精品解析：上海市徐汇中学2025-2026学年高一下学期数学5月练习

徐汇中学高一数学练习08 一、填空题（每题4分，共48分） 1. 已知向量与向量平行，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用平面向量平行（共线）的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量与向量平行， 即向量与向量共线， 所以， 故答案为：. 2. 已知α为第二象限角，化简=________ 【答案】-1 【解析】 【分析】直接利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到答案. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了三角函数的化简，变换是解题的关键. 3. 在中，，若，则与的夹角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量减法的运算法则可以判断为等边三角形，以为邻边作平行四边形，可知四边形为菱形，再根据加法的平行四边形法则，与夹角的定义判断即可； 【详解】解：因为，所以，因为，即，所以为等边三角形，以为邻边作平行四边形，易知为菱形，，所以与的夹角为 故答案为： 4. 已知点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的线性运算、数量积的坐标表示结合三角恒等变换即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 即， 所以， 即， 所以. 故答案为：. 5. 已知向量满足，在上的数量投影为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量投影的定义求出，再通过模长平方将问题转化为关于的函数，结合投影的取值范围确定的最小值，进而求得的最小值. 【详解】设向量与的夹角为，由在上的数量投影为，得. 已知，则. ， 由，得. 因，故，当且仅当（即与反向）时，取得最小值. 将代入：， 故，即的最小值为. 6. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可知，设，，当时，取最小值，即.进而得出结论. 【详解】解：由题意可知. 设，.令 当时，取最小值，即. 因对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 则，则，即 故答案为：. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查三角函数化简，结合换元法解决最值，属于中档题. 7. 已知函数和函数的图象交于三点，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知，对于点，由，解得，所以. 【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题. 8. 若平面向量满足，且，则可能的值有______个. 【答案】3 【解析】 【分析】 不妨设，由垂直及模写出其他向量的所有可能，然后求得，再得模， 【详解】不妨设，则由，且， 得或，或，或， ∴的值可能为，，，，，（相同的去除）， 可能的值有，2，0共3个． 故答案为：3． 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的模，解题关键是设，这样题设关系式可以明确化，得出，从而用列举法求得，然后确定模，得出结论．这是一种特殊化思想的应用． 9. 已知函数，将其图象向左平移个单位长度后，得到的图象为偶函数，则的最小值是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式化简的解析式，然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式，最后由奇偶性可得的最小值. 【详解】 ， 将其图象向左平移个单位长度后，得 的图象， 由图象为偶函数图象可得 所以 令，得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，以及三角函数的奇偶性，属于中档题. 10. 已知函数，若函数的所有零点依次记为且，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，令，解得. ∵函数的最小正周期为，， ∴当时，可得第一个对称轴，当时，可得. ∴函数在上有条对称轴 根据正弦函数的图象与性质可知：函数与的交点有9个点，即关于对称，关于对称，…，即，，…，. ∵ ∴ ∴ 故答案为. 点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到与的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错. 11. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．设，当________时才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小． 【答案】## 【解析】 【详解】因为与地面垂直，，所以， 在中，因，则， 由正弦定理，得，得， 在中， ， 由正弦定理，得，得， 又由正弦定理，可得，得 ， 所以 ， 因为，所以， 则当，即时，取得最小值. 12. 已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】以点为起点作向量，，，则，，，由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆，然后结合正弦定理与三角函数求解即可. 【详解】如图： 以点为起点作向量，，， 则，，， 由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆， 由，得，， 在中：，即 所以，所以， 由同弧所对的圆周角相等，可得， 设，则， 在中：， 所以， ， ，， ，， ， 则的取值范围是 故答案为： 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 有关向量和向量，下列四个说法中： ①若，则； ②若，则或； ③若，则； ④若，则. 其中的正确的有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由零向量的定义、向量的模、共线向量的定义，即可得出结果. 【详解】由零向量的定义，可知①④正确； 由向量的模定义，可知②不正确； 由向量共线可知③不正确. 故选：B 14. 在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】取AB的中点D，连接CD，由已知向量等式可得AB与CD垂直，从而得到三角形为等腰三角形. 【详解】若，取AB的中点D，连接CD，则， 即AB与CD垂直且D为AB的中点，所以可得CB=CA，即三角形为等腰三角形. 故选：C 15. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（ ） A. 1.012m B. 1.768m C. 2.043m D. 2.945m 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解. 【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧 的长，其所对圆心角， 则两手之间的距离． 故选：B． 16. 已知函数，若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的解析式，求得，，进而得到，，结合两角差的余弦公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由题意，函数， 令，即，即，所以， 令，即，即，所以， 又因为，， 即，， 所以，， 即，， 平方可得，， 两式相加可得， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦公式，三角函数的基本关系式的应用，以及函数的解析式的应用，其中解答中合理应用三角函数的恒等变换的公式进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 三、解答题（10+10+10+12+14=56分） 17. 已知，，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系将式子化成齐次式，再将弦化切，最后代入计算可得； （2）首先由同角三角函数的基本关系求出，，，由二倍角公式求出、，最后由并利用两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以 ； 【小问2详解】 且， ，则， ， ， ，，且，解得（负值舍去）， ， 又，，， . 18. 已知：、是同一平面内的两个向量，其中． （1）若且与垂直，求与的夹角 ； （2）若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直得数量积为0，即可得，再根据夹角余弦公式求余弦值，即可得夹角大小； （2）利用向量的坐标运算，结合数量积的符号与夹角的关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 解：由得，即 ，所以， 得，又，所以； 【小问2详解】 解：因为，，所以 所以，则， 由得， 由与与的夹角为锐角，所以 19. 在锐角三角形ABC中，三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且． （1）求角C； （2）已知，且的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角求解. （2）利用三角形的面积公式及余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在锐角中，由及正弦定理，得， 而，则，又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由的面积为，得， 解得，由余弦定理得， 则，所以. 20. 设函数，其中向量，． （1）求函数的最小正周期和在上的单调递增区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），增区间为，；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据向量数量积的坐标表示，所以，根据二倍角公式，，则可以根据辅助角公式，根据正弦型函数的周期公式可得，周期，当时，解得： ，由，所以当时，增区间为，；（2）当时，，所以，则，若恒成立，则应满足，解得：． 试题解析：（1）． ∴函数最小正周期， 在上的单调递增区间为、． （2）∵当时，递增， ∴当时，的最大值等于． 当时，的最小值等于． 由题设知 解之得，． 考点：1．三角恒等变换；2．三角函数图象及性质． 21. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中点为原点坐标） （1）设函数，求函数的“相伴向量”的坐标； （2）记的“相伴函数”为，设函数，若方程有四个不同实数根，求实数的取值范围； （3）已知点满足条件：，且向量的“相伴函数”在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，将可化为进而根据题意得答案； （2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围 （3）由可求得时，取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围． 【小问1详解】 ， 所以函数的相伴向量． 【小问2详解】 由题知：， 所以． ①当时，； ②当时，． 所以， 可求得在单调递增，单调递减，单调递增， 单调递减，且， ∵图像与有且仅有四个不同的交点， 所以实数k的取值范围为. 【小问3详解】 的“相伴函数”，其中，，． 当，即，时取得最大值． 所以， 令，则，， 因为在上单调递增， 所以时，即 所以． 【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是用正弦两角差和余弦两角和公式展开，合并同类项即可，再结合新定义即可得解；第（2）问的关键是将方程实数根个数问题转化为图象交点个数问题；第（3）问的关键是得出，就可以用表示，然后即可求出范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐汇中学高一数学练习08 一、填空题（每题4分，共48分） 1. 已知向量与向量平行，则的值为______. 2. 已知α为第二象限角，化简=________ 3. 在中，，若，则与的夹角为___________. 4. 已知点，若，则__________. 5. 已知向量满足，在上的数量投影为，则的最小值为________． 6. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________. 7. 已知函数和函数的图象交于三点，则的面积为__________． 8. 若平面向量满足，且，则可能的值有______个. 9. 已知函数，将其图象向左平移个单位长度后，得到的图象为偶函数，则的最小值是_______ 10. 已知函数，若函数的所有零点依次记为且，，若，则__________. 11. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．设，当________时才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小． 12. 已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________. 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 有关向量和向量，下列四个说法中： ①若，则； ②若，则或； ③若，则； ④若，则. 其中的正确的有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 15. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（ ） A. 1.012m B. 1.768m C. 2.043m D. 2.945m 16. 已知函数，若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 三、解答题（10+10+10+12+14=56分） 17. 已知，，且. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知：、是同一平面内的两个向量，其中． （1）若且与垂直，求与的夹角 ； （2）若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 19. 在锐角三角形ABC中，三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且． （1）求角C； （2）已知，且的面积为，求的值． 20. 设函数，其中向量，． （1）求函数的最小正周期和在上的单调递增区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 21. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中点为原点坐标） （1）设函数，求函数的“相伴向量”的坐标； （2）记的“相伴函数”为，设函数，若方程有四个不同实数根，求实数的取值范围； （3）已知点满足条件：，且向量的“相伴函数”在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $