专题04 一元一次不等式及与一次函数问题【期末复习重难点专题培优十大题型】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

**基本信息** 以“3重点+7难点+真题演练”构建分层训练体系，通过题型分类讲练与思维拓展，系统覆盖一元一次不等式及函数综合问题，突出方法迁移与逻辑推导。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型|3题型（解集求解/数轴表示/列不等式）|“定义法+步骤化”解不等式，数轴直观表示解集|从概念（不等式定义）到基础应用（列不等式），构建代数表达逻辑| |难点攻克|7题型（整数解/最值/绝对值不等式/实际与几何应用/函数综合）|绝对值分类讨论、函数图像法解不等式，实际问题建模|从代数延伸至几何（边长关系）与函数（图像交点），形成跨领域综合逻辑| |真题演练|50题（基础夯实+拓展拔尖）|分层训练法，高频考点针对性突破|从基础运算到综合应用，契合中考命题趋势，强化模型意识与推理能力|

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题04 一元一次不等式及与一次函数问题『期末复习重难点专题培优』 【3个重点题型+7个难点攻克+真题实战演练 共50题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 求一元一次不等式的解集 1 题型二 在数轴上表示不等式的解集 4 题型三 列一元一次不等式 6 难点攻克 思维拓展 8 题型四 求一元—次不等式的整数解 8 题型五 求一元一次不等式解的最值 9 题型六 解|x|≥a型的不等式 11 题型七 用一元一次不等式解决实际问题 15 题型八 用一元一次不等式解决几何问题 18 题型九 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 23 题型十 根据两条直线的交点求不等式的解集 26 优选真题 实战演练 31 【基础夯实 能力提升】 31 【拓展拔尖 冲刺满分】 37 题型一 求一元一次不等式的解集 【精讲】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足不小于．求的取值范围． 【答案】 【思路引导】先解二元一次方程组得到，再将值代入不等式得到关于的不等式，求一元一次不等式解集即可． 【规范解答】解：关于的二元一次方程组， 由①②得，解得， 由①②得，解得， 方程组的解满足不小于， ， 解得． 【精练1】（25-26八年级下·江西九江·期中）按要求完成以下问题 (1)解不等式： (2)如图，在和中，，，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． (3) 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）先由得到，即可利用证明． 【规范解答】（1）解： 解得 ∴不等式的解集为； （2）证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 【精练2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②当时，都成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；②或 【思路引导】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解；②由①得，则，再分和两种情况讨论，求出的最小值，再结合“当时，都成立”，列出关于的不等式，即可求解． 【规范解答】（1）解：把点，代入得： ， 解得，     ∴的表达式为； （2）解：①把点代入得： ，即， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴； ②由①得，， ∴， ∴， 当时，则， ∴随着的增大而增大， ∴当时，有最小值， ∵当时，都成立， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最小值， ∵当时，都成立， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，a的取值范围为或． 题型二 在数轴上表示不等式的解集 【精讲】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【思路引导】根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【规范解答】解：去括号得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 将其解集在数轴上表示出来如图所示： 【精练1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则__________． 【答案】4 【思路引导】先解不等式可得，再根据题意可得不等式的解集为，从而可得，然后进行计算即可解答． 【规范解答】解：， 解得，， 由题意得：不等式的解集为， ∴， 解得． 【精练2】（23-24七年级下·北京·期中）若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 【答案】(1)0，3 (2) (3)， 【思路引导】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答； （2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解，然后可得a的取值范围； （3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到n的取值范围． 本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键． 【规范解答】（1）解：∵当时，则无正整数解， ∴是0阶不等式； ∵ ∴ ∴． ∴有3个正整数解，为1，2，3． ∴是3阶不等式组． 故答案为：0，3； （2）解：∵关于x的不等式是4阶不等式， ∴x有4个正整数解，为：1，2，3，4， ∴． 故答案为：； （3）解：∵关于x的方程的解是不等式的正整数解， ∴ ∴，， ∴m为偶数，且， ∴， ∴， ∴可得图如下所示： ∴的取值范围是． 题型三 列一元一次不等式 【精讲】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）某中学在五一到来之际组织了一场以“强国有我”为主题的知识竞赛，这次竞赛共20道题，评分标准是____，小刚在这次竞赛中有2题未答，已知他的总分不低于80分，那么小刚至少答对的题数是多少？若设小刚答对了x道题目，可列不等式，则此次知识竞赛的评分标准是（   ）． A．答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． B．答对1题给5分，答错1题不扣分，不答题扣2分． C．答对1题给5分，答错1题或不答题扣2分． D．答对1题给5分，答错1题或不答题不给分也不扣分． 【答案】A 【思路引导】根据不等式中各项的含义，分别分析答对、答错、未答题的计分规则，从而确定评分标准． 【规范解答】解：已知一共20道题，2题未答，答对道，则答错的题目数量为， 不等式中： 表示答对道题，1题得5分的总得分； 表示答错道题，1题扣2分的扣分； 未答的2道题，式子中未涉及加减，说明不答题不给分也不扣分， 因此评分标准为：答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． 【精练1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，小明妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为，那么小明告诉妈妈的信息是（   ） A．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不超过900元 B．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不超过900元 C．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 【答案】C 【思路引导】本题考查根据不等式还原实际问题描述，解题关键是按照运算顺序理解不等式各部分的实际意义，明确不等号的含义． 【规范解答】解：∵一件商品定价为元，列出的不等式为 . ∴表示两件等值商品的总价，表示两件商品总价减去100元，即先减100元； 整体乘表示减100元后再打八折； 不等号表示最后总价不到900元； 因此信息为：买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元． 【精练2】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元，标价为250元．现准备打折销售这种商品，且利润率不得低于，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先明确打折的含义和销售问题中的等量关系以及不等关系列出不等式即可． 【规范解答】解：∵商品打折销售，标价为元， ∴实际售价为元． ∵利润售价-进价，商品进价为元， ∴利润为元． ∵利润率不得低于，利润率， ∴利润不得低于． ∴可列不等式为 ，即B选项符合题意． 题型四 求一元—次不等式的整数解 【精讲】（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值？ 【答案】代数式的值为 【思路引导】先解一元一次不等式得到解集，找出最小整数解，将最小整数解代入方程求出的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【规范解答】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， ∴不等式的最小整数解为， 把代入方程得， 化简得， 解得， 把代入得， ∴代数式的值为． 【精练1】（25-26八年级下·广东茂名·阶段检测）我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 【答案】 【思路引导】根据新定义运算法则得到关于的不等式，求解并取最大整数解即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 解得：， 最大整数解是． 【精练2】（25-26八年级下·福建宁德·期中）用表示不超过的最大整数，如，正整数小于，并满足等式，这样的正整数的个数是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【思路引导】利用不等式即可得出为6的倍数，再计算小于的正整数中6的倍数的个数． 【规范解答】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且， ∴n的值为6，12，18，24，......，共有9个． 题型五 求一元一次不等式解的最值 【精讲】（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【规范解答】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 【精练1】（24-25八年级下·山西太原·期末）山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全国名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽___________盒． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的应用，设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽，利用总利润每盒黄米粽的销售利润购进黄米粽的数量每盒江米粽的销售利润购进江米粽的数量，结合总利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【规范解答】解：设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为， ∴最多能购进黄米粽盒． 故答案为：． 【精练2】（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【思路引导】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 题型六 解|x|≥a型的不等式 【精讲】（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）请阅读求绝对值不等式和的解集的过程： 因为，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是； 因为，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为_____；的解集为_____． (2)解不等式； (3)解不等式 【答案】(1)；或 (2) (3)或 【思路引导】（1）根据给出的示例，得出解集即可； （2）根据示例得出，求解即可； （3）根据示例得出或，求解即可 【规范解答】（1）解：根据题意得，不等式的解集为； 的解集为或； （2）解：根据题意得，不等式的解集为， 解得； （3）解：根据题意得，不等式的解集为或， 解得或； 【精练1】（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【答案】 【思路引导】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集 【规范解答】解：， 当时，， ∴，解得， ∴； 当时，， ∴，解得， ∴， ∴原不等式的解集为． 【精练2】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到y轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．已知点，，连接． (1)当时，______；若，则m的值为______． (2)根据m的不同取值范围，用含m的式子表示； (3)把经过点垂直于x轴的直线记作直线，点C，D关于直线的对称点分别为点E，F，连接，若的值总保持不变，求m的取值范围． 【答案】(1)3；或； (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，点到坐标轴的距离，正确理解“纵轴距”的定义是解题的关键． （1）先得到点，，再根据新定义求解；点，到y轴的距离分别为，，然后分类讨论解不等式即可； （2）点，到y轴的距离分别为，，然后分类讨论解不等式即可； （3）点C，D关于直线的对称点分别为点E，F，点，，则，当时，解得，此时 当时，解得，此时，再分类讨论求． 【规范解答】（1）解：当时，点，， ∴点，，到y轴的距离分别为3，1 ∴， 点，到y轴的距离分别为， ∴当时，则 解得： 此时 ∴（正值舍去） 当时，则 解得： 此时 ∴（负值舍去） 故答案为：4；或； （2）解：点，到y轴的距离分别为， ∴当时，则 解得： 此时 当时，则 解得： 此时 ∴； （3）解：∵点C，D关于直线的对称点分别为点E，F，点， ∴ 当时，解得，此时 当时，解得，此时 ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； ∴或时，的值总保持不变. 题型七 用一元一次不等式解决实际问题 【精讲】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元 【思路引导】本题考查二元一次方程组和不等式的应用、一次函数的性质，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个，根据题意列出不等式求出的取值范围，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元，则，利用一次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元， 则， ， 随a的增大而增大， 当时，w最小，此时， 的最小值为， 答：购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元． 【精练1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动． 甲书店：所有书籍按原价9折出售； 乙书店：一次购书中不超过100元的部分按原价计费，超过100元的部分打8折．（单位：元）表示在甲书店应支付金额，（单位：元）表示在乙书店应支付金额，购书原价为x元（）． (1)根据两家书店的优惠方式，分别求出，关于x的函数表达式； (2)“世界读书日”这一天，八年级学生小明计划去甲、乙两个书店购书，选择哪家书店购书更省钱？ 【答案】(1) ，； (2) 当时，选择甲书店购书更省钱；当时，两家书店购书费用相同；当时，选择乙书店购书更省钱． 【思路引导】（1）直接根据题意列出函数表达式即可； （2）根据（1）中的函数关系式，分三种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得： 甲书店：， 乙书店：； （2）解：当时，则，解得， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 答：当时，选择甲书店购书更省钱；当时，两家书店购书费用相同；当时，选择乙书店购书更省钱． 【精练2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）深圳某科技公司计划生产智能手表和智能手环两种产品共150件，用于参加“深圳国际智能硬件展”．已知生产一件智能手表的成本为2000元，生产一件智能手环的成本为1200元，智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍． (1)该公司最少生产多少件智能手表？ (2)假设该公司的生产总成本为w元，如何安排生产才能使总成本w最小？ 【答案】(1) 最少生产100件智能手表 (2) 安排生产100件智能手表，50件智能手环可使总成本w最小 【思路引导】本题考查了一元一次不等式与一次函数的实际应用；解题的关键是根据题意列出不等式和函数关系式，结合函数的增减性求解最值． （1）设智能手表的生产数量为件，根据“智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍”列出不等式求解； （2）根据成本公式建立总成本关于的一次函数，结合函数的增减性和（1）中的取值范围，求的最小值． 【规范解答】（1）解：设生产智能手表件，则生产智能手环件． 由题意得：, , , ∴， 答：该公司最少生产100件智能手表． （2）解：由题意得：， ， ， 随的增大而增大， 又， 当时，取得最小值， 此时． 答：当生产智能手表100件、智能手环50件时，总成本最小． 题型八 用一元一次不等式解决几何问题 【精讲】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”． ①若，求的度数． ②若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形是“2倍角三角形” (2)①的度数为；② 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质、一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解新定义是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质并结合“2倍角三角形”的定义求解即可； （2）①根据“2倍角三角形”的定义分为两种情况：或，然后判断求解即可； ②设（为另一个内角），则第三个内角为，根据锐角三角形的定义进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵等腰直角三角形的内角为、、， 则其中， ∴符合“2倍角三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”； （2）解：①∵， ∴， ∵是“倍角”，则或， 当时，设， 则 解得， ∴； 当时，则（舍去）， 综上所述，的度数为； ②设（为另一个内角），则第三个内角为． ∵是锐角三角形，三个内角均小于， ∴且且， ∴且且， ∴， ∵， ∴． 【精练1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线与y轴的交点坐标是． (1)求a，b的值； (2)过直线上一点作x轴的垂线交直线于点C，交直线于点D． ①当时，求m的值； ②讨论与的大小关系，直接写出你的结论． 【答案】(1)， (2)①；②当时，；当时，；当时，． 【思路引导】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，解不等式和方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将，代入求解即可； （2）①首先求出，，然后根据列方程求解即可； ②首先表示出，然后分三种情况讨论，分别列出不等式和方程求解即可． 【规范解答】（1）将，代入得， ，解得； （2）①∵， ∴ 将代入得 ∴ 将代入得 ∴ ∵ ∴ ∴； ②将代入得， 解得 ∵，， ∴ ∴当时，由图象可得，； 当时，， ∴当时， ∴； ∴当时， ∴； ∴当时， ∴； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【精练2】（23-24八年级下·北京西城·期中）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知三点，中两点间的距离的最小值为三点间的“最佳间距”． 如：，那么“最佳间距”是3． (1)已知点． ①若三点的“最佳间距”是2，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出三点间的“最佳间距”的最大值． (2)已知点，点的坐标是，求三点的“最佳间距”的最大值及相应的点的坐标； 【答案】(1)①，或 ② 3； (2)三点间的“最佳间距”的最大值为2，此时 【思路引导】本题考查了点坐标、绝对值运算，两点间的距离，不等式等知识点，理解新定义，正确分情况讨论是解题关键． （1）① 根据两点间的距离公式，可得，，，而，，，故三点的“最佳间距”是2，即，由此得解； ② 由于，，，而，，故三点的“最佳间距”的最大值是3． （2）根据新定义，找到分别与点，，的对应关系，找到对应横纵坐标间的关系，分情况讨论即可求解； 【规范解答】（1）解：① ，，，，而，，， 又 三点的“最佳间距”是2， ，， ，或． 如图所示， ② ，，，，而，， 当时， 三点间的“最佳间距”的最大值为3. （2）解： 点，点，， 根据“最佳间距”的定义， ① 若对应，对应，则对应， 则，点坐标为，，，， 当时，，， 三点间的“最佳间距”的最大值为2．此时. ② 若对应，对应，则对应， ,点坐标为, ，，，且有，， 又 ， ，， ，， ，分情况讨论， 1）当，，， 令，解得， 当，，而， 三点间的“最佳间距”为，最大值为，此时． 当，，而， 三点间的“最佳间距”为，最大值为，此时． 2）当，，， ， ，而， 三点间的“最佳间距”为，最大值为1．此时． 综上所述，三点间的“最佳间距”的最大值为2，此时． 题型九 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期中）一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【规范解答】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ，故正确． 【精练1】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（） A．B．C． D． 【答案】D 【思路引导】根据一次函数的图象确定和的符号，再根据一次函数图象与系数的关系判断的图象位置． 【规范解答】解：函数的图象从左向右上升，且与轴交于正半轴 在函数中，一次项系数，常数项 函数的图象经过第一、三、四象限，且与轴交于负半轴， 观察选项，只有D符合． 【精练2】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或或或 【思路引导】本题考查一次函数综合应用，涉及一次函数与一元一次方程，一元一次不等式（组）的关系，等腰直角三角形的性质及应用等． （1）依据题意，利用直线与x轴交点即为时，对应x的值，进而得出答案； （2）依据题意，利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可； ②设，可得，，，分两种情况讨论：当为直角边时，，；当为直角边时，，．分别可得关于m、n的方程组，解方程组即可得D点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴关于x的方程的解是； ∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴观察图象可得关于x的不等式的解集是； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴观察图象可得关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②设， ∵，， ∴，，， 分以下两种情况讨论： 当为直角边时，，， ∴， 解得或， ∴D的坐标为或； 当为直角边时，，， ∴， 解得或， ∴D的坐标为或； 综上所述，D的坐标为或或或． 题型十 根据两条直线的交点求不等式的解集 【精讲】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)若点在直线上，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)4 【思路引导】（1）把代入解析式，求出的值，把点的坐标代入求出的值即可； （2）根据函数图象求出不等式的解集即可； （3）设直线于轴的交点为，先求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可. 【规范解答】（1）解：将代入，得： ， ， 将代入，得： ， 解得：． （2）解：根据函数图象可知， 当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为：． （3）解：由（1）得， 直线的解析式为：， 当时，，则， 当时，，则直线与轴交点为，如图， ． 【考点剖析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象的交点问题，求一次函数解析式，根据直线的交点求出不等式的解集，解题的关键是数形结合，求出两条直线的交点坐标． 【精练1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】从函数图象的角度看，求关于的不等式的解集就是确定直线在上方部分对应x的取值范围．因此先将点代入函数，求出n的值，再根据图象即可解答． 【规范解答】解：∵直线过点 ∴，解得， ∴直线与直线交于点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集为． 2（25-26八年级下·辽宁本溪·期中）【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．    【解决问题】 (1)如图1，观察图象，不等式的解集是 ． (2)如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①点坐标为或；②，，， 【思路引导】（1）观察两条直线可知从交点向右直线在上方，解答即可； （2）先求出两条直线的交点，可知从交点向右直线在上方，且在x以下，即可求出答案； （3）先求出直线的关系式，再设点，则点，可得，当求出解即可；分别求出和时的解，再根据在交点的两边都有符合题意的部分得出当或时，，然后求出整数解即可． 【规范解答】（1）解：当时，，即， 所以不等式的解集是； （2）解：当时，， 解得， ∴当时，； 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， 即点， ∴当时，， ∴当时，， ∴当时，， 即自变量的取值范围是； （3）解：当时，， ∴点． ∵点B，点O恰好关于点D对称， ∴点． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线：． 设点，则点， ∴． ①∵， ∴， 解得或，则或， ∴点P的坐标为或； ②时，解得或； 时，解得或， 则当或时，， 所以或，则， 整点P的坐标是，，，． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·广东深圳·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先将原不等式进行移项、合并同类项、系数化为1以及不等式性质求出一元一次不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 在数轴上表示如下： 2．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，利用被开方数为非负数的性质列不等式求解即可． 【规范解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ∴被开方数需满足非负条件，即 解不等式得． 3．（25-26八年级下·河南周口·期中）若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】结合函数图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【规范解答】解：由图可知，关于x的不等式的解集为． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【答案】 【思路引导】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集． 【规范解答】解：已知一次函数过点， 将点坐标代入解析式：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围： 当时，代入，得 解得：，即直线与轴交点为， 当时，对应已知点 最终解集为：． 5．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则不等式的解集是_______． 【答案】 【思路引导】根据函数图象找到直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【规范解答】解：由图象可知：直线与直线相交于点， ∴不等式的解集是. 6．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）某服装店购进了一批服装，这批服装每件的进价为200元，每件的售价为300元，现在该服装店准备将这批服装降价处理，打折出售，若使得每件衣服的利润不低于10元，则根据题意可列不等式为________． 【答案】 【思路引导】先确定打折后的实际售价，再根据“利润实际售价进价”，结合利润不低于10元的条件列出不等式即可． 【规范解答】解：由题意得，打折后每件服装的实际售价为元， 每件服装的利润为实际售价减去进价，进价为元， 因此利润可表示为 ，因为利润不低于元，即利润大于等于元， 因此可列不等式为 ． 7．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________． 【答案】 【思路引导】先求出方程组的解，再代入不等式即可解答； 【规范解答】 解：对于方程组 ， 将两个方程相加消去： ，得 ，解得， 把代入，得，解得 ， 把代入不等式得：，化简得， 解得：． 8．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）对于x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，则满足的x的整数解是________． 【答案】9 【思路引导】根据题意列出不等式组，求出整数解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ， ， ， ∴x的整数解是9． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量（L）随行驶路程（）的增加而减少，平均耗油量为． (1)写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围； (2)汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？ (3)若两地的路程约有，当油箱中剩余油量少于时，汽车会自动报警，则这辆汽车由地到地，再由地返回地的往返途中，汽车___________报警．（填“会”或“不会”） 【答案】(1) ，自变量的取值范围为 (2) (3) 会 【思路引导】（1）先推导得到函数关系式，再结合实际意义中剩余油量非负，确定自变量的取值范围； （2）将行驶路程代入函数关系式，计算得到剩余油量； （3）先求出剩余油量为时对应的最大行驶路程，再与往返总路程比较大小，即可判断是否报警； 【规范解答】（1）解：根据题意，可得与的函数关系式为， 由题意得，， 因此， 解得， 因此自变量的取值范围为． （2）解： 将代入得 ， 答：油箱中还有汽油． （3） 解：A，B两地往返总路程为， 令，代入得， 解得， ， 汽车会报警． 10．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【思路引导】（1）根据图象可知时，的图象在的图象的下方，且的图象在x轴的上方得出答案； （2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入， 求解即可得出答案； （3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可． 【规范解答】（1）解：由图象可知，当时， x的取值范围为； （2）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． （3）解：∵， ∴． 设， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 解得或． ∴或 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】根据一次函数的定义进行判断即可． 【规范解答】解：不等式的解集是， 直线与轴交点为且随增大而减小，即C选项符合题意． 2．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：由图可知，点的左侧，直线低于直线， ∴ 不等式的解集为． 3．（25-26七年级下·重庆万州·期中）关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用加减消元法，整体思想得到关于的表达式，代入不等式即可求解的范围． 【规范解答】解：， ∴得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 4．（25-26七年级下·重庆万州·期中）对于两个不相等的有理数m、n，我们规定符号表示m，n中较小的数，例如：，按照这个规律，那么方程的解为（   ） A． B． C． D． 或 【答案】B 【思路引导】根据新定义，分两种情况讨论和的大小，列出一元一次方程，求解后验证是否满足前提条件，舍去不符合的解即可得到答案． 【规范解答】解：根据表示两个数中较小的数，分两种情况讨论： ① 当时 ，即时，，原方程化为： 解得， 满足，符合题意； ② 当，即时，，原方程化为： 解得，不满足，舍去． 综上，方程的解为． 5．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）已知关于x的不等式的解都是不等式的解，则a的取值范围是________． 【答案】 【思路引导】分别求出两不等式的解集，再根据题意求a的取值范围即可． 【规范解答】解：解得：， 解得：， ∵关于x的不等式的解都是不等式的解， ∴， 解得：． 6．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【答案】18 【思路引导】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【规范解答】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 7．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为______ 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【规范解答】解：把代入得， 解得， 当时，． 即关于的不等式的解集为． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，求关于x的不等式的解集． 【答案】 【思路引导】由一次函数图象上点的特征可求解，即可求解P点坐标，由图象即可求解不等式的解集． 【规范解答】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴将点的坐标代入函数解析式，得： 解得： ∴交点的坐标为． 根据图象可知，不等式的解集，即为正比例函数的图象在一次函数的图象上方（或重合）时，对应的自变量的取值范围． 由图象可知，当时，正比例函数的图象在一次函数图象的上方或与之重合． ∴关于的不等式的解集是． 9．（25-26八年级下·广东河源·期中）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②P点坐标为或或或 【思路引导】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①通过观察图象求解即可；②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是． （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是． （3）解：①∵， ∴的解集是， ∵， ∴的解集是， ∴的解集是； ②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设点P的坐标为：， ∵，， ∴，，， 当时，则， 解得或(舍去)， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴或， ∴P点坐标为或； 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或或或． 10．（25-26八年级下·山东青岛·期中）小铭在观看2025年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．某室内游泳馆为市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式．会员卡支付：支付卡费200元后，每次游泳付36元；按次支付：每次游泳支付60元． (1)若小铭用于游泳的预算为1000元，那么小铭用会员卡支付最多可以游多少次？ (2)若小铭想在游泳馆练习游泳次，会员卡支付收费元，按次支付收费元，请你帮他分析选择哪种支付方式更合算？ 【答案】(1)最多可以游22次 (2)当时，按次支付更合算．当时，会员卡支付更合算． 【思路引导】（1）设小铭用会员卡支付最多可以游次，根据游泳的总预算为1000元列不等式解答即可； （2）分，及三种情况，求出m的取值范围或m的值，进而即可根据游泳的次数选择出省钱的收费方式． 【规范解答】（1）解：设小铭用会员卡支付最多可以游次，根据题意得： ， 解得：， 因为为正整数，所以的最大值为22． 答：小铭用会员卡支付最多可以游22次． （2）解：会员卡支付的表达式为（，为正整数）； 按次支付的表达式为（，为正整数）； 分三种情况比较： ①当时，， 解得， 因为m为正整数，所以当时，会员卡支付更合算； ②当时，， 解得：， m为正整数，因此不存在两种方式费用相等的次数； ③当时，， 解得：， 因为m为正整数，所以当时，按次支付更合算． 所以，当时，按次支付更合算．当时，会员卡支付更合算． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题04 一元一次不等式及与一次函数问题『期末复习重难点专题培优』 【3个重点题型+7个难点攻克+真题实战演练 共50题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 求一元一次不等式的解集 1 题型二 在数轴上表示不等式的解集 2 题型三 列一元一次不等式 3 难点攻克 思维拓展 4 题型四 求一元—次不等式的整数解 4 题型五 求一元一次不等式解的最值 4 题型六 解|x|≥a型的不等式 5 题型七 用一元一次不等式解决实际问题 7 题型八 用一元一次不等式解决几何问题 8 题型九 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 10 题型十 根据两条直线的交点求不等式的解集 11 优选真题 实战演练 13 【基础夯实 能力提升】 13 【拓展拔尖 冲刺满分】 15 题型一 求一元一次不等式的解集 【精讲】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足不小于．求的取值范围． 【精练1】（25-26八年级下·江西九江·期中）按要求完成以下问题 (1)解不等式： (2)如图，在和中，，，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． (3) 【精练2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②当时，都成立，求a的取值范围． 题型二 在数轴上表示不等式的解集 【精讲】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来． 【精练1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则__________． 【精练2】（23-24七年级下·北京·期中）若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 题型三 列一元一次不等式 【精讲】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）某中学在五一到来之际组织了一场以“强国有我”为主题的知识竞赛，这次竞赛共20道题，评分标准是____，小刚在这次竞赛中有2题未答，已知他的总分不低于80分，那么小刚至少答对的题数是多少？若设小刚答对了x道题目，可列不等式，则此次知识竞赛的评分标准是（   ）． A．答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． B．答对1题给5分，答错1题不扣分，不答题扣2分． C．答对1题给5分，答错1题或不答题扣2分． D．答对1题给5分，答错1题或不答题不给分也不扣分． 【精练1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，小明妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为，那么小明告诉妈妈的信息是（   ） A．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不超过900元 B．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不超过900元 C．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 【精练2】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元，标价为250元．现准备打折销售这种商品，且利润率不得低于，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 题型四 求一元—次不等式的整数解 【精讲】（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值？ 【精练1】（25-26八年级下·广东茂名·阶段检测）我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 【精练2】（25-26八年级下·福建宁德·期中）用表示不超过的最大整数，如，正整数小于，并满足等式，这样的正整数的个数是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型五 求一元一次不等式解的最值 【精讲】（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【精练1】（24-25八年级下·山西太原·期末）山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全国名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽___________盒． 【精练2】（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 题型六 解|x|≥a型的不等式 【精讲】（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）请阅读求绝对值不等式和的解集的过程： 因为，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是； 因为，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为_____；的解集为_____． (2)解不等式； (3)解不等式 【精练1】（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【精练2】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到y轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．已知点，，连接． (1)当时，______；若，则m的值为______． (2)根据m的不同取值范围，用含m的式子表示； (3)把经过点垂直于x轴的直线记作直线，点C，D关于直线的对称点分别为点E，F，连接，若的值总保持不变，求m的取值范围． 题型七 用一元一次不等式解决实际问题 【精讲】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【精练1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动． 甲书店：所有书籍按原价9折出售； 乙书店：一次购书中不超过100元的部分按原价计费，超过100元的部分打8折．（单位：元）表示在甲书店应支付金额，（单位：元）表示在乙书店应支付金额，购书原价为x元（）． (1)根据两家书店的优惠方式，分别求出，关于x的函数表达式； (2)“世界读书日”这一天，八年级学生小明计划去甲、乙两个书店购书，选择哪家书店购书更省钱？ 【精练2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）深圳某科技公司计划生产智能手表和智能手环两种产品共150件，用于参加“深圳国际智能硬件展”．已知生产一件智能手表的成本为2000元，生产一件智能手环的成本为1200元，智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍． (1)该公司最少生产多少件智能手表？ (2)假设该公司的生产总成本为w元，如何安排生产才能使总成本w最小？ 题型八 用一元一次不等式解决几何问题 【精讲】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”． ①若，求的度数． ②若为锐角三角形，求的取值范围． 【精练1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线与y轴的交点坐标是． (1)求a，b的值； (2)过直线上一点作x轴的垂线交直线于点C，交直线于点D． ①当时，求m的值； ②讨论与的大小关系，直接写出你的结论． 【精练2】（23-24八年级下·北京西城·期中）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知三点，中两点间的距离的最小值为三点间的“最佳间距”． 如：，那么“最佳间距”是3． (1)已知点． ①若三点的“最佳间距”是2，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出三点间的“最佳间距”的最大值． (2)已知点，点的坐标是，求三点的“最佳间距”的最大值及相应的点的坐标； 题型九 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期中）一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【精练1】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（） A．B．C． D． 【精练2】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标． 题型十 根据两条直线的交点求不等式的解集 【精讲】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)若点在直线上，连接，求的面积． 【精练1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2（25-26八年级下·辽宁本溪·期中）【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．    【解决问题】 (1)如图1，观察图象，不等式的解集是 ． (2)如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·广东深圳·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南周口·期中）若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 5．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则不等式的解集是_______． 6．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）某服装店购进了一批服装，这批服装每件的进价为200元，每件的售价为300元，现在该服装店准备将这批服装降价处理，打折出售，若使得每件衣服的利润不低于10元，则根据题意可列不等式为________． 7．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________． 8．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）对于x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，则满足的x的整数解是________． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量（L）随行驶路程（）的增加而减少，平均耗油量为． (1)写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围； (2)汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？ (3)若两地的路程约有，当油箱中剩余油量少于时，汽车会自动报警，则这辆汽车由地到地，再由地返回地的往返途中，汽车___________报警．（填“会”或“不会”） 10．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A．B．C． D． 2．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·重庆万州·期中）关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆万州·期中）对于两个不相等的有理数m、n，我们规定符号表示m，n中较小的数，例如：，按照这个规律，那么方程的解为（   ） A． B． C． D． 或 5．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）已知关于x的不等式的解都是不等式的解，则a的取值范围是________． 6．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 7．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为______ 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，求关于x的不等式的解集． 9．（25-26八年级下·广东河源·期中）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 10．（25-26八年级下·山东青岛·期中）小铭在观看2025年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．某室内游泳馆为市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式．会员卡支付：支付卡费200元后，每次游泳付36元；按次支付：每次游泳支付60元． (1)若小铭用于游泳的预算为1000元，那么小铭用会员卡支付最多可以游多少次？ (2)若小铭想在游泳馆练习游泳次，会员卡支付收费元，按次支付收费元，请你帮他分析选择哪种支付方式更合算？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $