24.2 数据的离散程度（第2课时） 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“数据的离散程度”第2课时，核心讲解方差概念及与数据稳定性的关系。通过先回顾离差、离差平方和，再引出方差定义，结合自动灌装线误差、两地气温等现实问题，搭建从已有知识到新知识的学习支架。 其亮点在于以现实情境实例培养数学眼光，通过方差计算与比较训练数学思维，用数据决策体现数学语言。如灌装线质量分析中，结合误差数据计算方差并判断稳定性，分层练习（必做、选做、综合拓展）助学生巩固，教师可直接用于教学提升效率。

第二十四章 数据的分析 24.2 数据的离散程度 （第2课时） 1．理解方差大小与数据稳定性的关系． 2．会利用方差比较两组数据的波动情况，做出合理决策． 1．什么是离差？ 一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把 xi－（i＝1，2，…，n） 叫作xi关于平均数的离差． 2．什么是离差平方和？ 统计中通常先对离差进行平方，然后求和．我们把 （x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2 叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”． 3．什么是方差？ 把离差的平方的平均数 叫作这组数据的方差，记作“s2”． 4 例1：自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）．甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果如表所示． 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 （1）如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？ （2）哪条灌装线的灌装质量更好？ 分析：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好． 解：（1）甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500mL的误差如表所示． 甲组误差/mL 1 －4 －2 －1 3 －2 5 －2 1 1 乙组误差/mL －4 －7 4 －5 0 6 4 5 －2 －1 从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5mL、7mL，两者都小于10mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的． （2）甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为 ，． 两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量．可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为 ， ． 可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小． 根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好． 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 例2：甲、乙两地同一天的气温记录如表所示． 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 两地的气温有什么差异？ 解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到下图． 从图中可以看出，甲、乙两地 气温在不同的时刻互有高低，但甲 地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地．为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较. 两地气温的平均数分别为 ，． 将两地气温按从小到大排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 两地气温的方差分别为 ， ． ＞可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定． 可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个（甲地是16和21，乙地是15和17）且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性．因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显． 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 3．甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： (1)若设甲、乙两运动员成绩的 方差分别为，，则与的大小关系是__（填“>”“<”或“=”）；(2)求甲运动员成绩的方差；(3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将_______（填“变大”“变小”或“不变”） 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 5．为研究我省某地小米亩产量与海拔高度的关系，某农业研究小组在该地区对除海拔高度外其他条件相同的小米亩产量进行抽样统计，各随机抽取5块试验田，统计亩产量（单位：）并绘制成如下统计图． 该农业研究小组整理了部分统计量如下表： 试验田 平均数 中位数 方差 较高海拔试验田 a 中等海拔试验田 b  请解答下列问题： (1)______，______； (2)请你结合表中的统计量分析这两个海拔高度对小米亩产量的影响． (3)该农业研究小组将亩产量不低于的试验田定为达标田，若该地区规划在中等海拔高度种植小米共亩，估计达标田的面积．  【综合拓展类练习】 利用方差对实际问题作决策 综合平均数、方差解决实际问题 用方差分析数据波动、判断稳定性 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 解：（1）甲公司满意度得分从小到大排列为：6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，则中位数为，乙公司满意度得分从小到大排列为：4，6，7，8，8，8，9，10，10，10，则平均数为，方差为 故答案为：①8，②8，③； （2）选择甲公司更好，理由如下： 因为甲、乙两公司平均数、中位数都相同，但甲公司方差比乙公司小， 所以甲公司更稳定， 因此，选甲公司更好．   【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 5．某学校为了更好地推动人工智能教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，在每个年级中选出15名同学参加比赛，并对他们的成绩（单位：分）进行收集和分析，具体如下． 【收集数据】 七年级： 86，96，90，86，79，84，71，91， 84，90，73，85，83，91，86． 八年级： 75，76，78，78，84，85，86，87， 87，87，88，90，90，91，93． 【综合拓展类作业】 根据表中的信息，解答下列问题． (1)请补全条形统计图． (2)填空：________，________． (3)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请说明理由． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 86 a 41.9 八年级 85 b 87 30.1 【分析数据】 【综合拓展类作业】 解：（1）八年级的有4人，的有2人， 补全统计图如下： 【综合拓展类作业】 （2）七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 15个数据中86出现的次数最多，为3次，所以； 八年级：75，76，78，78，84，85，86，87，87，87，88，90，90，91，93． 已按照从小到大排列，中间第8个数是87，所以； （3）七年级和八年级的平均数相同，都是85分，但众数和中位数相比，八年级要高，并且七年级成绩的方差要大于八年级成绩的方差，所以八年级的成绩要更加稳定， 综上，八年级的学生人工智能技术的总体水平较好. 1．甲、乙两名同学5次数学成绩如图，他们成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 A 2．“完全人格，首在体育”．为增强学生体质，某区举办了中小学体育传统项目竞赛，某校准备从A、B、C、D四个小组中选出一组去参加该项竞赛，下表记录了各组平时体育总成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个总成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是________组． A B C D 平均数 95 98 98 96 方差 1.12 1.21 0.99 1.83 C 解：（1）由折线统计图可知，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定， 又∵设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，∴， 故答案为：<； （2） ， ∴甲运动员成绩的方差为1； （3）乙运动员10次射击训练成绩的方差 ， 如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差为， ∴乙射击成绩的方差将变小．故答案为：变小． 4．求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 A 解：（1）由统计图中数据可得， ， 中等海拔5块试验田亩产量（单位：）从低到高排列为：，，，，， ； （2）中等海拔高度比高海拔更适合种植小米，不仅平均产量更高，而且产量稳定性远优于较高海拔；较高海拔产量波动大，整体水平偏低； （3）由题意可知，达标田数量共有4块，所以估计亩中的达标面积有（亩）， 答：达标田的面积为亩． 1．甲、乙两人在铅球训练中各投掷10次，每次投掷的落地情况如图所示，已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，对于方差，的描述正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 C 2．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 187 182 187 182 方差 根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择___________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 丙 3．某厂家打算从甲乙两家快递公司中 选择一家进行合作．厂家邀请了10位 用户对两家快递公司进行满意度打分， 甲、乙两家公司的得分折线统计图如图： (1)根据以上信息，填空： 公司 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 8 ①_____ 1 乙 ②_____ 8 ③_____ (2)如果你是厂家经理，你认为选哪一家快递公司更好？为什么？ 4．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下： 161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175 该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于．其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________． 170 172 $