精品解析：上海市七宝中学2025-2026学年高一下学期4月练习数学试卷

高一第二学期4月数学练习 2026.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 函数y＝|tan x|的周期为________． 2. 已知扇形的圆心角为2弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________． 3. 在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是_______________ 千米． 4. 方程，的解为__________． 5. 设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为______． 6. 若为的重心，则____________． 7. 已知，则的值是_________． 8. 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 9. 已知角，，且，，则_____． 10. 已知函数（）的最小正周期为，若方程在区间上恰有一个解，则的取值范围是__________． 11. 若存在实数，使得对任意，均有，则实数a的最小值为________. 12. 在中，三个内角对边分别为的角平分线交于点，记内切圆半径为，外接圆半径为，则的取值范围为_____． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应将正确答案写在答题纸的相应题号的空格上，13，14题每个选对得4分，15，16题每个选对得5分，否则一律得零分． 13. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，，则（）的最小值为（ ） A. B. C. D. 无最小值 16. 已知函数，有两个不同的零点，，有如下两个命题：①；②，下列说法中正确的是（ ） A. 命题①②都是真命题 B. 命题①是真命题，命题②是假命题 C. 命题①是假命题，命题②是真命题 D. 命题①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知角，的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，、，角的终边与单位圆交点的横坐标为，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，求： （1）的值； （2）的值． 18. 在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． （1）若为的外接圆，求的半径； （2）求锐角周长的取值范围． 19. 随着季节的交替，某城市的太阳高度角（太阳的光线与地平面的夹角）不断变化，冬至正午时太阳高度角最小，约为．如图1，朝南房间窗户高，在窗户上方外墙上安装了一个可调节的遮阳棚，遮阳棚一端与窗户顶端距离，的长度k（单位：m）的调节范围为，角度记为，调节范围为． （1）如图2，冬至正午时，若，，求窗户上的影长（精确到）； （2）冬至正午时，调节的大小及的长度k，试用k和表示总影长，并判断冬至正午时调节遮阳棚能否完全遮住窗户上的阳光． 20. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）分别求在上的严格递增区间、对称中心、最大值，及取得最大值时x的值； （3）把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到曲线，试问当，时，，，能否作为的三边长？若能，请给出证明，若不能，请说明理由． 21. 已知函数，，令函数，常数， （1）若与分别在和处取到最大值，求的最小值； （2）是否存在实数，使得的最大值为2？若存在，求出实数的值及对应x的值，若不存在，请说明理由； （3）若在（，）内恰有2027个零点，求实数与n的所有取值，及对应的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第二学期4月数学练习 2026.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 函数y＝|tan x|的周期为________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据的图象，作出函数y＝|tan x|的图象，即将下方图象翻折到上方，观察图象得到其最小正周期. 【详解】由图可知，函数y＝|tan x|的最小正周期是π. 故答案为： 【点睛】本题考查了求函数的周期，考查了图象变换，数形结合思想，属于基础题. 2. 已知扇形的圆心角为2弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________． 【答案】 16 【解析】 【详解】扇形的圆心角弧度数，弧长． 根据弧长公式，解得扇形半径． 代入扇形面积公式，可得． 3. 在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是_______________ 千米． 【答案】 【解析】 【详解】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x， ∵∠CAB=75°，∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°-75°-60°=45° ∴AD=x ∴在Rt△ABD中，AB•sin60°= x x=" 6" （千米） 答：A、C两点之间的距离为 千米． 故答案为 下由正弦定理求解： ∵∠CAB=75°，∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°-75°-60°=45° 又相距2千米的A、B两点 ∴ ，解得AC= 答：A、C两点之间的距离为 千米． 故答案为 4. 方程，的解为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由，则， 因为，所以，则，则. 5. 设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，结合，不共线，列方程组求解即可. 【详解】由，，三点共线，可得， 又，， 则，又，不共线， 则，解得． 故答案为：． 6. 若为的重心，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解. 【详解】如图所示，延长至交于使得，则由重心性质知为中点，又为中点，故四边形为平行四边形． 所以． 又因为，则 所以． 7. 已知，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角度范围得到，变换，代入数据计算得到答案. 【详解】，故，故， 故答案为：. 8. 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解； 【详解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 9. 已知角，，且，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件结合同角三角函数关系可求出，再利用两角和差的正余弦公式可求出，最后利用两角差的正切公式，即可求得答案. 【详解】角，，，而， 若，则，则与矛盾， 故，则可得； 又，即， 则， 结合，可得， 故， 故. 10. 已知函数（）的最小正周期为，若方程在区间上恰有一个解，则的取值范围是__________． 【答案】  【解析】 【分析】先根据周期公式求出，再将转化为关于的方程，最后结合正弦函数通解及解的个数确定的范围. 【详解】因为的最小正周期为， 所以由周期公式，得，因此：， 又因为方程，即​，， 令，则，所以在区间上恰有一个解， 等价于方程​在区间上恰有1个解，又因为的通解为： 或，又因为恰有1个解落在区间内， 所以仅落在区间内得：， 解得：， 仅落在区间内 ， 解得：. 11. 若存在实数，使得对任意，均有，则实数a的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的周期，分析的最大值，根据的性质，可求得使的最大值最小时的，从而求得实数a的最小值. 【详解】当时，的取值是以12为周期的序列. 在一个周期内的取值组成的集合为. 根据的单调性、对称性及的周期性， 不妨令，则的最大值在或中取得. 可使的最大值取得最小值，需使. 根据正弦函数的对称性，此时两角关于对称，即. 此时，解得，. 12. 在中，三个内角对边分别为的角平分线交于点，记内切圆半径为，外接圆半径为，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式得到，进而得到，，进而得到，令，则， ，再结合函数单调性即可求解. 【详解】 由三角形面积公式可得：， 又， 可得：， 即，又，， 所以，又， 所以，所以，即， 即为直角三角形，所以， 又的面积为， 所以，又， 所以， 所以， 所以， 令，则， 则是方程的两根， 所以， 所以 所以，即，所以， 所以， 则 即 的解析式可知其在单调递增，值域为 所以的取值范围是， 所以的取值范围是. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应将正确答案写在答题纸的相应题号的空格上，13，14题每个选对得4分，15，16题每个选对得5分，否则一律得零分． 13. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】判断由能否推出，再判断能否推出，结合充分条件和必要条件的定义即可判断结论. 【详解】当时，，但，故“”不是“”的充分条件； 当时，，但，故“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 14. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 则. 15. 已知，，则（）的最小值为（ ） A. B. C. D. 无最小值 【答案】A 【解析】 【详解】由，，不妨设， 设，，可得， 则，则， 如图所示，作，则为的最小值， 可知，所以的最小值为. 16. 已知函数，有两个不同的零点，，有如下两个命题：①；②，下列说法中正确的是（ ） A. 命题①②都是真命题 B. 命题①是真命题，命题②是假命题 C. 命题①是假命题，命题②是真命题 D. 命题①②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，画出的函数图象，数形结合确定所在区间，即可判断；对于②，由，推出，根据零点范围可得符号判断. 【详解】即，易知当时，，显然不符题意，故， 因此等价于. 画出且且与的函数图象， 如图可以看出， 故，故①是假命题， 由，推出 ， 因为， 又的最小正周期为，且由图象可知， 故之间的距离大于，即， 故有，则， 而， 又因为，且在为增函数， 故， 则， 又因为， 故，故②是真命题. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知角，的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，、，角的终边与单位圆交点的横坐标为，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，利用同角三角函数关系求出答案； （2）根据条件推得，结合的符号，得到，求出的值，最后进行拆角，利用差角的余弦公式计算即得. 【小问1详解】 由题意，，因，则 ； 【小问2详解】 由，，可得， 又，则， 又因，则， 故， 于是 . 18. 在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． （1）若为的外接圆，求的半径； （2）求锐角周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理对已知条件角化边，再应用余弦定理求角，进而可求解； （2）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【小问1详解】 由正弦定理原式可化为：， 整理得：， 即， 由余弦定理，代入得， 因为是锐角三角形，故， 由正弦定理可得， 所以的半径为； 【小问2详解】 由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． 19. 随着季节的交替，某城市的太阳高度角（太阳的光线与地平面的夹角）不断变化，冬至正午时太阳高度角最小，约为．如图1，朝南房间窗户高，在窗户上方外墙上安装了一个可调节的遮阳棚，遮阳棚一端与窗户顶端距离，的长度k（单位：m）的调节范围为，角度记为，调节范围为． （1）如图2，冬至正午时，若，，求窗户上的影长（精确到）； （2）冬至正午时，调节的大小及的长度k，试用k和表示总影长，并判断冬至正午时调节遮阳棚能否完全遮住窗户上的阳光． 【答案】（1） （2），不能 【解析】 【分析】（1）在中根据已知条件可求出，进而可得结果； （2）过点作于点，解直角三角形可用k和表示总影长，通过已知范围结合正弦函数的性质求出的范围，与比较大小即可. 【小问1详解】 由题意知在题图2中，为直角三角形，且 ， 所以， 所以 . 【小问2详解】 如图，过点作于点， 在中 , ； 在中 , ， 所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 ， 即冬至正午时调节遮阳棚不能完全遮住窗户上的阳光. 20. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）分别求在上的严格递增区间、对称中心、最大值，及取得最大值时x的值； （3）把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到曲线，试问当，时，，，能否作为的三边长？若能，请给出证明，若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）在上的严格递增区间为，对称中心为，时，取得最大值为. （3）能，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角函数图像，判断函数经过的点，列出方程组，求出参数值，进而写出函数解析式； （2）根据换元法，求出三角函数的最值和对称中心，判断函数的性质即可； （3）根据三角形三边长的关系，以及三角恒等变换，通过作差法判断三个函数值的大小关系，进而判断能够组成三角形； 【小问1详解】 可知函数最大值为，所以； 函数经过，所以，即， 因为，解得； 函数经过，所以，化简得， 由五点法可得，解得， 所以. 【小问2详解】 令，故， 取，则；取，则； 取，则，而， 故在上的严格递增区间为， 当时，解得， 当时，，当时，，对称中心为， 当时，， 故当即时，取得最大值为； 【小问3详解】 由向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的3倍， 纵坐标不变，得到曲线， 则， 因为，所以，且， 不妨设，当时，可知， 此时， 化简得 ， 此时，，能作为的三边长， 当时，可知， ， 因为，，所以 ， 即，此时，，能作为的三边长. 21. 已知函数，，令函数，常数， （1）若与分别在和处取到最大值，求的最小值； （2）是否存在实数，使得的最大值为2？若存在，求出实数的值及对应x的值，若不存在，请说明理由； （3）若在（，）内恰有2027个零点，求实数与n的所有取值，及对应的零点． 【答案】（1） （2）存在，当时，或；当时，或 （3），零点为，， 【解析】 【分析】（1）由余弦函数和正弦函数的性质可得最大值点和，进而有的最小值； （2）令，将原函数转化为，根据对称轴与定义域的关系分类讨论最大值即可； （3）令，先得到方程有两个符号相反的根，再分析在内的零点个数，结合总零点数可知中必然有一个为或，再分类讨论是否满足总零点数. 【小问1详解】 在即处取得最大值， 在处取得最大值， 所以， 当或时有最小值； 【小问2详解】 ， 令，则原函数转化为， 该二次函数开口向下，对称轴为， ①若即，在处取得最大值， 由，解得， 当时，在时取得最大值，即， 此时或； 当时，在时取得最大值，即， 此时或； ②若即，在上单调递增，在处取得最大值 由，解得，矛盾； ③若即，在上单调递减，在处取得最大值 由，解得，矛盾； 综上，存在使得的最大值为，当时， 或；当时，或； 【小问3详解】 令，即，其中，， 设该方程两根为，则有，不妨设， 考虑在内的零点个数，设， 当时，在内的零点个数依次为； 当时，在内的零点个数依次为； 当时，在内的零点个数依次为； 当时，在内的零点个数依次为， 可知当或时，在内必有偶数个零点， 因为总零点个数为个即奇数个，所以中必然有一个为或， ①，则，若， 则总零点数为，令，无整数解； 若，则总零点数为， 令，无整数解； ②，则，若， 则总零点数为，令，无整数解； 若，则总零点数为， 令，解得， 此时由得，，区间为， 在内的零点为满足或的值， 即，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $