专题10 外接球归类大全（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题10 外接球归类大全 目录 专题10 外接球归类大全 1 1 类型一、构造模型：三线垂直长方体 1 类型二、构造模型：对棱相等 5 类型三、构造模型：线面垂直直棱柱 7 类型四、 构造模型：面面垂直 10 类型五、 重要方法：两线交心法 14 类型六、二面角型 17 类型七、组合体型 21 类型八、 翻折型外接球 24 类型九、 外接球最值与范围型 29 33 结束 42 类型一、构造模型：三线垂直长方体 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝. 特殊形式对应正方体，正方体棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 例1．（2025·全国·高三阶段练习）据《九章算术》记载，“鳖臑（biēnào）”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为 . 【答案】 【分析】可还原为正方体的两两垂直模型，外接球半径为R, 即可得到答案. 【详解】根据题意底面，，且可以还原为正方体如图 。故答案为：. 变式1-1． （2024高一下·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接与交于点，取中点，连接，则，则为异面直线与所成角（或补角），设，在中利用余弦定理求出，最后求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的表面积. 【详解】连接与交于点，则为中点， 取中点，连接，则， 为异面直线与所成角（或补角）， 设，，，则， ， 在中，由余弦定理得， 若，则，解得（负值已舍去）， 若，则，方程无解， 所以， 所以长方体的对角线长为， 所以长方体的外接球的半径， 所以长方体外接球的表面积. 故选：B 变式1-2． （2025·全国·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，则球O的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，则正三棱锥可看作边长为2的正方体的一角，结合正方体的外接球运算求解. 【详解】设P在底面上的射影为M， 因为，可知M为的中心， 由题意可得， 由，解得， 在正中，可得， 在中，， 则， 可得，，， 可知正三棱锥可看作边长为2的正方体的一角，    则正方体的外接球与三棱锥的外接球相同， 记外接球半径为，则， 所以球的表面积. 故选：C. 变式1-3． 在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为___________ 【答案】 【分析】 设的垂心为，由平面可证明，，，结合推导出，，两两互相垂直，则外接球半径满足，求出代入求解即可得出答案． 【详解】 解：设的垂心为，连接，则平面，如图所示： 由垂心知，，又，，则平面，又平面，所以， 又，，所以平面，又平面，得， 同理，则， 所以，，两两互相垂直，设三棱锥的外接球半径为， 则，所以，球的表面积为．故答案为：. 类型二、构造模型：对棱相等 对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题． 例2、（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围 ． 【答案】 【分析】将三棱锥补为长方体，设出长方体棱长，利用球的直径即可表示出，结合参数方程即可求解. 【详解】由， 均在半径为2的球面上， 可将三棱锥放置于长方体中，如图，   设棱长分别为，则， 故长方体对角线平方为， 可设，，， 考虑到是三角形边长,故，其范围是．故答案为： 变式2-1． （2024全国·高一专题练习）已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】把四面体补成为一个长方体，利用长方体求出外接球的半径，即可求出外接球表面积. 【详解】对于四面体中，因为， 所以可以把四面体还原为一个长方体，如图：    设从同一个顶点出发的三条边长分别为x、y、z，则有： ，解得： 点A、B、C、D均为长、宽、高分别为，，的长方体的顶点， 且四面体的外接球即为该长方体的外接球， 于是长方体的体对角线即为外接球的直径， 不妨设外接球的半径为，∴， ∴外接球的表面积为. 故答案为：. 变式2-2． （2024·全国 课后作业）在三棱锥中，、、两两重直，，，，则该三棱锥外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积． 【详解】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球. 设，长方体的对角线长为， ∴ ∴， 球的直径是，球的半径为， 球的表面积．故答案为：． 变式2-3． 在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 河南省豫东名校2022-2023学年上学期新高三摸底联考文科数学试题 【答案】D 【分析】将棱锥补全为长方体，由长方体外接球直径与棱长关系求直径，进而求其表面积. 【详解】三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，， 构造长方体使得面对角线分别为5，，，则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径，如图所示， 设长方体棱长分别为a，b，c，则，，， 则，即，外接球表面积. 故选：D 类型三、构造模型：线面垂直直棱柱 线面垂直型： 存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理） 线面垂直型满足条件： 1、 线面垂直； 2、 面可以是任何多边形，多边形外接圆半径，都可以借助多边形上任意三定点所构成的三角形，借助正弦定理来计算（等腰或者等比可以用特殊法计算） 1.模板图形原理 图1 图2 2.计算公式 例3．（2024河南·高三校联考专题练习）已知三棱锥中，平面，若，，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知利用余弦定理求得，可得，由平面，可知三棱锥可以补形为长方体，此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，即可求得外接球的表面积. 【详解】如图，在中，由余弦定理，得， 即，则，故， 又而平面，将三棱锥置于一个长方体中，可知三棱锥的外接球半径， 则外接球表面积， 故选:D．    变式3-1． （2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，的中点，连，，，，证明是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径；是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径，设，求出，根据球的表面积公式可求出结果. 【详解】取的中点，的中点，连，，，， 因为平面，平面，所以，，， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在直角三角形中，是斜边的中点，所以， 在直角三角形中，是斜边的中点，所以， 所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径. 因为，是斜边的中点，所以， 因为， 是斜边的中点，所以， 所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.设，则， 则，，所以.故选：B. 变式3-2． （2024上·河南·高三阶段练习）已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得正方体的边长，画出截面，利用向量法证得平面，根据梯形面积公式计算出截面的面积. 【详解】设该正方体外接球的半径为R， 依题意，，解得，故，，故. 分别取棱，的中点F，G，连接，，，，根据正方体的性质可知：四边形为等腰梯形， 建立如图所示空间直角坐标系，，， ，所以，由于， 所以平面，即截面为等腰梯形.由题可知，， 所以等腰梯形的高为，故截面图形的面积为 故选：D 变式3-3． （2025·全国·高三阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，，，M为中点，H为线段上一点（除的中点外），且.当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质，可以证明平面，利用三棱锥的等积性，结合基本不等式，这样可以求出，过点C作，取，的中点T，N，连接，，过点T作的平行线交于点O.利用线面垂直的性质和判定定理可以证明出O为三棱锥的外接球的球心，运用正切函数的定义，球的表面积公式进行求解即可. 【详解】在中，因为M为中点，故，且，因为，，所以平面，故，又因为，所以平面，因此，故平面，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，即只需底面面积最大即可.因为，则，故，当且仅当时取等号.在中，，故，过点C作，取，的中点T，N，连接，，过点T作的平行线交于点O.由平面知平面.又平面，故平面.因此O为三棱锥的外接球的球心，由，因为，所以，故，即三棱锥的外接球表面积为.故选：B 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题，考查了基本不等式的应用，考查了线面垂直的判定定理和性质，考查了数学运算能力. 类型四、 构造模型：面面垂直 垂面型，隐藏很深的线面垂直型， 面面垂直型基础模图： 例4．（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，是边长为2的正三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到平面平面，再取的中点，连接、、，推导出为外接圆的圆心，再设的外接圆的圆心为，四棱锥外接球的球心为，即可求出外接球的半径，从而求出球的表面积. 【详解】取的中点，连接、，因为是边长为2的正三角形， 所以，， 又，，，所以， 在中，由余弦定理， 即，又，所以， 所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 取的中点，连接、、，则、及均为等边三角形， 易知且，又平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 所以等腰梯形外接圆的圆心为，设的外接圆的圆心为，则， 设四棱锥外接球的球心为，连接、、， 则平面，平面， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以外接球的半径， 所以外接球的表面积. 故选：C 【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 变式4-1． （2025全国·高三专题练习）在三棱锥中，，平面平面ABC，，点Q为三棱锥外接球O上一动点，且点Q到平面PAC的距离的最大值为，则球O的体积为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AC的中点M，证明BM⊥平面PAC，从而可得BM⊥平面PAC，可得BM⊥PA，再证PA⊥平面ABC；设BC＝a，在△ABC中，利用余弦定理求出cos∠ABC及∠ABC的大小.设外接圆的圆心为，半径为r，球O的半径为R，求出长度；连接，OA，求出长度；在△PAO中，利用勾股定理求出R．易知，从而得∥平面PAC，从而得点O到平面PAC的距离等于点到平面PAC的距离.根据点Q到平面PAC距离的最大值为可得a的值，从而求得R，再根据球的体积公式即可求解． 【详解】取AC的中点M，∵，∴，∵平面平面ABC，平面平面， ∴平面PAC，∵平面PAC，∴，∵，，∴平面ABC， 设，则，∴， 设外接圆的圆心为，半径为r，球O的半径为R，如图所示，显然B，M，三点共线，且平面PAC． 由，，得，，∴；连接，OA，则， 由平面ABC，且外接圆的圆心为，可得． ∵平面ABC，∴，∥平面PAC，∴点O到平面PAC的距离等于点到平面PAC的距离， ∵点Q到平面PAC距离的最大值为，∴，得，∴， ∴球O的体积为．故选：C． 【点睛】关键点睛：空间里面的线面、面面位置关系.需要灵活运用面面垂直的性质定理、线面垂直的判断定理.解题过程中找出三棱锥的外接球球心，构造直角三角形，结合平面几何及空间几何关系求出各种边（棱）长是解题的关键. 变式4-2． （2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，和都是等边三角形，，平面平面，M是棱AC上一点，且，则过M的平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大值与最小值之和为（ ） A．24π B．25π C．26π D．27π 【答案】D 【分析】根据题设找到三棱锥外接球球心位置，由已知及球体截面的性质求过M平面截球体的最大截面积，根据外接球球心、面面垂直以及比例关系易知共线，且过M平面截球体的最小截面积时该平面，且，即可求最大、最小面积和. 【详解】由题设，若为中点，分别是等边和等边的中心， 连接，则分别在上，且， ，，，面，故面， 又面，所以，面面， 又面面，过作面的垂线与过作面的垂线交于， 即面，面，则为外接球球心， 面，且，，则面，所以面面， 综上，结合面面，面面，则面、面为同一平面，所以面， 由面面，，面，面面， 所以面，面，即，且知：为正方形， 如图， ，，若外接球半径为， 所以， 由球体的性质，要使过M平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大，则平面必过球心， 所以，最大截面圆面积为， 要使过M平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小，则该平面， 因为，而都在面上，故， 而，故，显然共线，故， 此时截面圆的半径为，则， 所以，最小截面圆面积为， 综上，最大值与最小值之和为. 故选:D. 【点睛】关键点点睛：根据球的性质判断过M平面截棱锥外接球截面面积最大、最小时截面与的位置关系，利用几何关系求截面圆半径，最后求面积和. 变式4-3． （2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，设，设外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，可结合线面垂直的性质与判定求得，再根据垂直关系可得点到平面的距离等于点到平面的距离，进而列式求解即可. 【详解】取的中点，连接，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面. 因为为等腰三角形，且，则，设，则，. 设外接圆的圆心为，半径为，球的半径为， 如图所示，，，三点共线，由平面，可得平面． 由正弦定理，故，则. 连接，，则，由平面，且外接圆的圆心为，可得. 因为平面，所以，又平面，平面，故平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 又因为点到平面的距离的最大值为，所以，得，所以，球的表面积为．    故选：C 类型五、 重要方法：两线交心法 解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为： 1、寻找一个或两个面的外接圆圆心 2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心； 3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积. 如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法 1、 包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形） 2、 等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心； （2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心； 例5．（2025·江苏·高三开学考试）在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，.若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为 . 【答案】 【分析】设中点为，可证明，设和的外心分别为和，过和分别作两个平面的垂线交于点即为三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径的长，到平面的距离即可求解. 【详解】 设中点为，的外心为，的外心为， 过点作面的垂线，过点作直线面的垂线， 两条垂线的交点即为三棱锥外接球的球心， 因为和都是边长为的正三角形，可得， 又，所以，所以， 又因为，，所以面， 因为平面，所以平面平面，且， 所以四边形是边长为的正方形，所以外接球半径， 到平面的距离， 故答案为：. 变式5-1．（2024·吉林·高一吉林期中）在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平面底面 ，，，则该三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】 【详解】 如图，是三棱锥外接球的球心，是外接圆的圆心，由球的性质可得平面；又平面平面，取的中点，连接， 又是边长为2的等边三角形，故且 ,又平面平面，平面， 平面 ，，连结过点作 所以四边形是平行四边形，； 在中， 由正弦定理可得 即： 设三棱锥外接球的半径为 在中， 故 在中，且是的中点，故 在中， 故 在中， 故 两边平方得： 解得：所以三棱锥外接球的表面积为 故答案为： 变式5-2． （2023·山东淄博·高一统考期末）已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，，则四棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】设外接圆的圆心为，外接球球心为，先分别求得外接圆的半径与，再利用勾股定理求得外接球的半径，从而得解． 【详解】记AD的中点为，连接，连接EF， 设外接圆的圆心为，半径为，所求外接球球心为，半径为，连接，如图，      因为为等边三角形，，所以圆的半径， 因为为等边三角形，是AD的中点，所以，因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，因为底面ABCD是矩形，所以是底面ABCD外接圆的圆心， 故平面ABCD，所以，同理，所以四边形是矩形，所以， 所以球的半径，所以外接球的表面积为．故答案为：． 变式5-3． （2025·山西·高三阶段练习）在四面体中，和都是边长为的等边三角形，该四面体的外接球表面积为，则该四面体的体积为 ． 【答案】 【解析】取中点，设球心为，外接圆圆心分别为，作平面；根据外接球表面积可求得外接球半径，利用垂直关系可求得和，进而得到，求得四面体的高，代入三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】取中点，连接，设球心为，外接圆圆心分别为，连接，作平面，垂足为，四面体外接球表面积为，外接球半径. 由球的性质可知：平面，平面，又，，，，， ，，， ，四面体体积. 故答案为：. 类型六、二面角型 二面角型，多采用 两个外心垂线交线定球心法 (1) 选定一个面，定外接圆的圆心O1 (2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O2； (3) 分别过O1作该底面的垂线，过O2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O. 例6．（2026·全国·高三专题练习）在菱形中，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则 A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为在菱形 中，的中点为,所以 ,则 ,所以 为二面角的平面角,,由于,所以 为等边三角形,若外接圆的圆心为,则平面,在等边中,,可以证明,所以,又,所以 ,在中,,选B. 点睛: 本题主要考查了四棱锥的外接球问题, 属于中档题. 本题思路: 由二面角的定义求出,确定外接圆的圆心位置,由球的截面圆的性质得到平面,利用,求出 的长度. 2．（2025·湖南·高三阶段练习）在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积． 【详解】解：如图所示，，，， ，设，则，，由勾股定理可得， ，四面体的外接球的表面积为，故选：．【点睛】本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关键． 变式6-1． （2023下·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）空间中四个点、、、满足，，且直线与平面所成的角为，则三棱锥的外接球体积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求的外接圆的半径，过作平面于，可得，可得当，，在一直线上时，三棱锥的外接球体积最大，求解即可． 【详解】设是三角形的外接圆的圆心，因为，所以是正三角形， 则三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上， 由题意可得，过作平面于， 直线与平面所成的角为，，， 故的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当球心到的距离最大时，三棱锥的外接球体积最大， 所以在延长线上时，三棱锥的外接球体积最大， 设的中点为，连接，则，， 又，， 所以，， ， 三棱锥的外接球体积最大为. 故选：C． 变式6-2． （2026全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取AC的中点M，可得即为二面角的平面角， △ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，在平面ABC内，设，然后表示出外接球的半径，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求得答案. 【详解】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变， 故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接， 因为，DA=DC，所以，，故即为二面角的平面角， △ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示； 在平面ABC内，设，则，， 因为，所以，所以，所以      令，则， 所以，当且仅当时取等，故选:B 变式6-3． 已知平面四边形ABCD中，，现沿BD进行翻折，使得A到达的位置，连接，此时二面角为150°，则四面体外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取BD的中点E，连接，，依题意可得即为二面角的平面角且，即可外接圆的圆心为，设外接圆的圆心为，过点，分别作平面，平面的垂线，交于点，则即为四面体外接球的球心，再利用勾股定理求出外接球的半径即可. 【详解】解：取BD的中点E，连接，，因为 即， 所以，，即为二面角的平面角，且，所以外接圆的圆心为， 设外接圆的圆心为，则，过点，分别作平面，平面的垂线，交于点，则即为四面体外接球的球心. 因为二面角的平面角为，即，则. 在中，，连接，则即为外接球的半径， 则，即，故选：C. 类型七、组合体型 因为组合体会受图形所限制，一般其况下，两个组合体结合处的平面，恰好是外接圆一个小圆（或者大圆）上。 例7．（2025全国专题练习）阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，目前发现了共有13个这种几何体，而截角四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得，已知一截角四面体的棱长为1，则该截角四面体的外接球表面积为______. 【答案】 【分析】如图，是下底面正六边形的中心，是上底面正三角形的中心，由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心在原正四面体的高上，利用勾股定理求得后是外接球半径，再由表面积公式得表面积． 【详解】如图，是下底面正六边形的中心，是上底面正三角形的中心， 由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心在原正四面体的高上， ，. 设球的半径为，在中，，所以， 在中，，所以， 所以，解得，所以， 所以外接球的表面积. 故答案如图， 变式7-1． （25-26高一下·湖北武汉·期中）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的十四面体，且它所有的棱长都为2.则下列结论中，错误的是（    ） A．该石凳的表面积为 B．该石凳的体积为 C．有内切球，且内切球的体积为 D．有外接球，且外接球的表面积为 【答案】C 【分析】由题目要求，还原正方体，在正方体中观察各选项中需要用到或者求解的线段、三角形和四边形，分别求出十四面体的表面积、体积，以及是否存在内切球及外接球. 【详解】A选项，该石凳由6个正方形和8个正三角形围成，它的表面积为，A正确； B选项，如图， 该石凳由一个棱长为的正方体截去8个全等的正三棱锥，其体积为 ，B正确； C选项，该多面体由6个正方形和8个正三角形围成，到这6个正方形距离相等的点为原正方体的中心， 设该点为，到这6个正方形距离为， 设到8个正三角形的距离为，则，解得， 所以该多面体不存在内切球，C错误； D选项，该多面体存在外接球，其球心为原正方体的中心，它到每个点的距离为原正方体面对角线的一半，即2， 所以球表面积为，D正确. 变式7-2． （2024·四川成都·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（    ） ①此八面体的表面积为； ②异面直线与所成的角为； ③此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ④若点为棱上的动点，则的最小值为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对①：计算出一个三角形面积后乘8即可得；对②：借助等角定理，找到与平行，与相交的线段，计算即可得；对③：借助外接球与内切球的性质计算即可得；对④：空间中的距离和的最值问题可将其转化到同意平面中进行计算. 【详解】对①：由题意可得，故①正确； 对②：连接，取中点，连接、， 由题意可得、为同一直线，、、、四点共面， 又，故四边形为菱形， 故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角， 即异面直线与所成的角等于，故②错误； 对③：由四边形为正方形，有， 故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等， 即此八面体的外接球球心为，半径为， 设此八面体的内切球半径为， 则有，化简得， 则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故③正确； 对④：将延折叠至平面中，如图所示： 则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值， 则，故④错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题④中，关键点在于将不共面的问题转化为同一平面的问题. 变式7-3． （24-25高三下·湖南长沙·月考）天然钻石是在地球深部高压、高温条件下形成的一种由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展，人工钻石也在不断涌现，目前已合成的有白钻、黄钻、绿钻及蓝钻.钻石常见外形有圆形、椭圆形、榄尖形、心形、梨形、方形、三角形等！现有一款雕琢后的钻石，其形状如图所示，可看作由正六棱台 和正六棱锥 P-ABCDEF组合而成，其中 若该组合体的外接球存在，且外接球的体积为36π，则AA₁ 的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由组合体的外接球的体积可求得半径，因为，可得球心的位置，记正六边形的中心为，可求得，进而可求得. 【详解】因为组合体的外接球的体积为，设球的半径为，所以 所以外接球的半径，因为，所以球心O与正六边形 的中心重合， 记正六边形的中心为，因为 所以 所以. 故选：D. 类型八、 翻折型外接球 翻折性几何体外接球： 1. 翻折钱平面图形的性质； 2. 翻折前后在同一个面内的角度、长度等不变。 3. 翻折后几何体求外接球，是否复合外接球的模型。 例8．（2026·全国·高三专题练习）如图，已知正方形的边长为4，若将沿翻折到的位置，使得平面平面，分别为和的中点，则直线被四面体的外接球所截得的线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先取的中点，连接，，根据题意得到为四面体外接球的球心，且半径，再计算的长度得到，从而得到到的距离为1，再计算直线被四面体的外接球所截得的线段长即可. 【详解】取的中点，连接，，如图所示： 因为，，所以为四面体外接球的球心，且半径.因为，且为中点，所以.平面平面，所以平面. 过作，过作，连接，如图所示： 在中，，，所以，同理，所以. 在中，，所以在中，. 又因为，所以到的距离， 所以直线被球截得的线段长.故选：D 变式8-1． （2025·山西·高一阶段练习）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使二面角的大小为，则所得三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得、都是边长为的等边三角形，由菱形的对角线互相垂直，可得为二面角的平面角，即，作出图形，找出三棱锥的外接球球心，利用四点共圆结合正弦定理求解三棱锥的外接球的半径，代入球的表面积公式可得结果. 【详解】由于四边形是边长为的菱形，且，则， 所以，、都是边长为的等边三角形， 由于菱形的对角线互相垂直，则，， 所以，为二面角的平面角，即， 过点作平面的垂线，垂足为点，则点在线段上， 由，，可得， 且是等边三角形，所以，，设的外心为点，的中点， 在平面内，过点、分别作平面、的垂线交于点， 则点为三棱锥的外接球的球心，则，， ，则，由于、、、四点共圆，可得， 所以，三棱锥的外接球的表面积为.故选：B. 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积的求解，找出球心的位置，并求出球的半径是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 变式8-2． （2026·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由球的截面性质确定球心的位置，结合条件求出球的半径，由此可求外接球的表面积 【详解】如图所示，为直角三角形，又， 所以， 因为为正三角形，所以， 连接，为的中点，E为中点， 则，所以为二面角的平面角 所以． 因为为直角三角形，E为中点， 所以点为的外接圆的圆心， 设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O． 则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H， ， 所以,，∴． 所以，故选：C. 变式8-3． （2023下·江苏南通·高二统考期中）在三棱锥中，，，设侧面与底面的夹角为，若三棱锥的体积为，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】通过计算推出为的外接圆的直径，到平面的距离为，设的中点为，则为的外接圆的圆心，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，根据以及求出的最小值及取最小值时，有平面，再取的中点，连，，则可得，计算可得. 【详解】因为，，所以， 所以，所以，所以， 所以为的外接圆的直径， 设的中点为，则为的外接圆的圆心， 因为，设到平面的距离为， 则，所以， 当该三棱锥外接球表面积取最小值时，半径最小， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则平面， 若点和点在平面的同侧，如图： 则，即，当且仅当三点共线时，取等号， 在中，，所以， 所以，所以，当且仅当三点共线时，取等号， 若点和点在平面的异侧， 则，所以， 若与重合时，，不合题意， 综上所述：的最小值为，且当时，三点共线， 此时平面，取的中点，连，，则， 因为平面，平面，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以， 所以是侧面与底面的夹角，即， 因为，， 所以. 故选：B 类型九、 外接球最值与范围型 立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑： 一、构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解； 二、借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法； 三、根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 例9．（22-23高三上·江苏淮安·月考）如图，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，点D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可. 【详解】如下图所示： 因为为等腰直角三角形，，所以的外接球的截面圆心为的中点，且，连接与的中点，则，所以面.设球心为，由球的截面性质可知，在上，设，，半径为，因为，所以， 所以，又，所以解得.因为，所以，所以当时，外接球表面积最小为，当时，外接球表面积最大为.所以三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为. 故选：A 变式9-1．（2025·浙江杭州·模拟预测）空间中四个点、、、满足，，且直线与平面所成的角为，则三棱锥的外接球体积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求的外接圆的半径，过作平面于，可得，可得当，，在一直线上时，三棱锥的外接球体积最大，求解即可． 【详解】设是三角形的外接圆的圆心，因为，所以是正三角形， 则三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上， 由题意可得，过作平面于， 直线与平面所成的角为，，， 故的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当球心到的距离最大时，三棱锥的外接球体积最大， 所以在延长线上时，三棱锥的外接球体积最大， 设的中点为，连接，则，， 又，， 所以，， ， 三棱锥的外接球体积最大为. 故选：C． 变式9-2．（2025·浙江丽水·一模）在Rt中，是的中点，把沿翻折到，设二面角的平面角为，若，则三棱锥外接球表面积的范围是___________． 【答案】 【分析】利用球心在过和外接圆圆心且垂直于平面和平面的垂线的交线上找到球心位置，利用题中所给条件建立外接球半径与二面角的平面角为的关系式即可分析计算求解. 【详解】由题可得，所以， 所以，故和分别为等边三角形和等腰三角形，且， 如图，分别为外接圆圆心，取中点，连接， 则，，， 且，故为二面角的平面角，所以， 分别过作平面和平面的垂线，则球心均在两垂线上，两垂线的交点即为球心O， 如图，当时，四边形为矩形,则， 所以由得； 若，如图，连接，则与相交于平面一点H， 则所以， 设三棱锥外接球半径为R， 则，，， 所以， 所以， 若，则，令， 则， 所以时，时，所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以， 综上所述，最小值为1，最大值为. 所以三棱锥外接球表面积最小值为，最大值为. 故答案为： 变式9-3． （24-25高二上·江西抚州·期末）在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是______. 【答案】 【分析】取中点，连接，取的外心，过点作平面，过点作平面交于点，进而确定球心的位置及二面角的平面角为并确定范围，利用几何关系求球体半径，即可得球体表面积的范围. 【详解】由题意知，和是等边三角形， 取中点，连接，取的外心，则是的外心， 过点作平面，则三棱锥的外接球球心在上 过点作平面交于点，则点即为三棱锥的外接球球心， 由，知，为二面角的平面角，则， 设，则， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据球心的性质确定位置，并求出二面角的平面角的范围为关键. 压轴专练 一、单选题 1．（25-26高三上·吉林四平·期末）如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可得出，即可求出表面积． 【详解】连接，    因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径，表面积. 故选：D． 2．（24-25高一下·四川乐山·期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两两垂直，三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径，得到表面积. 【详解】显然，两两垂直，其中， 故三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球， 故外接球半径为， 故三棱锥外接球表面积为. 故选：B 3．（24-25高二下·广东广州·期末）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠前后的几何性质，先确定球心的位置，再结合体积公式即可求解． 【详解】设正方形的对角线交点为， 则，， 翻折后所得图形如下图所示，    则的中点为球心， 故该四面体的外接球体积， 由于二面角的大小为120°，，则，且， 所以四面体的体积， 故此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为． 故选：D． 4．（24-25高三上·湖南常德·月考）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，P为上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，画图找出外接球球心，再利用勾股定理和基本不等式求解即可. 【详解】解：由题易知是等腰直角三角形，则外接圆的圆心在AM的中点处， 过作平面ABC的垂线，则外接球的球心O在上， 过点P作交于点N，则四边形为矩形， 因为，，所以， 在三角形中，由余弦定理：可得， 所以， 设，，三棱锥的外接球的半径为R， 则，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 则三棱锥的外接球表面积 故选：B. 5．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知长方体的体积为，且，则长方体外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合题意可得，进而结合长方体外接球半径及基本不等式求得，再根据球的体积公式计算即可. 【详解】在长方体中，设， 因为长方体的体积为，， 所以，即， 所以， 当且仅当时取到等号，所以， 所以长方体外接球体积的最小值为. 故选：C.    6．（25-26高三上·辽宁锦州·月考）已知球是三棱锥的外接球，，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断出为直角三角形，从而确定斜边的中点就是其外接圆的圆心，进而确定使得三棱锥体积取得最大值的点的位置，利用锥体的体积公式求出的值，再根据球的性质求出球的半径为，即可求出球的体积. 【详解】 ，，由余弦定理可得： ， ，因，则有， 的外接圆的圆心是斜边的中点， 过且垂直于平面的直线一定过球心. 连接并延长与球相交的点即使得三棱锥的体积取得最大值的点. ，，， 三棱锥体积的最大值为， ，解得. 设球的半径为，，， ，即，解得， 球的体积为. 故选：D 7．（23-24高二下·福建莆田·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】首先将三棱锥放置在正方体中，并建立空间直角坐标系，利用转化向量的方法求数量积，再代入坐标运算，即可求解. 【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，   ，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为，，则， ， ， ，，， ，， ， 所以， 当时，取得最大值. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三棱锥与外接球组合体的几何关系，以正方体为桥梁，建立空间直角坐标系，转化为数量积问题. 8．（23-24高二上·四川德阳·月考）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的中心为，球O的半径为R，在中，利用勾股定理求出，余弦定理求出，再由勾股定理求出，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大. 【详解】如下图，设的中心为，球O的半径为R， 连接，OD，，OE，则 ， 在中，， 解得R＝2，所以，因为BE＝DE，所以， 在中，， 所以，过点E作球O的截面， 当截面与OE垂直时，截面的面积最小， 此时截面的半径为，则截面面积为， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大. 二、填空题 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的射影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为_____． 【答案】/ 【分析】根据外接球性质确定球心及半径，再结合等体积法得到球心到面，进而得到截面半径即可求解． 【详解】设中点为， ，， ，， 即， ，则， ， 又平面，平面， ，则， ，即， 三棱锥中均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， ， ，， ，解得， 截面半径，面积为． 10．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知四面体的外接球球心为O，半径为，，每给定一个的值，都把此时四面体体积的最大值记为，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据半径和可判断球心位置，表示出，分析平面与平面的位置关系，求出，结合正弦函数性质可解. 【详解】因为半径为，所以球心为的中点， 对于给定的， 记点D到平面的距离为，则， 当平面平面时，取最大值， 因为，所以正三角形的高为，所以， 故， 而，故． 故答案为： 11．（24-25高三上·广东·开学考试）已知圆台的上､下底半径分别为和，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是__________；若，圆台的高为，且，则圆台外接球表面积的最大值为__________． 【答案】 【分析】利用圆台的特征确定外接球球心的位置，结合勾股定理解方程与不等式可得第一空；再利用球体的表面积公式结合函数的单调性计算最大值即可. 【详解】圆台外接球的球心必在圆台的轴线上，因为在圆台外，则球心在下底面下方， 设到下底面的距离为，则，所以， 所以， 所以圆台的外接球表面积为 ， 易知在时单调递减，且， 所以． 故答案为：． 【点睛】思路点睛：根据圆台的特征容易判定外接球球心的位置，利用勾股定理建立方程，解不等式可判定圆台高的范围；表示出外接球的表面积，利用函数的单调性计算最大值即可. 12．（2024·广东茂名·二模）如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是_______________. 【答案】 【分析】当三棱锥的体积最大时，此时到底面的距离最大，即此时平面平面，取的中点，的中点，是三棱锥的外接球球心，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小， 此时，截面的圆心就是点，从而求解. 【详解】当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值， 所以此时到底面的距离最大，平面平面， 且平面平面， 取的中点，则，故平面， 取的中点，则，又，且，则， 又∵， 故是三棱锥的外接球球心，且该外接球的半径； 显然，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小， 此时，截面的圆心就是点，记其半径为，则； 由于，平面，所以平面， 而平面，则，则， 在中，，故； 又，故，又， 故由余弦定理有， ∴，故所求面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：取的中点，由，确定点是三棱锥的外接球球心. 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 外接球归类大全 目录 专题10 外接球归类大全 1 1 类型一、构造模型：三线垂直长方体 1 类型二、构造模型：对棱相等 2 类型三、构造模型：线面垂直直棱柱 3 类型四、 构造模型：面面垂直 5 类型五、 重要方法：两线交心法 7 类型六、二面角型 8 类型七、组合体型 10 类型八、 翻折型外接球 11 类型九、 外接球最值与范围型 13 14 结束 错误！未定义书签。 类型一、构造模型：三线垂直长方体 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝. 特殊形式对应正方体，正方体棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 例1．（2025·全国·高三阶段练习）据《九章算术》记载，“鳖臑（biēnào）”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为 . 变式1-1． （2024高一下·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式1-2． （2025·全国·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，则球O的表面积为（　　） A． B． C． D． 变式1-3． 在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为___________ 类型二、构造模型：对棱相等 对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题． 例2、（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围 ． 变式2-1． （2024全国·高一专题练习）已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为 . 变式2-2． （2024·全国 课后作业）在三棱锥中，、、两两重直，，，，则该三棱锥外接球表面积为 ． 变式2-3． 在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 河南省豫东名校2022-2023学年上学期新高三摸底联考文科数学试题 类型三、构造模型：线面垂直直棱柱 线面垂直型： 存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理） 线面垂直型满足条件： 1、 线面垂直； 2、 面可以是任何多边形，多边形外接圆半径，都可以借助多边形上任意三定点所构成的三角形，借助正弦定理来计算（等腰或者等比可以用特殊法计算） 1.模板图形原理 图1 图2 2.计算公式 例3．（2024河南·高三校联考专题练习）已知三棱锥中，平面，若，，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 变式3-1． （2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2． （2024上·河南·高三阶段练习）已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 变式3-3． （2025·全国·高三阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，，，M为中点，H为线段上一点（除的中点外），且.当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质，可以证明平面，利用三棱锥的等积性，结合基本不等式，这样可以求出，过点C作，取，的中点T，N，连接，，过点T作的平行线交于点O.利用线面垂直的性质和判定定理可以证明出O为三棱锥的外接球的球心，运用正切函数的定义，球的表面积公式进行求解即可. 【详解】在中，因为M为中点，故，且，因为，，所以平面，故，又因为，所以平面，因此，故平面，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，即只需底面面积最大即可.因为，则，故，当且仅当时取等号.在中，，故，过点C作，取，的中点T，N，连接，，过点T作的平行线交于点O.由平面知平面.又平面，故平面.因此O为三棱锥的外接球的球心，由，因为，所以，故，即三棱锥的外接球表面积为.故选：B 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题，考查了基本不等式的应用，考查了线面垂直的判定定理和性质，考查了数学运算能力. 类型四、 构造模型：面面垂直 垂面型，隐藏很深的线面垂直型， 面面垂直型基础模图： 例4．（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，是边长为2的正三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式4-1． （2025全国·高三专题练习）在三棱锥中，，平面平面ABC，，点Q为三棱锥外接球O上一动点，且点Q到平面PAC的距离的最大值为，则球O的体积为(    ) A． B． C． D． 【点睛】关键点睛：空间里面的线面、面面位置关系.需要灵活运用面面垂直的性质定理、线面垂直的判断定理.解题过程中找出三棱锥的外接球球心，构造直角三角形，结合平面几何及空间几何关系求出各种边（棱）长是解题的关键. 变式4-2． （2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，和都是等边三角形，，平面平面，M是棱AC上一点，且，则过M的平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大值与最小值之和为（ ） A．24π B．25π C．26π D．27π 【答案】D 【分析】根据题设找到三棱锥外接球球心位置，由已知及球体截面的性质求过M平面截球体的最大截面积，根据外接球球心、面面垂直以及比例关系易知共线，且过M平面截球体的最小截面积时该平面，且，即可求最大、最小面积和. 【详解】由题设，若为中点，分别是等边和等边的中心， 连接，则分别在上，且， ，，，面，故面， 又面，所以，面面， 又面面，过作面的垂线与过作面的垂线交于， 即面，面，则为外接球球心， 面，且，，则面，所以面面， 综上，结合面面，面面，则面、面为同一平面，所以面， 由面面，，面，面面， 所以面，面，即，且知：为正方形， 如图， ，，若外接球半径为， 所以， 由球体的性质，要使过M平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大，则平面必过球心， 所以，最大截面圆面积为， 要使过M平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小，则该平面， 因为，而都在面上，故， 而，故，显然共线，故， 此时截面圆的半径为，则， 所以，最小截面圆面积为， 综上，最大值与最小值之和为. 故选:D. 【点睛】关键点点睛：根据球的性质判断过M平面截棱锥外接球截面面积最大、最小时截面与的位置关系，利用几何关系求截面圆半径，最后求面积和. 变式4-3． （2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，设，设外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，可结合线面垂直的性质与判定求得，再根据垂直关系可得点到平面的距离等于点到平面的距离，进而列式求解即可. 【详解】取的中点，连接，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面. 因为为等腰三角形，且，则，设，则，. 设外接圆的圆心为，半径为，球的半径为， 如图所示，，，三点共线，由平面，可得平面． 由正弦定理，故，则. 连接，，则，由平面，且外接圆的圆心为，可得. 因为平面，所以，又平面，平面，故平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 又因为点到平面的距离的最大值为，所以，得，所以，球的表面积为．    故选：C 类型五、 重要方法：两线交心法 解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为： 1、寻找一个或两个面的外接圆圆心 2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心； 3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积. 如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法 1、 包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形） 2、 等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心； （2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心； 例5．（2025·江苏·高三开学考试）在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，.若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为 . 变式5-1．（2024·吉林·高一吉林期中）在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平面底面 ，，，则该三棱锥的外接球表面积为 ． 故答案为： 变式5-2． （2023·山东淄博·高一统考期末）已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，，则四棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】设外接圆的圆心为，外接球球心为，先分别求得外接圆的半径与，再利用勾股定理求得外接球的半径，从而得解． 【详解】记AD的中点为，连接，连接EF， 设外接圆的圆心为，半径为，所求外接球球心为，半径为，连接，如图，      因为为等边三角形，，所以圆的半径， 因为为等边三角形，是AD的中点，所以，因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，因为底面ABCD是矩形，所以是底面ABCD外接圆的圆心， 故平面ABCD，所以，同理，所以四边形是矩形，所以， 所以球的半径，所以外接球的表面积为．故答案为：． 变式5-3． （2025·山西·高三阶段练习）在四面体中，和都是边长为的等边三角形，该四面体的外接球表面积为，则该四面体的体积为 ． 类型六、二面角型 二面角型，多采用 两个外心垂线交线定球心法 (1) 选定一个面，定外接圆的圆心O1 (2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O2； (3) 分别过O1作该底面的垂线，过O2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O. 例6．（2026·全国·高三专题练习）在菱形中，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则 A．1 B．2 C． D． 点睛: 本题主要考查了四棱锥的外接球问题, 属于中档题. 本题思路: 由二面角的定义求出,确定外接圆的圆心位置,由球的截面圆的性质得到平面,利用,求出 的长度. 2．（2025·湖南·高三阶段练习）在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（    ） A． B． C． D． ，四面体的外接球的表面积为，故选：．【点睛】本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关键． 变式6-1． （2023下·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）空间中四个点、、、满足，，且直线与平面所成的角为，则三棱锥的外接球体积最大为（    ） A． B． C． D． 变式6-2． （2026全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式6-3． 已知平面四边形ABCD中，，现沿BD进行翻折，使得A到达的位置，连接，此时二面角为150°，则四面体外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 类型七、组合体型 因为组合体会受图形所限制，一般其况下，两个组合体结合处的平面，恰好是外接圆一个小圆（或者大圆）上。 例7．（2025全国专题练习）阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，目前发现了共有13个这种几何体，而截角四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得，已知一截角四面体的棱长为1，则该截角四面体的外接球表面积为______. 故答案如图， 变式7-1． （25-26高一下·湖北武汉·期中）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的十四面体，且它所有的棱长都为2.则下列结论中，错误的是（    ） A．该石凳的表面积为 B．该石凳的体积为 C．有内切球，且内切球的体积为 D．有外接球，且外接球的表面积为 变式7-2． （2024·四川成都·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（    ） ①此八面体的表面积为； ②异面直线与所成的角为； ③此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ④若点为棱上的动点，则的最小值为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式7-3． （24-25高三下·湖南长沙·月考）天然钻石是在地球深部高压、高温条件下形成的一种由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展，人工钻石也在不断涌现，目前已合成的有白钻、黄钻、绿钻及蓝钻.钻石常见外形有圆形、椭圆形、榄尖形、心形、梨形、方形、三角形等！现有一款雕琢后的钻石，其形状如图所示，可看作由正六棱台 和正六棱锥 P-ABCDEF组合而成，其中 若该组合体的外接球存在，且外接球的体积为36π，则AA₁ 的长度为（    ） A．1 B． C． D． 类型八、 翻折型外接球 翻折性几何体外接球： 1. 翻折钱平面图形的性质； 2. 翻折前后在同一个面内的角度、长度等不变。 3. 翻折后几何体求外接球，是否复合外接球的模型。 例8．（2026·全国·高三专题练习）如图，已知正方形的边长为4，若将沿翻折到的位置，使得平面平面，分别为和的中点，则直线被四面体的外接球所截得的线段长为（    ） A． B． C． D． 变式8-1． （2025·山西·高一阶段练习）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使二面角的大小为，则所得三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积的求解，找出球心的位置，并求出球的半径是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 变式8-2． （2026·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 变式8-3． （2023下·江苏南通·高二统考期中）在三棱锥中，，，设侧面与底面的夹角为，若三棱锥的体积为，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】通过计算推出为的外接圆的直径，到平面的距离为，设的中点为，则为的外接圆的圆心，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，根据以及求出的最小值及取最小值时，有平面，再取的中点，连，，则可得，计算可得. 【详解】因为，，所以， 所以，所以，所以， 所以为的外接圆的直径， 设的中点为，则为的外接圆的圆心， 因为，设到平面的距离为， 则，所以， 当该三棱锥外接球表面积取最小值时，半径最小， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则平面， 若点和点在平面的同侧，如图： 则，即，当且仅当三点共线时，取等号， 在中，，所以， 所以，所以，当且仅当三点共线时，取等号， 若点和点在平面的异侧， 则，所以， 若与重合时，，不合题意， 综上所述：的最小值为，且当时，三点共线， 此时平面，取的中点，连，，则， 因为平面，平面，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以， 所以是侧面与底面的夹角，即， 因为，， 所以. 故选：B 类型九、 外接球最值与范围型 立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑： 一、构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解； 二、借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法； 三、根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 例9．（22-23高三上·江苏淮安·月考）如图，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，点D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．（2025·浙江杭州·模拟预测）空间中四个点、、、满足，，且直线与平面所成的角为，则三棱锥的外接球体积最大为（    ） A． B． C． D． 变式9-2．（2025·浙江丽水·一模）在Rt中，是的中点，把沿翻折到，设二面角的平面角为，若，则三棱锥外接球表面积的范围是___________． 变式9-3． （24-25高二上·江西抚州·期末）在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是______. 压轴专练 一、单选题 1．（25-26高三上·吉林四平·期末）如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川乐山·期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东广州·期末）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南常德·月考）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，P为上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知长方体的体积为，且，则长方体外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·辽宁锦州·月考）已知球是三棱锥的外接球，，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·福建莆田·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．（23-24高二上·四川德阳·月考）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的射影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为_____． 10．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知四面体的外接球球心为O，半径为，，每给定一个的值，都把此时四面体体积的最大值记为，则的最小值为________． 11．（24-25高三上·广东·开学考试）已知圆台的上､下底半径分别为和，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是__________；若，圆台的高为，且，则圆台外接球表面积的最大值为__________． 12．（2024·广东茂名·二模）如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是_______________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $