精品解析：上海市风华中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

风华中学第二学期高一数学期中考试 （2026.4） 一.填空题（共12题，其中1-6题每题4分，7-12每题5分，共计54分） 1. 复数为纯虚数（i为虚数单位），则__________. 2. 函数的值域为______； 3. 若，则 _____(用表示)； 4. 一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______． 5. 在复数范围内分解因式： ______． 6. 已知，则的值为_______； 7. 函数的最小正周期是，则的值________； 8. 若，是第四象限的角，则__________. 9. 已知点，将OA绕坐标原点顺时针旋转至OB，则B的坐标是______； 10. 已知在中三条边上的高分别为，则该三角形的形状是______. 11. 如图所示，点，分别在轴非负半轴和轴非负半轴上滑动，且，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，是坐标原点，则的最大值是____； 12. 设，且，则在上的数量投影的取值范围是________． 二.选择题（第13，14题每题4分，第15，16题每题5分，共计18分） 13. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 在中，“”是“”成立的（ ）条件. A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 16. 设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的有（ ）个 ① ②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三.解答题（第17，18，19每题14分，第20，21每题18分） 17. 已知，． （1）当k为何值时，与垂直？ （2）当k为何值时，与平行？ 18. 已知复数，复数满足方程，求： （1）复数的值； （2）求（是的共轭复数）的值； 19. 在中，内角所对的边分别为．已知，，，． （1）求和的值； （2）求的值． 20. 已知函数 （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）求函数在上的最值； （3）在中，，若对任意实数恒有，求面积的最大值. 21. 定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为. （1）若，的斜坐标为，的斜坐标为，求的值； （2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角，若存在，求出，若不存在，说明理由； （3）记，在该斜坐标系中，若，求的大小； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 风华中学第二学期高一数学期中考试 （2026.4） 一.填空题（共12题，其中1-6题每题4分，7-12每题5分，共计54分） 1. 复数为纯虚数（i为虚数单位），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据纯虚数得实部为零，虚部不为零，从而可求参数的值. 【详解】因为复数为纯虚数，故即， 故答案为： 2. 函数的值域为______； 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式将原函数转化为正弦函数型，结合正弦函数的有界性求值域. 【详解】因为，由辅助角公式得 ， 因为， ，所以，， 所以的值域为. 3. 若，则 _____(用表示)； 【答案】 【解析】 【详解】. 4. 一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，根据题意，由，求解. 【详解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为， 则．① 由扇形的面积公式，得．② 由①②得，， ∴． ∴扇形的圆心角为． 故答案为： 5. 在复数范围内分解因式： ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数范围内的分解因式方法计算直接得出. 【详解】， ， ， ， ， 故答案为：. 6. 已知，则的值为_______； 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以. 7. 函数的最小正周期是，则的值________； 【答案】 【解析】 【详解】因为，又，则，解得. 8. 若，是第四象限的角，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】已知等式利用诱导公式化简求出的值，根据为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，所求式子利用诱导公式化简后将的值代入计算求出值． 【详解】解：，， 为第四象限角，， 则． 故答案为：. 9. 已知点，将OA绕坐标原点顺时针旋转至OB，则B的坐标是______； 【答案】 【解析】 【详解】设以原点为角的顶点，轴的非负半轴为角的始边，射线为终边的角为， 射线为终边的角为，则 ， 由点，得， 则， 又 ，点 ，所以点的坐标为 . 10. 已知在中三条边上的高分别为，则该三角形的形状是______. 【答案】钝角三角形 【解析】 【详解】不妨设的三边上对应的高的长度分别为， 由，则， 设，， 则， 而，则为钝角，故为钝角三角形. 11. 如图所示，点，分别在轴非负半轴和轴非负半轴上滑动，且，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，是坐标原点，则的最大值是____； 【答案】 【解析】 【分析】如图建立直角坐标系，设，通过几何关系，可得，，进而可得、的坐标，结合数量积的坐标运算及三角函数的运算，可求得的最大值. 【详解】过点作轴于，过点作轴于， 设，，则， 又，， 所以，，，，，， 所以，， 则，， 所以，， 则 ， 又，所以， 根据正弦函数的图象性质，， 所以，即的最大值是. 12. 设，且，则在上的数量投影的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以，以为轴建立平面直角坐标系，求出直线方程，已知条件得在直线上，设，由数量积求得在上的数量投影，利用函数性质分类讨论求得取值范围． 【详解】因为，所以，以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，直线方程为，即， 且，则在直线上， 设， 则在上的数量投影为， 记，， 时，，因为，所以（时取等号）．所以， 时，，，，所以， 综上，． 故答案为：． 二.选择题（第13，14题每题4分，第15，16题每题5分，共计18分） 13. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式化余弦为正弦，开方后去绝对值得答案． 【详解】∵， 则， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简与求值，考查了三角函数的象限符号，属于基础题． 14. 下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后判断之间关系即可. 【详解】对A，函数定义域为，令， 则，为偶函数，故错； 对B，函数定义域为，令， 则，为奇函数，故正确； 对C，函数定义域为，令， 则，为偶函数，故错； 对D，函数定义域为，令， 则，为偶函数，故错； 故选：B 15. 在中，“”是“”成立的（ ）条件. A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换分别判断充分性与必要性是否成立. 【详解】充分性：在中，若，则，， 由正弦定理得，故充分性成立； 必要性：在中，若成立， 由正弦定理可得，即， 在中，，，所以有或； 当时，，不一定有，故必要性不成立. 所以“”是“”成立的充分非必要条件. 16. 设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的有（ ）个 ① ②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【详解】由都是非零向量，，得， 而 ，因此向量共线，且方向相反， 对于①，由，得向量共线，且方向相同，故①不能使其成立； 对于②，由，得向量共线，方向可以相同或相反，故②不一定能使其成立； 对于③，由，得向量共线，且方向相反，故③一定能使其成立； 对于④，由，得向量的夹角为，两向量不共线，故④不能使其成立， 所以一定能使成立的只有③. 三.解答题（第17，18，19每题14分，第20，21每题18分） 17. 已知，． （1）当k为何值时，与垂直？ （2）当k为何值时，与平行？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可得，即可求出k的值；（2）根据平行向量的定义可知需满足即可得出k的值. 【小问1详解】 ，． 若可得， 即，得， 即时，与垂直 【小问2详解】 因为，不平行，由平行向量的定义可知， 需满足时， 即 时，与平行 18. 已知复数，复数满足方程，求： （1）复数的值； （2）求（是的共轭复数）的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 复数，复数满足方程， 则 ，即 ，故， 则 ； 【小问2详解】 由（1）得，则， 故 . 19. 在中，内角所对的边分别为．已知，，，． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）的值为，的值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求，再由正弦定理得，根据，得为锐角，得角；（2）由（1）可计算，从而得，利用两角和的正弦公式代入计算即可. 【小问1详解】 在中，因为，故由，可得． 由已知及余弦定理，有，所以． 由正弦定理，得， 由于，则为锐角，得． 所以，的值为，的值为． 【小问2详解】 由（1）及，得， 所以， ． 故． 20. 已知函数 （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）求函数在上的最值； （3）在中，，若对任意实数恒有，求面积的最大值. 【答案】（1），单调递增区间为 （2）最小值为，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据三角恒等变换公式化简可得，进而结合正弦型函数的周期公式、正弦函数的单调性求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； （3）由可得，再转化问题为对于任意实数恒成立，结合、平面向量的数量积的运算律可得，进而得到，再根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由 ， 则函数的最小正周期为， 令，解得， 则函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，， 则，即， 则函数在上的最小值为，最大值为. 【小问3详解】 由，得， 因为，所以，则，即， 由，得， 两边平方，得， 则对于任意实数恒成立， 所以， 则， 即，则， 而，，则， 即，则， 所以， 当且仅当等号成立，则面积的最大值为. 21. 定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为. （1）若，的斜坐标为，的斜坐标为，求的值； （2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角，若存在，求出，若不存在，说明理由； （3）记，在该斜坐标系中，若，求的大小； 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据斜坐标的定义写出，再利用数量积的运算求出模长； （2）根据斜坐标的定义写出，根据 判断； （3）根据斜坐标的定义写出，利用数量积的运算即可得出，根据即可求出. 【小问1详解】 由题意得，，， 则， 则； 【小问2详解】 由题意得，，， 因为， 所以 ， 则，因为为锐角，所以不存在； 【小问3详解】 因为， 所以， 则 ， 因为，所以， 因为，所以，则，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $