专题05 一元一次不等式组的解法与应用【期末复习重难点专题培优十四大题型】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式组解法与应用，通过3类基础题型+11类难点题型+真题演练的层级设计，系统提炼解题方法，构建从概念到应用的完整知识逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型|3题型（解集、特殊不等式组、列不等式组）|数轴法解解集、阅读材料迁移法|从基础解法到列不等式组，夯实概念理解与运算能力| |难点攻克|11题型（整数解、参数问题、实际应用等）|参数分类讨论、方程组与不等式组结合、实际问题建模|深化概念应用，培养推理能力与数学思维| |真题实战|48题（基础+拔尖）|分层训练法|对接中考命题趋势，强化应用意识与综合解题能力|

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题05 一元一次不等式组的解法与应用『期末复习重难点专题培优』 【3个重点题型+11个难点攻克+真题实战演练 共48题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 求不等式组的解集 1 题型二 解特殊不等式组 2 题型三 列一元一次不等式组 3 难点攻克 思维拓展 4 题型四 求一元一次不等式组的整数解 4 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 5 题型六 由不等式组解集的情况求参数 5 题型七 不等式组和方程组结合的问题 5 题型八 不等式组的行程问题 6 题型九 不等式组的工程问题 7 题型十 不等式组的经济问题 8 题型十一 不等式组的分配问题 9 题型十二 不等式组的方案选择问题 10 题型十三 不等式组的阶梯收费问题 12 题型十四 一元一次不等式组的其他应用 13 优选真题 实战演练 14 【基础夯实 能力提升】 14 【拓展拔尖 冲刺满分】 16 题型一 求不等式组的解集 【精讲】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算： (1) (2)解不等式组： 【精练】（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）解不等式（组）： (1)； (2)． 题型二 解特殊不等式组 【精讲】（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【精练】（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 题型三 列一元一次不等式组 【精讲】（25-26八年级下·四川达州·期中）渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【精练】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 题型四 求一元一次不等式组的整数解 【精讲】（25-26八年级下·广东深圳·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组．的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组．的“关联方程”． (1)方程_____（填“是”或“不是”）不等式组．的“关联方程”； (2)关于x的方程是不等式组．的“关联方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有2个整数解，试求m的取值范围． 【精练】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）解不等式组，并求出它的所有整数解． 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 【精讲】（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【精练】（25-26八年级下·江西九江·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)若不等式的解集为，请求出整数的值． 题型六 由不等式组解集的情况求参数 【精讲】（25-26八年级下·河北保定·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 【精练】（25-26八年级下·广东深圳·期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七 不等式组和方程组结合的问题 【精讲】（25-26八年级下·广东揭阳·期中）根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 【精练】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 题型八 不等式组的行程问题 【精讲】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【精练】（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 题型九 不等式组的工程问题 【精讲】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【精练】某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 题型十 不等式组的经济问题 【精讲】（25-26八年级下·广东深圳·期中）2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元． (1)每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？ (2)已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？ 【精练】（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 题型十一 不等式组的分配问题 【精讲】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【精练】为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨． 接收地 出发地 地 地 甲厂 乙厂 (1)直接写出的取值范围： ． (2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？ (3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值． 题型十二 不等式组的方案选择问题 【精讲】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个． ①根据题意，完成以下表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） x 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 【精练】（25-26七年级下·全国·周测）制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示． (1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整． 甲地 乙地 丙地 产品件数 x 2x 运费/元 20x (2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案． 题型十三 不等式组的阶梯收费问题 【精讲】（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【精练】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 题型十四 一元一次不等式组的其他应用 【精讲】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【精练】（25-26八年级下·福建福州·期中）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，需要五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根门条长y是胸腹高的一次函数，且当时，；当时，．单根门条比单根膀条短，图1中、的长均等于胸腹高．单根尾条的长度与总高满足，所有竹条长度单位统一为厘米． 请解答以下问题： (1)求门条长度关于胸腹高的函数表达式； (2)①单根膀条的长度为______(用含的式子表示)；单根尾条的长度为______(用含的式子表示)； ②在实际制作过程中，要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过．求的取值范围？ (3)费师傅是北京有名的京燕风筝手艺人，其加工门条、膀条、尾条的单价分别元/、元/、元/．从函数的角度分析，求制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用是多少元？ 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）平面直角坐标系中的点在第四象限，则m的取值范围________． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于25”为一次运算，且运算进行2次才停止，则可输入的实数的取值范围是_______________． 6．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，点不在第______象限内， 7．（25-26七年级下·重庆·期中）解不等式（组）． (1)解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组： 8．（25-26七年级下·山西临汾·期中）小颖求不等式组的非负整数解时草稿纸上演算的过程： 解不等式②，第一步 第二步 第三步 第四步 (1)小颖发现不等式②解得不对，请指出是第__________步开始出现错误，错误原因是__________． (2)请完成本题的解答． 9．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）解不等式（组）： (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并写出所有的整数解． 10．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）【定义新知】给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 (1)请写出不等式的一个子集______； (2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围______； (3)已知不等式组G：有解，且不等式组G是不等式组H：的“子集”，求a的取值范围． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·河南郑州·期中）关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒有成立，则k的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如果有一种新的运算定义为：“，其中、为实数，且”，比如：，解关于的不等式组，则的取值范围是______． 5．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人可以分到书本但不足3本，这些书有__________本． 6．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）若不等式组的解集是，则______． 7．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）解不等式（组） (1)解不等式：； (2)解不等式组：，并写出其整数解． 9．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：， ，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得①，②， 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为________； (2)解一元二次不等式； (3)解分式不等式． 10．（25-26八年级下·广东深圳·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”． (1)方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围． (3)若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题05 一元一次不等式组的解法与应用『期末复习重难点专题培优』 【3个重点题型+11个难点攻克+真题实战演练 共48题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 求不等式组的解集 1 题型二 解特殊不等式组 3 题型三 列一元一次不等式组 6 难点攻克 思维拓展 7 题型四 求一元一次不等式组的整数解 7 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 9 题型六 由不等式组解集的情况求参数 11 题型七 不等式组和方程组结合的问题 11 题型八 不等式组的行程问题 14 题型九 不等式组的工程问题 17 题型十 不等式组的经济问题 19 题型十一 不等式组的分配问题 21 题型十二 不等式组的方案选择问题 23 题型十三 不等式组的阶梯收费问题 26 题型十四 一元一次不等式组的其他应用 29 优选真题 实战演练 32 【基础夯实 能力提升】 32 【拓展拔尖 冲刺满分】 38 题型一 求不等式组的解集 【精讲】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算： (1) (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）按照先算乘方、开方、负整数指数幂、绝对值，再算乘除，最后算加减的运算顺序计算即可． （2）分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到最终结果． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：解不等式组 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【精练】（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为； （2）解：解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为． 题型二 解特殊不等式组 【精讲】（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了不等式的性质，求一元一次不等式，解特殊不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （2）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （3）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． 【规范解答】解：（1）∵， ， 又， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （2）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （3）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ∴， ， ∵， 同理， 由得， ∴， 即取值范围是． 【精练】（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或者 (2) (3)或者 【思路引导】本题考查了绝对值及不等式的知识． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求出的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集． 【规范解答】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或 ∴方程的解为或， 故答案为：或； （2）解：∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点的对应的数为或8 ∴方程的解为或 ∴的解集为． （3）解：由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值． ∵在数轴上4和对应的点的距离是6 ∴满足方程的x的点在4的右边或的左边 若x对应的点在4的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得 ∴方程的解为或 ∴的解集为或者． 题型三 列一元一次不等式组 【精讲】（25-26八年级下·四川达州·期中）渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 【精练】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【规范解答】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 题型四 求一元一次不等式组的整数解 【精讲】（25-26八年级下·广东深圳·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组．的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组．的“关联方程”． (1)方程_____（填“是”或“不是”）不等式组．的“关联方程”； (2)关于x的方程是不等式组．的“关联方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有2个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【思路引导】（1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有2个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【规范解答】（1）解：， 解得， 解不等式组， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵在的范围内， ∴方程是不等式组．的“关联方程”； （2）解：， 解得， ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得； （3）解：， 去分母得， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 ∴， 解得， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 解得， ∴． 【精练】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1，2 【思路引导】先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解，最后根据不等式组的解集确定所有整数解即可． 【规范解答】解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为， 所以该不等式组的所有整数解为，0，1，2． 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 【精讲】（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【思路引导】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【规范解答】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 【精练】（25-26八年级下·江西九江·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围； （2）根据不等式的解集为，结合不等式的性质得到，求解得到的范围，再结合（1）的结论，找出范围内的整数即可． 【规范解答】（1） 解： ， 得， 两边同除以，得， ， ，解得； （2）解：不等式的解集为， ，解得， 结合（1）的结论，得， 该范围内的整数为． 题型六 由不等式组解集的情况求参数 【精讲】（25-26八年级下·河北保定·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【思路引导】本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数建立关于的不等式，即可求解的取值范围． 【规范解答】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有4个整数解， 不等式组的个整数解为，，0，1， ． 【精练】（25-26八年级下·广东深圳·期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先解两个不等式组，再依据不等式组无解可以得出的取值范围． 【规范解答】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴， 解得． 题型七 不等式组和方程组结合的问题 【精讲】（25-26八年级下·广东揭阳·期中）根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为； 解方程， 得， ，即． （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 解关于，的方程组，得， 解得． 【精练】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【思路引导】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【规范解答】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 题型八 不等式组的行程问题 【精讲】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【答案】(1)点表示第14秒时乙组追上甲组； (2) (3)或 【思路引导】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数和一元一次不等式组的应用； （1）根据题意结合函数图象，即可求解； （2）根据点，点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得的函数表达式为，根据两组之间的距离不超过时，分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前；②当甲到终点，乙还没有到终点前；建立不等式，并根据函数图象，即可求解． 【规范解答】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组； 或“乙组到第14秒时已经走了24米”， 或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”． （2）解：设的函数表达式为 点，点 ，解得， 的函数表达式为． （3）解：设的函数表达式为 ∵， ，解得， 的函数表达式为， 分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前 ， 可解得 ②当甲到终点，乙还没有到终点前 将代入， 解得：， ， 综合①②得的取值范围为：或 【精练】（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【规范解答】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 题型九 不等式组的工程问题 【精讲】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 【精练】某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50 (2) (3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元 【思路引导】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解； （2）根据题意得到，整理得：，再根据甲、乙两队施工的总天数不超过26天求出自变量取值范围即可解答． （3）由（2）可得，设施工总费用为元，得出与x的关系式，根据一次函数的性质，即可解答． 【规范解答】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意．得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）根据题意，得：， 整理得：， ∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天， ∴，即 解得 ∴y与x的函数解析式为： ． （3）设施工总费用为w万元，根据题意得： ∵， ∴w随x减小而减小， ∵ ∴当时，w有最小值，最小值为， 此时． 答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元． 【考点剖析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 题型十 不等式组的经济问题 【精讲】（25-26八年级下·广东深圳·期中）2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元． (1)每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？ (2)已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每个A款纪念品售价为120元，每个B款纪念品售价为80元 (2)购进A款纪念品200个时，该商店销售利润最大，最大利润为17600元 【思路引导】（）设两个未知数，根据题干给出的两种售价总和的条件，列出二元一次方程组求解即可； （）设购进A款纪念品的数量，根据单利润乘以数量得到总利润，整理出总利润关于A款数量的一次函数，再根据题干给出的数量关系和总价限制列出不等式组，得到自变量的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出最大利润及对应的购进数． 【规范解答】（1）解：设每个A款纪念品售价为元，每个B款纪念品售价为元， 根据题意可得解得 答：每个A款纪念品售价120元，每个B款纪念品售价80元； （2）设购进A款纪念品个，总销售利润为元，则购进B款纪念品个， ∴降价后A款纪念品的售价为（元）， 每个A款的利润为（元），每个B款的利润为（元） ∴总利润； 根据题意列不等式组得解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：购进A款纪念品200个时该商店当月销售利润最大，最大利润为17600元． 【精练】（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【答案】25个 【思路引导】根据题目中的两个不等关系列出不等式组，求解后取x的最大值即可得到结果． 【规范解答】解：设购买A品牌足球的数量为，则购买B品牌足球的数量为 个， 根据题意列不等式组 ， 解第①个不等式得：， 解第②个不等式得：， 因此不等式组的解集为：， 所以的最大值为． 答：学校最多买25个A品牌的足球． 题型十一 不等式组的分配问题 【精讲】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【答案】(1)(且x为整数) (2)租甲种客车2辆，乙种客车3辆 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题意得租乙种型号辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可列总费用解析式； （2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解． 【规范解答】（1）解：∵租用甲种客车x辆， ∴租用乙种客车辆， 由题意得，总费用为 (且x为整数)； （2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元， ∴， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴x的取值为2或3， ∵中， ∴y随x增大而增大， ∴当时，总费用最低， ∴租甲种客车2辆，乙种客车辆． 【精练】为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨． 接收地 出发地 地 地 甲厂 乙厂 (1)直接写出的取值范围： ． (2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？ (3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值． 【答案】(1) (2)从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防 疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元 (3)百元 【思路引导】（）由题意可得从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，进而列出不等式组解答即可求解； （）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解； （）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，再分、和三种情况，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵从甲厂运往地防疫物资吨， ∴从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往 地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物 资吨， 则， 解得， 故答案为：； （2）解：设总费用为百元， 根据题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最小，最小值为百元， ∴从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元； （3）解：设总费用为百元， 根据题意得，， 当，即时，随的增大而减小， ∵， ∴时，的值最小，最小值为百元； 当，即时，百元； 当，即时，随的增大而增 大， ∴当时，的值最小，最小值为， 当时，， 此时的最小值为百元； 综上所述，总运费可以达到的最小值是百元． 题型十二 不等式组的方案选择问题 【精讲】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个． ①根据题意，完成以下表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） x 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)①见解析；②有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个；②生产竖式纸盒个，横式纸盒个；③生产竖式纸盒个，横式纸盒个； (2)方案①销售利润最大，最大利润是262元． 【思路引导】（1）①根据题意和表格中的数据可以将空白处的数据补充完整；②根据题意列出不等式组即可； （2）分别计算三种方案的利润，然后比较求解即可． 【规范解答】（1）解：①根据题意得，              纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） ②由题意得 解得． ∵为正整数， ∴，，． 有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个；②生产竖式纸盒个，横式纸盒个；③生产竖式纸盒个，横式纸盒个； （2）解：方案①利润为：（元）； 方案②利润为：（元）； 方案③利润为：（元）； ∵ ∴方案①销售利润最大，最大利润是262元． 【精练】（25-26七年级下·全国·周测）制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示． (1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整． 甲地 乙地 丙地 产品件数 x 2x 运费/元 20x (2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案． 【答案】(1)见解析 (2)一共有3种运输方案，分别如下：方案1：安排34件产品运往甲地，安排68件产品运往乙地，安排198件产品运往丙地；方案2：安排35件产品运往甲地，安排70件产品运往乙地，安排195件产品运往丙地；方案3：安排36件产品运往甲地，安排72件产品运往乙地，安排192件产品运往丙地 【思路引导】（1）根据运往丙地的产品件数总件数运往甲地的产品件数运往乙地的产品件数；运费相应件数一件产品的运费，即可补全图表； （2）根据经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的倍，且总运费不超过元，求出的取值范围，再根据只能取整数，即可得出运输方案． 【规范解答】（1）解：表格填写如下： 甲地 乙地 丙地 产品件数 运费/元 （2）解：根据题意，得 解得 ∴该不等式组的解集为． 为正整数， 可取或或． 故一共有种运输方案，分别如下： 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地； 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地； 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地． 【考点剖析】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意只能取整数． 题型十三 不等式组的阶梯收费问题 【精讲】（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【规范解答】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 【精练】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【思路引导】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【规范解答】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 题型十四 一元一次不等式组的其他应用 【精讲】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 (2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【思路引导】（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. 【规范解答】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 【精练】（25-26八年级下·福建福州·期中）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，需要五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根门条长y是胸腹高的一次函数，且当时，；当时，．单根门条比单根膀条短，图1中、的长均等于胸腹高．单根尾条的长度与总高满足，所有竹条长度单位统一为厘米． 请解答以下问题： (1)求门条长度关于胸腹高的函数表达式； (2)①单根膀条的长度为______(用含的式子表示)；单根尾条的长度为______(用含的式子表示)； ②在实际制作过程中，要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过．求的取值范围？ (3)费师傅是北京有名的京燕风筝手艺人，其加工门条、膀条、尾条的单价分别元/、元/、元/．从函数的角度分析，求制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用是多少元？ 【答案】(1) (2)①；；② (3)制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为元 【思路引导】（1）根据题意待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据题意得出单根膀条的长度为，进而求得的关系式，即可得出单根尾条的长度； ②由图2可得，则，根据要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过，建立不等式组，解不等式组，即可求解； （3）根据（2）得出的最小值为，分别求得门条、膀条、尾条的长度进而乘以单价，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵单根门条长y是胸腹高的一次函数，设函数表达式为 ∵当时，；当时，． ∴ 解得： ∴门条长度关于胸腹高的函数表达式为 （2）解：①∵单根门条比单根膀条短， ∴单根膀条的长度为 ∵头部高、胸腹高与尾部高的比是． ∴ ∵单根尾条的长度与总高满足 ∴， ②由图2可得，， ∴ ∵要求门条中的不小于的倍， ∴ ∴ 解得： ∵制作风筝的膀条单根长度不超过， ∴， 解得： ∴ （3）解：由（2）可得的最小值为 ∴门条长度 单根膀条的长度为 单根尾条的长度为 ∴制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为：（元） 答：制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为元 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：不等式组的解集为， 在数轴上表示是： 2．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】不等式组无解即两个不等式的解集没有公共部分，据此确定参数m的取值范围即可． 【规范解答】解：当时，不存在x同时满足和，不等式组无解， 因此m的取值范围是． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据不等式组解集的确定规则，判断两个不等式解集存在公共部分的条件即可求解． 【规范解答】解：关于的不等式组有解， 两个不等式的解集必须存在公共部分，即存在实数满足 ， ． 4．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）平面直角坐标系中的点在第四象限，则m的取值范围________． 【答案】 【规范解答】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：， 即． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于25”为一次运算，且运算进行2次才停止，则可输入的实数的取值范围是_______________． 【答案】 【思路引导】根据程序可以列出不等式组，即可确定实数x的取值范围，从而求解． 【规范解答】解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 根据题意得：， 解得：． 6．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，点不在第______象限内， 【答案】四 【思路引导】根据每个象限内的点的坐标符号和，建立a的不等式组，求出a的取值范围，如果在取值范围内存在a的值，A就在此象限；如果在取值范围不存在a的值，A就不在此象限． 【规范解答】判断是否在第一象限 第一象限的点，横坐标和纵坐标都必须大于0． 即， 解得： 得． ∵存在满足条件的实数 （例如）， ∴点A可以在第一象限． 判断是否在第二象限 第二象限的点，横坐标小于0，纵坐标大于0． 即， 解得：， 得． ∵存在满足条件的实数（例如）， ∴点A可以在第二象限． 判断是否在第三象限 第三象限的点，横坐标和纵坐标都必须小于0． 即， 解得， 得． ∵存在满足条件的实数（例如）， ∴点A可以在第三象限． 判断是否在第四象限 第四象限的点，横坐标大于0，纵坐标小于0． 即， 解得：， 这两个条件是相互矛盾的， 不存在任何一个实数既能大于6又能小于-4． 因此，点A绝对不可能在第四象限． 综上所述，点A不在第四象限内． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）解不等式（组）． (1)解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组： 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【规范解答】（1）解： 解得 ∴不等式的解集为 （2）解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 8．（25-26七年级下·山西临汾·期中）小颖求不等式组的非负整数解时草稿纸上演算的过程： 解不等式②，第一步 第二步 第三步 第四步 (1)小颖发现不等式②解得不对，请指出是第__________步开始出现错误，错误原因是__________． (2)请完成本题的解答． 【答案】(1)一，去分母时常数项1漏乘公分母 (2)见解析 【思路引导】（1）去分母时每一项都需要乘以公分母； （2）先求出每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集． 【规范解答】（1）解：第一步开始出现错误，错误原因是去分母时常数项1漏乘公分母； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴满足不等式组的所有非负整数解为0，1，2． 9．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）解不等式（组）： (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并写出所有的整数解． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，，0，1 【思路引导】（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，将解集表示在数轴上即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再写出整数解即可． 【规范解答】（1）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：， 数轴表示如图： （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴所有的整数解为，，0，1． 10．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）【定义新知】给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 (1)请写出不等式的一个子集______； (2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围______； (3)已知不等式组G：有解，且不等式组G是不等式组H：的“子集”，求a的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【思路引导】（1）利用“子集”的定义解答即可； （2）先求出不等式组的解集，再利用“子集”的定义求解即可； （3）先求出不等式组中两个不等式的解集，再利用不等式组G有解，且不等式组G是不等式组H的“子集”，列出不等式组，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：根据“子集”的定义，得到不等式的一个子集可以为：； （2）解：不等式组的解集为， 由于关于x的不等式组是不等式组的“子集”， 则； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 由于不等式组G有解，且不等式组G是不等式组H：的“子集”， 则， 解得：． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·河南郑州·期中）关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先解出不等式组的解集，再根据奇数的特点确定符合条件的奇数，进而求出参数的取值范围． 【规范解答】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个奇数解，小于的奇数从大到小依次为，符合条件的两个奇数为和， ∴． 2．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 【答案】B 【思路引导】求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4， ∴或或， 故选B． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒有成立，则k的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【思路引导】先根据平行于y轴的直线性质求出点B、C的坐标，得到的长度表达式，再结合绝对值不等式恒成立的条件，通过分类讨论转化为关于k的不等式，进而求出k的取值范围． 【规范解答】解：过点作平行于y轴的直线为， 将代入，得， 将代入，得， 两点横坐标相同，为纵坐标差的绝对值， ， 由题意，在时，恒成立， 即，化简得， 情况1：当时，，不等式恒成立 情况2：当时， ， 不等式两边同除以（，不等号方向不变），得， 对于恒成立： ，越大越大，当时取最大值为：， ，解得， 对于恒成立，解得， ， 的取值范围为且． 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如果有一种新的运算定义为：“，其中、为实数，且”，比如：，解关于的不等式组，则的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】根据定义的运算法则列出不等式组，解不等式组即可． 【规范解答】解：根据题意将不等式组可以转化为：， 整理得：， 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为． 5．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人可以分到书本但不足3本，这些书有__________本． 【答案】21 【思路引导】设有名同学，则这些书有本，然后根据题意可得不等式组，进而问题可求解． 【规范解答】解：设有名同学，则这些书有本，由题意得： ， 解得：， ∵取正整数， ∴， ∴这些书有本． 6．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）若不等式组的解集是，则______． 【答案】1 【思路引导】先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集列出关于、的方程，求出、的值，继而代入计算即可． 【规范解答】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 7．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【思路引导】先分别解不等式①和②，然后求公共解，得到不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【规范解答】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是； 在数轴上表示为： ． 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）解不等式（组） (1)解不等式：； (2)解不等式组：，并写出其整数解． 【答案】(1) (2)，0，1，2，3 【规范解答】（1）解：， ， ， ， （2）解：解不等式得，， 解不等式 得，， 所以不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为0，1，2，3． 9．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：， ，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得①，②， 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为________； (2)解一元二次不等式； (3)解分式不等式． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【思路引导】（1）利用因式分解法得到，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可； （2）利用因式分解法得到，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可； （3）利用分式的性质，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ①或②， 解①得；解②得， 故一元二次不等式的解集为：或； （2）解：∵， ∴， ， ①或②， 解①得；解②无解， 故一元二次不等式的解集为：； （3）解：∵． ①或②， 解①得；解②得． 故不等式的解集为或． 10．（25-26八年级下·广东深圳·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”． (1)方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围． (3)若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）先求出方程的解，再解不等式组，最后验证方程的解是否在不等式组的解集内，判断是否满足 “约定方程” 的定义； （2）先解不等式组得到解集，再求出方程的解，根据 “方程的解在不等式组解集内” 列不等式，求解a的取值范围； （3）先求出两个方程的解，再解含参数的不等式组（需对参数的符号进行分类讨论），根据 “两个方程的解都在不等式组的解集内” 列不等式，求解的取值范围． 【规范解答】（1）解：解方程得， 不等式组的解集为 ， 方程是不等式组的“约定方程”； （2）解方程得， 不等式组的解集为， 关于的方程是不等式组的“约定方程”， ； 解得； （3）解方程得， 解方程得， 解不等式①得， 解不等式②得， 当时，不等式组的解集为， 方程的解和均不满足，不符合题意； 当时，不等式组的解集为， 上述两方程都是不等式组的约定方程， 解得， 的取值范围为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $