2025-2026学年高一下学期数学人教B版6月月考模拟卷(二)（辽宁适用）

**基本信息** 立足高一数学必修三及必修四前半段内容，以筒车文化情境、函数单调性、立体几何探索等为载体，考查数学抽象、空间观念与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、解三角形、三角函数单调性、空间几何体表面积|第7题以筒车为背景考查三角函数模型，体现文化传承；第6题结合三棱柱中点探究共面与异面关系，强化空间观念| |填空题|3题/15分|向量数量积、正三棱锥体积与侧棱长|第14题通过体积求侧棱长，考查空间几何体度量计算| |解答题|5题/77分|解三角形面积与中线长、三棱台体积、函数新定义、立体几何探究|第18题定义“积向量”“积函数”，考查数学抽象与创新应用；第19题探究四点共面及周长最小值，体现逻辑推理与空间想象的综合考查|

2025-2026学年高一数学下学期6月月考模拟卷(二) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四至11.3空间中的平行关系。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A． B． C． D．2 2．已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 3．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，梯形中，，现将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线 C．、、三线共点 D． 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 8．如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 10．若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线是函数图象的一条对称轴 C．不等式的解集为 D．当，满足，则 11．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若为虚数单位，则________． 13．向量，，其中，且.则_________. 14．正三棱锥的底面边长为6，体积为18，则该正三棱锥的侧棱长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)若的面积为，且，点为边的中点，求出的长. 16．（1）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，求此三棱台的体积． （2）如图，直三棱柱中，D是BC的中点，四边形为正方形． （ⅰ）若为等边三角形，，求直三棱柱的体积； （ⅱ）求证：平面． 17．在中，角，，所对的边分别为，，．满足． (1)求角的大小： (2)设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 18．定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. (1)设向量的“积函数”为，若且，求的值； (2)若向量的“积函数”满足，求的值； (3)已知，且，设（，），且的“积函数”为，其最大值为，证明：. 19．如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． (1)在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； (2)证明：平面； (3)点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期6月月考模拟卷(二) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四至11.3空间中的平行关系。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据二倍角的余弦公式以及即可求解. 【详解】由二倍角的余弦公式，得， 由于，则，因此，， 因此，故A正确. 2．已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【分析】根据复数相等公式，列式求解. 【详解】由条件可知，，解得. 3．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，解得，而为三角形内角，所以， ，， 所以。 则.故选：B. 4．如图，梯形中，，现将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体为圆台，圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，母线长为，再结合圆台的表面积公式计算即可. 【详解】因为梯形中，， 所以，， 将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体为圆台， 圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，母线长为， 所以该圆台的表面积为， 即旋转形成的几何体的表面积为 5．已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，进而得到，结合单调性可得，再解不等式即可． 【详解】解：， ，， ， 又函数（）在区间上单调递增， ，解得． 6．如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线 C．、、三线共点 D． 【答案】D 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形，则不平行，所以D不正确. 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 【答案】D 【详解】筒车半径为2米，故振幅为，圆心距水面1米，故平衡位置，故A正确； 已知每分钟转4圈，周期秒，角速度，故B正确； 时，点在水面，，代入公式，解得， ，且在第四象限，，故C正确； 秒时，， 米，故D错误． 8．如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基底表示向量和，再根据数量积公式和运算律，即可求解. 【详解】， ， 所以， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由斜二测画法的规则复原为原图形，求解相关量逐项判断即可. 【详解】在中，作交于点， 因为，所以，， 又 ，所以，，， 利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形， 由斜二测画法，可得，，， 所以，， ，故A、B、D正确，C错误. 10．若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线是函数图象的一条对称轴 C．不等式的解集为 D．当，满足，则 【答案】ABD 【分析】先通过函数图象确定函数的解析式，然后根据函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】由图象知，最小正周期为，则， 将代入中，得，得，， 又，则，所以该函数的解析式为． 对于A，，故A正确； 对于B，由的对称轴为，，得，， 取时，直线是函数图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，由，则，即，， 解得，，所以该不等式的解集为，，故C错误； 对于D，根据函数的解析式画图如下， 由，满足， 则，所以，故D正确． 11．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 【答案】ACD 【详解】三角形中，大角对大边，若，则，由正弦定理， 则，即，故A正确； 由正弦定理， 已知，则， 由余弦定理，说明是锐角，无法确定是否是锐角， 故三角形不一定是锐角三角形，故B错误； 已知，，，则， ， ，， 可能是大于的锐角或钝角，即符合条件的有两个，C正确； ， ，由大角对大边可知为最大角， 要证是锐角三角形，只需证， 由三角形的性质知， ， ，令，则，， ， 即， ， ，故是锐角三角形，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若为虚数单位，则________． 【答案】/ 【详解】因为，所以的周期为4，且， 所以. 13．向量，，其中，且.则_________. 【答案】/ 【详解】因为，所以即，即， 又，即. 代入，解得， 又，所以，. 所以. 14．正三棱锥的底面边长为6，体积为18，则该正三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【分析】利用三棱锥的体积公式可得三棱锥的高，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示的正三棱锥，过点作平面, 所以，， 解得：，由于, 所以, 即该正三棱锥的侧棱长为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)若的面积为，且，点为边的中点，求出的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理边角转化可得，即可得角的大小； （2）根据面积公式可得，结合（1）可得，再结合向量求的长. 【详解】（1）因为，由余弦定理可得， 整理可得，可得， 且，所以. （2）因为的面积为，可得， 又因为，且，即，可得， 若点为边的中点，则， 可得， 即，所以的长为. 16．（1）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，求此三棱台的体积． （2）如图，直三棱柱中，D是BC的中点，四边形为正方形． （ⅰ）若为等边三角形，，求直三棱柱的体积； （ⅱ）求证：平面． 【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）分别求出正三棱台的上、下底面积及高，利用棱台的体积公式可得； （2）（ⅰ）分别求得直三棱柱的底面积和高（即侧棱长），根据棱柱的体积公式可得；（ⅱ）连接，交于点，利用中位线定理得，再利用线面平行的判定定理即可得证． 【详解】（1）如图，点分别是的中心， 易知. 所以. 又，， 所以正三棱台的体积为. （2）（ⅰ）若为等边三角形，，则， 因为四边形为正方形，所以， 所以直三棱柱的体积为； （ⅱ）连接，交于点，则点为的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． 17．在中，角，，所对的边分别为，，．满足． (1)求角的大小： (2)设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可； （2）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）利用二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解． 【详解】（1）由， 根据正弦定理得，， 可得， 因为，故，则， 又，所以； （2）由（1）知，，且，， （i）则，即， 解得或（舍），故； （ii）由， 得， 解得，则， 则，， 由， 所以 所以. 18．定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. (1)设向量的“积函数”为，若且，求的值； (2)若向量的“积函数”满足，求的值； (3)已知，且，设（，），且的“积函数”为，其最大值为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可； （2）令，由已知根据三角恒等变换求解即可； （3）由已知可得，根据三角函数的有界性可得最大值和与的关系，从而可证得. 【详解】（1）依题意，， 则，由，得，则， 所以. （2）向量的“积函数”为， 令，则 ， 于是，，即，， 所以. （3）设，， 则 于是 ， 而， 当且仅当存在使得时取等号，，， 两式相减得，则，，即， 因此， 所以. 19．如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． (1)在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； (2)证明：平面； (3)点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 【答案】(1)当为中点时，，，，四点共面，利用平面性质判断 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）延长交于，连接交于，连接，由共面可得，进而得到为中点时，，，，四点共面； （2）通过证明平面平面，进而得到平面； （3）由（2）可知在线段上，再展开平面，利用余弦定理求边长即可． 【详解】（1）如图，延长交于，连接交于，连接， ，，分别为棱，，的中点， ，， 又，， 要使得，，，四点共面， ，又， 四边形为平行四边形， ，即为中点，， 易得，， 所以，存在，当为中点时，，，，四点共面； （2）连接， ，分别为棱，的中点， ，又平面，平面， 平面， 由（1）知，又平面，平面， 平面，又平面， 平面平面，又 平面， 平面； （3）由（2）知平面平面， 在线段上，又， 的周长最小，即最小， 将平面沿翻折到平面中，如图， ， ， ， ， ， 又，所以的最小值为， 即周长的最小值为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $