命题大赛 云南昆明市西山区2025-2026学年高二下学期开学考试数学模拟练习

**基本信息** 2026年高二开学数学试卷立足基础衔接，覆盖复数、函数、立体几何等核心知识，通过原创题（如向量模长、三角函数单调性）和梯度设计（选择到解答题能力递进），考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，适配开学学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、充分条件、空间向量|基础概念辨析，突出数学眼光| |多选题|3/18|等差数列、三角函数图象|多选项分层考查推理能力| |填空题|3/15|向量数量积、导数切线、三角函数单调性|原创题结合数学思维| |解答题|5/77|统计直方图、立体几何夹角、椭圆与抛物线|综合应用，体现数学语言表达|

2026年3月开学考试 高二年级数学试卷解析 一、单选题 1.已知： 1+i 3-4i, 则z的虚部为() B 25 C.-7 D. 7 5 25 【答案】C 【分析】由复数的乘除法运算及共轭复数的定义即可求解， 1+i(1+i0(3+4i)-1+7i 【详解】由题意可得= 3-4i(3-4i)(3+4i)25 故2=、1 11, 7 其虚部为 2525 25 故选：C 2.已知P:-1<x<3,那么P的一个充分不必要条件是() A.-1<x<3 B.2<x<4 C.1<x<2 D.-2<x<3 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的定义，分析即可得答案 【详解】要求命题P的一个充分不必要条件， 只需要-1<x<3的真子集即可， 分析选项，只有C符合题意. 故选：C 3.如图，在四面体ABCD中，AB=元，AC=b,AD=C,点E在AB上，且AE=2EB,点F是 CD中点，则E=() A.a+6- 21 2 B. a+6-c 3 3 c.-2a+26+c 1 D. 1a-26+1c 3 2 23 2 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解。 【详解】由题意EF=EA+AF, 由AB=2B可得：A=-2B=-2a, 3 31 点F是CD中点，放丽-c+而)6+)： 试卷第1页，共14页 即=-2a+6+」 322 故选：C 4.已知/()是定义在R上且周期为2的奇函数，当2<x<3时，1)=45+1，则/(》 () A.3 B.-3 C.33 D.-33 【答案】D 【分析】根据周期性和奇偶性求出-即可 【详解】由题意可得 (》份)G习 故选：D 5.若直线V3x-y=0被圆x2+y+4y+2m=0(meR)截得的弦长为2，则m=() A.1 B.-1 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得m+仔2 =2-2,求解即可. 【详解】由x2+y2+4y+2m=0可知圆的方程为x2+(y+2m)=42-2m表示圆，所以 4m2-2m>0, 解得m<0或> 2 圆心C(0,-2m),半径为r=√4m2-2m, 所以圆心到直线√3.x-y=0的距离d= V3x0-(-2m)-hl 5+-1 由弦长为2可得(+（合2=r-2m,所以3r-2m-1=0, 解得l=-二或m=1. 3 故选：D 6.等比数列a)的前n项和为8，已知飞=2，且a与西，的等差中项为}则S,=《） A.28 B.29 C.30 D.31 【答案】C 【分析】设等比数列{a}的公比为q,利用等比数列的基本量运算和等差中项概念列方程组， 试卷第2页，共14页 求得4，q的值，再代入前n项和公式计算即得. 【详解】设等比数列{a}的公比为9，则a4=4=2① 自a,与2，的等若中项为可得a+2如，4g24ga02）@. 将0代入@，可得21-2对)3解得g弓问代入①.解得a=16, 1- 则3=40-g2=16x1 —=30 1-4 1 1- 2 故选：C 7在△1BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b:c已知a4-子6-2，△ABC的 面积为3，则边a的长为() 5 A.4 B.3√5 C.5 D.13 【答案】D 【分析】先由题意求出sinA,cosA,接着由SAsc= 上bc sinA求出c,再由余弦定理即可计算 2 求解 3 【详解】因为A∈(0，)，tanA= 4 则由 tanA=sinA cos,解得sinA=3 sin2 4+cos24=1 .cos4=4 1 1 3 所以SBc=bc sin A=×2c×三=3→c=5,， 2 5 所以由a=公+e2-2cc0sA=4+25-2x2x5x号13，即a=E 故选：D &蜘ma-恶m09引引 则x+B=() 10 A平 B. 7π 4 C. 或牙 D. 4 或 4 【答案】B 【分析】先根据角的范围及平方关系求出cos(a-B)和cos2B,然后可算出 cos(a+B)=cos(a-B+2B),进而可求出au+B 【详解】因为 [[ 10 42 sin(a-B)= 10 sim26=5 5 试卷第3页，共14页 所以a-B∈ 所以cos(a-B)= 3W10 10 cos2B= 2W5 所以cos(a+B)=cos(a-B+2β)=cos(a-)cos2B-sin(a-B)sin2B 3v10 2√5 105_V2 10 10 5 2 因为a+B∈ 4 故选：B 【点睛】在由三角函数的值求角时，应根据角的范围选择合适的三角函数，以免产生多的解 二、多选题 9.已知公差为1的等差数列{a}满足a,a,4成等比数列，则() A.4,=10 B.{a}的前n项和为nn+2 2 c.{(-1)”a}的前100项和为100 1 的前10项和为 2 【答案】AD 【分析】根据等比中项的性质求出a,即可得到{a}的通项公式，即可判断A,根据等差数 列求和公式判断B,利用并项求和法判断C,利用裂项相消法判断D, 【详解】对于A:因为a,凸，a成等比数列，所以a马，=a,即a(a+6)=(4+2), 解得4=2，所以4，=n+1,则4=10，故A正确： 对于B:{a,}的前n项和为”(2+n+山_n+3 2 2 2,故B错误： 对于C:因为(-1)a=(-1)(n+1), 所以{(-1)”a}的前100项和为-2+3-4+5+-100+101 =(-2+3)+(4+5)++(-100+101)=50,故C错误： 1 1 11 对于D:因为aA+m+2n+1n+2' 所以 的前0碳和%对号士立方古音款D正疏 a+1 试卷第4页，共14页 故选：AD 10.函数f(x)=sin(or+o>0,g< )的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有(） 123 A.f(x)最小正周期为π B.f(x)图象的对称中心为 -6+2 C.f(x)在 5ππ 上单调递增 12'6 D.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度可得到∫(e)的图象 6 【答案】ABD 【分析】利用正弦函数的性质结合已知图象求出∫(x)解析式，求出最小正周期判断选项A: 利用对称中心的性质求出对称中心判断选项B;利用正弦函数单调性求出单调递增区间，判 断选项C;利用正弦函数平移的性质求出平移后函数判断选项D. 【详解】由图象可知泉高点=后到零点：号的鹿高为号音-子足子 12 .T=元，0= 2m=2, T 12 <受 :T=元，故A正确： 由2x+=mk∈Z,解得x=-匹+，k∈Z,故B正确： 3 62 庙2m-2x+2m+keZ,解得i沉飞x≤m+keZ 12 12 当k=0时，递增区间为 5ππ 12'12 内单调递减， ∴整个区间不单调递增，故C错误： 将江数=6加2x的图条向左半移若个单位可得=如2+君)m(2x+到引1.故D 6 正确。 故选：ABD 试卷第5页，共14页 1.如图.已知双曲线C器芳a0b0的无、右焦点分别为R,R,两条新近线 4:y=bx,l:y=-bx互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是() A.双曲线C的离心率为√2 B.存在点P,使得△PE耳为等腰直角三角形 C.当k∈(-1,1)时，直线：y=x+1与双曲线C一定有两个交点 P D. PE 的最大值为2√2+3 【答案】ACD 【分析】利用双曲线的定义和性质，结合已知条件求出α，b的关系，进而利用双曲线离心率 公式、等腰直角三角形的性质、判别式等逐一分析判断选项. 【详解】渐近线：ay=bx,:y=-bx互相垂直， ()会-1，部为合1，a=6:丙关线的的车分别为1和1 六双曲线C的离心率为e=S=匠+6V2,选项A正确： aa 点P是双曲线C右支上任意一点，P-PF=2a, 若△PR耳为等腰直角三角形，假设直角顶点为P,则P=P引，与P-PF=2a矛盾： 直角顶点为E,故P耳⊥RE且有P引=引，a=b, a上-1，解得ya,故Pad或Paa: a PRI=a,PRI=(a+v2a'+d =3a,RE=2V2a, ,a,2√2a,3a无法构成等腰直角三角形，故B错误： 联立直线1：y=+1与双曲线x2-y2=2,整理得(1-k2)x2-2kx-(a2+1)=0, 当k∈(-1,1)时，1-k2>0, 试卷第6页，共14页 △=4k2+41-k2)(a2+1)>0, ∴直线与双曲线有2个交点，故C正确： 根据双曲线的定义可知P-PF=2a, P pr+2a=2a+1, PR PE PE P的最小值为c-a=（2-1)a, ◆ P P 2a+1=1+ 1 =25+3, c-a √2-1 PR PR 的最大值为2√2+3，故D正确。 故选：ACD 三、填空题 12.(原创)已知向量ā，6满足=2，=3，且ā，6的夹角为120°，则2ā-= 【答案】37 【分析】根据向量模的公式直接求解即可. 【详解】 2a-=V(2a-}=V4-4ā.6+7=√4×4-4x-3)+9=√3. 故答案为：√37 13.设函数f(w=smx ,则曲线y=f:)在点M(π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形面 积为 【答案】 22 【分析】根据导数的几何意义写出切线方程，进而求得切线与坐标轴的交点，即可求得结果. 【详解】由f)=血x求导得f()=c0sx,sx, 2一，则f)=cos-n元.-1 故切线方程为y=-上-D,令x=0,得y=1,令y=0,得x=元， 即切线与坐标箱分别交于0,6c0),故切线与两坐标轴国成的三角形面积为}元1-号 故答案为：2 试卷第7页，共14页 14.(原创卡证数)=即om在区同-后司 上单调递减，则ω的取值范围是 【答案】(0,4] 【分析】根据题意可得o<0,函数yn()在区间名，1上单调递增，可得 ,由此求得ω的范围。 ππ -“122 【详解】 解：×函数y=)血x在区间牙，上单调递增，0>0. 2 o>0,函数yna)在区间-号，豆上单调递增。 o( ,求得oE(04, 、ππ 、122 故答案为：(04. 四、解答题 15.已知函数f(x)=ln(2-x)+ln(2+x) (1)求函数f(x)的定义域： (2)判断∫(x)奇偶性，并加以证明； (3)若f(2+1)<n3,求实数m的取值范围！ 【答案】(1)(-2,2) (2)偶函数，证明见解析 ®)m-1或0m 2 【分析】(1)由2-x>0且2+x>0求解： (2)利用函数奇偶性的定义判断： (3)将f(2m+1)<ln3转化为ln[(1-2m)(2+3)]<n3求解 【详解】(1)由题意得：2-x>0且2+x>0, 解得-2<x<2,所以函数定义域为(-2,2)；2分 (2)因为f(x)的定义域为(-2,2)，关于原点对称，.4分 试卷第8页，共14页 又f(-x)=n(2+x)+ln(2-x)=f(x),.6分 所以f(x)为偶函数： (3）f(2m+1)=lhn(1-2m)+h(2m+3)=n[(1-2m)(2m+3]<h3,8分 (1-2m)(2+3)<3 则 -2<2m+1<2 9.10分 (+1)>0 化简得3 1 << ，..11分 2 2 解得、3 1 子m<-1或0<m<2 故实数m的取值范国为m<-1或0<m 2.13分 16.如图，A4,BB为圆柱OO的母线，BC是底面圆O的直径，D,E分别是A4,CB,的 中点，DE⊥面CBB,. A B B (1)证明：AB⊥AC; (2)若BB=BC,求平面ARC与平面BDC的夹角余弦值. 【答案】(1)证明见解析 5 【分析】(1)利用线面垂直的判定定理，证得AB⊥平面A4C,即可证得AB⊥AC (2)以A为原点，建立空间直角坐标系，设BB,=BC=2,分别求得平面ABC和平面BDC 的一个法向量i=(0,2,)和m=(1,1,√②)，结合向量的夹角公式，即可求解。 【详解】(1)证明：由已知得，A4⊥平面ABC,ABC平面ABC, 试卷第9页，共14页 所以A4⊥AB,.2分 因为BC为底面圆O的直径，所以AB⊥AC,..4分 因为A4∩AC=A,A4,ACc平面AAC 所以AB⊥平面A4C, 又ACc平面AAC,所以AB⊥AC.6分 (2)如图所示，连接EO,AO, 因为B,O分别为BC,BC的中点，所以BO∥BB,且EO=BB, 又因为D为AA的中点，AA∥BB,AA=BB, 所以DA/BB,且DA=BB, 所以EO=DA,且EO∥DA,即四边形AOED为平行四边形，即DE∥AO, 因为DE⊥面CBB,所以AO⊥面CBB.8分 又因为BCC面CBB,所以AO⊥BC,即△BAC为等腰直角三角形，AB=AC, 以A为原点，以AB,AC,A4分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.9分 E 设BB=BC=2,则AB=AC=√2， 可得B(（2,0,2,C(0√2,0,4(00,2，√2,0,0,10,0)， 则AB=(√2,00)4C=(0,2,-2Bc-（5,b,0BD（2,01), i.AB=√2x=0 设平面ARC的法向量为i=(x,y,),则 i,AC=√2y-2z=0 取y=√2，可得z=1,所以i=(0,V2,1: .11分 试卷第10页，共14页 「m.BD=-√2a+c=0 设平面BDC的法向量为m=(a,b,c),则 m.BC=-√2a+√2b=0 取a=1,可得b=1,c=√2，所以m=(1,1√2)，.13分 则cos(杭，)= 2√2 22V6 V1+1+2√2+1253 所以平面48，C与平面BDC的夹角的余弦值为6 ，.15分 17.某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100 分)，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. ◆频率/组距 0.040 0.015 0.010 0.005 0 5060708090100分数 ()根据频率分布直方图，求x的值： (2)求满意度评分的中位数和平均数. (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在[60,70)，[70,80)的两组中共抽取5人，再从这5 人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在[60,70)和[70,80)内各1人的概率， 【答案】(1)x=0.03 es号（我9.4 o, 【分析】(1)根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得. (2)利用中位数和平均数的定义，结合直方图列式求解 (3)利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解 【详解】(1)(0.005+0.01+0.015+x+0.04)×10=1→x=0.03;..2分 (2)0.05+0.1+0.15=0.3;所以中位数在[80,90)内，.3分 设中位数为m, (m-80)×0.03=02→m=862(或260) 3 .6分 x=55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84.....8分 (3)[60,70)与[70,80)的频率之比2：3， 所以5人中有2人来自[60,70)组，设为4,4马，3人来自[70,80)组，.10分 试卷第11页，共14页 设为4,4.4，P(1=CC=63 c-105 ..15分 或者列举法：44,4b,4b2,4b,4,4b2,4,bb2,bb3,bb3共10种情况， 符合条件的6种情况a4,a0,a0,a4,a4,a,4:∴P(A=6- 105 ....15分 L8.已知P为双曲线C:y1a>0)的左顶点，下为双曲线C的右焦点，P川2+5 (1)求双曲线C的方程 (2)已知直线1：x=y-1与双曲线C交于A,B两点 (i)求m的取值范围 (ⅱ)设直线PA的斜率为k,直线PB的斜率为k2,试问kk是否为定值？若是，求出该定值： 若不是，请说明理由 【答案】()-y=1 4 @(a2U(-2同u5.习21：(m是定值，定值为号 【分析】(1)根据题意，列出关于a,b,c的方程，代入计算，即可得到结果： (2)(i)设A(:,片)，B(,乃)，联立直线与双曲线方程，结合△判别式运算求解：(i) 结合韦达定理代入计算，即可证明 【详解】(1)由题意可知：PF列=a+c=2+V5,1分 且b=1, 结合c2=ad2+b2,解得a=2,c=V5,3分 所以双曲线C的方程为千少-15分 (2)(i)设A(,片)，B(6,乃)， x=y-1 联立方程 -y=1消去x得(m-4-2m-3=0,7分 4 由题意得△=41m2+12(m2-4)>0且m2-4≠0，.8分 解得m>√5或m<-√3，m≠±2， 试卷第12页，共14页 所以m的取值范围为(-0，-2)U(-2,√3)(V5,2U(2,+∞)：…10分 (i)由(i)可知y+y= 2 24》3412分 因为：为双曲线C的左顶点，则P(-20,可得5年2，兔=十2 X+2’.13分 则kk= 片巧 片 Vy (:+2)(s3+2)（%1-1+2)(%-1+2)m为+m(片+y2)+1 -3 m2-4 3 m24+.、 -3 m2. 2 m2- +14 故6是定值，该定值为 1 .17分 19.己知动点P到定点F(1,0)与到定直线x=-1的距离相等. (1)求动点P的轨迹方程： (2)过F作两条斜率乘积为- 的直线，山：分别交P的轨迹于AB和CD两点，且线段AB, CD的中点分别为M,. ①证明：直线MN恒过定点： ②求ABCD的最小值. 【答案】(1)y2=4x (2)①证明见解析；②144 【分析】(1)设点P,利用两点间距离公式构造方程求解： (2)设直线方程，联立曲线方程，结合韦达定理及中点关系求出MN方程，进而证明结论； 分别求出对应弦长，得出ABCD,再利用基本不等式求最小值。 【详解】(1)设P(x,y),则V(x-1+y=-(1 ，1分 解得y2=4x. ..…2分 (2) B M ①设直线的方程为x=y+1(m≠0)，.3分 试卷第13页，共14页 由与3的斜率乘积为分，可得直线的方程为x=名+1，…4分 1 x=y+1 联立 y2=4x 消去x得：y2-4y-4=0,5分 则△=162+16>0，设A(5,片)，B(x2,),由韦达定理可得片+2=4m,..6分 :M为线段AB的中点， ∴yw=当，些=2，代入x=+1得x4=2r2+1,即M(2m2+1,2m, 2 y+1 联立 元+1，消去x得：y+8-4=0,8分 y2=4x 设C5,),D(x4),同理可得N8 4) +1,- 1 4 -2m 则直线MN的斜率kar= 8 +1-(22+1) 2-m2, 直线N的方程为y2加27(k-2m-小.10分 即x+(2-m)y-5m=0变形为：m(x-y-5)+2y=0, x-w-5=0 2y=0，解得x=5y=0,故直线MN恒过定点(5,0).…12分 令 ②直线：x=y+1对应的弦长AB到=4(m2+1),13分 线6名1对应的滋m=品)侵小 14分 hc四的表达式为：h国k叫4)4是1+是5 由基本不等式得m2+4≥ ms4, .15分 当且仅当m=±√2时取等号， ABCD216(4+5)=14, AB卧CD的最小值为144..17分 试卷第14页，共14页 2026年3月开学考试 高二年级数学试卷 （考试用时120分钟，满分150分） 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效； 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知：，那么的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A．3 B． C．33 D． 5．若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A．或 B． C．或 D． 6．等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 7．在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（   ） A． B． C．5 D． 8．已知，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为100 D．的前10项和为 10．函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（   ） A．最小正周期为 B．图象的对称中心为， C．在上单调递增 D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 11．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的离心率为 B．存在点P，使得为等腰直角三角形 C．当时，直线与双曲线C一定有两个交点 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（原创）已知向量，满足，，且，的夹角为，则______． 13．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 14．（原创）若函数y＝sin ωx在区间上单调递增，则ω的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本小题共13分)已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 16．(本小题共15分)如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面． (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角余弦值． 17．(本小题共15分)某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)求满意度评分的中位数和平均数． (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 18．(本小题共17分)在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. ①求的取值范围； ②若，求的值. 19．(本小题共17分)已知动点P到定点与到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹方程； (2)过作两条斜率乘积为的直线，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段，的中点分别为M，N． ①证明：直线恒过定点； ②求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月开学考试 高二年级数学试卷解析 一、单选题 1．已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的乘除法运算及共轭复数的定义即可求解． 【详解】由题意可得，故，其虚部为． 故选：C． 2．已知：，那么的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】要求命题的一个充分不必要条件， 只需要的真子集即可， 分析选项，只有C符合题意. 故选：C 3．如图，在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】由题意， 由可得：， 点是中点，故， 即. 故选：C 4．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A．3 B． C．33 D． 【答案】D 【分析】根据周期性和奇偶性求出即可. 【详解】由题意可得，. 故选：D 5．若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 6．等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的基本量运算和等差中项概念列方程组，求得的值，再代入前n项和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，则① 由与的等差中项为可得②， 将①代入②，可得，解得，回代入①，解得， 则. 故选：C. 7．在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先由题意求出，接着由求出c，再由余弦定理即可计算求解. 【详解】因为，， 则由解得， 所以， 所以由，即. 故选：D 8．已知，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】先根据角的范围及平方关系求出和，然后可算出，进而可求出 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 所以 因为，所以 故选：B 【点睛】在由三角函数的值求角时，应根据角的范围选择合适的三角函数，以免产生多的解. 二、多选题 9．已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为100 D．的前10项和为 【答案】AD 【分析】根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，即可判断A，根据等差数列求和公式判断B，利用并项求和法判断C，利用裂项相消法判断D. 【详解】对于A：因为，，成等比数列，所以，即， 解得，所以，则，故A正确； 对于B：的前项和为，故B错误； 对于C：因为， 所以的前100项和为 ，故C错误； 对于D：因为， 所以的前10项和为，故D正确. 故选：AD 10．函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（   ）    A．最小正周期为 B．图象的对称中心为， C．在上单调递增 D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 【答案】ABD 【分析】利用正弦函数的性质结合已知图象求出解析式，求出最小正周期判断选项A；利用对称中心的性质求出对称中心判断选项B；利用正弦函数单调性求出单调递增区间，判断选项C；利用正弦函数平移的性质求出平移后函数判断选项D． 【详解】由图象可知最高点到零点的距离为，是， ，， 当时，，即， ， ，故， ，故A正确； 由，解得，故B正确； 由，解得， 当时，递增区间为，，在内单调递减， 整个区间不单调递增，故C错误； 将函数的图象向左平移个单位可得，故D正确． 故选：ABD． 11．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的离心率为 B．存在点P，使得为等腰直角三角形 C．当时，直线与双曲线C一定有两个交点 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用双曲线的定义和性质，结合已知条件求出的关系，进而利用双曲线离心率公式、等腰直角三角形的性质、判别式等逐一分析判断选项． 【详解】渐近线互相垂直， ，解得，即，两条直线的斜率分别为1和， 双曲线C的离心率为，选项A正确； 点P是双曲线C右支上任意一点，， 若为等腰直角三角形，假设直角顶点为，则，与矛盾； 直角顶点为，故且有，， ，解得，故或， ，，， 无法构成等腰直角三角形，故B错误； 联立直线与双曲线，整理得， 当 时，， ， 直线与双曲线有2个交点，故C正确； 根据双曲线的定义可知， ， 的最小值为， ， 的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（原创）已知向量，满足，，且，的夹角为，则______． 【答案】 【分析】根据向量模的公式直接求解即可. 【详解】 ． 故答案为： 13．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义写出切线方程，进而求得切线与坐标轴的交点，即可求得结果. 【详解】由求导得，则， 故切线方程为，令，得，令，得， 即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：. 14．（原创）若函数y＝sin ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据题意可得，函数在区间，上单调递增，可得，由此求得的范围． 【详解】 解：函数在区间，上单调递增，． ，函数在区间，上单调递增， ，求得， 故答案为：． 四、解答题 15．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义判断； （3）将转化为求解 【详解】（1）由题意得：且， 解得，所以函数定义域为；.…………2分 （2）因为的定义域为，关于原点对称，…………4分 又，…………6分 所以为偶函数； （3），…………8分 则，…………10分 化简得 ，…………11分 解得或， 故实数的取值范围为或.…………13分 16．如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面． (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得． （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）证明：由已知得，平面，平面， 所以，…………2分 因为为底面圆的直径，所以，…………4分 因为，平面 所以平面， 又平面，所以.…………6分 （2）如图所示，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 又因为为的中点，∥，， 所以，且， 所以，且，即四边形为平行四边形，即， 因为面，所以面．…………8分 又因为面，所以，即为等腰直角三角形，， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.…………9分 设，则， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以．…………11分 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以，…………13分 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为．…………15分 17．某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)求满意度评分的中位数和平均数． (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【答案】(1) (2)（或）， (3) 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得. （2）利用中位数和平均数的定义，结合直方图列式求解. （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）；…………2分 （2） ；所以中位数在内，…………3分 设中位数为， （或）．…………6分 ．…………8分 （3）与的频率之比， 所以5人中有2人来自组，设为，3人来自组，…………10分 设为，，…………15分 或者列举法：共10种情况， 符合条件的6种情况；．…………15分 18．已知为双曲线：的左顶点，F为双曲线的右焦点，. (1)求双曲线的方程. (2)已知直线：与双曲线交于A，B两点. （i）求m的取值范围. （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是定值，定值为 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）（i）设，，联立直线与双曲线方程，结合判别式运算求解；（ii）结合韦达定理代入计算，即可证明. 【详解】（1）由题意可知：，…………1分 且， 结合，解得，…………3分 所以双曲线的方程为.…………5分 （2）（i）设，， 联立方程，消去x得，…………7分 由题意得且，…………8分 解得或，， 所以m的取值范围为；…………10分 （ii）由（i）可知，.…………12分 因为为双曲线的左顶点，则，可得，，…………13分 则 ， 故是定值，该定值为.…………17分 19．已知动点P到定点与到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹方程； (2)过作两条斜率乘积为的直线，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段，的中点分别为M，N． ①证明：直线恒过定点； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）设点，利用两点间距离公式构造方程求解； （2）设直线方程，联立曲线方程，结合韦达定理及中点关系求出方程，进而证明结论；分别求出对应弦长，得出，再利用基本不等式求最小值． 【详解】（1）设，则，…………1分 解得．…………2分 （2） ①设直线的方程为），…………3分 由与的斜率乘积为，可得直线的方程为，…………4分 联立，消去得：，…………5分 则，设，由韦达定理可得，…………6分 为线段的中点， ，代入得，即， 联立，消去得：，…………8分 设，同理可得， 则直线的斜率， 直线的方程为，…………10分 即变形为：， 令，解得，恒过定点．…………12分 ②直线对应的弦长，…………13分 直线对应的弦长，…………14分 的表达式为：， 由基本不等式得，…………15分 当且仅当时取等号， ， 的最小值为．…………17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年3月开学考试 高二年级数学试卷 (考试用时120分钟，满分150分) 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试题卷上无效： 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 3-4,则z的虚部为() 1+i 1.已知 A. B. c D. 25 2.已知P:-1<x<3,那么P的一个充分不必要条件是() A.1<x<2 B.2<x<4 C.-1<x<3 D.-2<x<3 3.如图，在四面体ABCD中，AB=五，AC=b,AD=C,点E在AB上，且AE=2EB,点F是 CD中点，则E=() A.1a+16-18 2 B. 2 2 2 3 2 2 c.3a+”7 2a+2万-1 D. 1a-26+1 23 2 4.已知了：)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2<x<3时，)=4+1，则() () A.3 B.-3 C.33 D.-33 5.若直线V3x-y=0被圆x2+y+4y+2m=0(meR)截得的弦长为2，则m=() A1或有 B.-1 c,1政 D.1 6.等比数列a,}的前n项和为S.,已知a=2,且a与2如，的等差中项为4，则S,=（） 5 A.28 B.29 C.30 D.31 试卷第1页，共4页 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tanA=,b=4,△ABC 面积为3，则边a的长为() B.35 c.5 D.√3 8已加mumm5引 则x+B=() A. 5π B.四 c.或 D. 4 亚或野 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分 9.已知公差为1的等差数列{a}满足a1,4,4成等比数列，则() A.a=10 B.a}的前n项和为nn+2) 2 C.{(-1)”a}的前100项和为100 1 的前10项和为12 D ananti 10.函数f()=sin(@x+列o>0,4<的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有() 123 A.f(x)最小正周期为π B.f(x)图象的对称中心为 元+m,0,keZ 620 C.f(x)在 _5ππ 12'6 上单调递增 D.将西数y=8如2x的图象向左平移若个单位长度可得到了（出）的图象 11.如图，已知双曲线C:-点 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为乃，F,两条渐近线 {:=bx,:=-bx互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是() 试卷第2页，共4页 A.双曲线C的离心率为√2 B.存在点P,使得△PFE为等腰直角三角形 C.当k∈(-1,1)时，直线：y=kx+1与双曲线C一定有两个交点 PR D.PF. 的最大值为25+3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(原创)已知向量ā，6满足d=2,l=3,且a,6的夹角为120°，则2a-= 13.设函数f(w=sinx,则曲线y=f()在点Mm0)处的切线与两坐标轴围成的三角形面 积为一· 《得)若商数血r在区间8哥 上单调递增，则ω的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 15.(本小题共13分)已知函数f(x)=n(2-x)+ln(2+x) (1)求函数f(x)的定义域： (2)判断f(x)奇偶性，并加以证明： (3)若f(2m+1)<n3,求实数m的取值范围 16.(本小题共15分)如图，A4,BB为圆柱OO的母线，BC是底面圆O的直径，D,E 分别是AA,CB的中点，DE⊥面CBB. .01 (1)证明：AB⊥AC: (2)若BB=BC,求平面ARC与平面BDC的夹角余弦值. 试卷第3页，共4页 17.(本小题共15分)某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意 度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. 个频率/组距 0.040 0015… 0.010 0.005 5060708090100分数 (1)根据频率分布直方图，求x的值： (2)求满意度评分的中位数和平均数. (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在[60,70)，[70,80)的两组中共抽取5人，再从这5 人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在[60,70)和[70,80)内各1人的概率， 18.(本小题共17分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的两个焦点分别是耳(-1,0)，E(1,0), 并且经过点 (1)求椭圆E的离心率； (2)直线1：y=-2与椭圆E交于不同的两点A,B. ①求k的取值范围： ②若OALOB,求k的值. 19.(本小题共17分)已知动点P到定点F(1,0)与到定直线x=-1的距离相等. (1)求动点P的轨迹方程： (Q)过R作两条斜率乘积为的直线从，分别交P的轨迹于AB和CD两点，且线段AB, CD的中点分别为M,N. ①证明：直线MN恒过定点： ②求ABCD的最小值. 试卷第4页，共4页2026年3月开学考试高二年级数学试卷双向细目表 考试时长：120分钟满分：150分 难度比例：易：中：难=2：6：2 能力层次：A识记、B理解、C应用、D综合 分值模块统计： 复数与逻辑用语：10分 函数与三角函数：43分 数列：11分 平面向量，空间向量：15分 直线圆与圆锥曲线：45分 立体几何：15分 统计概率：15分 导数基础：5分 能力层级分值： 识记理解(A+B):45分 常规应用(C):75分 综合拔高(D):30分 题号 考查知识点模 具体考点 能力 预估 分值 块 层次 难度 5 复数 复数四则运算、共轭复数、虚部概念 0.85 2 5 常用逻辑用语 充分不必要条件判断 B 0.80 3 5 空间向量 空间向量线性表示、中点与分点向量运算 C 0.75 4 5 函数性质 奇函数、周期函数求值 0.75 5 直线与圆 圆的一般方程、弦长公式、点到直线距离 C 0.70 6 5 等比数列 等比数列通项、等差中项、前n项和 0.70 5 解三角形 同角三角函数、三角形面积公式、余弦定理 C 0.65 5 三角恒等变换 两角差正弦、二倍角、给值求角 0 0.60 9 6 等差数列 等差数列性质、等比中项、求和公式、裂项相消 D 0.65 三角函数图像 10 6 正弦型函数周期、对称中心、 单调性、图像平移 C 0.65 与性质 渐近线垂直、离心率、直线与双曲线位置、焦比 11 6 双曲线 D 0.55 值最值 12 5 平面向量 向量模长、数量积运算 0.80 13 5 导数应用 导数几何意义、切线方程、三角形面积 0.70 三角函数单调 14 5 正弦型函数单调区间、参数范围求解 0.65 性 函数定义域与 15 13 对数函数定义域、奇偶性证明、对数不等式求解 B/C 0.75 奇偶性 16 15 空间几何 线线垂直证明、空间向量求面面夹角 C/D 0.60 频率分布直方图参数、中位数平均数、分层抽样 17 15 统计与概率 B/C 0.70 古典概型 椭圆定义与离心率、直线与椭圆位置关系、垂直 18 17 椭圆综合 C/D 0.55 向量联立求解 19 17 抛物线综合 抛物线轨迹方程、直线过定点、弦长最值问题 0 0.50 2026年3月开学考试高二年级数学试卷双向细目表 考试时长：120 分钟 满分：150 分 难度比例：易∶中∶难 = 2∶6∶2 能力层次：A 识记、B 理解、C 应用、D 综合 分值模块统计： 复数与逻辑用语：10 分 函数与三角函数：43 分 数列：11 分 平面向量，空间向量：15 分 直线圆与圆锥曲线：45 分 立体几何：15 分 统计概率：15 分 导数基础：5 分 能力层级分值： 识记理解（A+B）：45 分 常规应用（C）：75 分 综合拔高（D）：30 分 题号 分值 考查知识点模块 具体考点 能力层次 预估难 度 1 5 复数 复数四则运算、共轭复数、虚部概念 B 0.85 2 5 常用逻辑用语 充分不必要条件判断 B 0.80 3 5 空间向量 空间向量线性表示、中点与分点向量运算 C 0.75 4 5 函数性质 奇函数、周期函数求值 C 0.75 5 5 直线与圆 圆的一般方程、弦长公式、点到直线距离 C 0.70 6 5 等比数列 等比数列通项、等差中项、前 n 项和 C 0.70 7 5 解三角形 同角三角函数、三角形面积公式、余弦定理 C 0.65 8 5 三角恒等变换 两角差正弦、二倍角、给值求角 D 0.60 9 6 等差数列 等差数列性质、等比中项、求和公式、裂项相消 D 0.65 10 6 三角函数图像与性质 正弦型函数周期、对称中心、单调性、图像平移 C 0.65 11 6 双曲线 渐近线垂直、离心率、直线与双曲线位置、焦比值最值 D 0.55 12 5 平面向量 向量模长、数量积运算 B 0.80 13 5 导数应用 导数几何意义、切线方程、三角形面积 C 0.70 14 5 三角函数单调性 正弦型函数单调区间、参数范围求解 C 0.65 15 13 函数定义域与奇偶性 对数函数定义域、奇偶性证明、对数不等式求解 B/C 0.75 16 15 空间几何 线线垂直证明、空间向量求面面夹角 C/D 0.60 17 15 统计与概率 频率分布直方图参数、中位数平均数、分层抽样、古典概型 B/C 0.70 18 17 椭圆综合 椭圆定义与离心率、直线与椭圆位置关系、垂直向量联立求解 C/D 0.55 19 17 抛物线综合 抛物线轨迹方程、直线过定点、弦长最值问题 D 0.50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $