7.4.2超几何分布课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦超几何分布，通过课前回顾二项分布的期望与方差，结合有放回与不放回抽样的实际问题对比，搭建从二项分布到超几何分布的知识支架，引导学生理解概念推导过程。 其亮点是以产品抽样、抽奖等现实情境为载体，让学生用数学眼光观察数量关系，通过对比辨析培养数学思维，借助例题推导和分布列应用强化数学语言表达。采用问题驱动和变式训练，学生能深化理解，教师可提升教学效率。

7.4二项分布与超几何分布 7.4.2超几何分布 12:04:23 一 二 三 学习目标 理解超几何分布及推导过程. 能辨析超几何分布与二项分布的不同点. 能用超几何分布解决简单的实际问题. 问题 已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列． 我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X～B(4, 0.08) ． 如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布？如果不服从，那么X的分布列是什么？ 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布． 计算的具体结果（精确到0.00001）如表7.4-1所示． X 0 1 2 3 4 P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布 【例1】 下列问题中,相应随机变量服从超几何分布的是(　　) A.抛掷三枚质地均匀的骰子,所得向上的点数是6的骰子的个数X B.有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,试验中发芽的种子数X C.盒子中有大小、质地完全相同的红球3个,黄球4个,蓝球5个,从中不放回地任取3个球,其中不是红球的个数X D.有100个蓝牙耳机未经检测,抽取10个送检,检验结果为不合格的蓝牙耳机的个数X 练习：优化设计75页 例4 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率． 例题解析：课本78页 例5 一批零件共有5个，其中有2个不合格．随机抽取2个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． 【变式训练1】 一件产品中有13件正品、2件次品,从中不放回地任取3件,求取出次品数X的分布列. 例题讲解优化设计76页 探究二 超几何分布 【例2】 在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有1张一等奖奖券,可获价值50元的奖品,有3张二等奖奖券,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品. (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列; (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张, ①求顾客乙中奖的概率; ②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列. 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆. (2)超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k值的概率P(X=k),从而求出X的分布列. 【变式训练2】 一个袋中装有6个质地、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号分别为1,2,3;黑球有2个,编号分别为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机取出3个球. (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率; (2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列. 【例3】 一个袋子中装有60个大小、质地完全相同的球,其中有20个黄球、40个白球,从中随机地摸出10个球作为样本,用X表示样本中黄球的个数. (1)有放回地摸球,求X的分布列; (2)不放回地摸球,求X的分布列. 优化设计77页 【例3】 一个袋子中装有60个大小、质地完全相同的球,其中有20个黄球、40个白球,从中随机地摸出10个球作为样本,用X表示样本中黄球的个数. (1)有放回地摸球,求X的分布列; (2)不放回地摸球,求X的分布列. 探究 服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 第80页 1．一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率． 解：因为一箱24罐的饮料中4罐有奖券，所以无奖券的有20罐， 2．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率． 3．举出两个服从超几何分布的随机变量的例子． 例1：假设某鱼池中仅有鲤鱼和草鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，草鱼40条，从鱼池中任取5条鱼，这5条鱼中包含草鱼的个数X服从超几何分布． 例2：现有甲、乙两种品牌的电视机共52台，其中甲品牌21台，从52台电视机中选出5台送给福利院，选出的甲品牌电视机台数X服从超几何分布． 解:由题意知,X服从超几何分布,其中N=15,M=2,n=3. X的可能取值为0,1,2,相应的概率为 P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=.所以X的分布列为 X 0 1 2 P 解:(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,故X的取值只有0和1两种情况. P(X=1)=, 则P(X=0)=1-P(X=1)=1-. 因此X的分布列为 X 0 1 P (2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件:所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率P=. ②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60,且P(Y=0)=, P(Y=10)=,P(Y=20)=,P(Y=50)=, P(Y=60)=. 因此随机变量Y的分布列为 Y 0 10 20 50 60 P 解:(1)从袋中一次随机取出3个球,则样本空间包含的样本点总数为n(Ω)==20,取出的3个球的颜色都不相同包含的样本点的个数为=6,所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P=. (2)由题意知X的可能取值为0,1,2,3,且X服从超几何分布,其中N=6,M=3,n=3,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=, P(X=3)=. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 2．一个袋中放有M个红球，( )个白球，依次从袋中取 个球，记下红球的个数 . ⑴如果是不放回地取, ⑵如果是有放回地取， 则 服从超几何分布. (其中 则 二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？ 1．两点分布是特殊的二项分布 解:(1)对于有放回地摸球,每次摸到黄球的概率为,且各次试验之间的结果相互独立,因此X~B,X的分布列为 p1k=P(X=k)=,k=0,1,2,…,10. (2)对于不放回摸球,各次试验的结果不独立,X服从超几何分布,X的分布列为p2k=P(X=k)=,k=0,1,2,…,10. $