内蒙古高一数学下学期阶段测试（三）2025-2026学年（人教版B版必修第四册第九章）

**基本信息** 本卷为高一数学必修四第九章解三角形单元复习卷，70分40分钟，以航海、展馆租金等真实情境和分层题型设计，考查正弦定理、余弦定理及面积计算，适配单元知识巩固与数学眼光、思维、语言素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4/20|正弦定理、余弦定理|基础巩固，如第1题直接应用定理求边长| |多选题|2/12|三角形面积、实际应用|能力提升，第5题航海问题需逻辑推理| |填空题|2/10|面积计算、实际租金|应用意识，第8题结合呼和浩特展馆计算租金| |解答题|2/28|边角关系、面积综合|综合运用，第9题确定角并求边长，体现推理能力|

命题双向细目表 内蒙古高一数学下学期阶段测试（三）（人教版B版必修四第九章） 命题双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 正弦定理、二倍角公式、余弦定理的综合应用 单选题 5 0.85 基础题 2 三角形面积公式、余弦定理、正弦定理的应用 单选题 5 0.85 基础题 3 正弦定理、余弦定理在方位角实际问题中的应用 单选题 5 0.85 基础题 4 三角形面积公式、余弦定理、正弦定理（合分比性质）的应用 单选题 5 0.75 基础题 5 正弦定理、余弦定理在追及相遇问题中的综合应用 多选题 6 0.45 压轴题 6 正弦定理、三角形面积公式、余弦定理的综合应用 多选题 6 0.65 中档题 7 三角形面积公式（已知两边及夹角余弦）的直接应用 填空题 5 0.75 基础题 8 海伦公式（或余弦定理+面积公式）在实际场景中的应用 填空题 5 0.65 中档题 9 正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式、余弦定理的综合应用 解答题 14 0.65 中档题 10 三角恒等变换、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用 解答题 14 0.65 中档题 合 计 70 0.71 $ 内蒙古高一数学下学期阶段测试（三）（人教版B版必修四第九章） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为(     ) A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查正弦定理、三角形面积公式、余弦定理的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 根据正弦定理再结合余弦定理可求得和的值． 【解答】 解：因为在中，， 所以，，， ，解得， ，， ， 故选： 2.在中，若，，的面积，则 (     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查的是三角形的面积公式，余弦定理的有关知识，属于基础题． 先利用三角形的面积公式求出，然后利用余弦定理求出，再进行求解即可． 【解答】 解：在中，，，的面积为， ， ， ． ， 解得：负值舍去， ． 故选A． 3.某船行驶到甲地看号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距 ；在甲地看号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距 该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是(    ) A.   B.   C.   D.   【答案】D  【解析】解：由题意可得： 在中，， 由正弦定理得， 在中，，， 由余弦定理得， 所以． 4.在中，，，其面积为，则(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，， ，， 则由正弦定理可知 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则(     ) A. 舰艇所需的时间为小时 B. 舰艇所需的时间为小时 C. D. 【答案】AD  【解析】如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合， 则，，． 根据余弦定理得， 解得或舍去， 即舰艇所需的时间为小时，A正确，B错误 故，． 由正弦定理得， 解得，D正确，C错误． 6.在中，角，，的对边分别为，，，如果，，的面积为，那么(     ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】解：，． ，，． 又， ，， 所以， 若，则，此时，故A错误； 若，则，此时，故D错误。 故选BC． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为________． 【答案】  8.（原创）呼和浩特展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为、、单位：，且该区域的租金为每天元若租用上述区域天，则仅场地的租用费约需          元．结果保留整数 【答案】3118 【解析】【分析】 本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果． 【解答】 解：设三角形区域为，设，，， 利用， 由于， 所以． 所以， 则花费用为． 故答案为：元． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 锐角中，，，分别为角，，所对的边，且． 确定角的大小； 若，且的面积为，求的值． 【答案】由及正弦定理得： ，.....................................................2分 ， ，.....................................................4分 是锐角三角形， ，....................................................6分 ，， 由面积公式得， 即，.....................................................9分 由余弦定理得， 即，.....................................................12分 则 ， 故． .....................................................14分 【解析】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式，属于中档题． 由整理得：，问题得解． 由的面积为列方程求得，由余弦定理得，从而求得，问题得解． 10.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，，已知． 求角； 若，，求的面积． 【答案】解：， ，.................................................2分 即，.................................................4分 又， ．.................................................6分 ，由正弦定理得， 由余弦定理， 得，.................................................8分 解得， .................................................10分 ． .................................................14分 【解析】本题考查正余弦定理解三角形，难度一般． 由，展开求出． 由得，由余弦定理得，解出，求出 计算． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古高一数学下学期阶段测试（三）（人教版B版必修四第九章） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为(     ) A. 2 B. C. D. 2.在中，若，，的面积，则 (     ) A. B. C. D. 3.某船行驶到甲地看号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距 ；在甲地看号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距 该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是(     ) A.   B.   C.   D.   4.在中，，，其面积为，则(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则(     ) A. 舰艇所需的时间为小时 B. 舰艇所需的时间为小时 C. D. 6.在中，角，，的对边分别为，，，如果，，的面积为，那么(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为________． 8.（原创）呼和浩特展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为、、单位：，且该区域的租金为每天元若租用上述区域天，则仅场地的租用费约需          元． 结果保留整数 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 锐角中，，，分别为角，，所对的边，且． 确定角的大小； (2) 若，且的面积为，求的值． 10.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，，已知． 求角； 若，，求的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $