精品解析：福建泉州外国语学校等校2026届高三下学期5月联考数学试卷

数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. 0 C. D. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为等差数列，设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，设为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于原点），点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了位志愿者作为样本，并统计了其年龄的数据，按区间，，，，，分组，制成了如下图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 样本数据的众数估计为岁 B. 样本中年龄在的人数为 C. 估计志愿者年龄的中位数为岁 D. 若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于的概率为 10. 在棱长为2的正方体中，P是线段AC上的动点（包含两个端点），则下列结论正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 过点P与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，其中，且当时，，则（ ） A. B. C. 的极大值为 D. 若且恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 13. 已知某密码由4个正整数组成，且所有数字之和为7，则该密码共有________种可能（用数字作答）． 14. 已知某圆锥的侧面积为定值，则当该圆锥的内切球的体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务．已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.6，失败的概率为0.4；B机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2． （1）若从A，B两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人失败的概率； （2）若A，B两个机器人各自独立执行一次高难度动作，记这两个机器人失败的总次数为X，求X的分布列和数学期望． 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）设，且边上的高为，求的周长． 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，，，． （1）证明：平面平面； （2）若，且锐二面角的正弦值为，求. 18. 已知函数． （1）若为增函数，求实数a的取值范围； （2）证明：函数有且仅有一个零点． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，，点M在椭圆C上，且的面积的最大值为． （1）求椭圆C的方程； （2）设G为的重心，I为的内心，I、G两点不重合． ①证明：； ②点P，Q在椭圆C上，且，求的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为是增函数，所以； 因为，所以. 2. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意， ，即 ， 所以，故． 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，两边取模可得， 所以，故. 4. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得，而， 则， 所以. 5. 已知数列为等差数列，设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】设，则，， 当时，成立，但不成立； 当时，，，所以． 因此甲是乙的必要不充分条件． 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得是的一个极值点，且，代入求参数值，最后确定原函数的解析式，即可求. 【详解】由，知关于对称， 所以是的一个驻点，即，且， 故，解得， 所以，则． 7. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，所以， 即，即， 因为，所以，，所以，. 8. 已知双曲线的右焦点为，设为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于原点），点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的几何性质可得，求得,及，由双曲线的定义得，由余弦定理可得到，进而求得离心率. 【详解】以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，所以， 不妨设双曲线的一条渐近线为， 则到该直线的距离为， 因为，所以， 设双曲线的左焦点为，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以双曲线的离心率为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了位志愿者作为样本，并统计了其年龄的数据，按区间，，，，，分组，制成了如下图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 样本数据的众数估计为岁 B. 样本中年龄在的人数为 C. 估计志愿者年龄的中位数为岁 D. 若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于的概率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接由频率直方图可得中位数，众数及频数，因此可判断ABC，再由相互独立事件的概率可得D选项错误. 【详解】对于A，观察图可知，样本数据的频率最大的一组为， 所以样本数据的众数估计为，因此A选项正确； 对于B，样本中年龄在的频率为， 所以样本中年龄在的人数为，B选项正确； 对于C，前三组的频率为，所以中位数在第三组中， 因此志愿者年龄的中位数为，C选项正确； 对于D，设任意一个人的年龄为，则， 所以从所有志愿者中任选两人且两人年龄均介于的概率为，故D选项错误． 10. 在棱长为2的正方体中，P是线段AC上的动点（包含两个端点），则下列结论正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 过点P与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明得到与不平行与平面，进而证明结论判断A，利用空间位置关系的向量证明得到面，求出所求截面，最后求解截面面积判断C，利用线线夹角的向量求法求出解析式，进而求解最值判断C，将平面与平面沿展开为同一平面，应用平面两点间线段最短判断D即可. 【详解】对于A，如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 而P是线段上的动点，则，设， 得到，，则， 解得，得到，则， 而，，可得与不平行， 设面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 得到，且不在面内， 可得平面，而面，则与无交点， 得到与是异面直线，故A正确， 对于B，由题意得，则， 而，， 设面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 而，可得面，则为所求截面， 由勾股定理得，则是等边三角形， 由三角形面积公式得，故B错误， 对于C，由题意得，，则， 则， 令，， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 且，则，， 即的最大值为，故C正确， 对于D，将平面与平面沿展开为同一平面，如下图示， 当且仅当共线时，最小， 而，， 故由余弦定理得，故D正确. 11. 已知函数，其中，且当时，，则（ ） A. B. C. 的极大值为 D. 若且恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】假设，利用函数零点的之间关系推得与已知不符即可判断A；对和两种情形进行分析得到与已知不符，进而判断B；通过导数求得的极大值可判断C；由恒成立，令，转化为恒成立，根据确定参数. 【详解】对于A，若，则，因为，所以当时，，不符合题意，所以，故A正确； 对于B，若，则当时，，不符合题意； 若，则当时，，不符题意； 若，则，符合题意，故B正确； 对于C，， 所以为的极大值点，所以，故C错误； 对于D，，其中， 所以恒成立，所以，解得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 【答案】 【解析】 【详解】设， 因为，所以， 则，所以， 所以． 13. 已知某密码由4个正整数组成，且所有数字之和为7，则该密码共有________种可能（用数字作答）． 【答案】20 【解析】 【详解】已知密码由个正整数组成，设四个数字分别为， 满足，且. 根据隔板法，解的个数为，共有种可能. 14. 已知某圆锥的侧面积为定值，则当该圆锥的内切球的体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的侧面积为，底面半径为，母线长为，由等面积法可得该圆锥的内切球半径，结合圆锥侧面积可得，记为定值，进而得到，结合基本不等式可得，进而求解即可. 【详解】设圆锥的侧面积为，底面半径为，母线长为， 由，可得， 而圆锥侧面积为，即，记为定值， 则 ， 当且仅当，即，即时等号成立，此时， 所以圆锥的内切球体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务．已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.6，失败的概率为0.4；B机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2． （1）若从A，B两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人失败的概率； （2）若A，B两个机器人各自独立执行一次高难度动作，记这两个机器人失败的总次数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的概念，以及全概率公式，求出事件的概率即可； （2）根据独立事件乘法公式，求出各种情况下失败的概率，写出分布列，再根据数学期望的概念，求出结果即可； 【小问1详解】 设事件为选用机器人，事件为选用机器人， 用事件表示机器人失败，则，，，． 由全概率公式得． 【小问2详解】 由题意得的取值可能为0，1，2． ， ， ， 可得的分布列为 0 1 2 0.48 0.44 0.08 有． 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）设，且边上的高为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件并结合正弦定理可得，再由角的范围可得所求角的值； （2）先由等面积法可得，再由余弦定理及条件可得，再代入余弦定理得，从而可得三角形周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， ，，，， ，． 【小问2详解】 因为边上的高为，所以， 由（1）知，所以， 因此，即①. 又由余弦定理，，，② 又因为，得代入②，， 所以，，解得或（舍去）. 再由②和①得， 因此，所以. 的周长为． 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，，，． （1）证明：平面平面； （2）若，且锐二面角的正弦值为，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，由勾股定理可证，又，利用线面垂直的判定定理可证平面，再由面面垂直的判定定理得证； （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题可得点在以为圆心，2为半径，过点的圆上，设出点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量法结合已知条件列式求出的坐标，得解. 【小问1详解】 取棱的中点，因为，所以. 在中，由余弦定理得. 又为等边三角形，所以， 在中，因为，所以，所以， 因为，，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题设得，， 又由，可得点在以为圆心，2为半径，过点的圆上，有， 设，则，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 即，可取， 记锐二面角的大小为，， 则， 化简得，且，所以，， 所以，即. 18. 已知函数． （1）若为增函数，求实数a的取值范围； （2）证明：函数有且仅有一个零点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，问题化为恒成立，应用导函数求右侧的最小值，即可得； （2）问题化为证明 在上有且仅有一个零点，应用导数研究其零点即可证. 【小问1详解】 由题设 ， 若为增函数，则，， 即对任意恒成立，即恒成立． 令，， 令，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，即的取值范围是； 【小问2详解】 令，可得，令 ， 所以， 设 且，则， 当时，当时， 所以在区间单调递减，在区间单调递增， 所以， 所以，在上单调递增， 取，且，则， 取，且，则， 所以在区间存在唯一零点， 所以有且仅有一个零点. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，，点M在椭圆C上，且的面积的最大值为． （1）求椭圆C的方程； （2）设G为的重心，I为的内心，I、G两点不重合． ①证明：； ②点P，Q在椭圆C上，且，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）① 证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由可得，由的面积的最大值可得，从而可得椭圆方程； （2）①设，利用重心性质得到，再利用等面积法得到的内切圆半径，所以和的纵坐标相等，；②设延长线交轴于点，利用角平分线定理得到，进而得到点坐标，再利用得到，同时利用点差法求出直线的斜率并进一步写出方程，与椭圆联立计算出的纵坐标之差，结合得到的面积的表达式，根据范围分析即可． 【小问1详解】 由题意，，所以， 因为，， 所以的最大值为，， 从而，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 ①设，不妨设，因为为的重心， 则，所以，设的内切圆半径为， 因为， 所以即，可知和的纵坐标相等， 所以． ②， 设延长线交轴于点，因为为的内心， 由角平分线定理有，所以， 即，，可得， 因为且，所以， 设，则有， 作差得， 由可得为中点，所以， 于是直线的斜率， 所以直线，即， 利用化为，整理得， 联立，得， 因为，所以，即得， 则， 所以， 则， 因为存在，所以，且I、G两点不重合，所以， 所以，故面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $