-2025-2026学年高一下学期数学人教B版6月月考模拟卷(五)（辽宁适用）

**基本信息** 高一数学月考模拟卷聚焦必修三及必修四空间平行关系，通过复数、向量、三角函数、立体几何等模块的基础题与综合题，考查数学抽象、空间观念及推理运算能力，适配阶段性学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、向量投影、圆锥侧面展开、三棱锥最短路径|单选夯实基础，多选综合辨析（如正方体动态点位置关系）| |填空题|3题15分|函数图像、正四棱锥外接球、向量平行|结合图像与空间几何，考查直观想象| |解答题|5题77分|复数几何意义、解三角形与向量综合、立体几何证明与计算、三角函数性质与方程、解三角形综合|注重知识交汇（如17题线面平行与比例计算），突出逻辑推理与运算求解（如19题周长最小值及面积范围）|

2025-2026学年高一数学下学期6月月考模拟卷(五) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四至11.3空间中的平行关系。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，可知的虚部为1. 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设. 3．设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在上的投影向量的定义建立方程，求解夹角的余弦值，结合夹角的取值范围确定夹角. 【详解】设向量与的夹角为， 根据投影向量的定义，在上的投影向量为， 可得 ，因此，解得 . 又因为，所以. 4．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 则，解得， 又，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是. 5．如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先作出三棱锥的侧面展开图，利用平面图形中两点之间直线段最短可得最短路线的长. 【详解】因为，为正三角形，所以， 所以， 将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长， 因为 , 由余弦定理得到， 即， 所以，即点B的最短路线的长为. 6．将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移得，将问题化为在上单调，结合正弦函数性质求参数的取值范围． 【详解】函数的图象向右平移个单位长度， 得到，， 则，即在上单调， ，解得． 7．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得 【详解】因为，所以，故．又， 所以，．所以． 所以． 8．已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为(     ) A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角，结合基本不等式求得的最大值，最后代入三角形面积公式得到最大值. 【详解】由正弦定理，将角化边， 得，整理得. 由余弦定理，得，又，故. 将代入，得. 由基本不等式，得，解得，当且仅当时取等号. 又三角形面积， 因此，，即面积的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则以下说法正确的是（　　） A． B．的共轭复数 C．复数是方程的一个根 D．在复平面内与对应的点在第二象限 【答案】ABD 【详解】由，所以，故A正确； 的共轭复数，故B正确; 由，得，解得， 所以复数不是方程的一个根，故C错误； 在复平面内与对应的点为，在第二象限，故D正确. 10．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 C．若，则是钝角三角形 D．若，则为等腰的三角形 【答案】AC 【详解】若，则，由正弦定理得，故A正确； 因为，满足这组条件的三角形不存在，故B错误； 若，由正弦定理得， 由余弦定理得，则角为钝角，则是钝角三角形，故C正确； 若，而为三角形内角， 则或，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，D错误． 11．如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 【答案】BCD 【分析】对于A，由与是正方体对角面的两条对角线，可判断，对于B，证明平面平面，根据面面平行的性质，可得答案.对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D，通过平面，设垂足为，通过等体积计算，确定，可判断D. 【详解】 对于A，直线与是正方体对角面的两条对角线，故共面，A错误； 对于B，在正方体中， ，平面，平面， 平面， 连接，由正方体的性质可得， 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面, 所以平面平面. 因为平面，所以平面，故B正确. 对于C，如图： 在正方体中，易知为等边三角形，则， ，或其补角为异面直线与所成角， 则异面直线与所成角的取值范围，故C正确； 对于D，连接，记， 在正方体中，平面， 平面，， 在正方形中，， ，平面，平面，平面，， 同理可得：， ，平面，平面， 又平面平面. 所以平面，设交点为， 所以直线与直线相交时，交点为， 又，设正方体棱长为2， 得， 得，又， 所以当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数，如图，则___________. 【答案】 【详解】由图可知，正切函数的周期 . 根据周期公式 ，得 ，解得 . 正切函数的零点满足 ，图中零点为 ，代入得， 由，得 时，，符合条件. 由图可知函数过点，代入得， 所以. 13．正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 【答案】 【分析】利用直角三角形求出外接球的半径，设中点为，连接，过作，则即为点到平面的距离，根据相似即可求出，得到外接球所得截面的面积. 【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为， 连接，如图所示， 由题意得，且正四棱锥的外接球球心， 设外接球半径为，则， 在中，，且， 所以，解得，即， 在中，， 过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心， 所以，则， 所以，即平面截其外接球所得截面圆的半径为， 所以截面的面积. 14．已知向量，，向量与平行，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】因为， 所以由向量与平行，得：， 解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在的图象上 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）由复数对应的点在虚轴上，则，即，则或； （2）由复数对应的点在第二象限，则，即，则； （3）由复数对应的点在的图象上，则，即，则. 16．在△ABC中，已知.设，若，且＝0. (1)求的值； (2)设不同于点A的点E满足，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底向量法结合数量积的运算律，或建立坐标系，或利用余弦定理解三角形可得； （2）对应（1）的三种方法，结合向量垂直的表示方法，可求得实数的值，特别注意，点E不同于点A，所以. 【详解】（1）解法一：基底向量法 因为，所以D分所成比为2：1（靠近C）. 所以. ， 又，且， 所以，. 解法二：坐标法. 由，得，即. 以A为原点建如图所示平面直角坐标系，则，. ∵，设，则， ∴. ∴ 解法三：平面几何＋解三角形法. 由，得，即. ∵，∴， ∴，. ∴， ∴. （2）由， 得，， 所以 解得或. 当时，点E与A重合，舍去， 当时，点E在的延长线上，亦满足垂直条件. 综上，. 方法二：坐标法 设，则，， ∵，∴. ∴， ∴， ∴， 解得或. 当时，点E与A重合，舍去， 当时，点E在的延长线上，亦满足垂直条件. 综上，. 方法三： 由（1）知，. ∴， ∴. 又， ∴E在以为直径的圆上. 不妨设圆心为P，∵， ∴，∴. 17．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明线线平行，从而证明线面平行； （2）通过相似三角形从而确定动点的位置，进而根据体积之间的比例进行求解； 【详解】（1），平面， 平面，面， 面，面面，， 面，面，面. （2）如下图所示，连接交于点，连接，作交于， 设，平面，平面， 平面平面，， 在梯形中，，， ，，，即， 可得 ，故. 18．已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称轴和零点； (2)若，，求的值； (3)若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值． 【答案】(1)，对称轴，零点或． (2) (3)且，或 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式及辅助角公式化简函数为，再利用正弦型函数的性质求最小正周期、对称轴和零点； （2）利用已知条件求出，进而根据求出，最后利用余弦的和角公式计算求解； （3）把零点问题转化为与直线的交点问题，作出的大致图象，结合图象及正弦型函数的对称性求实数m的取值范围及的值． 【详解】（1） ， 函数的最小正周期为， 令，解得对称轴为， 令，即，则或， 解得或． （2），解得， ， ，则位于第四象限，， ， ． （3）方程在上有两个不同的解、，等价于与 在有两个不同交点， ， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 最大值为，最小值为，且， 作出函数大致图象如下： 由图象可知，且时，直线与有两个交点， 解得且， 当，即时，两交点关于对称轴对称， 则； 当，即时，两交点关于对称轴对称， 则． 19．在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得到边角关系，结合正弦定理化简求角； （2）将周长最小值转化为求边的最小值，结合余弦定理和基本不等式求解； （3）利用正弦定理将转化为角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求面积的取值范围. 【详解】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期6月月考模拟卷(五) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四至11.3空间中的平行关系。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（    ） A． B． C． D． 5．如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为(     ) A． B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则以下说法正确的是（　　） A． B．的共轭复数 C．复数是方程的一个根 D．在复平面内与对应的点在第二象限 10．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 C．若，则是钝角三角形 D．若，则为等腰的三角形 11．如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数，如图，则___________. 13．正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 14．已知向量，，向量与平行，则实数的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在的图象上 16．在△ABC中，已知.设，若，且＝0. (1)求的值； (2)设不同于点A的点E满足，且，求实数的值. 17．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 18．已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称轴和零点； (2)若，，求的值； (3)若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值． 19．在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $