精品解析：福建省福州外国语学校2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

福州外国语学校2025-2026学年第一学期期中考试 高三年级数学试卷 命题人：高三集备组 审题人：高三集备组 （全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位、越界答题！在试题卷上作答的答案无效． 3.考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、单选题 1. 已知复数 满足，其中 为虚数单位，则为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算性质以及模的计算公式即可得出结果. 【详解】因为， 所以. 故选：C． 2. 设 、 是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ） A. 若 ，，则 B. 若，，，则 C. 若 ，，则 D. 若，， ，，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，由线面平行的性质得到，由线面垂直得到，从而得到. 【详解】A选项， ，，则可能平行，也可能异面，也可能相交，A错误； B选项，，，，则可能平行，也可能相交，B错误； C选项，如图，，，， 由线面平行的性质得到， 因为 ，，所以，则，C正确； D选项，满足，， ，，则或相交， 如图，满足，， ，，但相交，D错误. 故选：C 3. 已知集合，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可得，由对数函数单调性可得，由交集运算可得结果. 【详解】因为， 又函数单调递增， 所以， 所以． 故选：A. 4. 已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，则该圆台的母线长为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台的结构特征和体积公式进行求解即可. 【详解】设圆台的高为，上底面圆的半径为，下底面圆的半径为 ， 根据体积公式得. 解得. 因为圆台的过轴截面的一半为直角梯形，该梯形的上底为1，下底为2，高为3， 所以母线长为. 故选：B. 5. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 【答案】C 【解析】 【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余 名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的 名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有种. 故选：C 【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 6. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数， 为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器 km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（ ） A. km B. km C. km D. km 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，列出方程，求出参数衰减系数的值，代入原函数，求出结果即可. 【详解】由题意得，即，化简得，解得， 代入得，当时，得， 化简得，两边取对数得，解得. 故选：B. 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（ 为原点）的面积之比为 ，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意易得，可得，进而设，列方程求解即可. 【详解】由题意，，，所以，则， 所以，由，，设， 则，， 则，解得，，即， 因为点在椭圆上，所以，化简得， 所以． 故选：B． 8. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则函数在上所有零点的和为（　　） A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得对称性，周期性，然后在同一坐标系中画出函数与图象，据此可得答案. 【详解】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称，则. 由于为偶函数，则. 从而. 所以是一个周期为4的周期函数． 令，得， 函数的图象关于点对称，的图象也关于点对称， 画出函数和的图象如图所示， 由图可知，两个函数图象在上有6个交点，且交点关于对称， 所以所有零点和为． 故选：B 二、多选题 9. 某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（ ） A. 这14天日促销量的众数是214 B. 这14天日促销量的中位数是196 C. 这14天日促销量的极差为194 D. 这14天日促销量的第80百分位数是260 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定的折线图，把14天日促销量从小到大排列，再由众数、中位数、极差、第80百分位数的定义依次求解判断. 【详解】由折线图得14天日促销量从小到大排列为：， 对于A，这14天日促销量的众数是214，A正确； 对于B，这14天日促销量的中位数是，B错误； 对于C，这14天日促销量的极差为，C错误； 对于D，由，得这14天日促销量的第80百分位数是260，D正确. 故选：AD 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 存在 ，使得为曲线 的对称轴 C. 当 时，是的极小值点 D. 存在，使得点为曲线 的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极值，结合三次函数的图象特征判断A；利用轴对称的定义列式推理判断B；利用导数求出极小值点判断C；利用中心对称的意义列式计算判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，当时，由，得或 ；由，得 ， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 因此函数的图象与 轴有3个交点，即有三个零点，A正确； 对于B，假设存在 ，使得为的对称轴，即存在 使得， 即，整理得， 显然此等式对一切实数不恒成立，因此不存在 ，使得为的对称轴，B错误； 对于C，当 时，由，得或 ；由，得 ， 函数在处取得极小值，C正确； 对于D，， ，当，即 时，， 此时，即，则存在 使得是的对称中心，D正确. 故选：ACD 11. 由函数、相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，，其优生成函数记为，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. 的值域为 D. 在区间上有 个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“优生成函数”的定义可得函数解析式，根据函数的对称性直接判断A选项；求导根据导数判断函数单调性及值域情况，即可判断BC选项，直接求解可判断D选项. 【详解】由题意可知， 对于A选项， ，故函数的图象关于直线对称，A对； 对于B选项，显然， 所以是函数的周期， 所以在区间上的单调性与在区间上的单调性相同， 设，则，则， 求导得， 故在区间上单调递增，故在区间上单调递增，B对； 对于C选项，由已知关于对称及是函数的周期， 可知只需考查时的值域， 因为，，在区间上单调递增， 故当时，， 当时，， 求导得， 当时，， ;当时，， . 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故当时，， 综上所述的值域为，C错； 对于D选项，令， 由C选项可知，函数是周期为的周期函数， 当时，，， 此时， 令可得 或，解得， 当时，，， 此时， 令可得 或，无解， 当时，， 所以函数在上的零点为 、、， 同理可知在区间上的零点分别为 、、、、、，共有 个，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数定义求出当 的解析式，再求出导数并利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由为上的奇函数，当时，，得当 时，， ，求导得， 则，而，所以所求切线方程为，即. 故答案为： 13. 若向量、为单位向量，且 则向量与的夹角为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 可得， 由于，所以， 故答案为：. 14. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】以A为坐标原点建立空间坐标系，根据条件求出C坐标，因为 为直角三角形，故球心O在过BD中点且与面ABD垂直的方向上，设球心O坐标，根据求得O坐标，可求得外接球的表面积. 【详解】 过作 面于， 则三棱锥的体积为，所以， 取 中点 ，连接 ， ， 因为为等边三角形，所以， 又 面， 面，所以 ， 又，所以 面， 面，所以， 在中， 所以 以 ， 为 轴，垂直于 ， 方向为 轴，建立如图所示空间坐标系， 设球心 ， 在面的投影为， 由得， 所以为的外接圆圆心，所以为斜边的中点，故设 由得，解得， 所以， 故外接球的表面积为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题直接求球心或半径有一定的难度，先是确定球心在过面的外心且与面垂直的线上，设球心的坐标，利用球心到各顶点的距离相等求出坐标，从而求得球的半径. 四、解答题 15. 已知数列的前 项和为是首项和公差均为1的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，利用的关系，求即可； （2）由，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由是首项和公差为1的等差数列，得，则， 当 时， 当时，， 因为满足上式， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 因为， 所以． 16. 已知中，角的对边分别为 ，已知向量，，且． （1）求的大小； （2）设 为 的中点，且， ，求的面积． 【答案】（1）或; （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示，列式求出的大小. （2）由（1）的结论，结合正弦定理求出，再利用余弦定理求出 ，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 向量，由，得， 则，解得，而，所以或. 【小问2详解】 由（1）知，或，由正弦定理得，，即， 由余弦定理得，， 当时，，解得，， 因此； 当时，，解得，， 因此， 所以的面积是或. 17. 如图，在四棱锥 中， 底面为棱的中点，四面体 的体积为的面积为. （1）求证： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离； （3）若，平面平面，点为棱 上一点，当平面与平面夹角为时，求的长. 【答案】（1） 在四棱锥 中，取的中点 ，连接， 在中，由分别为的中点，得， 又，则， 即四边形为平行四边形，，而 平面平面 ， 所以平面 . （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点 ，利用线面平行的判定，结合平行四边形性质推理得证. （2）由线面平行的判定证得平面 ，结合体积公式求出点到平面 的距离即可. （3）取 的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定证得，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面 的距离为，由四面体 的体积为的面积为， 得，解得， 而平面平面 ，则平面 ， 所以点 到平面 的距离为. 【小问3详解】 取 的中点，连接，由，得 ，由平面平面， 平面平面平面，得平面 ，即， 则，由平面平面 ，得， 又 平面 平面 ，则 ，而平面， 因此 平面，又平面，则， 而 的面积为，，则，， 由 ，得，以为原点，直线 分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，设平面的法向量为， 则，取，得， ，由平面与平面的夹角为， 得，解得，即为 的中点， 所以. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点， 面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线 ， 的斜率分别为，，且． ①求证：直线 经过定点． ②设 和 的面积分别为，，求的最大值． 【答案】（1） （2）①证明：设点、. 若直线 的斜率为零，则点、关于 轴对称，则，不合乎题意. 设直线 的方程为，由于直线 不过椭圆的左、右顶点，则 ， 联立可得 ， ，可得 ， 由韦达定理可得，，则， 所以， ，解得， 即直线 的方程为，故直线 过定点. ② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知直线 不与 轴垂直，设直线 的方程为，可知 ，设点、.将直线 的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出 的值，即可得出直线 所过定点的坐标； ②写出关于 的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值. 【小问1详解】 解：当点为椭圆短轴顶点时， 的面积取最大值， 且最大值为 ， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为 . 【小问2详解】 ①略 ②由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点， 为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】（1） 当 时，函数在单调递减； 当 时，函数在上单调递减，在单调递增 （2）（i）； （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增.所以，故原不等式成立. 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数分 和 求解； （2）（i）由（1）知 ，且最小值为小于0即可得的取值范围；（ii）结合（i）知，要证，即，分和进行证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，， ①当 时，，函数在单调递减； ②当 时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，当 时，函数在单调递减； 当 时，函数在上单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 （i）若 ，由（1）知，至多有一个零点； 若 ，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 因为当时，； 当时，， 所以函数有两个零点当且仅当. 设，函数在单调递增. 因为，的解集为. 综上所述，的取值范围是. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州外国语学校2025-2026学年第一学期期中考试 高三年级数学试卷 命题人：高三集备组 审题人：高三集备组 （全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位、越界答题！在试题卷上作答的答案无效． 3.考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、单选题 1. 已知复数 满足，其中 为虚数单位，则为（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 设 、 是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ） A. 若 ，，则 B. 若，，，则 C. 若 ，，则 D. 若，， ，，则 3. 已知集合，，则为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，则该圆台的母线长为（ ） A. B. C. 3 D. 2 5. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 6. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数， 为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器 km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（ ） A. km B. km C. km D. km 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与 交于另一点，若与（ 为原点）的面积之比为 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则函数在上所有零点的和为（　　） A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 二、多选题 9. 某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（ ） A. 这14天日促销量的众数是214 B. 这14天日促销量的中位数是196 C. 这14天日促销量的极差为194 D. 这14天日促销量的第80百分位数是260 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 存在 ，使得为曲线 的对称轴 C. 当 时，是的极小值点 D. 存在，使得点为曲线 的对称中心 11. 由函数、相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，，其优生成函数记为，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. 的值域为 D. 在区间上有 个零点 三、填空题 12. 已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为______． 13. 若向量、为单位向量，且 则向量与的夹角为________. 14. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为__________． 四、解答题 15. 已知数列的前 项和为是首项和公差均为1的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项和． 16. 已知中，角的对边分别为 ，已知向量，，且． （1）求的大小； （2）设为 的中点，且， ，求的面积． 17. 如图，在四棱锥 中， 底面为棱的中点，四面体 的体积为的面积为. （1）求证： 平面 ； （2）求点到平面 的距离； （3）若，平面平面，点为棱 上一点，当平面与平面夹角为时，求的长. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点， 面积的最大值为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 ， 的斜率分别为，，且． ①求证：直线 经过定点． ②设 和 的面积分别为，，求的最大值． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点， 为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $