精品解析：云南昆明市西山区第一中学2025-2026学年高二年级下学期3月开学考试数学试卷

2026年3月开学考试 高二年级数学试卷 （考试用时120分钟，满分150分） 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算及共轭复数的定义即可求解． 【详解】由题意可得，故，其虚部为． 故选：C． 2. 已知：，那么的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】要求命题的一个充分不必要条件， 只需要的真子集即可， 分析选项，只有C符合题意. 故选：C 3. 如图，在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】由题意， 由可得：， 点是中点，故， 即. 故选：C 4. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. C. 33 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性求出即可. 【详解】由题意可得，. 故选：D 5. 若直线被圆截得的弦长为，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 6. 等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的基本量运算和等差中项概念列方程组，求得的值，再代入前n项和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，则① 由与的等差中项为可得②， 将①代入②，可得，解得，回代入①，解得， 则. 故选：C. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求出，接着由求出c，再由余弦定理即可计算求解. 【详解】因为，， 则由解得， 所以， 所以由，即. 故选：D 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先根据角的范围及平方关系求出和，然后可算出，进而可求出 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 所以 因为，所以 故选：B 【点睛】在由三角函数的值求角时，应根据角的范围选择合适的三角函数，以免产生多的解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前10项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，即可判断A，根据等差数列求和公式判断B，利用并项求和法判断C，利用裂项相消法判断D. 【详解】对于A：因为，，成等比数列，所以，即， 解得，所以，则，故A正确； 对于B：的前项和为，故B错误； 对于C：因为， 所以的前100项和为 ，故C错误； 对于D：因为， 所以的前10项和为，故D正确. 故选：AD 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 图象的对称中心为， C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质结合已知图象求出解析式，求出最小正周期判断选项A；利用对称中心的性质求出对称中心判断选项B；利用正弦函数单调性求出单调递增区间，判断选项C；利用正弦函数平移的性质求出平移后函数判断选项D． 【详解】由图象可知最高点到零点的距离为，是， ，， 当时，，即， ， ，故， ，故A正确； 由，解得，故B正确； 由，解得， 当时，递增区间为，，在内单调递减， 整个区间不单调递增，故C错误； 将函数的图象向左平移个单位可得，故D正确． 故选：ABD． 11. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 存在点P，使得为等腰直角三角形 C. 当时，直线与双曲线C一定有两个交点 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义和性质，结合已知条件求出的关系，进而利用双曲线离心率公式、等腰直角三角形的性质、判别式等逐一分析判断选项． 【详解】渐近线互相垂直， ，解得，即，两条直线的斜率分别为1和， 双曲线C的离心率为，选项A正确； 点P是双曲线C右支上任意一点，， 若为等腰直角三角形，假设直角顶点为，则，与矛盾； 直角顶点为，故且有，， ，解得，故或， ，，， 无法构成等腰直角三角形，故B错误； 联立直线与双曲线，整理得， 当 时，， ， 直线与双曲线有2个交点，故C正确； 根据双曲线的定义可知， ， 的最小值为， ， 的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模的公式直接求解即可. 【详解】因为，，且，的夹角为60°， 所以， 所以． 故答案为： 13. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义写出切线方程，进而求得切线与坐标轴的交点，即可求得结果. 【详解】由求导得，则， 故切线方程为，令，得，令，得， 即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：. 14. 若函数y＝sin ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________. 【答案】[－4,0) 【解析】 【分析】根据题意可得，函数在区间，上单调递增，可得，由此求得的范围． 【详解】解：函数在区间，上单调递减，当时，这不可能． ，函数在区间，上单调递减， 故函数在区间，上单调递增， ，求得， 故答案为：，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）或 【解析】 【分析】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义判断； （3）将转化为求解. 【小问1详解】 由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 则，化简得 ， 解得或， 故实数的取值范围为或. 16. 如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面． （1）证明：； （2）若，求平面与平面的夹角余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得． （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解． 【小问1详解】 证明：由已知得，平面，平面，所以， 因为为底面圆的直径，所以， 因为，平面 所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 如图所示，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 又因为为的中点，∥，， 所以，且， 所以，且，即四边形为平行四边形，即， 因为面，所以面． 又因为面，所以，即为等腰直角三角形，， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以． 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）求满意度评分的中位数和平均数． （3）若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【答案】（1） （2）（或）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得. （2）利用中位数和平均数的定义，结合直方图列式求解. （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ；所以中位数在内，设中位数为， （或）． ． 【小问3详解】 与的频率之比， 所以5人中有2人来自组，设为，3人来自组，设为， ，或者列举法：共10种情况， 符合条件的6种情况；． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆的离心率； （2）直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）设，，（ⅰ）联立直线与椭圆的方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）由，借助于韦达定理代入计算即得. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率 【小问2详解】 （ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 19. 已知动点P到定点与到定直线的距离相等． （1）求动点P的轨迹方程； （2）过作两条斜率乘积为的直线，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段，的中点分别为M，N． ①证明：直线恒过定点； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）设点，利用两点间距离公式构造方程求解； （2）设直线方程，联立曲线方程，结合韦达定理及中点关系求出方程，进而证明结论；分别求出对应弦长，得出，再利用基本不等式求最小值． 【小问1详解】 设，则， 解得． 【小问2详解】 ①设直线的方程为），由与的斜率乘积为，可得直线的方程为， 联立，消去得：， 则，设，由韦达定理可得， 为线段的中点， ，代入得，即， 联立，消去得：， 设，同理可得， 则直线的斜率， 直线的方程为， 即变形为：， 令，解得，恒过定点． ②直线对应的弦长， 直线对应的弦长， 的表达式为：， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月开学考试 高二年级数学试卷 （考试用时120分钟，满分150分） 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知：，那么的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. C. 33 D. 5. 若直线被圆截得的弦长为，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 6. 等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 7. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（ ） A. B. C. 5 D. 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前10项和为 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 图象的对称中心为， C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 11. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 存在点P，使得为等腰直角三角形 C. 当时，直线与双曲线C一定有两个交点 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则______． 13. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 14. 若函数y＝sin ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 16. 如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面． （1）证明：； （2）若，求平面与平面的夹角余弦值． 17. 某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）求满意度评分的中位数和平均数． （3）若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆的离心率； （2）直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 19. 已知动点P到定点与到定直线的距离相等． （1）求动点P的轨迹方程； （2）过作两条斜率乘积为的直线，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段，的中点分别为M，N． ①证明：直线恒过定点； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $