专题05轴对称与旋转期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题05轴对称与旋转期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解轴对称、轴对称图形、对称轴、对应点，分清 “两个图轴对称” 和 “一个轴对称图形”。 2.掌握轴对称性质：对应点连线被对称轴垂直平分，对应边、对应角相等。 3.理解旋转、旋转中心、旋转方向、旋转角，掌握旋转三要素。 4.掌握旋转性质：对应点到中心距离相等，对应边、对应角相等，形状大小不变。 5.认识中心对称、中心对称图形、对称中心，能区分轴对称与中心对称。 6.熟记常见对称图形：等腰三角形、矩形、正方形、圆等。 1.能识别轴对称、中心对称图形，快速找出对称轴、对称中心、对应点。 2.会画：轴对称图形、旋转图形、中心对称图形，作图规范、痕迹清楚。 3.能用轴对称、旋转性质求线段长、求角度、找等量关系。 4.能把生活问题转化为对称模型，解决最短路径、图形变换等简单综合题。 1.基础题：概念判断、性质填空、图形对称性选择，不丢分。 2.中档题：轴对称 / 旋转作图、简单角度线段计算，步骤规范、稳满分。 3.综合题：轴对称 + 旋转综合、对称探究题，能分析、会找等量、突破难点。 4.易错点：不混淆 “轴对称 vs 轴对称图形、轴对称 vs 中心对称”，避坑不丢分。 题型01.轴对称图形的识别 题型02.成轴对称的两个图形的识别 题型03.画对称轴 题型04.求对称轴条数 题型05.由成轴对称图形特征进行判断 题型06.由成轴对称图形特征进行求解 题型07.画轴对称图形 题型08.设计轴对称图案 题型09.折叠问题 题型10.台球桌面上的轴对称问题 题型11.轴对称中的光线反射问题 题型12.判断生活中的旋转现象 题型13.找旋转中心.旋转角.对应点 题型14.由旋转性质求解 题型15.由旋转性质说明线段或角相等 题型16.旋转的性质及变形 题型17.画旋转图形 题型18.判断图形旋转而成的图案 知识点01:轴对称：图形的 “镜像魔法” 1. 轴对称图形（一个图形自带对称美） 定义：一个图形沿一条直线对折，两边严丝合缝、完全重合，就是轴对称图形。 对称轴：对折的那条直线（注意：是直线，不是线段！） 一句话记：一个图，对折合，直线对称轴。 2.对应点.对应线段.对应角的概念 图示 3. 两个图形成轴对称（两个图形 “照镜子”） 定义：两个图形沿一条直线对折后完全重合，叫这两个图成轴对称。 关键点：两个图形、位置对称、对应点重合。 一句话记：两个图，线分开，对折重合是对称。 4.两个图形成轴对称与轴对称图形的区别与联系 知识点02:轴对称性质与作图 核心性质 (1)对应线段相等，对应角相等。 (2)对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 (3)对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。 1.AB=A′B′,BC=B′C′，AC=A′C′；∠A=∠A′,∠B=∠B′，∠C=∠C′ 2.直线 MN 垂直平分 AA′、BB′、CC′ 3.若对应线段（或其延长线）相交，则交点在直线 MN 上 作图要点 (1)作对应点：过已知点作对称轴的垂线，并延长至等距，得到对应点。 (2)连接对应点，得到轴对称图形。 (3)作对称轴：作对应点所连线段的垂直平分线。 1.连接对应点 A、A′； 2.作线段 AA′ 的垂直平分线 MN，则直线 MN 即为所求的对称轴 知识点03.旋转 1.核心概念 在平面内，将图形绕旋转中心按旋转方向（顺时针 / 逆时针）转动旋转角的变换，叫旋转。 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 2. 旋转性质（4 条必背） (1)对应点到旋转中心距离相等； (2)对应点与中心连线夹角 = 旋转角； (3)对应边相等、对应角相等； (4)变换前后图形全等（形状、大小不变）。 知识点04:旋转作图 将 △ABC 绕点 M 顺时针旋转 120 后，得到 △ DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为 120。 （2）找：寻找构成图形的关键点 A,B, C,连接关键点A和旋转中心M，即线段 AM。 （3）转：以旋转中心 M 为顶点，过关键点 A 的射线 MA 为一边，按顺时针方向作一个120的角。 （4）截：在角的另一边上取一点 D，使MD=MA，得到点 A 的对应点 D；以此作法，可得点 B 的对应点E，点 C 的对应点F。 （5）连：按原图顺序连接D, E, F，得到△ DEF，如图所示。 知识点05:轴对称 vs 旋转（核心对比表） 变换 通俗理解 动作方式 关键要素 图形特点 轴对称 照镜子、翻折 沿直线对折 对称轴（直线） 左右对称、翻转全等 旋转 绕点转圈 绕定点转动 中心、方向、角度 绕点转动、旋转全等 题型01.轴对称图形的识别 1．校徽，不仅仅是一个简单的图案，它承载的是学校的文化、精神以及历史的传承．下列校徽上的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，符合题意． 2．窗花以精巧的构图与细腻的工艺，展现独特的东方美学与浓郁的传统韵味．在常见的窗花图案中，有的窗花是轴对称图形．下面4个窗花图案中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得： A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 3．如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2026个图案________轴对称图形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查了图形的变化规律以及轴对称图形，注意由特殊到一般的分析方法． 先作出前四个图形的对称轴，类推即可得出结论． 【详解】前4个图案的对称轴如图所示． 按此规律，摆放成的图案都是轴对称图形． 故第个图案是轴对称图形． 故答案为：是. 题型02.成轴对称的两个图形的识别 4．下列选项中左右两图成轴对称的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的概念，进行判断即可。 【详解】解：由图可知只有C选项的两个图形能找到一条直线使两个图形沿直线折叠后能够完全重合． 故选：C． 【点睛】本题考查两个图形成轴对称，解题的关键是能够找到一条直线，使两个图形沿直线折叠后，能够完全重合。 5．如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，画图如下： 有，，，共3个三角形， 故答案为：3． 6．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 题型03.画对称轴 7．如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形对称轴的画法即可得到结果． 【详解】解：∵该图形是轴对称图形，可画出条对称轴， 故选． 【点睛】本题考查的轴对称图形对称轴的画法，根据图形画出对称轴是解题的关键． 8．下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴． 故轴对称图形有4个． 故答案为：4． 9．下列图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（    ） A．菱形 B．正三角形 C．正方形 D．正五边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质以及以及菱形、三角形、等腰梯形和正五边形的性质等知识．轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，而这条直线就是这个图形的对称轴． 根据轴对称图形的特点以及菱形、三角形、等腰梯形和正五边形的性质逐项判断即可． 【详解】A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误； B、正三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确； C、正方形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故C选项错误； D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一个等腰三角形与一个等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故D选项错误． 故选：B． 10．在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质画出及对称轴，即可求解． 【详解】解：如图所示 题型04.求对称轴条数 11．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有______条． 【答案】4 【分析】结合题意，根据轴对称的性质分析，即可得到答案． 【详解】如图，此图形的对称轴有4条 故答案为：4． 【点睛】本题考查了轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，从而完成求解． 12．如图，2022年北京冬奥会开幕式的“雪花”引导牌，体现了雪花图案与中国结纹样的巧妙结合，每一朵“雪花”都是轴对称图形，它的对称轴一共有（    ） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 【答案】A 【分析】可以把雪花图案看作一个正六边形，利用正六边形的对称性求解即可. 【详解】本题“雪花”图案可以看作是一个正六边形，通过顶点的对称轴有3条，通过对边中点的对称轴有3条，共有6条， 故选A. 【点睛】本题考查轴对称图形的对称轴判定，抓住图形的特征，把它抽象为正六边形是解题的关键. 13．正五边形的对称轴共有（      ） A．2条 B．4条 C．5条 D．无数条 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质判断即可． 【详解】解：如图： 一个正五边形的对称轴共有5条． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正五边形过每个顶点垂直对边的直线都是正五边形的对称轴． 题型05.由成轴对称图形特征进行判断 14．轴对称图形的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________． （2）类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_______________． 【答案】 垂直平分线 垂直平分线 【解析】略 15．下列说法中，正确的是（   ）． A．长方形有且只有一条对称轴 B．垂直于线段的直线就是线段的对称轴 C．平行四边形的对称轴是对角线 D．平面内两条相交直线是轴对称图形 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的定义和性质，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键，根据轴对称图形的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】A、长方形有两条对称轴，此项错误； B、过线段的中点，且垂直于线段的直线才是线段的对称轴，此项错误； C、平行四边形不是轴对称图形，所以没有对称轴，此项错误； D、平面内两条相交直线是轴对称图形，此项正确． 故选：D． 16．如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质求解即可得． 【详解】解：由题折叠的性质得：，，， ∴，， 所以观察四个选项可知，说法错误的是选项C， 故选：C． 题型06.由成轴对称图形特征进行求解 17．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出和关于直线对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：和关于所在的直线成轴对称， 是的对称轴， ， 点，是边上的两点， 和关于直线对称， ， 由图可知，阴影部分的面积． 18．如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：由点，分别是点P关于，的对称点，可知：， ∴的周长为． 19．如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直接利用轴对称的性质得出，，，再用周长公式计算即可得出答案，熟练掌握轴对称的性质并能正确得出对应线段是解决此题的关键． 【详解】解：和关于直线l对称，直线l与相交于点O， ，，． ，，， ，，． 五边形的周长为：． 故选：． 20．已知在中，． (1)如图1，点P在内，且是点P分别关于，的对称点，连接，则________． (2)如图2，在（1）的基础上，若是点P关于的对称点，求的度数． (3)如图3，若点P在的外部（靠近边），点P关于直线，，的对称点分别为，分别连接，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质． （1）由轴对称的性质可知，进而可得的度数； （2）由轴对称的性质可知，则，，求出，即可求出的度数； （3）同（2）得，，根据角的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵是点P分别关于，的对称点， ∴， ∵ ∴ 故答案为： （2）解：因为分别为点P关于AB，BC的对称点， 所以由轴对称可知， 所以． 同理可得． 因为， 所以， 所以； （3）解：同（2）可得，， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 题型07.画轴对称图形 21．如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的，在图中可画出_____个以格点为顶点的三角形与成轴对称．    【答案】5 【分析】解答此题首先找到对称轴，等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键． 【详解】解：与成轴对称且以格点为顶点三角形有、共5个，     如图：    故答案为：5． 22．在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【详解】解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 故选：B． 23．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)将平移，使点移动到点，平移后得到，点、分别是点A、B的对应点．画出平移后的图形，则线段扫过的图形的面积为______； (2)画出关于直线对称的三角形，点D、E、F分别是点A、B、C的对应点． 【答案】(1)图见解析，9 (2)见解析 【分析】（1）根据平移变换的性质分别作出A、B的对应点、，再顺次连接即可得平移后的；根据线段扫过的图形的面积为平行四边形的面积计算即可； （2）根据对称的性质分别作出点A、B、C关于直线对称的点D、E、F，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，平移后得到，即为所求； 线段扫过的图形的面积为平行四边形的面积：； （2）解：如图，即为所求． ． 题型08.设计轴对称图案 24．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的设计，根据轴对称图形的定义设计求解即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：如图所示，一共有如下两种添加方法， 故选：C． 25．如图，每个小三角形都是等边三角形，再将个小三角形涂黑，使个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有________种． 【答案】 【详解】解：如图所示： 满足题意的涂色方式有种． 26．如图，在正方形网格中，有大小各异的三角形．    (1)请写出图①、图②、图③中的图案都具有的一个特征：______； (2)已知图③中有两个小三角形被涂黑，请你再将其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个新轴对称图形（作出两种不同的）； (3)开动你的想象力，将图④中的三角形涂黑4个，设计出你喜欢的图案，使整个被涂黑的图案依旧构成一个轴对称图形． 【答案】(1)3个图案都为轴对称图形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查轴对称的知识，熟练根据轴对称设计图案是解题的关键． （1）根据图案判断即可； （2）涂黑两个处在关于原对称轴对称位置上的两个三角形即可（答案不唯一）． （3）同理（2）涂出自己喜欢的图案即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：由图知，图①、图②、图③中图案都是轴对称图形， 故答案为：都是轴对称图形； （2）解：根据题意作图如下：（答案不唯一）    （3）解：根据题意作图如下：（答案不唯一）    题型09.折叠问题 27．综合与实践课上，嘉淇将一张长方形纸片沿折叠得到如图所示的图形．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质及平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠知， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 【答案】31 【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，设，则，根据平角的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 29．如图，将沿着过中点D的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第1次操作，到折痕的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第2次操作，到折痕的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2021次操作后，到折痕的距离记为，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，根据折叠前后对应点到对称轴的距离相等，可得，，……，以此类推，找出规律，即可求解． 【详解】解：由折叠知，，，，…… 以此类推，， ， 故选：A． 30．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)90 (2)选择图（2）：；选择图（3） (3)或 【分析】（1）根据折叠可得：，，再根据，即可得出答案； （2）设，，根据图形中角度关系求出，根据求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠可得：，， ∵， ∴； （2）解：选图（2），由折叠可知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ ； 选图（3），由折叠可知，， 设，， ∵， ∴， 即， ∴ ； （3）解：如图，当在下方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 如图，当在上方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 综上，或． 题型10.台球桌面上的轴对称问题 31．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】利用轴对称画图可得答案. 【详解】解：如图所示， 球最后落入的球袋是2号袋， 故选：B. 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形. 32．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 33．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质画出小球从起始点处出发的路径，即可求解； （2）根据轴对称的性质，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【详解】（1）解：如图，所以小球会击中的点是， 故答案为： （2）解：如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【点睛】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 题型11.轴对称中的光线反射问题 34．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 【详解】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 35．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 36．【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)当平面镜水平放置时，光线 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，轴对称的性质； （1）根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即可求解； （2）①过点作，分别表示出，得出，进而根据平行线的性质，即可求解； ②根据①的结论，即可求解． （3）根据题意可得，根据得出，由，，得出，即可判断，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：①如图所示，过点作， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ②由①可得 （3）解：如图所示， 依题意， ∵， 又∵ ∴ ∴ ∴，即当平面镜水平放置时，光线 题型12.判断生活中的旋转现象 37．有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据平移和旋转的定义对各运动进行分析，即可找出其中的旋转运动． 【详解】解：③④⑤⑥属于旋转，共有4个． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键． 38．中国诗句韵味十足“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”“飞流直下三千尺”，如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是________． 【答案】旋转和平移 【分析】本题考查生活中的平移和旋转，根据旋转和平移的定义，进行判断即可． 【详解】解：“坐地日行八万里只考虑地球自转”蕴含的是图形的旋转， “飞流直下三千尺”蕴含的是图形的平移， 故答案为：旋转和平移． 39．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①② 【答案】B 【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可． 【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意 ； 图（1）先绕着点旋转，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意 ； 图（1）绕着的中点旋转即可得到图（2），故④符合题意 ； 图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键． 题型13.找旋转中心.旋转角.对应点. 40．如图，在小正方形组成的网格中，图②是由图①经过旋转变换得到的，其旋转中心是点______（填“”或“”或“”）． 【答案】 【详解】解：根据两组对应点连线的垂直平分线的交点是旋转中心，可知图②经过旋转变换得到图①的旋转中心是． 41．如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键． 根据旋转的性质及题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转可得右边的阴影部分，此时； 当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转，将得到的四边形绕点C逆时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 故选：D． 42．如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平移或旋转的定义，熟练掌握平移或旋转的定义是解题的关键．根据平移或旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：如图，选项A，C，D中的三角形可以利用平移或旋转的方法得到．选项B中的三角形不能利用平移或旋转的方法得到． 故选：B． 43．已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点，，分别对应点． (1)在图中画出； (2)是以点______①______（填“”，“”或“”）为旋转中心，将②______时针旋转③______度得到的． 【答案】(1)见解析 (2)，顺， 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质，找旋转中心； （1）连接对应点找到旋转中心，进而画出点，顺次连接即可求解． （2）利用旋转变换的性质判断即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）是以点为旋转中心，将顺时针旋转度得到的． 故答案为：，顺，． 题型14.由旋转性质求解 44．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求的面积． 【答案】2 【分析】利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可． 【详解】解：在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 45．如图，将绕点A顺时针旋转（）后得到． (1)如图1，当的对应边恰好落在边上时，若，，求的长； (2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，得到，，结合解答即可； （2）设，根据，求解即可． 【详解】（1）解：根据旋转的性质，得到，， 故； （2）解：设， ， ， 解得， ， ， 故旋转角； 46．【实践操作】小明同学以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线和，作线段关于直线对称的线段，再作关于直线对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、． 【问题探究】如图①，当直线与直线平行时 (1)可看作是沿着______方向平移而成的图形，平移的距离等于线段______的长度； (2)试说明：； 【类比探究】如图②，当直线与直线相交于点时 (3)可看作是绕着点______旋转而成的，与的数量关系为______； (4)当直线与直线垂直时，与关于______对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)， (4)点成中心 (5)画图见解析 【分析】（1）根据平移和轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质即可得证； （3）根据旋转和轴对称的性质求解即可； （4）画出符合题意的图形，然后根据中心对称的定义判断即可； （5）以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线,据此即可作出． 【详解】（1）解：当直线与直线平行时：可看作是沿着方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度； （2）解：根据题意得，，， ∴； （3）解：当直线与直线相交于点时： 可看作是绕着点旋转而成的， ，， ∴， ∴与的数量关系为； （4）解：当直线与直线垂直时， 与的对称关系是关于点O成中心对称； （5）解：如图：以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线． ． 题型15.由旋转性质说明线段或角相等 47．如图，将绕点O按逆时针旋转得到，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质． 【答案】①；②，，；③ 【分析】本题主要考查了作图旋转变换以及扇形面积的计算的知识，解答本题的关键是找出旋转中心，正确地画出旋转图形是求线段扫过面积的基础，此题难度不大．利用旋转变换的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转不改变图形的形状及大小得：①； 根据旋转不改变线段的长短得：②，，； 根据旋转角相等可得：③． 48．如图，绕点按逆时针方向旋转后到达的位置，设与、分别交于点、．    (1)若的周长为，，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质分析求解； （2）根据旋转的性质及对顶角相等分析求解． 【详解】（1）解：由旋转性质可得，， 又∵的周长为， ∴的长为； （2）解：由旋转性质可得， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，理解旋转前后图形的对应边相等，对应角相等是解题关键． 49．如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转． (1)当时，求的度数； (2)若． ①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值； ②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数； （2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明运动至外部．由，，可以得到，又因为平分，则，从而求出，再求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：依题意，当时，射线运动的度数为， ∵， ∴此时与重合， 射线运动的度数为， 即， ∴当时，． （2）①若时，分下面三种情形讨论： （i）如图1， 当时，， ∴，符合． （ii）如图2， 当时，， ∴，符合． （iii）如图3， 当时，， ∴，不在范围内，舍去． 综上所得或． ②如图4， ∵， ∴，， ∴最大度数为，最大度数为． ∵， ∴当时，， ∴，即， ∴运动至外部． 此时，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算、图形的旋转、角之间计算、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是找到等量关系列方程． 题型16.旋转的性质及变形 50．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点____ ，逆时针方向旋转了____度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【详解】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 51．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【答案】B 【分析】本题考查旋转和轴对称，理解旋转和轴对称的概念是解题的关键． 2次旋转就可以与原图重合，2次轴对称就可以与原图重合，据此判定即可． 【详解】图①每次旋转，2次旋转后可以得到图②，变换方式①可行； 图①沿竖直方向的直线，2次轴对称可以得到图②，变换方式②可行； 故选：B． 52．如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)旋转中心是，旋转角是 (2) (3) 【分析】（1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断； （3）根据得出的面积，可得四边形的面积就是正方形的面积与的面积的差． 【详解】（1）解：旋转中心是，旋转角是； （2）延长交于点．    由旋转可知：， ，． 又，， ， ． （3）， 的面积是， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 题型17.画旋转图形 53．如图，将长方形向______平移______格，再绕______，______时针旋转______，就可以将其移至方框所示的位置． 【答案】 右 5 顺 90 【分析】根据所给图示可知，长方形向右平移5格得到长方形，再将长方形绕顺时针旋转即可． 【详解】解：根据图示可知，将长方形向右平移5格，再绕，顺时针旋转，就可以将其移至方框所示的位置． 故答案为：右，5，，顺，90． 【点睛】本题考查图形的平移和旋转，解题的关键是看懂所给图示，掌握平移和旋转的特点． 54．如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了画旋转图形．根据旋转的性质作出图形即可． 【详解】解：点落在点， 故选：A． 55．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，平移（三角形的顶点是网格线交点），使得点A移到点D的位置，得到，点E、F分别是点B、C的对应点．再将绕点D顺时针旋转得到，点G、H分别是点E、F的对应点． (1)在网格中画出； (2)在网格中画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移前后图象不变作图即可； （2）根据要求作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 题型18.判断图形旋转而成的图案 56．如图，平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到过程___________．    【答案】将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度（答案不唯一） 【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由得到的过程． 【详解】解：将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度得到， 故答案为：将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度． 57．下列图形中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转． 【详解】 解：是通过轴对称得到的，不是通过旋转得到的． 故选：C． 58．观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【答案】C 【分析】根据平移、旋转、轴对称的特点即可解答． 【详解】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移、旋转、轴对称的特点，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05轴对称与旋转期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解轴对称、轴对称图形、对称轴、对应点，分清 “两个图轴对称” 和 “一个轴对称图形”。 2.掌握轴对称性质：对应点连线被对称轴垂直平分，对应边、对应角相等。 3.理解旋转、旋转中心、旋转方向、旋转角，掌握旋转三要素。 4.掌握旋转性质：对应点到中心距离相等，对应边、对应角相等，形状大小不变。 5.认识中心对称、中心对称图形、对称中心，能区分轴对称与中心对称。 6.熟记常见对称图形：等腰三角形、矩形、正方形、圆等。 1.能识别轴对称、中心对称图形，快速找出对称轴、对称中心、对应点。 2.会画：轴对称图形、旋转图形、中心对称图形，作图规范、痕迹清楚。 3.能用轴对称、旋转性质求线段长、求角度、找等量关系。 4.能把生活问题转化为对称模型，解决最短路径、图形变换等简单综合题。 1.基础题：概念判断、性质填空、图形对称性选择，不丢分。 2.中档题：轴对称 / 旋转作图、简单角度线段计算，步骤规范、稳满分。 3.综合题：轴对称 + 旋转综合、对称探究题，能分析、会找等量、突破难点。 4.易错点：不混淆 “轴对称 vs 轴对称图形、轴对称 vs 中心对称”，避坑不丢分。 题型01.轴对称图形的识别 题型02.成轴对称的两个图形的识别 题型03.画对称轴 题型04.求对称轴条数 题型05.由成轴对称图形特征进行判断 题型06.由成轴对称图形特征进行求解 题型07.画轴对称图形 题型08.设计轴对称图案 题型09.折叠问题 题型10.台球桌面上的轴对称问题 题型11.轴对称中的光线反射问题 题型12.判断生活中的旋转现象 题型13.找旋转中心.旋转角.对应点 题型14.由旋转性质求解 题型15.由旋转性质说明线段或角相等 题型16.旋转的性质及变形 题型17.画旋转图形 题型18.判断图形旋转而成的图案 知识点01:轴对称：图形的 “镜像魔法” 1. 轴对称图形（一个图形自带对称美） 定义：一个图形沿一条直线对折，两边严丝合缝、完全重合，就是轴对称图形。 对称轴：对折的那条直线（注意：是直线，不是线段！） 一句话记：一个图，对折合，直线对称轴。 2.对应点.对应线段.对应角的概念 图示 3. 两个图形成轴对称（两个图形 “照镜子”） 定义：两个图形沿一条直线对折后完全重合，叫这两个图成轴对称。 关键点：两个图形、位置对称、对应点重合。 一句话记：两个图，线分开，对折重合是对称。 4.两个图形成轴对称与轴对称图形的区别与联系 知识点02:轴对称性质与作图 核心性质 (1)对应线段相等，对应角相等。 (2)对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 (3)对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。 1.AB=A′B′,BC=B′C′，AC=A′C′；∠A=∠A′,∠B=∠B′，∠C=∠C′ 2.直线 MN 垂直平分 AA′、BB′、CC′ 3.若对应线段（或其延长线）相交，则交点在直线 MN 上 作图要点 (1)作对应点：过已知点作对称轴的垂线，并延长至等距，得到对应点。 (2)连接对应点，得到轴对称图形。 (3)作对称轴：作对应点所连线段的垂直平分线。 1.连接对应点 A、A′； 2.作线段 AA′ 的垂直平分线 MN，则直线 MN 即为所求的对称轴 知识点03.旋转 1.核心概念 在平面内，将图形绕旋转中心按旋转方向（顺时针 / 逆时针）转动旋转角的变换，叫旋转。 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 2. 旋转性质（4 条必背） (1)对应点到旋转中心距离相等； (2)对应点与中心连线夹角 = 旋转角； (3)对应边相等、对应角相等； (4)变换前后图形全等（形状、大小不变）。 知识点04:旋转作图 将 △ABC 绕点 M 顺时针旋转 120 后，得到 △ DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为 120。 （2）找：寻找构成图形的关键点 A,B, C,连接关键点A和旋转中心M，即线段 AM。 （3）转：以旋转中心 M 为顶点，过关键点 A 的射线 MA 为一边，按顺时针方向作一个120的角。 （4）截：在角的另一边上取一点 D，使MD=MA，得到点 A 的对应点 D；以此作法，可得点 B 的对应点E，点 C 的对应点F。 （5）连：按原图顺序连接D, E, F，得到△ DEF，如图所示。 知识点05:轴对称 vs 旋转（核心对比表） 变换 通俗理解 动作方式 关键要素 图形特点 轴对称 照镜子、翻折 沿直线对折 对称轴（直线） 左右对称、翻转全等 旋转 绕点转圈 绕定点转动 中心、方向、角度 绕点转动、旋转全等 题型01.轴对称图形的识别 1．校徽，不仅仅是一个简单的图案，它承载的是学校的文化、精神以及历史的传承．下列校徽上的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．窗花以精巧的构图与细腻的工艺，展现独特的东方美学与浓郁的传统韵味．在常见的窗花图案中，有的窗花是轴对称图形．下面4个窗花图案中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2026个图案________轴对称图形（填“是”或“不是”）． 题型02.成轴对称的两个图形的识别 4．下列选项中左右两图成轴对称的为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出__________个． 6．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 题型03.画对称轴 7．如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（    ） A． B． C． D． 8．下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 9．下列图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（    ） A．菱形 B．正三角形 C．正方形 D．正五边形 10．在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 题型04.求对称轴条数 11．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有______条． 12．如图，2022年北京冬奥会开幕式的“雪花”引导牌，体现了雪花图案与中国结纹样的巧妙结合，每一朵“雪花”都是轴对称图形，它的对称轴一共有（    ） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 13．正五边形的对称轴共有（      ） A．2条 B．4条 C．5条 D．无数条 题型05.由成轴对称图形特征进行判断 14．轴对称图形的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________． （2）类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_______________． 15．下列说法中，正确的是（   ）． A．长方形有且只有一条对称轴 B．垂直于线段的直线就是线段的对称轴 C．平行四边形的对称轴是对角线 D．平面内两条相交直线是轴对称图形 16．如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 题型06.由成轴对称图形特征进行求解 17．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 18．如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 19．如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（ ） A． B． C． D． 20．已知在中，． (1)如图1，点P在内，且是点P分别关于，的对称点，连接，则________． (2)如图2，在（1）的基础上，若是点P关于的对称点，求的度数． (3)如图3，若点P在的外部（靠近边），点P关于直线，，的对称点分别为，分别连接，若，求的度数． 题型07.画轴对称图形 21．如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的，在图中可画出_____个以格点为顶点的三角形与成轴对称．    22．在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 23．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)将平移，使点移动到点，平移后得到，点、分别是点A、B的对应点．画出平移后的图形，则线段扫过的图形的面积为______； (2)画出关于直线对称的三角形，点D、E、F分别是点A、B、C的对应点． 题型08.设计轴对称图案 24．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 25．如图，每个小三角形都是等边三角形，再将个小三角形涂黑，使个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有________种． 26．如图，在正方形网格中，有大小各异的三角形．    (1)请写出图①、图②、图③中的图案都具有的一个特征：______； (2)已知图③中有两个小三角形被涂黑，请你再将其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个新轴对称图形（作出两种不同的）； (3)开动你的想象力，将图④中的三角形涂黑4个，设计出你喜欢的图案，使整个被涂黑的图案依旧构成一个轴对称图形． 题型09.折叠问题 27．综合与实践课上，嘉淇将一张长方形纸片沿折叠得到如图所示的图形．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 28．折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 29．如图，将沿着过中点D的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第1次操作，到折痕的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第2次操作，到折痕的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2021次操作后，到折痕的距离记为，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 30．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 题型10.台球桌面上的轴对称问题 31．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 32．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 33．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 题型11.轴对称中的光线反射问题 34．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 35．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 题型12.判断生活中的旋转现象 37．有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 38．中国诗句韵味十足“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”“飞流直下三千尺”，如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是________． 39．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①② 题型13.找旋转中心.旋转角.对应点. 40．如图，在小正方形组成的网格中，图②是由图①经过旋转变换得到的，其旋转中心是点______（填“”或“”或“”）． 41．如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 42．如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 43．已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点，，分别对应点． (1)在图中画出； (2)是以点______①______（填“”，“”或“”）为旋转中心，将②______时针旋转③______度得到的． 题型14.由旋转性质求解 44．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求的面积． 45．如图，将绕点A顺时针旋转（）后得到． (1)如图1，当的对应边恰好落在边上时，若，，求的长； (2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 46．【实践操作】小明同学以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线和，作线段关于直线对称的线段，再作关于直线对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、． 【问题探究】如图①，当直线与直线平行时 (1)可看作是沿着______方向平移而成的图形，平移的距离等于线段______的长度； (2)试说明：； 【类比探究】如图②，当直线与直线相交于点时 (3)可看作是绕着点______旋转而成的，与的数量关系为______； (4)当直线与直线垂直时，与关于______对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）． 题型15.由旋转性质说明线段或角相等 47．如图，将绕点O按逆时针旋转得到，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质． 48．如图，绕点按逆时针方向旋转后到达的位置，设与、分别交于点、．    (1)若的周长为，，，求的长； (2)若，，求的大小． 49．如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转． (1)当时，求的度数； (2)若． ①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值； ②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值． 题型16.旋转的性质及变形 50．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点____ ，逆时针方向旋转了____度. 51．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 52．如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 题型17.画旋转图形 53．如图，将长方形向______平移______格，再绕______，______时针旋转______，就可以将其移至方框所示的位置． 54．如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 55．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，平移（三角形的顶点是网格线交点），使得点A移到点D的位置，得到，点E、F分别是点B、C的对应点．再将绕点D顺时针旋转得到，点G、H分别是点E、F的对应点． (1)在网格中画出； (2)在网格中画出． 题型18.判断图形旋转而成的图案 56．如图，平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到过程___________．    57．下列图形中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 58．观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $