）取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为. （3）取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面． 20．(25-26高一下·河北石家庄二中教育集团·期中)如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点． (1)求证：平面； (2)已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； (3)求的体积． 【详解】（1）在直三棱柱中，为中点，连接，由D是的中点， 得，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面； 由，得四边形为平行四边形，， 而，则四边形为平行四边形， 而平面，平面，因此平面， 又平面， 则平面平面，而平面， 所以平面. （2）； 由（1）知平面，而平面平面，平面， 所以. （3）依题意，平面， 则， 所以的体积为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $