精品解析：黑龙江大庆市第二十三中学2025-2026学年高二下学期艺术部5月期中考试数学试题

大庆市第23中学艺术部2025-2026学年度（下）期中考试 高二数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：（每小题5分，共40分） 1. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取1本书，则不同的选法共有（ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】由分类加法计数原理计算. 【详解】任取一本书可能从上层取1本书，有6种方法，也可能从下层取1本书，有5种方法， 所以不同的选法有种. 2. 有五名同学排成一排，其中甲、乙两人不能在一起的排法数是（ ） A. 120 B. 72 C. 36 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先求出五名同学排成一排的所有排列情况，再求出甲、乙两人排在一起的排列情况，最后用总的排列情况减去甲、乙两人排在一起的排列情况，可得甲、乙两人不能在一起的排法数. 【详解】五名同学排成一排的所有排列情况为种， 甲、乙两人排在一起的排列情况为种， 所以甲、乙两人不能在一起的排法数为. 3. 设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以． 4. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 15 B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【详解】二项式展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数是. 5. 某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（ ） A. 45种 B. 36种 C. 28种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【详解】10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，． 6. 设，则（ ） A. 242 B. 243 C. 32 D. 31 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 令，可得，即， 令，可得， 即， 因此. 7. 甲、乙两人各自独立破译一个密码，甲、乙两人能译出这个密码的概率分别为，已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式可计算“密码被译出”的概率再用条件概率公式即可. 【详解】设“密码被译出”为事件，“甲译出密码”为事件，则， 已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是． 8. 已知随机变量，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为， ； ， . 对于A，， ，无法推出，故A错误； 对于B， ； ， ，故B错误； 对于C，D， ， ，得 ；由 ，无法确定与0.9的大小关系，故C不一定成立，D正确. 二、多选题（每小题6分，共18分．） 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】AC 【解析】 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A，样本共个数据，，为整数，第百分位数为第项和第项数据的平均值，即，A错误 选项B，方差，因为，故样本均值,样本总和，B正确 选项C，若，则，根据期望性质，得，C正确 选项D，正态分布的对称轴为，由对称性得，则，D正确 11. 下列函数在定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，是定义在上的增函数，A正确； 对于B，，是定义在上的增函数，B正确； 对于C，，当时，， 在上单调递减，C错误； 对于D，，是定义在上的增函数，D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）． 【答案】96 【解析】 【详解】从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数． 13. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】对给定等式两边求导，赋值求出，进而求出，最后求出即可. 【详解】由，求导得， 则，解得， 即，故. 14. 的展开式中的常数项为______． 【答案】49 【解析】 【分析】分类讨论利用多项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式中得到常数项的方法分类如下： （1）4个因式全取1，相乘得到常数项.常数项为； （2）4个因式中有1个取，则再取1个，其余因式取，相乘得到常数项.常数项为； （3）4个因式中有2个取，则再取2个，相乘得到常数项为， 合并同类项，所以展开式中常数项为. 四、解答题（共77分） 15. 已知数列是等比数列，，，数列满足：． （1）求，的通项公式； （2）数列求数列的前项和． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】(1)根据等差数列与等比数列的基本量运算即可求得数列的通项公式； (2)利用裂项相消法即可求得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则， 于是 ； 则， 故的通项公式为，的通项公式为. 【小问2详解】 由题可知 数列的前项和为 . 16. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值，极小值． 【解析】 【分析】（1）先求函数在处的函数值与导数值（切线斜率），再用点斜式写出切线方程． （2）先求导并因式分解，根据导数的正负判断函数单调性，再结合单调性确定极大值点、极小值点，代入原函数计算极值． 【小问1详解】 由，得， 因为，， 所以在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 的定义域为， ， 令，得或，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，取极大值，当时，取极小值． 17. 袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球. （1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的白球个数，求X的分布列、均值和方差； （2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记Y为摸出的白球个数，求Y的分布列、均值和方差. 【答案】（1）分布列见解析，， （2）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）由题意，根据相互独立事件概率的计算公式求出概率，写出分布列，计算期望与方差即可； （2）根据古典概型计算公式，计算概率写出分布列，结合数学均值与方差公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为采取放回抽样方式，所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为， 由题意可知：， ，由（1）可知：，， 所以X的分布列为： ， . 【小问2详解】 由题意可知：， ，，， 所以Y的分布列为： ， ． 18. 高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）． （1）小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？ （2）用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布列和期望． 【答案】（1）9 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，结合组合即可求解， （2）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望公式即可求解. 【小问1详解】 汤有一种选择；米面类美食三种里选择一种方法数为；其他菜类3种里选择2种方法数为； 不同组合共计（种） 【小问2详解】 的可能取值有0、1、2、3； 分布列为： X 0 1 2 3 所以； 19. 某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. （1）求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； （2）若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式，把三种款的概率与对应好评概率相乘再相加，即可得到结果； （2）先算出未给出好评的概率，再结合抽到普通款且未给出好评的概率，利用贝叶斯公式即可求得. 【小问1详解】 设事件表示“抽到隐藏款”，表示“抽到稀有款”，表示“抽到普通款”， 事件表示“消费者给出好评”，事件表示“消费者未给出好评”. 根据题意，，两两互斥，且. 由题意得，，，，，. 由全概率公式，得， 所以消费者给出好评的概率为. 【小问2详解】 由（1）知，因此. 根据题意，得. 因为，，两两互斥，且， 由贝叶斯公式，得， 所以，若消费者未给出好评，其抽到普通款的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第23中学艺术部2025-2026学年度（下）期中考试 高二数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：（每小题5分，共40分） 1. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取1本书，则不同的选法共有（ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 30 2. 有五名同学排成一排，其中甲、乙两人不能在一起的排法数是（ ） A. 120 B. 72 C. 36 D. 12 3. 设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 15 B. C. 30 D. 5. 某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（ ） A. 45种 B. 36种 C. 28种 D. 8种 6. 设，则（ ） A. 242 B. 243 C. 32 D. 31 7. 甲、乙两人各自独立破译一个密码，甲、乙两人能译出这个密码的概率分别为，已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分．） 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 11. 下列函数在定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）． 13. 若，则__________. 14. 的展开式中的常数项为______． 四、解答题（共77分） 15. 已知数列是等比数列，，，数列满足：． （1）求，的通项公式； （2）数列求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 17. 袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球. （1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的白球个数，求X的分布列、均值和方差； （2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记Y为摸出的白球个数，求Y的分布列、均值和方差. 18. 高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）． （1）小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？ （2）用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布列和期望． 19. 某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. （1）求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； （2）若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $