河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期第一次月考考前适应性训练数学试题（一）

方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期第一次月考考前适应性训练数学试题（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知从甲地直接到丙地有3条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地到丙地，由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有（    ） A．13条 B．15条 C．21条 D．36条 2．的展开式中的常数项为（    ） A．60 B．120 C．160 D．240 3．已知，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．某学校准备抽奖活动，在一个盒子中有20个大小和形状均相等的小球，其中有8个粉色球，8个紫色球和4个蓝色球，从盒子中任选一球，若它不是粉色球，则它为蓝色球的概率为（   ） A． B． C． D． 5．的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C．25 D．55 6．中国古代五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙2名同学各自选两种书作为兴趣研读，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 7．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 8．已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（    ） A．150 B．240 C．390 D．1440 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的有（   ） A．两件都是一等品的概率是 B．两件中有1件是次品的概率是 C．两件都是正品的概率是 D．两件中至少有1件是一等品的概率是 10．关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 11．有个编号分别为的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．甲､乙､丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为，乙加工的正品率为，丙加工的正品率为，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的.现任取一个零件，则它是正品的概率为______. 13．的展开式中的系数为___________． 14．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内（含3次）停止摸球的概率为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．设等比数列的公比，，且 (1)求的值； (2)若，，成等差数列，求的值； (3)设数列的前项和为，证明：． 16．某中学手工社团每周开展劳动实践活动，制作并展示手工艺品，社团每周需要准备一定数量的手工材料包（如陶土、布料等）.根据过往活动记录，发现参与活动的学生对手工材料包的需求量相对稳定，每周对手工材料包的不同需求量（单位：份）及对应概率如下表： 需求量（份） 0 1 2 3 概率 若以手工材料包的库存作为供给量，为了减少资源浪费，每周末社团会清点材料库存：若手工材料包全部被领用，则在周末及时采购2份新材料包，只要手工材料包还有1个存货，就不采购新的材料包.记为第周开始时社团的材料包供给量，假设. (1)求的分布列； (2)记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为. （i）求该材料包的定常态分布； （ii）从长远来看，求该材料包需求量大于供给量的概率. 17．如图，四边形和都是正方形，四边形为平行四边形，为锐角，M，N分别为的中点，直线AE与平面所成的角为． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 18．已知抛物线的准线为，点到的距离为3.过点作两条直线， 其中斜率为 的直线与交于、两点，斜率为 的直线与交于、两点，其中点均在第四象限. (1)求抛物线的方程; (2)若，证明: ; (3)若直线经过点，证明直线经过定点，并求出该定点坐标. 19．已知函数，为的导函数． (1)判断在上的单调性； (2)当时，证明：； (3)设为函数在区间内的零点，证明：． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期第一次月考考前适应性训练数学试题（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D B B B C AD ABC 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】由分类加法和分步乘法计数原理即可直接计算求解. 【详解】由分步乘法计数原理得从甲地到丙地不同的路线有条. 故选：B 2．D 【详解】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择， 则的展开式中的常数项为. 3．D 【分析】根据排列与组合公式计算求解即可. 【详解】由，则， 则，即. 故选：D 4．D 【分析】记取出蓝色球记为,取出的不是粉色球记为,利用条件概率求解. 【详解】记取出蓝色球为事件,事件取出的不是粉色球为, ,, , 则． 故选：D 5．B 【分析】写出二项式的展开式中的通项，然后观察含项有两种构成，一种是中的1与中的二次项相乘得到，一种是中的与中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果. 【详解】二项式的展开式中的通项，含的项的系数为 故选B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 6．B 【分析】甲、乙2名同学先选相同的书，然后再从剩下的4本书中选2本，分给甲、乙2名同学即可. 【详解】由题意得甲、乙2名同学先选相同的书，有种选法， 然后从剩下的4本书中选2本，分给甲、乙2名同学，有种选， 所以由分步乘法原理可知共有种选法. 故选：B 7．B 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 8．C 【分析】分析可得可以将5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中，分别计算每种放球方法种数，再利用分类相加计数原理可求得结果. 【详解】因为或 所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中 （1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法： 各放1个，2个，2个的方法有种. 各放3个，1个，1个的方法有种. （2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有 种. 综上，总的放球方法数为种. 故选：C 【点睛】易错点睛：本题考查排列组合的部分均匀分组，解题时一定要注意不要重复，有n组均匀，最后一点要除以，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题. 9．AD 【分析】根据组合数公式，分别计算 “两件都是一等品”“有 1 件是次品”“两件都是正品”“至少有 1 件是一等品” 的概率，再逐一判断选项正误。 【详解】对于A，两件都是一等品的概率为，故A正确； 对于B，两件中有1件是次品的概率为，故B错误； 对于C，两件都是正品的概率为，故C错误； 对于D，两件中至少有1件是一等品的概率为，故D正确， 故选：AD． 10．ABC 【分析】原二项式可以化为，再根据二项式展开式的性质求解即可. 【详解】，得二项式的系数和为，故A正确； 令得所有项的系数和为0，故B正确； 常数项，故C正确； 由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误. 故选：ABC 11．BCD 【分析】对于A，根据独立事件的概率公式求解判断，对于B，根据条件概率公式求解判断，对于C，根据和事件的概率公式求解判断，对于D，由题意可得，，然后求出比较即可. 【详解】对于A，，所以A错误； 对于B，， 所以，所以B正确； 对于C，因为，， 所以，所以C正确， 对于D，由题意可得，， ， 所以， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以，所以， 所以，则，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，利用全概率公式得到，从而利用构造法求得，由此得解. 12．/ 【分析】由题意结合全概率公式即可直接计算得解. 【详解】由题得甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的、、， 所以现任取一个零件，由全概率可得它是正品的概率为. 故答案为：. 13． 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案. 【详解】二项式的展开式通项公式为， 当时，，当时，， 因此展开式中含的项为，故所求系数为. 故答案为：24. 14． 【分析】利用全概率公式求出事件 “第1次摸到红球，第2次摸到红球”，事件“第1次摸到红球，第2次摸到白球，第3次摸到红球”，“第1次摸到白球，第2次摸到红球，第3次摸到红球”的概率，最后将它们相加即可求得结果. 【详解】设事件“3次之内（含3次）停止摸球”， 事件 “第1次摸到红球，第2次摸到红球”； 事件 “第1次摸到红球，第2次摸到白球，第3次摸到红球”； 事件“第1次摸到白球，第2次摸到红球，第3次摸到红球”； 事件“在第次摸球时首次选择甲袋”（）， 事件“一直没有选择甲袋”． 则． ． ． 因此． 故答案为：. 15．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】(1)由 计算公比； (2)根据等差中项性质计算； (3)由是以为首项，为公比的等比数列计算，再计算出的表达式，通过比较证明不等式成立. 【详解】（1）因为，所以． 又，所以． （2）因为，，成等差数列，所以， 所以． 因为，，所以，解得． （3）因为，所以，， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 16．(1)分布列见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先分情况讨论的取值，再根据的取值进一步讨论的取值，进而求得对应的概率得到分布列. （2）（i）设，先由转移关系得到方程组；进而求出的值；（ii）分两种情况讨论求解，最后相加即可得到结果. 【详解】（1）当第一周需求量为0时，，此情况概率为； 当第一周需求量为1时，，此情况概率为； 当第一周需求量为2时，，此情况概率为； 当第一周需求量为3时，因为供给量只有2份，全部领完，，此情况概率为； 所以. 当时，若第二周需求量为0，则，概率为； 若第二周需求量为1，则，概率为； 若第二周需求量为2，则，概率为； 若第二周需求量为3，则，概率为； 当时，若第二周需求量为0，则，概率为； 若第二周需求量为1，则，概率为； 若第二周需求量为2，则，概率为； 若第二周需求量为3，则，概率为； 所以. 所以的分布列为： 1 2 （2）（i）设，因为，且由转移关系可得方程组： ，将代入可得： ，解得，则，所以. （ii）当供给量为1时，需求量为2或3时满足需求大于供给，概率为； 当供给量为2时，需求量为3时满足需求大于供给，概率为； 所以从长远来看，求该材料包需求量大于供给量的概率为. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，要证明线面平行，则需要证明线线平行，即证明. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，然后求出平面与平面的法向量坐标，最后根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接. 根据中位线定理可得，因为. 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面. （2）四边形和都是正方形，所以， 又平面，所以平面. 平面，所以平面平面. 过点作，垂足为，由平面平面可知平面. 所以是与平面所成的角，. 设，则. 如图，以为原点，所在直线分别为轴，在平面内过作的平行线为轴， 建立空间直角坐标系， 则，设. 由，所以，可得. 同理可得，为的中点，所以. 可知平面的一个法向量为. 设平面的法向量坐标为，. 则，那么有， 令，则，所以. 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 . 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 18．(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析，. 【分析】（1）求出抛物线的准线方程，利用点到直线距离求出即可. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式及韦达定理求出，进而求出即可. （3）设，由直线过点得，由直线过点得，再探求出的关系即可推理得证. 【详解】（1）抛物线的准线为，由点到的距离为3， 得，解得，所以抛物线的方程. （2）依题意，令，由，得，设， 直线的方程为，直线的方程为， 由消去得，则， ，同理得， 所以. （3）直线的斜率，方程为， 整理得，而直线过点，则， 设，同理得直线的方程，而直线过点， 因此，由，得， 则，直线的方程， 即，整理得， 所以直线经过定点. 19．(1)单调递减 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用三角函数的性质判定导函数的符号即可； （2）利用（1）的结论构造，并判定其单调递减即可； （3）记，先利用（1）判定，结合（2）的结论得出，再由变形放缩即可证明. 【详解】（1）易知， 当时，，有，得 所以，在上单调递减； （2）由（1）知， 要证等价于证明 记． 依题意及（1），有，从而． 当时，， 故 因此，在区间上单调递减，进而． 所以，当时，． 即； （3）依题意，，即， 记，则， 故， 由及（1），得， 由（2）知，当时，，所以在上为减函数， 因此， 又由（2）知，， 故， 所以. 答案第6页，共12页 答案第5页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $