期末备考08 投影向量 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦投影向量求法，以概念定义为基础，通过两种方法提炼构建系统解题体系，结合教材改编题实现知识应用迁移，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法总结|2种求法|向量在向量上的投影向量公式（含单位向量法及直接表达式）|从投影向量概念生成到两种求法推导，明确与夹角余弦的关系| |题型应用|14题（含6道教材改编题）|单选/多选/填空/解答题分层训练，涵盖基础计算、夹角问题及几何应用|通过不同题型巩固求法，实现从原理到实际问题的应用拓展|

永年二中高一数学必修二平面向量期末备考08 测试范围：投影向量 投影向量的求法 (1)向量在向量上的投影向量为(其中为与同向的单位向量),它是一个向量,且与共线,其方向由向量和的夹角θ的余弦值决定. (2)向量在向量上的投影向量为. 一、单选题 1．人教A版2019年数学必修二习题6.2第21题：已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可知是中点，再结合即投影向量的概念可得. 【详解】  ，是中点，又，所以，则向量在向量上的投影向量为. 2．人教A版2019年数学必修二第6.2.4节P20页第3题改编：已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，向量为单位向量，，所以向量在向量方向上的投影向量为： . 3．若向量，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若向量，则在上的投影向量为. 4．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知向量，满足，，则， 则向量在向量方向上的投影向量为. 5．若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据投影向量的定义可列出等式，再求出向量与的夹角即可. 【详解】设向量与的夹角为，则由题意结合投影向量的定义可知， 解得，因为向量的夹角，所以. 6．人教A版2019年数学必修二习题6.2P24页第21题：已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为，所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，又，所以为等边三角形，则，故，所以向量在向量上的投影向量为：．故选：A． 二、多选题 7、（多选）已知向量与的夹角为π，且||＝2，||＝3，下列说法正确的有（ ） A. 在方向上的投影向量为－ B. 在方向上的投影向量为－ C. 在方向上的投影向量的长度为－ D.在方向上的投影向量的长度为 【答案】AD 【解析】设在方向上的投影向量为λ(λ∈R)，则·＝λ·，故λ＝＝＝－. 故在方向上的投影向量为－，在方向上的投影向量的长度为|| cosπ＝。 8．人教A版2019年数学必修二习题6.2第21题改编：已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【分析】由条件得到是等边三角形，进而得到 ，，，．再结合数量积的运算逐项判断即可. 【详解】因为，所以为的中点，所以为圆的直径，．因为， 所以是等边三角形，所以，，，． ，故A正确．，故B错误．设的中点为，则，为在上的投影向量，，故C正确．因为，所以，故D正确．故选：ACD． 三、填空题 9．人教A版2019年数学必修二第6.2.4节P20页第3题改编：已知向量与的夹角为，若，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】向量在上投影向量的模为，其中为与的夹角，已知，，代入计算：. 10、人教A版2019年数学必修二第6.2.4节P20页第3题改编：已知||＝4，为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量是________；向量在向量上的投影向量是________. 【解析】由||＝4，为单位向量，它们的夹角为，向量在向量上的投影数量：||cosπ＝－2，向量在向量上的投影数量为||cosπ＝－，故向量在向量上的投影向量为－2，向量在向量上的投影向量为－×＝－. 11．已知，则向量在向量上的投影向量为__________． 【答案】 【详解】解：因为所以，解得， 所以，向量在向量上的投影向量为。 四、解答题 12．已知菱形的边长为，菱形的对角线与交于点，，点是线段上靠近的三等分点，求在上的投影向量的模长。 【答案】 【详解】菱形对角线相互垂直，即，根据数量积的定义，，故，即，又为锐角，则，根据投影向量的模长公式，在上的投影向量的模长为：，依题意，，即， 故，于是，即投影向量的模长为. 13．已知向量与是平面内的两个向量，，与的夹角为. (1)求； (2)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据向量的模的公式计算求解即可； （2）根据投影向量公式计算即可. 【详解】（1）因为，与的夹角为， 所以. （2）因为，与的夹角为，所以， 所以，在方向上的投影向量. 14．设平面向量，满足，，. (1)求向量，的夹角的余弦值； (2)求的值； (3)求向量在方向上的投影数量； (4)求向量在方向上的投影向量． 【答案】(1)．(2)；(3)；(4) 【详解】（1）由两边平方得，因为，， 代入可得，解得，设，的夹角为，则. （2）由（1）得，，， 所以. （3）由（1）得，，， 所以， 向量在方向上的投影数量为. （4）由（3）可得，，， 所以向量在方向上的投影数量为， 因此向量在方向上的投影向量为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二平面向量期末备考08 测试范围：投影向量 投影向量的求法 (1)向量在向量上的投影向量为(其中为与同向的单位向量),它是一个向量,且与共线,其方向由向量和的夹角θ的余弦值决定. (2)向量在向量上的投影向量为. 一、单选题 1．人教A版2019年数学必修二习题6.2第21题：已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．人教A版2019年数学必修二第6.2.4节P20页第3题改编：已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A．3 B． C． D． 3．若向量，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．人教A版2019年数学必修二习题6.2P24页第21题：已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7、（多选）已知向量与的夹角为π，且||＝2，||＝3，下列说法正确的有（ ） A. 在方向上的投影向量为－ B. 在方向上的投影向量为－ C. 在方向上的投影向量的长度为－ D.在方向上的投影向量的长度为 8．人教A版2019年数学必修二习题6.2第21题改编：已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 三、填空题 9．人教A版2019年数学必修二第6.2.4节P20页第3题改编：已知向量与的夹角为，若，则在上的投影向量的模为__________. 10、人教A版2019年数学必修二第6.2.4节P20页第3题改编：已知||＝4，为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量是________；向量在向量上的投影向量是________. 11．已知，则向量在向量上的投影向量为__________． 四、解答题 12．已知菱形的边长为，菱形的对角线与交于点，，点是线段上靠近的三等分点，求在上的投影向量的模长。 13．已知向量与是平面内的两个向量，，与的夹角为. (1)求；(2)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 14．设平面向量，满足，，. (1)求向量，的夹角的余弦值； (2)求的值； (3)求向量在方向上的投影数量； (4)求向量在方向上的投影向量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $