-2025-2026学年高一下学期数学人教B版6月月考模拟卷(三)（辽宁适用）

**基本信息** 高一数学6月月考模拟卷，覆盖必修三及必修四空间平行关系内容，通过选择（含多选）、填空、解答题梯度设计，融合向量、立体几何、三角函数等核心知识，注重逻辑推理与空间想象能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量运算、立体几何命题判断、三角函数图像变换|第2题立体几何命题真假判断，考查逻辑推理；第7题圆锥内切球问题，融合体积与表面积计算| |填空题|3题/15分|解三角形测量应用、三角函数值域、异面直线夹角|第12题河对岸塔高测量，体现数学应用；第14题圆锥中异面直线夹角，考查空间想象| |解答题|5题/77分|复数运算、立体几何证明与存在性问题、三角函数性质综合|17题四棱锥中点线面关系证明及存在性探究，综合空间几何与逻辑推理；18题三角函数性质与解三角形结合，培养模型意识|

2025-2026学年高一数学下学期6月月考模拟卷(三) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四至11.3空间中的平行关系。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则实数，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 4．设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 6．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 7．已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，满足，则（    ） A． B． C． D．对任意实数，都有 10．已知复数，其中，且，设在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ） A．的虚部为 B．点在第二象限 C．点在直线上 D．的最大值为 11．如图，在直三棱柱中，，，､分别为，的中点，过点､､作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（      ）    A．三棱柱的体积为36 B． C．若交于，则与是异面直线 D．若交于，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    13．函数的值域为_____． 14．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数满足． (1)求复数； (2)若复数是关于的方程的一个根，求的值． 16．（1）已知，求的值； （2）化简：. 17．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 18．已知函数 (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)求函数在上的最值； (3)在中，，若对任意实数恒有，求面积的最大值. 19．记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期6月月考模拟卷(三) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四至11.3空间中的平行关系。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则实数，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由复数相等的充要条件得，解方程组即得，. 2．已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】结合反例可判断（1）（2），利用线面平行的性质可证明（3）. 【详解】对于（1），如图，正方体中，与为异面直线， 平面，平面， 但是平面与平面不平行，（1）不正确； 对于（2），如图，正方体中，平面与平面平行，但是直线与直线不平行，（2）不正确； 对于（3），因为，，且，所以，同理可得，所以，（3）正确. 3．为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可以得到， 再向右平移个单位，得到. 4．设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 5．在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误． 【详解】由三角形内角和 ，得 ， 因此原方程等价于 ，即 ， ， 则或，则是等腰或直角三角形． 6．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 又，所以． 7．已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长，利用几何法求出球的半径，最后利用球的表面积公式求解． 【详解】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 8．钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，满足，则（    ） A． B． C． D．对任意实数，都有 【答案】ACD 【分析】先利用向量模长与数量积的关系求出，再逐一验证各选项 【详解】首先由，两边平方得， 代入，解得. 对于A，，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，这是关于的二次函数，当时，取得最小值为，故，即，故D正确. 10．已知复数，其中，且，设在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ） A．的虚部为 B．点在第二象限 C．点在直线上 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】对复数 进行分母实数化、逐步化简，结合选项一一求解. 【详解】， 选项A，的虚部是实数，不是 ，所以A错误. 选项B，对应点的坐标为 ，因为，所以 ， ，点在第二象限，B 正确. 选项C，点的坐标 ，满足，所以点在直线上，C正确. 选项D，， 当时，，D错误. 11．如图，在直三棱柱中，，，､分别为，的中点，过点､､作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（      ）    A．三棱柱的体积为36 B． C．若交于，则与是异面直线 D．若交于，则 【答案】CD 【分析】对于A，根据棱柱的体积公式求解即可；对于B，判断出平面即为截面，结合直线与平面的位置关系判断即可；对于C，根据异面直线的概念判断即可；对于D，结合勾股定理求解即可. 【详解】如图所示，将该三棱柱补全为边长为6的正方体.    对于A，直三棱柱的体积，故A项错误； 对于B，延长与交于点，连接交于，连接，则平面即为截面. 因为，是中点，所以是的中点， 由与相似，得，所以， 而是的中点，所以与必相交，所以与截面不平行，故B项错误； 对于C，，，，则与是异面直线， 故C项正确； 对于D，，，在中，，故D项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【答案】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 13．函数的值域为_____． 【答案】 【详解】使用二倍角公式 ，将原函数化为 ， 整理为关于 的二次函数， 令 ，可知 ， 因此， 易知该抛物线的对称轴为， 因此函数 在区间 上是单调递减的， 所以函数最大值在 处取得，即 ， 最小值在 处取得，即 ， 因此，该函数的值域为 ． 14．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 【答案】/ 【分析】取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG，找到异面直线所成的角或其补角即，然后找线面位置关系，求相关线段长，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG， 则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角． 易知平面，所以平面，所以. 因为，，所以， 所以由勾股定理得， 又，， 所以在△中，由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数满足． (1)求复数； (2)若复数是关于的方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设，代入方程并整理，根据复数相等的条件列方程组求解； （2）将第（1）问求出的复数根代入方程，利用复数相等的条件求解. 【详解】（1）已知， ，化简可得， 所以，解得，因此，复数； （2）把代入方程中，得到， 整理得， 所以，解得， 所以． 16．（1）已知，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二倍角、差角公式化简已知等式，约去非零项后得到的值，再平方求； （2）先将正切化为正弦、余弦，用辅助角公式化简分子，再用降幂公式化简分母，约分得到结果. 【详解】（1）由二倍角公式：， 由余弦差角公式：. 由于原式分母不为0，故，则， 化简得，两边平方得 ， 解得. （2）将代入得 ， 则分子 ， 由降幂公式可知分母， 从而原式. 17．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 18．已知函数 (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)求函数在上的最值； (3)在中，，若对任意实数恒有，求面积的最大值. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2)最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）先根据三角恒等变换公式化简可得，进而结合正弦型函数的周期公式、正弦函数的单调性求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； （3）由可得，再转化问题为对于任意实数恒成立，结合、平面向量的数量积的运算律可得，进而得到，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由 ， 则函数的最小正周期为， 令，解得， 则函数的单调递增区间为. （2）当时，， 则，即， 则函数在上的最小值为，最大值为. （3）由，得， 因为，所以，则，即， 由，得， 两边平方，得， 则对于任意实数恒成立， 所以， 则， 即，则， 而，，则， 即，则， 所以， 当且仅当等号成立，则面积的最大值为. 19．记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）根据向量平行得到方程，结合正弦定理和特殊角的三角函数值得到答案； （2）由平面向量基本定理可用表示向量，两边平方，由基本不等式可得，从而由三角形面积公式可得最大值； （3）由锐角三角形得到角的范围，由正弦定理，将边化角，求出取值范围 【详解】（1），即， 由正弦定理得， 因为，所以，故，即， 因为，所以； （2）， ，则， 即，解得， 由基本不等式可得， 即，解得，当且仅当时，等号成立， ， （3）由正弦定理得， 所以， 故 为锐角三角形，故， 解得，故 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $