专题01 二次根式全章22大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材浙教版

专题01 二次根式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二次根式的识别 题型02 二次根式有意义的条件 题型03 求二次根式的值 题型04 求二次根式中的参数 题型05 利用二次根式的性质化简 题型06 复合二次根式的化简 题型07 最简二次根式的识别 题型08 化为最简二次根式 题型09 已知最简二次根式求参数 题型10 同类二次根式的识别 题型11 已知同类二次根式求参数 题型12 二次根式的乘法 题型13 二次根式的除法 题型14 二次根式的乘除混合运算 题型15 有理化因式 题型16 分母有理化 题型17 二次根式的加减运算 题型18 二次根式的混合运算 题型19 二次根式的化简求值 题型20 二次根式的实际应用 题型21 二次根式的规律探究题 题型22 二次根式与新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 1. 二次根式的概念与有意义条件 理解二次根式定义（含二次根号、根指数为 2）；掌握a有意义⇔a≥0；能求含分式、偶次根式的字母取值范围. 基础必考点，常出现在选择、填空小题；易错：忽略分母≠0、误判根指数. 2. 二次根式的性质 掌握三条核心性质：①双重非负性：a≥0且a≥0； ②（）2＝a（a≥0）；③ |a| 高频必考点，期末选择、填空、解答均常出现；重点考查双重非负性求值、化简、去绝对值； 3. 二次根式的乘除运算 掌握乘法•（a ≥0，b≥0）、除法（a≥0，b＞0）；理解积 / 商的算术平方根性质；会化简、分母有理化. 中档必考题；常考根式乘除、化简、分母有理化；易错：条件a≥0,b>0、化简不彻底. 4. 最简二次根式与同类二次根式 掌握最简二次根式两条件：被开方数不含分母、不含开得尽方因式；能识别、合并同类二次根式. 基础 + 中档；常考化为最简、找同类根式；易错：不同类根式强行合并. 5. 二次根式的加减运算 掌握 “先化简、再合并同类二次根式”；会去括号、合并、不漏项. 中档高频；易错：符号错误、漏项、乱合并. 6. 二次根式的混合运算 掌握运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减）；会用运算律、平方差 / 完全平方公式；结果化为最简. 期末中档 / 小压轴；计算量大，易算错；常结合乘法公式. 7. 二次根式的实际应用 能用二次根式表示长度、面积、距离；会列表达式、求值、检验结果合理性. 期末小压轴；常考几何边长、勾股、面积、行程；易错：结果取非负值、近似值. 知识点01 二次根式的概念 1、二次根式的定义：表示算术平方根的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号. ①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数； ②被开方数既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子. 【注意】 二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有. 2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0, 无意义， a＜0. 知识点02 二次根式的性质 1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． 2、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． 知识点03 二次根式的乘除 1、二次根式的乘法法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根. 用字母表示为：•（a ≥0，b≥0）. （1）法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数. （2）二次根式的乘法法则推广： ①•（a ≥0，b ≥0，c≥0）. ②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 m n = m n（a≥0，b≥0）. 2、积的算术平方根性质：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积. 即：•（a≥0，b≥0） 3、二次根式的除法法则：两个算术平方根的商，等于各个被开方数相除商的算术平方根. 用字母表示为：（a≥0，b＞0）． 4、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）. 即：（a≥0，b＞0） 【注意】 ①该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0. ②该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可. 知识点04 最简二次根式 1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 知识点05 二次根式的加减 1、同类二次根式：同类经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被为同类二次根式. （1）同类二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式． （2）同类二次根式的合并的方法别：①化为最简二次根式；②系数相加减；③二次根式不变. 【注意】 （1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关. （2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为. 2、二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并. (1)二次根式的加减法的解题步骤: ①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式 ②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式 ③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项. (2)整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用. 【注意】 （1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并； （2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分. 知识点06 二次根式的混合运算 1、二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算. 2、二次根式的混合运算顺序： 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． 3、二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用. 知识点07 二次根式的实际应用 1. 核心场景 几何应用：勾股定理求边长、矩形 / 正方形边长、面积、距离、高 生活应用：行程、工程、长度测量、面积计算、近似估算 2. 解题思路 审题：找数量关系（边长、距离、面积、速度、时间）, 列式：用二次根式表示未知量. 化简：结果化为最简二次根式, 求值：根据要求取近似值（保留小数位数）, 检验：结果为非负数，符合实际意义, 题型一 二次根式的识别 解｜题｜技｜巧 紧扣 “形如（a≥0）” 的定义，先看是否含二次根号，再验证被开方数（含字母需保证取值使被开方数非负），两者均满足则为二次根式 【典例1】下列各式中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2，被开方数为非负数两个条件． 【详解】解：A．不含根号，不是二次根式，不符合题意； B．的根指数为2，被开方数，符合题意； C．的根指数为3，是三次根式，不是二次根式，不符合题意； D．不含根号，不是二次根式，不符合题意． 【变式1】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 【变式2】下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B．当时，，不一定是二次根式，故此选项错误； C．一定是二次根式，故此选项正确；     D．二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误．     故选：C． 题型二 二次根式有意义的条件 解｜题｜技｜巧 分情况分析：仅含二次根式时，令被开方数≥0 列不等式；含分母时，需同时满足被开方数≥0 且分母≠0；含零 / 负指数幂时，额外保证底数≠0，解不等式得取值范围. 【典例1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）下列各数中，能使有意义的x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，列出不等式求解x的取值范围，再判断选项中的数是否符合该范围即可． 【详解】解：使有意义，即， 解得：， ∴A符合题意， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）二次根式中字母x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，即，解此不等式即可确定的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 即： 解不等式： 因此，的取值范围是， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）二次根式中，字母的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数即可求解，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， 故答案为：． 题型三 求二次根式的值 解｜题｜技｜巧 二次根式（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均 为0. 【典例1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）当时，二次根式的值为______． 【答案】 【分析】把代入，再求出即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解此题的关键． 题型四 求二次根式中的参数 解｜题｜技｜巧 1. 根据 “被开方数≥0” 列不等式，含分母需加 “分母≠0”，含零 / 负指数幂需加 “底数≠0”； 2. 解不等式（组）得参数取值范围. 【典例1】若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有___个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 【变式2】已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件． 故答案为：1 题型五 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 运用（）2=a（a≥0）， |a|进行计算的方法： （1）计算（）2，直接运用（）2＝a ； （2）计算一般有两个步骤： ①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即|a|； ②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简. 【典例1】（22-23八年级下·浙江丽水·期末）已知是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握完全平方公式和．首先根据题意可得，再根据完全平方公式可得，再代入求值即可． 【详解】解：是的小数部分， ， ． 故选：． 【变式1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B．b C． D． 【答案】A 【分析】此题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴求得，，再根据二次根式的性质化简解答即可． 【详解】解：由图可知：，且， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1)_____________的解答过程是错误的； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________； (3)先化简，再求值： ，其中． 【答案】(1)小亮 (2)（或） (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的； （2）错误原因是：二次根式的性质的应用错误； （3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可． 【详解】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的， 故答案为：小亮； （2）二次根式的性质为：（或）， 故答案为：（或）； （3）解：原式， ， ， 原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，要熟练掌握二次根式的性质：． 题型六 复合二次根式的化简 解｜题｜技｜巧 1. 将被开方数凑成完全平方式（如a±b​）；2. 利用(m±n)2​=∣m±n∣化简，注意结果非负. 【典例1】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）（1）已知，试比较的大小，并写出比较过程； （2）化简：． 【答案】（1），详见解析；（2） 【分析】本题考查了二次根式的计算，复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）分子有理化后比较即可； （2）先化简复合二次根式，再算加减即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ． （2） ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）【阅读感悟】李林同学在计算时，采用了如下方法． ∵ ， ∵， ∴． 【迁移应用】计算下列两个式子： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，理解题意并进行正确地计算是解题的关键． （1）将原式利用完全平方公式计算，再根据题意求得其算术平方根即可； （2）将原式立方并计算，再根据题意求得其立方根即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 题型七 最简二次根式的识别 解｜题｜技｜巧 1. 检查被开方数：不含分母； 2. 检查被开方数中无开得尽方的因数 / 因式，两者均满足则为最简. 【典例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，二次根式的化简等知识点，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A. ，被开方数含分母，需化简为，不是最简二次根式，不符合题意； B. ，被开方数3无平方因子且不含分母，符合最简二次根式定义，符合题意； C. ，可化简为整数，不是最简二次根式，不符合题意； D. ，含平方因子4，可进一步化简，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：选项A：，被开方数5是质数，无平方因数，无法化简，符合最简二次根式条件，是最简二次根式； 选项B：，可分解为，含平方因数4，故不是最简二次根式； 选项C：，可化简为，被开方数为完全平方，故不是最简二次根式； 选项D：，可化简为2，故不是最简二次根式． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化为最简二次根式，最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A 题型八 化为最简二次根式 解｜题｜技｜巧 1. 被开方数含分母：用商的性质转化为 “（a≥0，b＞0）”，再分母有理化； 2. 有开方因数 / 因式：分解后开方移到根号外. 【典例1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）化简的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质：，即可求解． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将化简，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，需利用二次根式的性质将被开方数分解出完全平方数，同时注意算术平方根的非负性． 【详解】解：； 故选：A． 【变式2】已知，化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型九 已知最简二次根式求参数 解｜题｜技｜巧 1. 根据最简条件列方程：被开方数不含分母、无开方因数 / 因式； 2. 解方程，结合参数使被开方数非负，确定参数值. 【典例1】（25-26八年级下·云南昆明·期中）若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 【变式1】（25-26八年级下·湖北荆州·阶段检测）若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【答案】C 【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式． 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·河南许昌·期中）请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）． 题型十 同类二次根式的识别 解｜题｜技｜巧 1. 先将所有根式化为最简二次根式； 2. 对比最简根式的被开方数，相同则为同类二次根式. 【典例1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次根式分别化简后，判断即可． 【详解】A．，与不是同类二次根式； B．与不是同类二次根式； C．，与不是同类二次根式； D．，与是同类二次根式； 故选D． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 【变式1】（20-21八年级下·浙江温州·期末）下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、不能与合并，本选项不符合题意； B、能与合并，本选项符合题意； C、不能与合并，本选项不符合题意； D、不能与合并，本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【变式2】（20-21八年级下·浙江·期末）下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、不能与合并； B、，能与合并； C、，不能与合并； D、，不能与合并； 故选：B． 【点睛】本题考查的是同类二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． 题型十一 已知同类二次根式求参数 解｜题｜技｜巧 1. 先化简所有根式为最简；2. 令被开方数相等列方程，结合被开方数非负，求解参数. 【典例1】若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析． 先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值． 【详解】解：，其被开方数为2． ∵最简二次根式与可以合并， ∴，则 故选：C． 【变式1】与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解： 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 【变式2】已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可． 【详解】根据题意可知， 解得：， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 题型十二 二次根式的乘法 解｜题｜技｜巧 1. 无系数：•(a≥0,b≥0)； 2. 含系数：系数相乘得新系数，根式按法则相乘，结果化简. 【典例1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）计算的值是（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用平方差公式直接计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）若三边长分别为，，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、二次根式的乘法，判断三角形是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理验证（两较短边的平方和等于最长边的平方）后，直接利用三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴，满足两较短边的平方和等于最长边的平方， ∴故为直角三角形，且直角边为和， ∴的面积为， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）计算：______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式乘法的计算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行正确地计算．运用二次根式乘法法则进行计算、求解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十三 二次根式的除法 解｜题｜技｜巧 1. 无系数：(a≥0,b>0)； 2. 含系数：系数相除得新系数，根式按法则相除，结果化简. 【典例1】若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】把代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键． 【变式1】若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据二次根式需满足被开方数大于等于零，然后根据题意二次根式的性质列不等式求解即可． 本题主要考查二次根式的概念及性质、一元一次不等式组的解法，关键是根据二次根式的概念列出不等式组即可． 【详解】解：∵成立， ∴且且， 解得：， ∴的值可以是0． 故选：B 【变式2】计算：______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的除法，利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为： 题型十四 二次根式的乘除混合运算 解｜题｜技｜巧 1. 按从左到右顺序计算，或统一化为根号内乘除； 2. 中间步骤及结果均化简. 【典例1】29．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质化简，掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的关键． 由 和可知 和均为负数，根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质逐一化简即可判断等式是否成立． 【详解】解：∵   ，， ∴，． 对于①：，成立，符合题意； 对于②：中 ，但和在实数范围内无定义，故不成立，不符合题意； 对于③：， ∵， ∴，成立，符合题意； ∴等式成立的是①③． 故选：B． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算； （2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算． 【详解】（1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算： 原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算． 题型十五 有理化因式 解｜题｜技｜巧 确定有理化因式的关键是找到一个代数式，使其与原式相乘后结果不含二次根式，常用方法包括利用平方差公式和最简二次根式配对. 【典例1】写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是选择使它们的积是有理数． 【变式1】下列式子不是的有理化因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式．注意选项C的乘积仍保留根式结构． 有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式．通过计算各选项与 的乘积，判断是否含根式． 【详解】∵ 有理化因式应使乘积不含根式， A．，不含根式； B．，不含根式； C．，仍含根式； D．，不含根式． ∴ 选项C不是有理化因式． 故选：C． 【变式2】下列各选项中，的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式，根据进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则的有理化因式是， 故选：D 题型十六 分母有理化 解｜题｜技｜巧 1. 找分母的有理化因式； 2. 分子分母同乘该因式，消去分母根号，再化简结果. 【典例1】（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）化简：（的自然数）的 结果为________． 【答案】 【分析】利用分母有理化计算得出，，，，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分母有理化，掌握分母有理化的运算法则是解题的关键． 【变式1】小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴． ∴，即． ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：由题意得， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． 【变式2】阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得______； (2)计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)22 (3) 【分析】（1）根据题意可以得到与有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法化简题目中的式子，再合并； （3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， ， 故答案为；；． （2）解： ； （3）解：∵， 且， ∴， ∴， 解这个方程组，得， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的有理化因式，分母有理化，二次根式的混合运算顺序和法则，是解答本题的关键． 题型十七 二次根式的加减运算 解｜题｜技｜巧 1. 化：将所有根式化为最简； 2. 找：找出同类二次根式； 3. 并：根号外系数相加，根指数和被开方数不变. 【典例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，则实数a满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加减法，估算无理数的大小，先根据二次根式的减法运算法则计算，然后估算的范围，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·浙江金华·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减法． 利用二次根式的加减法则进行判断即可． 【详解】解：2与不是同类二次根式，无法合并，则A不符合题意； ，则B符合题意； ，则C不符合题意； 与不是同类二次根式，无法合并，则D不符合题意； 故选：B． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十八 二次根式的混合运算 解｜题｜技｜巧 1. 按 “先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内” 顺序； 2. 用运算律（分配律等）、平方差 / 完全平方公式简化，结果化最简. 【典例1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查二次根式的化简，混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先进行二次根式的化简，再算加减即可； （2）先进行平方差公式运算，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算二次根式的乘除，再运用二次根式的性质进行化简，最后运算加减法，即可作答． （2）先整理原式，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十九 次根式的化简求值 解｜题｜技｜巧 1.先化简代数式（如分母有理化、合并同类根式）； 2.代入字母（确保使原式有意义）或式子的值，计算结果. 【典例1】（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知：x＝1－，y＝1＋，求x2+y2-2x-2y 的值． 【答案】2 【分析】先计算出x+y与xy的值，再利用完全平方公式变形得到原式=（x+y）2-2xy-2（x+y），然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵x=1-，y=1+， ∴x+y=2，xy=(1-)( 1+)=1-2=-1， ∴x2+y2-2x-2y =（x+y）2-2xy-2（x+y） =22-2×（-1）-2×2 =2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法可简化计算． 【变式1】（23-24八年级下·浙江·期末）已知．求下列式子的值： （1）             （2） 【答案】（1）；（2）15 【分析】（1）直接利用已知得出ab，a+b的值，再将已知变形得出答案； （2）直接利用已知得出ab，a+b的值，再将已知变形得出答案． 【详解】解：∵， ∴ab==-2²=1， a+b=+2+-2=， （1）a2b+ab2 =ab（a+b） =1× =； （2）a2-3ab+b2 =（a+b）2-5ab =（）2-5×1 =20-5 =15． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确将原式变形是解题关键． 【变式2】（23-24八年级上·浙江·期末）（1）计算：当时，求的值． （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2），-2 【分析】（1）首先把所求代数式的分子、分母分解因式，然后通分、约分化简，最后代入数值计算即可求解． （2）先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式=x+1，然后利用因式分解法解x2-x-2=0，再利用分式有意义的条件把满足题意的x的值代入计算即可． 【详解】解：（1） = = ∵， ∴， ∴原式===； （2） = = =， 解方程x2-x-2=0，得x1=-1，x2=2， 当x=2时，原分式无意义， 所以当x=-1时，原式=-1-1=-2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．注意分式有意义的条件． 题型二十 二次根式的实际应用 解｜题｜技｜巧 1. 根据题意列二次根式表达式（如边长、距离公式）； 2. 计算表达式，结果按要求保留（精确值或近似值）. 【典例1】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和 18，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大矩形面积正方形面积，本题得以解决． 【详解】由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【变式1】（23-24八年级下·浙江·期末）如图所示，某品牌的牛奶包装盒，高，底面为长方形，将包装剪开铺平，得到如图的纸样． （1）牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？ （2）若不改变牛奶盒的容积和高度，将生奶盒的底面改为正方形，能否节约包装盒的纸张面积？若能，请计算每个生奶盒可节约的纸张面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）长为8cm，宽为5cm；（2）能，cm2 【分析】（1）设长方形的长为，宽为，列出方程组，解之即可； （2）设底面正方形边长为，分别计算前后单个纸盒的面积，作差比较即可． 【详解】解：（1）设长方形的长为，宽为，且； 由题意可得：， 解得：或，舍去）； 长方形的长为，宽为． （2）设底面正方形边长为，则有， ，（舍去）， 此时单个纸盒的面积为， 原来纸盒的面积为， ， ， 能节约包装盘的纸张面积，且每个牛奶盘可节约． 【点睛】本题考查二次根式的应用和剪纸的相关内容，解题的关键在于熟记长方体的体积公式并准确运算． 【变式2】（2026·浙江温州·一模）【阅读理解】我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》,书中记载了“三斜求积术”,即根据三角形的三边长求面积的方法．如果将三角形的三边长分别记为a,b,c,那么三角形的面积公式为：． 【推导验证】 已知：如图,在中,记, ,． 求证：的面积 证明：过点A作于点D, 设,则, ∴, …… (1)请你继续完成上述推导． (2)【尝试应用】已知的三边长分别为,2,,请用“三斜求积术”求△ABC的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出，得出，再根据三角形面积公式求出结果即可； （2）假设, ,，代入表达式，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点A作于点D， 设,则， ∴， ， ， ， 解得， ∴， ∴ ． （2）解：假设, ,，代入得： ． 题型二十一二次根式的规律探究题 解｜题｜技｜巧 1. 计算前 3-4 项，观察根号内 / 外的数字规律（如递推、平方关系）； 2. 归纳规律，验证规律正确性，用规律表示第 n 项. 【典例1】观察下列二次根式的运算规律：①；②；③；请写出第④个式子为________． 【答案】 【分析】观察已知三个等式各部分数字的变化规律，推导出第④个式子各部分的数值，即可写出对应的等式. 【详解】解：先分析已知式子的规律： 第①个式子，带分数的整数部分为，分子等于整数部分，分母为， 第②个式子，带分数的整数部分为，分子等于整数部分，分母为， 第③个式子，带分数的整数部分为，分子等于整数部分，分母为， 由此可得，第个式子中，带分数的整数部分为，分子与整数部分相等，分母为整数部分的平方减. 当求第④个式子时，，整数部分为，分子为，分母为， 因此第④个式子为. 【变式1】下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律，分析所给的等式的形式进行总结即可． 【详解】解： ， ， ， 用含的式子表示为：， 故答案为：． 【变式2】小强根据学习“数与式”积累的经验，对下面二次根式的运算规律进行探究，并写出了一些相应的等式如下：；；；若（均为正整数），则的值为（    ） A．2024 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，求代数式的值，根据题中呈现的规律得出，，代入计算即可得出答案，找出题目呈现的规律是解此题的关键． 【详解】解：∵；；；， ∴若（均为正整数），则，， ∴， 故选：D． 题型二十二二次根式与新定义问题 解｜题｜技｜巧 1. 理解新定义规则（如新运算、新概念）； 2. 按规则代入二次根式进行计算，结合二次根式性质化简，注意定义域. 【典例1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）若算式的结果是有理数，则※表示的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的定义，二次根式的混合运算，将符号代入式子分别计算，再根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：A：，结果含无理数项，非有理数，排除A； B：，结果含无理数项，非有理数，排除B； C：，结果含无理数项，非有理数，排除C； D：分母有理化：，结果为有理数，故选D； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，按照运算顺序先计算括号内的部分，再计算括号外的部分，先比较各数大小，再根据运算规则取对应值即可得到结果． 【详解】解：， ，，，， ， ． 【变式2】对于实数定义新运算：，其中为常数，已知，，则______． 【答案】5 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组的求解，解题的关键在于根据新运算的定义，结合已知条件列出关于、的方程组，求解出、的值，再代入新运算中计算的值． 【详解】已知，且，，将其分别代入新运算中可得： ，即， 移项可得， 移项可得，两边同时除以，得到， 联立方程组，①+②得，解得． 将代入②得，解得， 将 ， 代入 中，可得 ， 再将 ， 代入上式可得：， 去括号得，实数运算得． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是最简二次根式的定义，解题关键是熟练掌握最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义（被开方数的因数是整数或整式，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）逐一分析选项即可． 【详解】解：选项，的被开方数是分数，不是最简二次根式； 选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项，，被开方数是分数，不是最简二次根式； 选项，符合最简二次根式的定义，是最简二次根式． 故选：． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若二次根式，则的值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质解方程，根据二次根式的性质，表示的绝对值，即．由此可建立方程求解的值． 【详解】解：由题意得： 根据二次根式的非负性，， 因此原方程可转化为： 解得：或， 即的值为，经检验符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级下·浙江台州·期末）下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式性质， 将根据二次根式性质进行化简，各选项中左边的带分数转化为假分数，再化简计算，判断是否相等即可． 【详解】选项A：左边 ，左右相等，成立． 选项B：左边，左右相等，成立． 选项C：左边，左右不相等，不成立． 选项D：左边，左右相等，成立． 综上，不成立的选项为C， 故选C． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）二次根式化简的结果是（      ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题的关键． 直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 【详解】． 故选：A． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了长方形面积公式和二次根式的乘法运算，解题关键是利用长方形面积公式建立等式，通过二次根式运算验证选项． 根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，已知面积和一条边长，可求相邻边长． 【详解】解：长方形面积长宽，已知面积为，一条边长为，则相邻边长面积已知边长，即计算： ． 故选：C． 6．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）设实数的整数部分为m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】估算无理数的大小，确定m、n的值，再用平方差公式计算（2m+n）（2m﹣n），最后再再代入求值即可． 【详解】解：∵1＜＜2， ∴的整数部分为m=1，小数部分为n=-1， ∴（2m+n）（2m﹣n） = = = =， 故选：A． 【点睛】本题考查估算无理数的大小、二次根式的计算及平方差公式，理解算术平方根的定义是正确估算的前提． 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）要使二次根式有意义，请写出一个满足条件的整数的值：______． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据二次根式有意义，即被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 解得， 故答案为：1（答案不唯一） 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知，则代数式的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，二次根式的加法运算．熟练掌握完全平方公式，代数式求值，二次根式的加法运算是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 10．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若，则的值为 _____． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对多项式进行变形，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入中， 原式． 11．已知，则_____． 【答案】/ 【分析】根据非负数的性质求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， 解得， ∴， ∴． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 13．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）已知，则的值为______． 【答案】2021 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：，即． ∴ ∴可化为， ∴ ∴ ∴． 故答案为：2021 14．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则______． 【答案】15 【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，先将分母有理化，得到，然后由得 ，整理得．利用此关系式将高次幂降次，代入多项式计算即可． 【详解】解：， 所以，两边平方，得， 则，即， ∴， ∴， ， ∴： ， 故答案为：15． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） . 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，再利用二次根式的性质化简； （2）先利用积的乘方与同底数幂乘法的运算法则计算，然后利用平方差公式计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、积的乘方与同底数幂的乘法是解题的关键． 16．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）先计算乘法，在进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（25-26八年级上·浙江金华·期末）计算或求值： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键； （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）求出，的值，将代数式转化为，整体代入法进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ，， ． 18．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形面积分别为11和16 ． (1)小正方形边长的值在______和_______这两个连续整数之间． (2)请求出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)3，4 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】（1）根据题意可得小正方形边长为 ，再估算的大小，即可求解； （2）用长方形的面积减去两个正方形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵小正方形的面积为11， ∴小正方形边长为 ， ∵ ， ∴ ，即小正方形边长的值在3和4这两个连续整数之间； （2）解：∵大正方形的面积为16， ∴大正方形边长为4， ∴长方形的面积为 ， ∴图中阴影部分的面积为 ． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算的应用，明确题意，得到阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积是解题的关键． 19．问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，_____，_____，_____； (2)尝试应用 若为实数，且，化简： (3)拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1)2022，2023， (2)1 (3)①；② 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （3）①根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，然后代入即可求解； ②由数轴得，得到，，然后化简求解即可． 【详解】（1）解：由得，， ∴， ∴； （2）解：由，得， ∴， ∴； （3）解：①由，得， ∴， ∴； ②由数轴得， ∴， ∴ ． 20．（25-26七年级上·浙江金华·期末）【问题情境】整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【灵活运用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则的值为___________； (2)解方程：； (3)求． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查整体代换思想在代数式求值、一元一次方程求解及二次根式运算中的应用，核心是通过将复杂的重复出现的式子设为一个整体，简化计算过程． （1）将原式变形为含的形式，利用整体代入直接求值； （2）设为整体，将原方程转化为简单的一元一次方程，求解后回代得到的值； （3）设重复出现的为整体，将复杂的乘积运算转化为多项式乘法，消去同类项后得到结果． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：． （2）解：设，则原方程可化为：， 解得：， ∴， 解得； （3）解：设， 则，，， 原式 ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二次根式的识别 题型02 二次根式有意义的条件 题型03 求二次根式的值 题型04 求二次根式中的参数 题型05 利用二次根式的性质化简 题型06 复合二次根式的化简 题型07 最简二次根式的识别 题型08 化为最简二次根式 题型09 已知最简二次根式求参数 题型10 同类二次根式的识别 题型11 已知同类二次根式求参数 题型12 二次根式的乘法 题型13 二次根式的除法 题型14 二次根式的乘除混合运算 题型15 有理化因式 题型16 分母有理化 题型17 二次根式的加减运算 题型18 二次根式的混合运算 题型19 二次根式的化简求值 题型20 二次根式的实际应用 题型21 二次根式的规律探究题 题型22 二次根式与新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 1. 二次根式的概念与有意义条件 理解二次根式定义（含二次根号、根指数为 2）；掌握a有意义⇔a≥0；能求含分式、偶次根式的字母取值范围. 基础必考点，常出现在选择、填空小题；易错：忽略分母≠0、误判根指数. 2. 二次根式的性质 掌握三条核心性质：①双重非负性：a≥0且a≥0； ②（）2＝a（a≥0）；③ |a| 高频必考点，期末选择、填空、解答均常出现；重点考查双重非负性求值、化简、去绝对值； 3. 二次根式的乘除运算 掌握乘法•（a ≥0，b≥0）、除法（a≥0，b＞0）；理解积 / 商的算术平方根性质；会化简、分母有理化. 中档必考题；常考根式乘除、化简、分母有理化；易错：条件a≥0,b>0、化简不彻底. 4. 最简二次根式与同类二次根式 掌握最简二次根式两条件：被开方数不含分母、不含开得尽方因式；能识别、合并同类二次根式. 基础 + 中档；常考化为最简、找同类根式；易错：不同类根式强行合并. 5. 二次根式的加减运算 掌握 “先化简、再合并同类二次根式”；会去括号、合并、不漏项. 中档高频；易错：符号错误、漏项、乱合并. 6. 二次根式的混合运算 掌握运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减）；会用运算律、平方差 / 完全平方公式；结果化为最简. 期末中档 / 小压轴；计算量大，易算错；常结合乘法公式. 7. 二次根式的实际应用 能用二次根式表示长度、面积、距离；会列表达式、求值、检验结果合理性. 期末小压轴；常考几何边长、勾股、面积、行程；易错：结果取非负值、近似值. 知识点01 二次根式的概念 1、二次根式的定义：表示算术平方根的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号. ①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数； ②被开方数既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子. 【注意】 二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有. 2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0, 无意义， a＜0. 知识点02 二次根式的性质 1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． 2、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． 知识点03 二次根式的乘除 1、二次根式的乘法法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根. 用字母表示为：•（a ≥0，b≥0）. （1）法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数. （2）二次根式的乘法法则推广： ①•（a ≥0，b ≥0，c≥0）. ②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 m n = m n（a≥0，b≥0）. 2、积的算术平方根性质：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积. 即：•（a≥0，b≥0） 3、二次根式的除法法则：两个算术平方根的商，等于各个被开方数相除商的算术平方根. 用字母表示为：（a≥0，b＞0）． 4、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）. 即：（a≥0，b＞0） 【注意】 ①该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0. ②该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可. 知识点04 最简二次根式 1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 知识点05 二次根式的加减 1、同类二次根式：同类经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被为同类二次根式. （1）同类二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式． （2）同类二次根式的合并的方法别：①化为最简二次根式；②系数相加减；③二次根式不变. 【注意】 （1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关. （2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为. 2、二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并. (1)二次根式的加减法的解题步骤: ①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式 ②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式 ③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项. (2)整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用. 【注意】 （1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并； （2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分. 知识点06 二次根式的混合运算 1、二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算. 2、二次根式的混合运算顺序： 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． 3、二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用. 知识点07 二次根式的实际应用 1. 核心场景 几何应用：勾股定理求边长、矩形 / 正方形边长、面积、距离、高 生活应用：行程、工程、长度测量、面积计算、近似估算 2. 解题思路 审题：找数量关系（边长、距离、面积、速度、时间）, 列式：用二次根式表示未知量. 化简：结果化为最简二次根式, 求值：根据要求取近似值（保留小数位数）, 检验：结果为非负数，符合实际意义, 题型一 二次根式的识别 解｜题｜技｜巧 紧扣 “形如（a≥0）” 的定义，先看是否含二次根号，再验证被开方数（含字母需保证取值使被开方数非负），两者均满足则为二次根式 【典例1】下列各式中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 题型二 二次根式有意义的条件 解｜题｜技｜巧 分情况分析：仅含二次根式时，令被开方数≥0 列不等式；含分母时，需同时满足被开方数≥0 且分母≠0；含零 / 负指数幂时，额外保证底数≠0，解不等式得取值范围. 【典例1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）下列各数中，能使有意义的x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）二次根式中字母x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）二次根式中，字母的取值范围是______． 题型三 求二次根式的值 解｜题｜技｜巧 二次根式（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均 为0. 【典例1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【变式1】（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）当时，二次根式的值为______． 题型四 求二次根式中的参数 解｜题｜技｜巧 1. 根据 “被开方数≥0” 列不等式，含分母需加 “分母≠0”，含零 / 负指数幂需加 “底数≠0”； 2. 解不等式（组）得参数取值范围. 【典例1】若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有___个． 【变式2】已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为___________． 题型五 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 运用（）2=a（a≥0）， |a|进行计算的方法： （1）计算（）2，直接运用（）2＝a ； （2）计算一般有两个步骤： ①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即|a|； ②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简. 【典例1】（22-23八年级下·浙江丽水·期末）已知是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B．b C． D． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1)_____________的解答过程是错误的； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________； (3)先化简，再求值： ，其中． 题型六 复合二次根式的化简 解｜题｜技｜巧 1. 将被开方数凑成完全平方式（如a±b​）；2. 利用(m±n)2​=∣m±n∣化简，注意结果非负. 【典例1】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）（1）已知，试比较的大小，并写出比较过程； （2）化简：． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）【阅读感悟】李林同学在计算时，采用了如下方法． ∵ ， ∵， ∴． 【迁移应用】计算下列两个式子： (1)； (2) 题型七 最简二次根式的识别 解｜题｜技｜巧 1. 检查被开方数：不含分母； 2. 检查被开方数中无开得尽方的因数 / 因式，两者均满足则为最简. 【典例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型八 化为最简二次根式 解｜题｜技｜巧 1. 被开方数含分母：用商的性质转化为 “（a≥0，b＞0）”，再分母有理化； 2. 有开方因数 / 因式：分解后开方移到根号外. 【典例1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）化简的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将化简，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，化简______． 题型九 已知最简二次根式求参数 解｜题｜技｜巧 1. 根据最简条件列方程：被开方数不含分母、无开方因数 / 因式； 2. 解方程，结合参数使被开方数非负，确定参数值. 【典例1】（25-26八年级下·云南昆明·期中）若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26八年级下·湖北荆州·阶段检测）若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【变式2】（25-26八年级下·河南许昌·期中）请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 题型十 同类二次根式的识别 解｜题｜技｜巧 1. 先将所有根式化为最简二次根式； 2. 对比最简根式的被开方数，相同则为同类二次根式. 【典例1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21八年级下·浙江温州·期末）下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21八年级下·浙江·期末）下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 题型十一 已知同类二次根式求参数 解｜题｜技｜巧 1. 先化简所有根式为最简；2. 令被开方数相等列方程，结合被开方数非负，求解参数. 【典例1】若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【变式1】与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【变式2】已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十二 二次根式的乘法 解｜题｜技｜巧 1. 无系数：•(a≥0,b≥0)； 2. 含系数：系数相乘得新系数，根式按法则相乘，结果化简. 【典例1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）计算的值是（   ） A． B．4 C．6 D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）若三边长分别为，，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）计算：______． 题型十三 二次根式的除法 解｜题｜技｜巧 1. 无系数：(a≥0,b>0)； 2. 含系数：系数相除得新系数，根式按法则相除，结果化简. 【典例1】若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式1】若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【变式2】计算：______． 题型十四 二次根式的乘除混合运算 解｜题｜技｜巧 1. 按从左到右顺序计算，或统一化为根号内乘除； 2. 中间步骤及结果均化简. 【典例1】29．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】计算： (1)． (2)． 题型十五 有理化因式 解｜题｜技｜巧 确定有理化因式的关键是找到一个代数式，使其与原式相乘后结果不含二次根式，常用方法包括利用平方差公式和最简二次根式配对. 【典例1】写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是______． 【变式1】下列式子不是的有理化因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列各选项中，的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 题型十六 分母有理化 解｜题｜技｜巧 1. 找分母的有理化因式； 2. 分子分母同乘该因式，消去分母根号，再化简结果. 【典例1】（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）化简：（的自然数）的 结果为________． 【变式1】小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴． ∴，即． ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【变式2】阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得______； (2)计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 题型十七 二次根式的加减运算 解｜题｜技｜巧 1. 化：将所有根式化为最简； 2. 找：找出同类二次根式； 3. 并：根号外系数相加，根指数和被开方数不变. 【典例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，则实数a满足（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江金华·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】计算： (1)； (2)． 题型十八 二次根式的混合运算 解｜题｜技｜巧 1. 按 “先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内” 顺序； 2. 用运算律（分配律等）、平方差 / 完全平方公式简化，结果化最简. 【典例1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）计算： (1) (2)． 题型十九 次根式的化简求值 解｜题｜技｜巧 1.先化简代数式（如分母有理化、合并同类根式）； 2.代入字母（确保使原式有意义）或式子的值，计算结果. 【典例1】（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知：x＝1－，y＝1＋，求x2+y2-2x-2y 的值． 【变式1】（23-24八年级下·浙江·期末）已知．求下列式子的值： （1）             （2） 【变式2】（23-24八年级上·浙江·期末）（1）计算：当时，求的值． （2）先化简，再求值：，其中满足． 题型二十 二次根式的实际应用 解｜题｜技｜巧 1. 根据题意列二次根式表达式（如边长、距离公式）； 2. 计算表达式，结果按要求保留（精确值或近似值）. 【典例1】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和 18，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 【变式1】（23-24八年级下·浙江·期末）如图所示，某品牌的牛奶包装盒，高，底面为长方形，将包装剪开铺平，得到如图的纸样． （1）牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？ （2）若不改变牛奶盒的容积和高度，将生奶盒的底面改为正方形，能否节约包装盒的纸张面积？若能，请计算每个生奶盒可节约的纸张面积；若不能，请说明理由． 【变式2】（2026·浙江温州·一模）【阅读理解】我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》,书中记载了“三斜求积术”,即根据三角形的三边长求面积的方法．如果将三角形的三边长分别记为a,b,c,那么三角形的面积公式为：． 【推导验证】 已知：如图,在中,记, ,． 求证：的面积 证明：过点A作于点D, 设,则, ∴, …… (1)请你继续完成上述推导． (2)【尝试应用】已知的三边长分别为,2,,请用“三斜求积术”求△ABC的面积． 题型二十一二次根式的规律探究题 解｜题｜技｜巧 1. 计算前 3-4 项，观察根号内 / 外的数字规律（如递推、平方关系）； 2. 归纳规律，验证规律正确性，用规律表示第 n 项. 【典例1】观察下列二次根式的运算规律：①；②；③；请写出第④个式子为________． 【变式1】下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为_____． 【变式2】小强根据学习“数与式”积累的经验，对下面二次根式的运算规律进行探究，并写出了一些相应的等式如下：；；；若（均为正整数），则的值为（    ） A．2024 B． C． D．1 题型二十二二次根式与新定义问题 解｜题｜技｜巧 1. 理解新定义规则（如新运算、新概念）； 2. 按规则代入二次根式进行计算，结合二次根式性质化简，注意定义域. 【典例1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）若算式的结果是有理数，则※表示的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 【变式2】对于实数定义新运算：，其中为常数，已知，，则______． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若二次根式，则的值是（   ） A． B． C．5 D． 3．（24-25九年级下·浙江台州·期末）下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）二次根式化简的结果是（      ） A．4 B． C． D．2 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 6．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）设实数的整数部分为m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）要使二次根式有意义，请写出一个满足条件的整数的值：______． 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则___________． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知，则代数式的值为______． 10．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若，则的值为 _____． 11．已知，则_____． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 13．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）已知，则的值为______． 14．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则______． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） . 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 16．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）计算： (1)； (2)． 17．（25-26八年级上·浙江金华·期末）计算或求值： (1)； (2)已知，求的值． 18．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形面积分别为11和16 ． (1)小正方形边长的值在______和_______这两个连续整数之间． (2)请求出图中阴影部分的面积． 19．问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，_____，_____，_____； (2)尝试应用 若为实数，且，化简： (3)拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 20．（25-26七年级上·浙江金华·期末）【问题情境】整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【灵活运用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则的值为___________； (2)解方程：； (3)求． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $