精品解析：福建福州外国语学校2025-2026学年高三5月校模拟考试数学试卷

2025-2026学年高三5月校模拟考试卷 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合是自然数集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，所以． 2. 已知，为非零向量，命题和命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的定义公式，分别判断命题的充分性和必要性是否成立，进而作出判断. 【详解】若成立，则（两向量同向）或（两向量反向）， 当时，，此时，即不成立， 因此推不出，充分性不成立； 若成立，因为是非零向量，，则， 结合得，即两向量同向，因此，成立， 即能推出，必要性成立； 综上，是的必要不充分条件. 3. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，可得a的范围，根据对数函数的单调性，可得b，c的范围，比较即可得答案. 【详解】因为在R上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，且， 所以，则. 4. 若，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， 即，则， 则. 5. 某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（ ） A. 68 B. 63 C. 35 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为： . 故选：B 6. 在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 由，得， 由，得， 所以， 因为， 所以 即 7. 2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先按4人分3组、每组至少1人用排列组合求出总基本事件数，再分别算出甲在指定灯区且甲乙不到同一赏灯区时，该灯区2人和仅甲1人两类情况的方法数，联立得到同时满足事件的事件数，求出联合概率，再套用条件概率公式算出最终条件概率. 【详解】记事件: 甲游览机场跑道无人机灯区，事件: 甲与乙不到同一赏灯区，则， 因为每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区，则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个赏灯区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若游览机场跑道无人机灯区有2人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的游览情况种数为， 若游览机场跑道无人机灯区只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个赏灯区， 此时，不同的游览情况种数为， 因此，， 由条件概率公式可得. 8. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，结合题设可得，进而得到函数在上单调递增，再结合求解不等式即可. 【详解】令，则， 因为，，所以， 则函数在上单调递增， 因为，所以， 则的解集为， 即的解集为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为等比数列的前项和，为其前项积，公比，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. 使的正整数的最小值为5 C. 的最大值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可以由求出公比，再由求出首项，A可以通过数列的通项公式判断；B计算出前项和公式进行计算；C根据的单调性进行判断；D. 【详解】利用等比数列的性质可以由求出公比， 由求出首项，故； A，，数列为递减数列，错误； B，，故为单调递增，又，故使的正整数的最小值为5，正确； C，， 当时， ，数列单调递增， 当时，，数列单调递减， 由于 ，故， 所以，的最大值为和，错误； D，，正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（） A. 若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象，且的图象关于轴对称 B. 若，则的图象关于点对称 C. 若，若方程在上恰有一个根，则 D. 若函数在区间上单调递增，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简，根据平移及函数的对称性即可判断A；代入判断对称中心即可判断B；先确定的单调性，进而得到参数的取值范围即可判断C；先求得，再由单调性可得，对进行赋值，结合即可得到D． 【详解】 ， 对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度， 得到， 因为， 所以的图象关于轴对称，A选项正确； 当时，， 令，解得， 当时，，此时， 所以的图象关于点对称，B选项正确； 当时，， 当时，， 令，则， 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减， 且，，， 方程在上恰有一个根， 即与的图象在上恰有一个交点， ，，C选项错误； ， 又函数在区间上单调递增， 所以， 解得，又， ，D选项正确． 11. 正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直．点分别在正方形对角线和上移动，且．则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 平面 C. 当时，的长最小，且最小值为 D. 当的长最小时，点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】构造空间直角坐标系，求出相关向量坐标，利用向量夹角余弦公式计算向量夹角，判断选项A；利用向量与平面法向量平行证明线面平行判断选项B；利用向量模的公式构造二次方程判断选项C，利用点到平面距离公式求出点面距离，判断选项D． 【详解】已知正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，故， 设夹角为，则， ，故A正确； ， ， ， ， 平面的法向量为， ， ， 平面， 平面，故B正确； ， ，函数开口向上，对称轴为， 当时取得最小值，最小值为， 故C正确； 当时，， ，设平面的法向量为， 则，令，则， ， 则点到平面的距离为：，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用实系数方程复数根的性质及根与系数关系得，再由共轭复数的运算性质求结果. 【详解】由实系数一元二次方程复数根的性质知， 故. 故答案为： 13. 若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先变形曲线，并画出曲线的图象，再根据直线恒过点，利用数形结合，结合临界值，求实数的取值范围. 【详解】由题意得，所以，当时，曲线为； 当时，曲线为， 显然为半圆，如图所示， 易得直线经过定点，当直线与相切时， ，,所以，易得， 故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为． 14. 已知数列满足，当时，为的展开式中的系数，则数列的前项和______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项式定理得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，再利用裂项相消法和分组求和法得到数列的前项和. 【详解】已知，当时，为的展开式中的系数， 根据二项式定理，的展开式的通项公式为， 令，此时对应的项为，因此的系数为， 所以，当时，， 检验一下的情况，代入公式得，这与不符， 因此，数列的通项公式为， 由于， 当时，， 当时，， 则数列的前项和， 由于，， 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． （1）求双曲线的标准方程； （2）证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值； 【小问1详解】 （1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 如图所示： 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A． （2）已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解； （2）（ⅰ）由，利用正弦定理得到，再根据AD平分，由求得b，c，再利用余弦定理求解； （ⅱ）由和得到，利用“1”的代换，得到的最小值，再由余弦定理，得到的最小值. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，由正弦定理得：， 因为AD平分， 所以， 因为， 所以， 将代入上式得，解得，， 由余弦定理得，解得. （ⅱ）由， 得， 将代入上式得，即，即， 则， 当且仅当时，等号成立，则的最小值为8； 由余弦定理得， ， 令，则， 因为 ，当时，的最小值为， 则的最小值为， 所以周长的最小值为. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若，对任意两个不相等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）若，函数 的单调递减区间为，单调递增区间为；若，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；若 ，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；若 ，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 . （2） 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，讨论和两种情况下，导函数的正负，从而得到的单调区间； （2）利用导数可得的单调性，从而将恒成立转化为单调递减，进而得到 在上恒成立，分离参数，并构造新函数可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 函数的定义域为. . 若，则恒成立， 所以当时，，； 当时，，. 所以函数 的单调递减区间为  ，单调递增区间为 . 若，则方程  的两个根为和.  若， 当或  时， ，即； 当 时， ，即  . 所以函数 的单调递增区间为  和 ，单调递减区间为 . 若 ， 恒成立，所以函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间. 若 ， 当或时，   ，即 ； 当 时，  ，即 . 所以函数 的单调递增区间为 和，单调递减区间为 . 综上所述， 若，函数 的单调递减区间为  ，单调递增区间为 . 若，函数 的单调递增区间为  和 ，单调递减区间为 . 若 ，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间. 若 ，函数 的单调递增区间为 和，单调递减区间为 . 【小问2详解】 函数的定义域为，. 因为，且，所以恒成立，所以在上增函数. 不妨设，则，即. 由，得， 即. 令，则在上单调递减. 所以 在上恒成立， 即在上恒成立. 令 ，则 ， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得最大值，最大值为，则. 所以实数的取值范围是． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点． （1）证明：平面平面PBC； （2）若F为BC中点． （ⅰ）求异面直线AF与PC的距离； （ⅱ）求四棱锥的外接球被所在的平面截得的圆的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅰⅰ） 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直性质得平面，进而得到，再结合等腰三角形性质得，最后由线面垂直判定得平面，从而根据面面垂直判定完成证明. （2）（ⅰ）由线面平行性质推出，确定为中点，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而得到向量、，求与两向量都垂直的向量，利用公式算出异面直线、距离 （ⅱ）根据外接球球心性质求出球心坐标与半径，再利用法向量求球心到平面距离，最后由勾股定理求截面圆半径并计算面积. 【小问1详解】 平面平面，平面平面，， 且平面，则平面， 因为平面，则，又，，则， 因，平面，则平面， 又平面，故平面平面． 【小问2详解】 （ⅰ）由平面，平面平面，平面，则， 故为的中点，取的中点O，连接，， 则平面，因平面，则， ，平面，所以平面， 故可以O为坐标原点，OB，OP所在直线为x，z轴，过O作的平行线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意，，，，，，， ，， 设与，向量都垂直，则 令得， ， 则异面直线AF，PC的距离． （ⅱ）由底面为正方形，设外接球球心为， 由得，得， 则球半径， 由（2）知平面的法向量为， 则球O到平面距离为， 则球O截平面所得圆的半径， 则截面圆面积为． 19. 某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. （1）连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； （2）当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； （3）若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 【答案】（1） （2）1 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意知，当时，再根据二项分布，结合条件概率求解即可； （2）由题意知，再根据导数求解最值即可得答案； （3）由题知，，，令，进而将问题转化为证明，再构造函数，，证明，，最后结合不等式放缩得即可证明. 【小问1详解】 解：因为连续取件芯片，故障芯片的件数为随机变量，芯片独立出厂, 所以服从二项分布，即，故当连续抽取4件芯片时， 所以 且， 所以 . 【小问2详解】 解：当时， 故恰好出现2件故障芯片的概率为，， 所以， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以， 若对任意，恒有，则实数的最小整数值为1. 【小问3详解】 证明：因为，，所以，， 所以 令，则，， 故要证，只需证， 只需证，只需证 只需证， 令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即， 又， 所以，， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即， 所以成立，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三5月校模拟考试卷 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合是自然数集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为非零向量，命题和命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（ ） A. 68 B. 63 C. 35 D. 48 6. 在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为等比数列的前项和，为其前项积，公比，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. 使的正整数的最小值为5 C. 的最大值为 D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（） A. 若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象，且的图象关于轴对称 B. 若，则的图象关于点对称 C. 若，若方程在上恰有一个根，则 D. 若函数在区间上单调递增，则 11. 正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直．点分别在正方形对角线和上移动，且．则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 平面 C. 当时，的长最小，且最小值为 D. 当的长最小时，点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 13. 若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 14. 已知数列满足，当时，为的展开式中的系数，则数列的前项和______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． （1）求双曲线的标准方程； （2）证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A． （2）已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若，对任意两个不相等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点． （1）证明：平面平面PBC； （2）若F为BC中点． （ⅰ）求异面直线AF与PC的距离； （ⅱ）求四棱锥的外接球被所在的平面截得的圆的面积． 19. 某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. （1）连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； （2）当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； （3）若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $