精品解析：福建省惠安第三中学等校2026届高三下学期开学阶段性自测数学试题

高三年级阶段性自测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 所以， 所以. 2. 已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，若，有. 3. 已知样本数据1，2，4，6，m，若删除4后的新数据与原数据的平均数相同，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】设原数据平均数为，根据统计学性质，从一组数据中去掉一个数， 若这个数恰好等于这组数据平均数，则剩下数据的平均数与原平均数相等， 由题意“删除4后的新数据与原数据的平均数相同”可知， 被删除的数4即为原数据的平均数，即, 因此，解得. 4. 函数的最大值为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 【答案】B 【解析】 【详解】令，可得， 可得函数的最大值为9. 5. 已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为，计算圆心到直线的距离，结合弦长公式求结论. 【详解】圆：，圆心为，半径为； 圆：，圆心为，半径为； 圆心距，，两圆相交. 公共弦为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得， 又因为， 联立，解得. 可得 . 7. 在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0~7这八个数字来表示数值.例如，八进制数2051换算成十进制数是.那么八进制数换算成十进制数m，则十进制数m的个位数字为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据八进制数换算十进制数的公式得到m的表达式，求出的个位数字，或结合等比数列的前n项和公式、二项式定理即可求解. 【详解】方法一：由题意知， 设，因为的个位数字分别为， 所以的个位数字之和为， 所以的个位数字为5， 所以的个位数字为5. 方法二：由题意知 ， 又由二项式定理知是7的倍数， 所以是10的倍数. 又由二项式定理知， 所以的个位数字与的个位数字相同， 同理，， 所以的个位数字与的个位数字相同， 可得的个位数字为5. ，且是10的倍数，其个位数字为0，所以的个位数字与的个位数字相同，即为5. 综上，十进制数m的个位数字为5. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助椭圆的定义与余弦定理可得与、有关齐次式，再利用离心率定义计算即可得. 【详解】，，设，则， 又由，则，可得，则， 又由，在中，由余弦定理， 有，则，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在棱长为的正方体中，点P是线段BD上的一个动点，则（ ） A. 正方体的体积为8 B. 正方体的外接球的表面积为 C. D. 直线与底面ABCD所成的角的正切值的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：利用正方体体积公式计算即可得；对B：求出正方体体对角线即可得该正方体的外接球半径，再利用球体表面积公式计算即可得；对C：借助线面垂直判定定理与性质定理即可得证；对D：由题意可得即为所求角，求其正切值范围即可得. 【详解】对A：由棱长为，则正方体的体积为，故A正确； 对B：该正方体外接球半径为体对角线一半，即为， 则该正方体的外接球表面积为，故B错误； 对C：由正方体性质可得，又， 、平面，故平面， 又平面，故，故C正确； 对D：由正方体性质可得底面， 则直线与底面所成的角为， 又，故D错误. 10. 已知焦点为F的抛物线的准线为，过点F的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，直线AO、BO分别与准线相交于M、N两点，则（ ） A. B. 若，则直线AB的斜率的绝对值为2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的性质与其焦点弦的性质一一判定选项即可. 【详解】设A，B的坐标分别为，直线AB的方程为， 联立方程，消去x后有， 有，可得. 对于A选项，由抛物线C的准线为，有，可得， 故A选项正确； 对于B选项，由， 有，代入，有， 解得或2，可得或， 可得直线AB的斜率的绝对值为，故B选项错误； 对于C选项，直线OA的方程为， 代入，有， 可得点M的坐标为，同理可得点N的坐标为，可得， 故C选项正确； 对于D选项，由， 有，可得，故D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 B. 当时，函数为奇函数 C. 若过点有三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 D. 若函数有3个零点，则这3个零点之和为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A选项，由， 当时，没有极值； 当时，令，可得或，可得函数的减区间为，增区间为，此时为函数的极大值点； 当时，令，可得，可得函数的减区间为，增区间为，此时为函数的极小值点，故A选项错误； 对于B选项，由， 有，可得函数为奇函数，故B选项正确； 对于C选项，设切点为，可知， 可得函数在点M处的切线方程为 ，代入有，整理为， 若过点有三条直线与曲线相切，可得关于m的方程有且仅有3个根， 显然，上述方程可化为. 令，有， 令，即，解得， 可得函数的减区间为， 令，即，解得或， 所以函数增区间为， 又由.可得，可得，故C选项正确； 对于D选项，显然，设， 又由，可得， 同理可得， 将上面两式作差，得， 整理可得，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，________. 【答案】 【解析】 【详解】如图，连接BE，取线段BE的中点为O，连接OC，EC， 由正六边形结构性质得，且， 所以，可得. 13. 已知前n项和为的等比数列中，且，记，则数列的前20项的和为________. 【答案】208 【解析】 【分析】由已知条件求出数列的公比，再由数列的通项求出数列的通项，结合等差数列的求和公式求解即可. 【详解】设数列的公比为q，由，有，可得， 又由，有，可得，可得. 有，可得数列的前20项的和为. 14. 已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出零点，结合零点不在区间内得到方程组，求解方程组即可. 【详解】令或0或或，可得或或或. 由函数在区间上没有零点，可得区间长度不超过周期的一半， 所以，结合已知有，且且， 综上，有或，可得或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求C； （2）若，求的内切圆的半径. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知及三角恒等变换化简得，根据正弦定理边角关系、余弦定理求角的大小； （2）由（1）得，结合已知求边长，进而得到三角形面积，应用等面积法求内切圆半径. 【小问1详解】 由， 有. 可得. 由正弦定理，有. 又由余弦定理，有. 又由，可得； 【小问2详解】 由（1）有，代入， 所以，解得或（舍去）， 所以，可得的面积为. 设的内切圆的半径为r，有， 代入，有，可得， 故的内切圆的半径为. 16. 为全面提升青少年消防安全意识和自防自救能力，7月24日，某消防救援支队走进社区暑期爱心课堂，为孩子们带来了一堂生动有趣的“消防安全知识课”. （1）已知爱心课堂共有10名学生，其中有6名男生，4名女生，从这10名学生中任选3名学生，记这3名学生中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望； （2）课后设置消防安全有奖知识竞答，每道题答对的概率为0.4，为使答对题数的数学期望不小于，则小王同学至少要抢答多少道题？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）10道 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并计算数学期望. （2）利用二项分布的知识列不等式，由此求得正确答案. 【小问1详解】 X可能的取值为0，1，2，3. 有； ； ； . 可得X的分布列为： X 0 1 2 3 P . 【小问2详解】 设小王同学至少抢答n道题，这n道题中答对的题数为Y，有. 有，可得，故小王同学至少要抢答10道题. 17. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，点P是线段的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若，求CP与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取棱的中点为Q，构造平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）取棱AD的中点为O，先判定，结合勾股定理逆定理及线面垂直的判定定理证明即可； （3）建立空间直角坐标系，利用线面夹角的向量公式计算即可. 【小问1详解】 如图，取棱的中点为Q，连接PQ，BQ， 且. 又且且 四边形BCPQ为平行四边形， . 平面平面平面. 【小问2详解】 如图，取棱AD的中点为O. . . . 四边形BCDO为平行四边形， . ， 直四棱柱为侧棱，底面ABCD，， 平面平面. 【小问3详解】 由，可得， 如图，过A点在底面ABCD中作AD的垂线为x轴，以点A为坐标原点， AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则有， ，可得， 设平面的一个法向量为， 由， 有，取， 可得平面一个法向量为. 有， 可得，所以CP与平面所成的角的正弦值为. 18. 已知等轴双曲线的左、右顶点分别为，且.不在x轴上的点关于原点O对称，且点都在双曲线C上，过点分别作以线段为直径的圆的一条切线，这两条切线相交于点P. （1）求双曲线C的标准方程； （2）求点P的横坐标； （3）求的面积的最小值. 【答案】（1） （2）或1 （3）4 【解析】 【分析】（1）由双曲线为等轴双曲线，结合实轴长，求出得双曲线C的标准方程； （2）通过设点，设切线方程， 联立方程组结合韦达定理和点在双曲线C上，求点P的横坐标； （3），求出点P的坐标，得，结合基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由双曲线为等轴双曲线，有， 又由，有，可得， 故双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 设（其中），有，可得. 设直线的方程为，直线的方程为. 由直线和直线都与圆O相切，有.， 可得是关于k的方程的两个根，整理为， 有. 联立直线和直线方程消去y后，有， 代入，有，整理为， 又由 ， 有，代入，可得，故点P的横坐标为或1. 【小问3详解】 由圆的对称性，可知. 又由圆的对称性，不妨设点P的横坐标为1， 又由，可得直线OP的方程为，取，可得点P的坐标为， 有. 可得（当且仅当或时取等号）， 故的面积的最小值为4. 19. 已知函数. （1）证明：； （2）证明：； （3）若且，证明：. 【答案】（1）对求导，构造函数，通过研究的单调性可知的单调性，进而求证 （2）当时，有，取，可得，进而求证 （3）根据的单调性可得，分，讨论，根据的表达式可构造函数，其中，通过导数研究的单调性可得，进而求证 【解析】 【小问1详解】 由，可得，可知函数的定义域为， 由知. 令，有，可得函数是增函数， 又由，可知 当时，，即； 当时，，即. 可得函数的减区间为，增区间为， 可得，即. 【小问2详解】 由（1）可知，不等式（时取等号）恒成立. 当且时，不等式可化为， 取，有，即，可得， 所以， 故不等式成立. 【小问3详解】 不妨设，由函数的减区间为，增区间为，可得. ①当时，由，可得； ②当时，由 . 令，其中， 有. 又由（当且仅当，即时取等号）. 由，可得， 所以，可得函数是减函数， 又由，可得（当且仅当时取等号）. 又由，可得，即， 又由及函数在上单调递减，得，即. 由①②可知，若且，则不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级阶段性自测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知样本数据1，2，4，6，m，若删除4后的新数据与原数据的平均数相同，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 函数的最大值为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 5. 已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0~7这八个数字来表示数值.例如，八进制数2051换算成十进制数是.那么八进制数换算成十进制数m，则十进制数m的个位数字为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在棱长为的正方体中，点P是线段BD上的一个动点，则（ ） A. 正方体的体积为8 B. 正方体的外接球的表面积为 C. D. 直线与底面ABCD所成的角的正切值的取值范围为 10. 已知焦点为F的抛物线的准线为，过点F的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，直线AO、BO分别与准线相交于M、N两点，则（ ） A. B. 若，则直线AB的斜率的绝对值为2 C. D. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 B. 当时，函数为奇函数 C. 若过点有三条直线与曲线相切，则实数a取值范围为 D. 若函数有3个零点，则这3个零点之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在边长为1正六边形ABCDEF中，________. 13. 已知前n项和为的等比数列中，且，记，则数列的前20项的和为________. 14. 已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求C； （2）若，求内切圆的半径. 16. 为全面提升青少年消防安全意识和自防自救能力，7月24日，某消防救援支队走进社区暑期爱心课堂，为孩子们带来了一堂生动有趣的“消防安全知识课”. （1）已知爱心课堂共有10名学生，其中有6名男生，4名女生，从这10名学生中任选3名学生，记这3名学生中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望； （2）课后设置消防安全有奖知识竞答，每道题答对概率为0.4，为使答对题数的数学期望不小于，则小王同学至少要抢答多少道题？ 17. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，点P是线段的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若，求CP与平面所成的角的正弦值. 18. 已知等轴双曲线的左、右顶点分别为，且.不在x轴上的点关于原点O对称，且点都在双曲线C上，过点分别作以线段为直径的圆的一条切线，这两条切线相交于点P. （1）求双曲线C的标准方程； （2）求点P的横坐标； （3）求面积的最小值. 19. 已知函数. （1）证明：； （2）证明：； （3）若且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $