2025-2026学年高一数学下学期6月月考模拟卷(四)（辽宁适用）

**基本信息** 聚焦高一数学必修三及必修四空间平行关系，通过数学建模（塔尖距离测量）、空间几何探究（四棱锥中点存在性）等试题，考查数学抽象、逻辑推理与直观想象素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数模、三角函数定义、向量垂直、解三角形|基础概念辨析，如第3题向量垂直求参数| |选择题（多选）|3/18|复数性质、直观图面积、三角形边角关系|多维度辨析，如第11题三角形面积与周长范围| |填空题|3/15|三角恒等变换、三角形面积、正四棱锥线面平行|空间几何应用，如第14题棱上动点满足线面平行| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、三角函数图像性质、四棱锥证明与探究、正四棱台体积与最值|综合探究，如第18题四棱锥中平面平行存在性证明|

2025-2026学年高一数学下学期6月月考模拟卷(四) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四至11.3空间中的平行关系。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】将复数分母实数化写成的形式，利用计算结果． 【详解】因为； 故． 2．已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式、正弦二倍角公式求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 3．已知向量，若，若向量与向量互相垂直，则是（　　） A． B．4 C．7 D．2 【答案】A 【详解】若向量与向量互相垂直，则， 所以， 即，解得. 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 所以， 所以. 5．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米． A．80 B．120 C． D． 【答案】C 【分析】先求，再利用余弦定理求得. 【详解】由题得到米，米， 所以由余弦定理得到， 即， 所以米. 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰直角三角形 【答案】C 【分析】对于A选项，使用正弦定理即可求解；对于B选项，使用余弦函数单调性即可判断；对于C选项，使用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可判断；对于选项D，使用正弦定理边化角，再使用诱导公式即可判断； 【详解】对于A选项，若，则的外接圆半径满足，，圆面积为,故选项A错误; 对于B选项，若，由于在中，,函数在上单调递减，故，选项B错误； 对于C选项，由正弦定理可得，， ， 所以C为钝角，故为钝角三角形，选项C正确； 对于选项D,由可得 ，即， 则为等腰三角形，故选项D错误; 7．一个圆锥的母线长为且轴截面为正三角形，一个平行于底面的平面将圆锥分为体积相等的两个部分，其中圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆锥的母线长为且轴截面为正三角形， 所以圆锥的高为. 平行于底面的平面将圆锥分为体积相等的两个部分，设截得的小圆锥的高为， 则，所以. 所以圆台的高为：. 8．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A． B．点是函数的图象的对称中心 C．函数在区间上是增函数 D．将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为 【答案】C 【分析】利用函数图象先求，再利用三角函数的性质逐项验证即可求解. 【详解】由图可知：，所以， 所以，所以，又， 所以，所以，又， 当，所以，故A正确， 又，故B正确； 令，解得， 所以在单调递增，在单调递减，故C错误； 由 函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数， 所以，所以，当时，，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，其中，是虚数单位，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为纯虚数，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对A，若，则，则，错误； 对B，，正确； 对C，若为纯虚数，则，解得，正确； 对D，若，则，解得或，错误. 10．如图，下图是边长为2的正三角形ABC的直观图，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积 【答案】ABD 【分析】利用斜二测画法规则，结合余弦定理求解判断. 【详解】由斜二测画法规则得，，，ABD正确； 在中，， 由余弦定理得，C错误. 11．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．面积的最大值为 D．周长的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理结合三角变换可先求出，故可判断AB的正误，再根据基本不等式求出的最大值后可判断CD的正误. 【详解】因为，且， 则， 由正弦定理得， 所以， 整理得，而， 故，故， 所以，而为三角形内角， 故，所以，故A正确，B错误. 而，则． 由基本不等式（当且仅当时取等号），已知， 故，解得（当且仅当时取等号）． 因此，故C正确 周长，由余弦定理， 故，而，故， 故．因此周长的取值范围为． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______ 【答案】 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，重难点为齐次式的弦化切运算技巧. 【详解】 同除得： . 13．记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则______. 【答案】2 【分析】根据三角形面积公式、向量的数量积及余弦定理求解即可. 【详解】由的面积为，即， 又， 两式相除得，又，所以，所以， 又，所以. 由余弦定理， 所以. 14．如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 【答案】 【分析】设，连接，利用线面平行的性质得，从而得为中点，再利用棱锥的体积公式和转换底面法，即可求解. 【详解】如图，设，连接，因为四棱锥为正四棱锥，则为的中点， 因为平面，又平面，平面平面， 所以，则为中点，所以， 又，则，所以，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知平面向量，满足，，． (1)若，求； (2)若，求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且为非零向量，故存在实数，使得，故， 故，故，故，故. （2）因为，故， 而，故，故，故， 故. 16．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若，且△ABC的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【详解】（1）由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. （2）由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 17．某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下： x 0 0 1 0 0 (1)根据上表中数据，求出，的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）结合“五点法”的对应取值，列关于和的方程组求解即可. （2）将看作整体，代入正弦函数的单调递减区间求解不等式即可. （3）先求得内层函数在给定区间的取值范围，再结合正弦函数的图象性质求值域即可. 【详解】（1）∵ 由“五点法”的表格数据可知，当时，；当时，. ∴ 列方程组得 ，两式相减得，解得. 将代入，解得，满足. 故，. （2）由（1）得. ∵ 正弦函数的单调递减区间为. ∴ 令. 解左边不等式：，即. 解右边不等式：，即. 故函数的单调递减区间为. （3）当时，∵ . 令，则. ∵ 当时，取得最小值；当时，取得最大值. ∴ ，即在区间上的值域为. 18．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以； 又因为平面，平面， 所以平面； （3） 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． 19．如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)在边上求一点，使得平面，并说明理由； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)为边上满足的点，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件得到上下底面正方形的边长，再结合侧棱长求出正四棱台的高，最后代入棱台体积公式计算体积即可. （2）当时满足要求，先可证得，再结合线面平行的判定定理即可推出平面. （3）将侧面和侧面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，可知的最小值就是展开平面中线段的长度，用余弦定理即可计算得结果. 【详解】（1）由题意可知，下底边长 ，上底边长， 上下底面均为正方形，故，， 上下底面中心与同底面各顶点的距离差为： ， 设棱台高为，由勾股定理：，得， 由棱台体积公式可得： . （2）由，,可得， 因为且，故得，则， 如图，若在边上取点，满足，连接, 则因且,故得，则, 故,又因不在平面内，平面,故得平面. 即在边上存在点满足，使得平面. （3）如图将平面沿展开，使平面与平面共面， 因为棱上的动点，的最小值即图中的线段之长. 因，，可得， 则，由余弦定理， 即，故的最小值为. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期6月月考模拟卷(四) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四至11.3空间中的平行关系。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，若向量与向量互相垂直，则是（　　） A． B．4 C．7 D．2 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米． A．80 B．120 C． D． 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰直角三角形 7．一个圆锥的母线长为且轴截面为正三角形，一个平行于底面的平面将圆锥分为体积相等的两个部分，其中圆台的高为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A． B．点是函数的图象的对称中心 C．函数在区间上是增函数 D．将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，其中，是虚数单位，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为纯虚数，则 D．若，则 10．如图，下图是边长为2的正三角形ABC的直观图，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积 11．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．面积的最大值为 D．周长的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______ 13．记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则______. 14．如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知平面向量，满足，，． (1)若，求； (2)若，求与夹角的余弦值． 16．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若，且△ABC的面积为，求. 17．某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下： x 0 0 1 0 0 (1)根据上表中数据，求出，的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 18．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 19．如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)在边上求一点，使得平面，并说明理由； (3)求的最小值． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $