专题02实数期末复习讲义(25大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题02实数期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握三者定义、符号表示与取值特点，区分概念差异。 2.熟记平方根、算术平方根、立方根的性质，熟练进行开平方、开立方运算。 3.了解无理数的定义，能辨别有理数与无理数，掌握实数的分类标准。 4.明确实数与数轴上的点一一对应，掌握实数的相反数、绝对值、倒数的求法。 5.掌握实数的运算法则、运算律及运算顺序，了解实数范围内近似计算的方法。 1.能准确求解非负数的平方根、算术平方根与立方根，提升根式运算能力。 2.会对实数进行分类，结合数轴分析实数大小、化简含绝对值的实数式子。 3.能比较实数的大小，熟练完成实数的四则运算、混合运算。 4.运用算术平方根的非负性解决求值、推理类问题。 1.基础题：概念辨析、简单开方、实数分类、求相反数与绝对值，做到零失误。 2.中档题：熟练进行实数计算、实数大小比较、利用非负性解题，规范书写步骤。 3.综合题：攻克根式结合数轴、化简求值、估算无理数范围等题型。 4.规避易错点：区分平方根与算术平方根、正确处理符号、辨别无理数，减少概念性失分。 题型01.求一个数的平方根 题型02.求一个数的算术平方根 题型03.利用算术平方根的非负性解题 题型04.估计算术平方根的取值范围 题型05.与算术平方根有关的规律探索题 题型06.无理数与无理数大小估算 题型07.求一个数的近似数 题型08.求近似数的精确度 题型09.已知一个数的平方根,求这个数 题型10.利用平方根解方程 题型11.算术平方根的实际应用 题型12.求一个数的立方根 题型13.已知一个数的立方根.求这个数 题型14.与立方根有关的规律探索题 题型15.立方根的实际应用 题型16.算术平方根和立方根的综合应用 题型17.实数的概念与分类 题型18.实数与数轴 题型19.实数的混合运算 题型20.程序设计与实数运算 题型21.实数的大小比较 题型22.新定义下的实数运算 题型23.实数运算的实际应用 题型24.与实数运算相关的规律题 题型25.无理数整数部分的有关计数 知识点01:平方根与算术平方根 一.基本概念 若 x2=a（a0），则 x 叫做 a 的平方根。 算术平方根：正数 a 的正的平方根，记作； 平方根记作：。 名称 符号 取值范围 个数 核心性质 算术平方根 被开方a0 结果0 非负数有1 个 双重非负性： a0 0 平方根 被开方数a0 正数：2 个（互为相反数）0：1 个（0 本身）负数：无平方根 互为相反数的两个数，平方根也互为相反数 二.重要结论与运算 3.0 的平方根和算术平方根都是 0；负数没有平方根和算术平方根。 三. 开平方 求一个数平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点02:立方根 一.基本概念 若 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 。 项目 内容说明 被开方数范围 a可取任意实数（正数、0、负数） 根的个数 任意实数都有且只有 1 个立方根 符号规律 正数的立方根为正；0 的立方根为 0；负数的立方根为负 二.重要公式 三.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 四.开平方与开立方的区别 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点03:立方根与平方根的区别 知识点04:无理数与实数 有理数：整数和分数的统称，都可以写成有限小数或无限循环小数。 无理数：无限不循环小数。 常见无理数三大类型 1.开方开不尽的数： ..等； 2.特殊常数：π 及含 π 的式子； 3.有规律但不循环的无限小数：如 0.1010010001.....。 知识点05:实数的定义与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 知识点06:实数与数轴 核心结论：实数和数轴上的点一一对应。 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示； 数轴上每一个点都对应唯一的一个实数。 知识点07:实数的相关概念 知识点08:实数大小比较 1.数轴法则：数轴上右边的数总比左边的数大； 2.正负比较：正数 > 0 > 负数；两个负数，绝对值大的反而小； 3.根式比较： 同是算术平方根：被开方数越大，值越大； 可通过平方、立方去掉根号后再比较。 知识点09:实数的运算 1.运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然成立。 2.运算顺序：先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 3.近似计算：遇到无理数且需要求值时，可取近似小数计算。 知识点10重点考点：算术平方根的双重非负性 0且a0 常见题型：若几个非负数相加和为 0，则每一项都为 0。 形式举例： 知识点11:全章高频易错点汇总 易错类型 典型错误 正确做法 概念混淆 把平方根当成算术平方根，漏写 看清题干要求：求平方根带 ，求算术平方根只取正 取值判断 认为负数有平方根 牢记：负数没有平方根、算术平方根，有立方根 公式误用 =a 直接去掉绝对值 严格使用=∣a∣，再根据 a 正负化简 无理数判断 认为带根号的都是无理数 .等开得尽方的数是有理数 符号错误 化简 出错 =−，立方根符号可直接外移 题型01.求一个数的平方根 1．已知多项式是五次三项式，则a的平方根为______． 2．如果，，那么的平方根是________． 3．已知，则的平方根是（    ） A． B． C．5 D．25 4．求下列各数的平方根： (1)1.69． (2)． 题型02.求一个数的算术平方根 5．已知，则被开方数x的值为_____． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．观察下表： 已知，，则________． 8．已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 题型03.利用算术平方根的非负性解题 9．已知实数，满足 ，则 __________． 10．若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 11．若与互为相反数，则的平方根是______． 12．已知，先化简，再求值． 题型04.估计算术平方根的取值范围 13．若，，则___________ 14．估计的值应在（） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 15．已知，则与的最接近的两个整数的和为______． 题型05.与算术平方根有关的规律探索题 16．若，，则________． 17．观察下表，然后回答问题． 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下列问题： 已知，若，则（     ） A． B． C． D． 18．数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 题型06.无理数与无理数大小估算 19．在实数，，，（相邻两个之间依次多个），，中，无理数有_____________个． 20．，是连续的两个整数，若，则的值是__________． 21．已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 22．因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型07.求一个数的近似数 23．约1500年前，我国古代伟大的数学家和天文学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的科学家．用四舍五入法将圆周率的值精确到千分位，则得到的近似数为（   ） A．3.14 B．3.141 C．3.142 D．3.1416 24．数用四舍五入精确到0.1得到 _________，近似数精确到 _____位． 25．据中国政府网报道，截至2021年4月5日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗14280.2万剂次．下列说法不正确的是（    ） A．14280.2万大约是1.4亿 B．14280.2万大约是1.4×108 C．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×104 D．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108 题型08.求近似数的精确度 26．祖冲之是我国杰出的数学家，他首次将圆周率精算到小数第七位，即，取近似值是精确到______位． 27．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 28．对于近似数，它的有效数字有___________个． 题型09.已知一个数的平方根,求这个数 29．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的值是___________． 30．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 31．已知正数的两个平方根是、，且，求的平方根 题型10.利用平方根解方程 32．已知等式：，则_______． 33．已知，，且，则的值为（   ） A．8或 B．或 C． D．8 34．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 题型11.算术平方根的实际应用 35．物体自由下落时，下落的高度h（单位：m）可用公式来计算．其中g是地球表面的重力加速度，取，t（单位：s）表示物体下落的时间．若一个小铁球从离地面80m的高处自由下落，则小球落到地面的时间是______s． 36．如图，长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4，则图中两块阴影部分的面积之和为（   ） A．6 B．4 C． D．3 37．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 题型12.求一个数的立方根 38．已知，则的值是_____． 39．下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 40．解方程： 题型13.已知一个数的立方根.求这个数. 41．已知，则___________ 42．已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 43．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 题型14.与立方根有关的规律探索题 44．已知，，则_______． 45．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 46．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 题型15.立方根的实际应用 47．已知两个正方体水槽的体积分别为和，则大的正方体水槽的棱长比小的正方体水槽的棱长长___________． 48．如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 49．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 题型16.算术平方根和立方根的综合应用 50．若x是4的算术平方根，y是的立方根，则的值为______． 51．若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 52．已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 题型17.实数的概念与分类 53．实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 54．下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 55．在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 56．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{________________…}； (2)负无理数集合：{______________…}； (3)正实数集合：{________________…}． 题型18.实数与数轴 57．我们把直径为1的圆从原点沿数轴向右滚动一周（如图所示），圆上的一点到达，表示的数是_____． 58．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 59．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 60．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值． (2)求的值． 题型19.实数的混合运算 61．计算：__________． 62．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 63．计算、解方程： (1)； (2)． 64．计算： (1)； (2) 题型20.程序设计与实数运算 65．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______． 66．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 67．如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 题型21.实数的大小比较 68．比较大小：_____2（填“”，“”或“”）． 69．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．3 D． 70．在数轴上表示下列四个数：，，，，则距离原点最远的数是（   ） A． B． C． D． 71．计算、在数轴上表示数并比较大小： (1)． (2)把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ． 题型22.新定义下的实数运算 72．用“”表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有，例如，那么的值为______． 73．定义关于的新运算：，其中为正整数．例如，已知，则．若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 74．有理数和无理数统称为实数，我们规定：若实数a与b的平方差等于80，则称为“美丽实数对”． (1)若为“美丽实数对”，则a，b应满足的等量关系为________； (2)若点是“美丽实数对”，求k的值； (3)若点是“美丽实数对”，求的值． 75．我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若数与是关于的对称数，求数的值； (2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由． 题型23.实数运算的实际应用 76．若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 77．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 78．有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为_________． 79．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 题型24.与实数运算相关的规律题 80．请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算______． 81．先观察下列三个等式，再回答下列问题：①；②；③，请你根据上面三个等式提供的信息，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 82．同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则________，________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 题型25.无理数整数部分的有关计数 83．实数的整数部分为，小数部分为，则_______． 84．实数小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 85．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，的整数部分为c． (1)求这个正数； (2)求的算术平方根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实数期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握三者定义、符号表示与取值特点，区分概念差异。 2.熟记平方根、算术平方根、立方根的性质，熟练进行开平方、开立方运算。 3.了解无理数的定义，能辨别有理数与无理数，掌握实数的分类标准。 4.明确实数与数轴上的点一一对应，掌握实数的相反数、绝对值、倒数的求法。 5.掌握实数的运算法则、运算律及运算顺序，了解实数范围内近似计算的方法。 1.能准确求解非负数的平方根、算术平方根与立方根，提升根式运算能力。 2.会对实数进行分类，结合数轴分析实数大小、化简含绝对值的实数式子。 3.能比较实数的大小，熟练完成实数的四则运算、混合运算。 4.运用算术平方根的非负性解决求值、推理类问题。 1.基础题：概念辨析、简单开方、实数分类、求相反数与绝对值，做到零失误。 2.中档题：熟练进行实数计算、实数大小比较、利用非负性解题，规范书写步骤。 3.综合题：攻克根式结合数轴、化简求值、估算无理数范围等题型。 4.规避易错点：区分平方根与算术平方根、正确处理符号、辨别无理数，减少概念性失分。 题型01.求一个数的平方根 题型02.求一个数的算术平方根 题型03.利用算术平方根的非负性解题 题型04.估计算术平方根的取值范围 题型05.与算术平方根有关的规律探索题 题型06.无理数与无理数大小估算 题型07.求一个数的近似数 题型08.求近似数的精确度 题型09.已知一个数的平方根,求这个数 题型10.利用平方根解方程 题型11.算术平方根的实际应用 题型12.求一个数的立方根 题型13.已知一个数的立方根.求这个数 题型14.与立方根有关的规律探索题 题型15.立方根的实际应用 题型16.算术平方根和立方根的综合应用 题型17.实数的概念与分类 题型18.实数与数轴 题型19.实数的混合运算 题型20.程序设计与实数运算 题型21.实数的大小比较 题型22.新定义下的实数运算 题型23.实数运算的实际应用 题型24.与实数运算相关的规律题 题型25.无理数整数部分的有关计数 知识点01:平方根与算术平方根 一.基本概念 若 x2=a（a0），则 x 叫做 a 的平方根。 算术平方根：正数 a 的正的平方根，记作； 平方根记作：。 名称 符号 取值范围 个数 核心性质 算术平方根 被开方a0 结果0 非负数有1 个 双重非负性： a0 0 平方根 被开方数a0 正数：2 个（互为相反数）0：1 个（0 本身）负数：无平方根 互为相反数的两个数，平方根也互为相反数 二.重要结论与运算 3.0 的平方根和算术平方根都是 0；负数没有平方根和算术平方根。 三. 开平方 求一个数平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点02:立方根 一.基本概念 若 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 。 项目 内容说明 被开方数范围 a可取任意实数（正数、0、负数） 根的个数 任意实数都有且只有 1 个立方根 符号规律 正数的立方根为正；0 的立方根为 0；负数的立方根为负 二.重要公式 三.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 四.开平方与开立方的区别 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点03:立方根与平方根的区别 知识点04:无理数与实数 有理数：整数和分数的统称，都可以写成有限小数或无限循环小数。 无理数：无限不循环小数。 常见无理数三大类型 1.开方开不尽的数： ..等； 2.特殊常数：π 及含 π 的式子； 3.有规律但不循环的无限小数：如 0.1010010001.....。 知识点05:实数的定义与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 知识点06:实数与数轴 核心结论：实数和数轴上的点一一对应。 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示； 数轴上每一个点都对应唯一的一个实数。 知识点07:实数的相关概念 知识点08:实数大小比较 1.数轴法则：数轴上右边的数总比左边的数大； 2.正负比较：正数 > 0 > 负数；两个负数，绝对值大的反而小； 3.根式比较： 同是算术平方根：被开方数越大，值越大； 可通过平方、立方去掉根号后再比较。 知识点09:实数的运算 1.运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然成立。 2.运算顺序：先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 3.近似计算：遇到无理数且需要求值时，可取近似小数计算。 知识点10重点考点：算术平方根的双重非负性 0且a0 常见题型：若几个非负数相加和为 0，则每一项都为 0。 形式举例： 知识点11:全章高频易错点汇总 易错类型 典型错误 正确做法 概念混淆 把平方根当成算术平方根，漏写 看清题干要求：求平方根带 ，求算术平方根只取正 取值判断 认为负数有平方根 牢记：负数没有平方根、算术平方根，有立方根 公式误用 =a 直接去掉绝对值 严格使用=∣a∣，再根据 a 正负化简 无理数判断 认为带根号的都是无理数 .等开得尽方的数是有理数 符号错误 化简 出错 =−，立方根符号可直接外移 题型01.求一个数的平方根 1．已知多项式是五次三项式，则a的平方根为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的相关概念，求一个数的平方根，解题的关键是掌握多项式和平方根． 根据多项式的次数求出的值，然后再求平方根即可． 【详解】解：多项式的三项分别为：，次数为； ，次数为； ，次数为； 由于多项式是五次式，最高次项的次数必须为5，因此第二项的次数， 解得， ∴a的平方根为， 故答案为：． 2．如果，，那么的平方根是________． 【答案】 【分析】当一个非负数的被开方数扩大（或缩小） 倍、 倍……（即 倍）时，它的算术平方根会相应地扩大（或缩小） 倍、 倍……（即 倍）． 【详解】解：∵， ∴， ∴的平方根是． 3．已知，则的平方根是（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质求出，，再代入求出的值，最后求出平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∵25的平方根为， ∴的平方根是，故A正确． 4．求下列各数的平方根： (1)1.69． (2)． 【答案】(1) (2)/ 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）先计算出，再根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是． （2）解：∵， ∴的平方根是． 题型02.求一个数的算术平方根 5．已知，则被开方数x的值为_____． 【答案】 【分析】当算术平方根的小数点向左移动一位时，被开方数的小数点向左移动两位，据此求解即可． 【详解】解：∵102的小数点向左移动1位得10.2， ∴10404的小数点向左移动2位得x， ∴x的值为． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 7．观察下表： 已知，，则________． 【答案】 【分析】本题先根据表格总结算术平方根的变化规律，再将所求被开方数变形，结合已知条件计算结果． 【详解】解：由表格可得规律：被开方数的小数点向右移动两位，算术平方根的小数点向右移动一位． ∴． 8．已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值，估算出的取值范围求出c的值，进而求出 的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵ 的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵ 的平方根是， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴ 的平方根为． 题型03.利用算术平方根的非负性解题 9．已知实数，满足 ，则 __________． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的非负性求出的值，再代入求出的值，最后计算幂得到结果． 【详解】解：根据算术平方根的非负性可得，，， 解得且， ， ， ． 10．若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用非负数的性质求出的值，再代入代数式求出的值，最后根据算术平方根的定义解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴的算术平方根为． 11．若与互为相反数，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据相反数的定义得到两个非负数的和为，利用非负数的性质求出与的值，代入代数式计算后，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得，， ， 的平方根是， 故答案为：． 12．已知，先化简，再求值． 【答案】，9 【分析】先根据平方、算术平方根的非负性，得出，，再根据完全平方公式和平方差公式，将原式进行化简，最后代入求值即可． 【详解】解：，且，， ，， ，， ，． ， 当，时， 原式． 题型04.估计算术平方根的取值范围 13．若，，则___________ 【答案】48.5 【详解】解：， ∵， ∴． 14．估计的值应在（） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题用夹逼法估算无理数的范围，先找出与61相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，即， 不等式两边同时减3，得， 即， ∴的值在4到5之间． 15．已知，则与的最接近的两个整数的和为______． 【答案】7 【分析】本题考查无理数的估算，根据与10最接近，与6最接近，且，得到与a的最接近的两个整数是3和4，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， 与的最接近的两个整数是3和4， ∴． 故答案为：． 题型05.与算术平方根有关的规律探索题 16．若，，则________． 【答案】 【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位． 【详解】解：∵ ∴ 17．观察下表，然后回答问题． 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下列问题： 已知，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格给出的规律，算术平方根求被开方数． 【详解】解：由规律可得可知被开方数扩大10000倍，则算术平方根扩大100倍.， ∵， ∴， ∴． 18．数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【详解】（1）解：    ； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型06.无理数与无理数大小估算 19．在实数，，，（相邻两个之间依次多个），，中，无理数有_____________个． 【答案】 【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，对各数逐一判断即可． 【详解】解：，，，，（相邻两个之间依次多个），，中，无理数有，，（相邻两个之间依次多个），，共个． 20．，是连续的两个整数，若，则的值是__________． 【答案】 【分析】找到平方分别小于和大于的两个连续整数，即可得到的值． 【详解】解：，， 即， ，且，是连续的两个整数， ． 21．已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义和运算法则判断即可． 【详解】解： 若a是无理数，假设是有理数，则也为有理数，与是无理数矛盾，的相反数一定是无理数，故①正确； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ②错误； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ③错误； 综上，正确的结论只有个． 22．因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．先求出m的取值范围，即可确定整数m的值，于是可求出整数n的值，再估算实数的取值范围，即可得解． 【详解】解：， ， 即， 为正整数， ， 是正整数， ， ， ， 与最接近的整数是1， 即与实数最接近的整数是1， 故选：A． 题型07.求一个数的近似数 23．约1500年前，我国古代伟大的数学家和天文学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的科学家．用四舍五入法将圆周率的值精确到千分位，则得到的近似数为（   ） A．3.14 B．3.141 C．3.142 D．3.1416 【答案】C 【分析】本题考查近似数的四舍五入，将圆周率精确到千分位（小数点后第三位），需看万分位（第四位小数）的数字决定是否进位，据此进行求解即可． 【详解】解：∵，精确到千分位时，万分位数字为5， ∴根据四舍五入规则，需进位，千分位1变为2， ∴近似数为3.142； 故选C． 24．数用四舍五入精确到0.1得到 _________，近似数精确到 _____位． 【答案】 十 【分析】此题考查了科学记数法与近似数，不是用科学记数法表示的数需要确定精确到哪一位，主要看最后一位是什么位，就是精确到哪一位，如果是用科学记数法表示的数先把原数还原，再看它所在位的位置即可． 根据四舍五入法即可得出答案． 【详解】解：数用四舍五入精确到得到，近似数精确到十位． 故答案为：，十． 25．据中国政府网报道，截至2021年4月5日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗14280.2万剂次．下列说法不正确的是（    ） A．14280.2万大约是1.4亿 B．14280.2万大约是1.4×108 C．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×104 D．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108 【答案】C 【分析】根据科学记数法及近似数的表示方法逐一判断即可得答案． 【详解】A.14280.2万精确到千万位约是1.4亿，故该选项说法正确，不符合题意， B.14280.2万精确到千万位约是1.4×108，故该选项说法正确，不符合题意， C.14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108，故该选项说法不正确，符合题意， D. 14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108，故该选说法项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法及近似数的表示方法，把一个绝对值大于10的数记做a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，这种记数法叫做科学记数法；对一个数取近似数，要求精确到某一个数位,我们就将所要求精确到的数位后一位数字“四舍五入”得到近似数；正确确定a和n的值是解题关键． 题型08.求近似数的精确度 26．祖冲之是我国杰出的数学家，他首次将圆周率精算到小数第七位，即，取近似值是精确到______位． 【答案】百分 【分析】根据近似数的精确度，近似值的最后一位数字4位于百分位，因此精确到百分位． 【详解】解：的近似值中，数字4在百分位上，故精确到百分位． 故答案为：百分． 27．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】C 【分析】根据近似数，精确度的定义解答即可． 本题考查了近似数和精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 【详解】解：A. （精确到十分位）正确，不符合题意；     B. （精确到）正确，不符合题意     C. 用四舍五入法精确到千分位是，不是，故该选项错误，符合题意； D. （精确到）正确，不符合题意；     故选：C． 28．对于近似数，它的有效数字有___________个． 【答案】4/四 【分析】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，到精确位为止所有的数字都是这个数的有效数字． 【详解】近似数的有效数字有6、1、8、0四个． 故答案是：4． 【点睛】考查了有效数字的概念，解题关键是理解有效数字的定义：从左边第一个不是0的数字起，到精确位为止所有的数字都是这个数的有效数字． 题型09.已知一个数的平方根,求这个数 29．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的值是___________． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出方程，求出的值，再计算得到正数的值. 【详解】解：正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ， ． 30．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】B 【分析】根据题意列方程求解即可； 【详解】解：∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得：． 31．已知正数的两个平方根是、，且，求的平方根 【答案】的平方根是． 【分析】由题意得到，代入，求得，，进一步求得，据此求解即可． 【详解】解：∵正数的两个平方根是、， ∴， ∴， 将代入，得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵16的平方根是， ∴的平方根是． 题型10.利用平方根解方程 32．已知等式：，则_______． 【答案】±8 【分析】利用移项和平方根的定义即可得到结果. 【详解】解：移项得， 根据平方根的定义可得. 33．已知，，且，则的值为（   ） A．8或 B．或 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查开平方和绝对值，熟练掌握开平方和绝对值的运算是解题的关键，由得，由得，结合条件，只有,时满足，从而求得答案． 【详解】解：∵， ∴或； ∵， ∴或； 又 ∵， ∴当，时，； 当，时，； 故选：C． 34．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了利用平方根求一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的步骤和平方根的运算法则． （1）利用平方根求一元二次方程的解即可； （2）利用平方根求一元二次方程的解即可． 【详解】（1）解： 移项，得． ， 即或， 或； （2）解： 移项，得． 两边同除以，得． ， 即或， 或． 题型11.算术平方根的实际应用 35．物体自由下落时，下落的高度h（单位：m）可用公式来计算．其中g是地球表面的重力加速度，取，t（单位：s）表示物体下落的时间．若一个小铁球从离地面80m的高处自由下落，则小球落到地面的时间是______s． 【答案】4 【分析】根据题目给出的自由下落公式，将已知高度和重力加速度代入，利用算术平方根的性质解方程求出下落时间． 【详解】由题意知，，，代入， 即，解得，（舍）， 所以小球落到地面的时间是． 36．如图，长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4，则图中两块阴影部分的面积之和为（   ） A．6 B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据正方形的面积公式可得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵长方形内两个正方形的面积分别为16，4， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 37．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长，再根据长方形的长为两个正方形边长之和，宽等于大正方形的边长求出周长即可； （2）根据，求解即可； 【详解】（1）解：∵长方形内两个正方形的面积分别为，， ∴两个正方形的边长分别为，， 由图可得：长方形的长为两个正方形边长之和，宽等于大正方形的边长，即： 长，宽， ∴长方形的周长； （2）解： ． 题型12.求一个数的立方根 38．已知，则的值是_____． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，再将代入所求式子，根据立方根的定义计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 39．下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 40．解方程： 【答案】． 【详解】解：整理得， 开立方得， 解得． 题型13.已知一个数的立方根.求这个数. 41．已知，则___________ 【答案】 【分析】根据立方根的小数点向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：，， ． 42．已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 【答案】D 【分析】本题考查立方根，掌握一个数x的立方等于a，那么x叫a的立方根，表示为是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：设这个数是x，则 ∵，，， ∴或， 故选：D． 43．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】本题考查了立方根的运算，熟练掌握开立方的运算方法是解题的关键． （1）（2）（4）（5）先进行开立方运算，然后解方程即可； （3）先移项再开立方进行运算即可； （6）（7）（8）（9）先将系数化为，然后进行开立方进行运算即可 （10）先移项然后将系数化为，再开立方进行运算即可． 【详解】（1）解：开立方，得 移项，得 整理，得 （2）解：开立方，得 移项，得 整理，得 （3）解：移项，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （4）解：开立方，得 去括号，得 移项，得 整理，得 （5）解：开立方，得 系数化为，得 移项，得 整理，得 （6）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （7）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （8）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （9）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （10）解：移项，得 系数化为1，得 开立方，得 移项，得 整理，得 题型14.与立方根有关的规律探索题 44．已知，，则_______． 【答案】 0.2714 【分析】将被开方数变形为含已知立方根的数与的商的形式，利用立方根的运算性质化简后代入已知数值计算即可. 【详解】解： = 根据立方根的性质可得 = = 已知，代入得 45．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 46．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 题型15.立方根的实际应用 47．已知两个正方体水槽的体积分别为和，则大的正方体水槽的棱长比小的正方体水槽的棱长长___________． 【答案】 2 【分析】根据正方体体积公式求出两个正方体的棱长，再计算棱长的差值即可. 【详解】解：设大正方体棱长为，小正方体棱长为， 根据正方体体积公式可得， ，， 因此 ，， 棱长的差为 . 48．如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键． 先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可． 【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：A． 49．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 题型16.算术平方根和立方根的综合应用 50．若x是4的算术平方根，y是的立方根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根与立方算，根据算术平方根的运算求得；根据立方根运算求得，进而得出结果． 【详解】解：∵x是4的算术平方根， ∴， ∵y是的立方根， ∴， ∴， 故答案为：． 51．若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可． 【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根， ∴m-n=2， ∵B=是m-2n+3的立方根， ∴m-2n+3=3， ∴     解得 ∴A==3，B= ∴B-A=2-3=-1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念． 52．已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解：，，， ， 的立方根为． 题型17.实数的概念与分类 53．实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，熟练牢记有理数的分类和无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：由实数的分类可知，有理数分为分数和整数，无理数是无限不循环小数， ， ∴无理数有2个 故选：B． 54．下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是先化简各数，再根据无理数的定义判断． 先分别化简选项中的数，再判断其是否为无限不循环小数，从而确定无理数． 【详解】解：A．，是整数，属于有理数，此选项不符合题意； B．是无限不循环小数，属于无理数，此选项符合题意； C．，是整数，属于有理数，此选项不符合题意； D．是有限小数，属于有理数，此选项不符合题意． 故选：B． 55．在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 56．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{________________…}； (2)负无理数集合：{______________…}； (3)正实数集合：{________________…}． 【答案】(1)，，0，， (2)， (3)，， 【分析】（1）根据有理数的定义，即可求解； （2）根据负无理数的定义，即可求解； （3）根据正实数的定义，即可求解． 【详解】（1）解：， 有理数集合：{，，0，，，……}； 故答案为：，，0，，； （2）解：负无理数集合：{，，……}； 故答案为：，； （3）解：正实数集合：{，，，……}． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了有理数及实数的定义及分类，有理数是整数和分数的统称，也可以说，可以化为整数、有限小数和无限不循环小数的数都是有理数；无限不循环小数是无理数；实数是有理数和无理数的总称；大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数． 题型18.实数与数轴 57．我们把直径为1的圆从原点沿数轴向右滚动一周（如图所示），圆上的一点到达，表示的数是_____． 【答案】π 【分析】根据圆的周长公式计算出圆滚动一周的距离，再根据数轴上点的平移规律（向右移动加）即可求解． 【详解】解： 圆的直径为 ， 圆的周长为， 圆从原点沿数轴向右滚动一周，起点表示的数为， 点表示的数为． 58．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】确定墨迹覆盖的数值范围，并利用夹逼法估算出各无理数的取值范围，进而判断哪个数落在该范围内． 【详解】解：由数轴可知，墨迹覆盖的范围在与之间， ， 不在墨迹覆盖范围内； ， ， 在墨迹覆盖范围内； ， ， 不在墨迹覆盖范围内， 能被墨迹覆盖的数是． 59．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴的特征和圆的周长公式解答即可． 【详解】解：∵直径为单位1的圆的周长为，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点， ∴A点表示的数是． 60．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）把的值代入代数式，再根据绝对值的性质化简即可； 本题考查了实数与数轴，代数式求值，正确求出的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬行个单位长度到达点， ∴点所表示的数比点表示的数大， ∵点表示，点表示的数为， ∴； （2）解：∵， ∴原式 ． 题型19.实数的混合运算 61．计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根，算术平方根化简即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 62．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，A计算错误． ，B计算正确． ，C计算错误． ，D计算错误． 63．计算、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或4 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：移项得， ， 两边除以得， ， 开平方得， ， 解得，或， ∴或4 64．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型20.程序设计与实数运算 65．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______． 【答案】 【分析】根据题中所给的运算程序，依次计算立方根和算术平方根，并判断结果是否为无理数，直到满足输出条件为止． 【详解】解：由题可得：的立方根为，是有理数，继续运算； 的算术平方根为，是有理数，返回取立方根； 的立方根为，是无理数，输出； 则输出的的值为． 66．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【详解】解：①∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故①错误； ②当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故②正确； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是②③． 67．如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 题型21.实数的大小比较 68．比较大小：_____2（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】采用平方法将无理数转化为有理数后比较，根据两个正实数，平方更大的原数更大得到结果． 【详解】解：∵，， 又 ∵， ∴． 69．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】利用实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：∵正数大于，大于所有负数， ∴和都大于两个负数，可排除， ∴剩余两个负数和，计算绝对值：，， ∵，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”， ∴， 因此四个数中最小的数是：． 70．在数轴上表示下列四个数：，，，，则距离原点最远的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较四个实数的绝对值的大小即可. 【详解】解：∵，即， ∴， ∵， ∴，，，中，距离原点最远的数是. 71．计算、在数轴上表示数并比较大小： (1)． (2)把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ． 【答案】(1) (2)数轴见解析， 【分析】（1）根据平方根、立方根的计算法则化简各项，再计算减法，即可解题； （2）先化简各个数，再在数轴上表示各数，最后利用数轴比较大小即可． 解题关键在于正确掌握实数运算的基本法则． 【详解】（1）解：原式． （2）解：实数在数轴上表示如下： 它们的大小关系为． 题型22.新定义下的实数运算 72．用“”表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有，例如，那么的值为______． 【答案】13 【分析】根据新定义将所求式子转化为常规实数运算即可求解. 【详解】解：∵， ∴. 73．定义关于的新运算：，其中为正整数．例如，已知，则．若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给出的运算规则，将所求式子拆分为多个的乘积，再结合幂的运算性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 74．有理数和无理数统称为实数，我们规定：若实数a与b的平方差等于80，则称为“美丽实数对”． (1)若为“美丽实数对”，则a，b应满足的等量关系为________； (2)若点是“美丽实数对”，求k的值； (3)若点是“美丽实数对”，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)4 【分析】（1）根据定义直接列得等式即可； （2）根据定义列得，即可求出k的值； （3）根据定义列得，根据完全平方公式计算即可 【详解】（1）解：∵实数a与b的平方差等于80，则称为“美丽实数对”，为“美丽实数对”， ∴； （2）∵点是“美丽实数对”， ∴， 解得； （3）∵点是“美丽实数对”， ∴， ∴ ∴ ∴ 75．我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若数与是关于的对称数，求数的值； (2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由． 【答案】(1) (2)是关于7的对称数 【分析】（1）根据“对称数”的定义代入计算即可． （2）根据实数的运算得出x，y的值，然后再根据“对称数”的定义代入计算并判断即可． 【详解】（1）解：∵数与是关于的对称数， ∴， ． ∴． （2）解：是关于7的对称数，理由如下： ， ∵；， ∴， ∴与是关于7的对称数． 题型23.实数运算的实际应用 76．若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 77．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 78．有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为_________． 【答案】 【分析】根据有理数和无理数的概念列出式子，再根据实数的运算顺序进行计算． 【详解】解：四个实数分别为中有理数为32，-23；无理数为； 有理数的和与无理数的积的差为-8+9-×=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 79．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 题型24.与实数运算相关的规律题 80．请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算的规律探究，，熟练掌握规律探索是解题的关键．根据已知等式的规律，将目标式子化为，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为：． 81．先观察下列三个等式，再回答下列问题：①；②；③，请你根据上面三个等式提供的信息，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给式子总结变化规律可得，然后根据规律求解即可． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ∴， ∴． 82．同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则________，________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 【答案】(1)；2 (2) 【分析】（1）根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）将已知等式进行整理可得，再根据题意可得，，进而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：． （2）解：， ， ． ，为有理数， ，， 解得，， ， ∴的立方根为． 题型25.无理数整数部分的有关计数 83．实数的整数部分为，小数部分为，则_______． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算．先估算无理数的取值范围，由此得到的整数部分，再根据小数部分等于原数减去整数部分得到，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， 小数部分 ， 将，代入得： 84．实数小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先估算无理数的取值范围，得到的整数部分，再根据“小数部分原数整数部分”求出，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴的整数部分为， ∵小数部分， ∴． 85．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，的整数部分为c． (1)求这个正数； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正数的两个平方根互为相反数求出的值，进而计算得到这个正数； （2）再根据立方根的定义求出，通过估算的大小得到其整数部分，最后计算的值，再求它的算术平方根． 【详解】（1） 解： ∵一个正数的两个平方根互为相反数 ∴ 解得 ∴这个正数为 （2）解： ∵的立方根是： ∴ 解得： ∵ ∴ ∴的整数部分： ∴ ∴的算术平方根为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $