精品解析：上海市回民中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试卷

2025学年第二学期高一年级数学学科期中测试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，第1-6每题4分，第7-12每题5分． 1. 化简向量运算：______． 2. 已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为______． 3. 已知，则 ______． 4. 已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则_________． 5. 已知，，，则在方向上的数量投影为______． 6. 在中，，，，则角A的大小为_____. 7. 已知奇函数的一个周期为2，当时，，则___________. 8. 已知，的图像如图所示，则函数解析式为_____________. 9. 若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 10. 在中，， 是上一点，，则________ 11. 设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做在斜坐标系Oxy中的斜坐标.若，向量，在斜坐标Oxy中的坐标分别为，，则在上的投影向量的斜坐标是______________. 12. 函数的图像在上恰好有一个点纵坐标为1，则实数的取值范围是__________. 二、单选题（本题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16每题5分． 13. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 14. 在中，为的中点，若，，则为（ ） A. B. C. D. 15. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，第17-19每题14分，第20-21每题18分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 已知，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值. 18. 已知向量，满足，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 19. 如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求. （1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由； （2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值. 20. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若函数，求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 21. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； （3）已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高一年级数学学科期中测试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，第1-6每题4分，第7-12每题5分． 1. 化简向量运算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加法的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 2. 已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式可求弧长. 【详解】设弧长为，则. 故答案为：. 3. 已知，则 ______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 4. 已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】应用任意角三角函数定义及二倍角正弦公式计算求解. 【详解】因为终边过点， 所以 则． 故答案为：. 5. 已知，，，则在方向上的数量投影为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影的定义直接求解即可. 【详解】依题意，在方向上的数量投影为. 故答案为： 6. 在中，，，，则角A的大小为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理， ，代入即可求解. 【详解】由题意，， 根据余弦定理 故答案为： 【点睛】已知三边求夹角余弦值，本题考查余弦定理，属于基础题. 7. 已知奇函数的一个周期为2，当时，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意根据函数的奇偶性与周期性计算可得； 【详解】解：根据题意得， 故答案为： 8. 已知，的图像如图所示，则函数解析式为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的最值、周期性以及特殊点的函数值求得的解析式. 【详解】由图可知的最小值为，所以， ， 所以， ， 所以， 由于，所以取，， 所以. 9. 若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角，得到，注意排除与反向共线这种情况，进而即可求出答案． 【详解】由，，则， 又与的夹角为钝角， 则，即，解得， 当与反向共线时，，解得，此时夹角不是钝角， 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：． 10. 在中，， 是上一点，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先将，用表示出来，再利用向量运算法则及向量数量积的运算求解. 【详解】 ， ， . 11. 设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做在斜坐标系Oxy中的斜坐标.若，向量，在斜坐标Oxy中的坐标分别为，，则在上的投影向量的斜坐标是______________. 【答案】 【解析】 【分析】先表示出，，再根据平面向量模的公式、平面向量数量积的定义和运算性质得到，，最后结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】若，则， 因为向量，在斜坐标Oxy中的坐标分别为，，， 所以，， 则， ， 则在上的投影向量为. 12. 函数的图像在上恰好有一个点纵坐标为1，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，画出函数的图象，由图象得出实数的取值范围. 【详解】令，则 函数的图象如下图所示 要使得函数的图像在上恰好有一个点纵坐标为1 则，解得 故答案为： 二、单选题（本题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16每题5分． 13. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解. 【详解】函数、的最小正周期为，AC不是； 函数是偶函数，D不是，是奇函数，且最小正周期为，B是. 故选：B 14. 在中，为的中点，若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算表示即可. 【详解】 如图，， 故选：D. 15. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，得，在中，得，在中得，代入数值即可求得的值. 【详解】， 在中，， 在中，， 则， 由正弦定理，得，所以， 在中，. 故选：D. 16. 在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数新定义结合辅助角公式化简函数，然后根据正弦函数的性质一一判定各个命题即可. 【详解】由题意可知：，显然该函数的值域为，即①正确； 当时，，即该函数图象关于原点对称是错误的，故②错误； 当时，，即该函数图象不关于直线对称，故③错误； 易知该函数为周期函数，其最小正周期为，故④正确. 故选：B 三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，第17-19每题14分，第20-21每题18分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 已知，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值. 【答案】（1）；（2）3. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式直接进行求值； （2）利用任意角的三角函数定义求得，再由两角差的正切求解的值． 【详解】（1），，， . （2）由题意，， 由（1）知，， 则． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，考查基本的运算求解能力． 18. 已知向量，满足，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得； （2）首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知， ∴， ∴； 19. 如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求. （1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由； （2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值. 【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2），最小值为. 【解析】 【分析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解，判断是否符合要求，即可． （2），，求出，利用两角和与差的三角函数求解最值即可． 【详解】解：（1）由题意，，， 所以 所以，不符合要求 （2），， 所以， ， 所以，的最小值为. 【点睛】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 20. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若函数，求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，然后由周期公式可得； （2）求出，然后由正弦函数的单调性即可求解； （3）将问题转化为函数与的图象有两个交点，数形结合可得. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 ， 由，解得， 所以函数的单调递减区间为. 【小问3详解】 由得， 当时，， 所以， 作出函数在的图象，如图： 由函数与的图象有两个交点， 得，即，即实数的取值范围为. 21. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； （3）已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在点 【解析】 【分析】（1）先把函数展开化简成的形式，根据相伴向量定义，得出. （2）先化简，由求出的值.再用正弦定理得到、关于角的表达式，进而得出关于角的式子，化简为.根据的范围确定的范围，找到取最值时的值，从而得到的最值，确定其取值范围. （3）本题先根据已知函数求出，进而得到点坐标，再根据、坐标得出向量与.因为，利用向量垂直性质得到等式，展开后变形得到.接着分析取值范围，得出取值范围，又知的最大值，找到使两者相等时的值，从而确定点坐标，判断是否存在满足条件的点. 【小问1详解】 所以函数的相伴向量； 【小问2详解】 由题知，由，得． 又因为，即，所以． 又因为，由正弦定理，得， 即 ，因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 即的最大值为，最小值大于b边．所以的取值范围为 【小问3详解】 由（2）知，， 所以， 设，因为， 所以， 又因为，所以，所以 即，所以 因为，所以，所以， 又因为，所以当且仅当时，和同时等于， 所以在图像上存在点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $