精品解析：福建泉州市2026届高三下学期5月模拟考试数学试题

高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. ★稳扎稳打金榜题名★ 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，因为指数函数单调递增，所以，即. 已知，所以. 分析Venn图：阴影部分表示集合中去掉的部分. 因此阴影部分表示集合. 2. 已知点，向量，若与直线垂直，则到直线 的距离等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与垂直求出，再由点到直线的距离求解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 又与直线垂直，所以， 解得，所以直线， 所以到直线 的距离为. 3. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（ ） A. 景区这7日数据的第80%分位数是8.7 B. 景区这7日数据的极差是1.7 C. 景区这7日数据的平均数比景区的两倍小 D. 景区这7日数据的方差比景区的大 【答案】C 【解析】 【详解】对于A项，将景区 A 的数据从小到大排序得， 因为，不是整数， 故景区这7日数据的第80%分位数是第项为，故A错误； 对于B项，景区这7日数据的极差是，故B错误； 对于C项，因为景区的平均数：, 景区的平均数：, 所以景区这7日数据的平均数比景区的两倍小，故C正确； 对于D项，由折线图可知景区的人数波动比景区的人数波动小，故景区这7日数据的方差比景区的小，故D错误. 4. 在公差为2的等差数列中，，，成等比数列，则的前7项和为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项及等差数列的通项公式、求和公式得解. 【详解】因为，，成等比数列， 所以，即，解得， 所以. 5. 在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，联立方程得，再结合距离公式得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】根据题意，联立方程得，整理得， 解得，，代入得，， 所以与的交点为，， 因为，所以，解得， 所以，，， 因为为的焦点， 所以，根据焦半径公式， 6. “函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出的单调性和极值点，结合题意，分析可得a的范围，根据充分、必要条件的定义，结合选项，分析即可得答案. 【详解】由题意，令，解得或， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极小值为， 因为区间内存在最小值，所以极小值点0在区间内， 则，解得， 令，解得，或， 所以，解得， 综上，函数在区间内存在最小值时， 要满足“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件， 即所求为的真子集， 分析选项可得，只有符合题意. 7. 某超市在售的西瓜均可视为实心球体，且瓜皮厚度均匀相等.已知大、小两种西瓜的售价分别为80元/个、10元/个，且半径之比为2：1.若以西瓜瓜瓤的体积与其售价的比值作为西瓜的性价比，则（ ） A. 大西瓜的性价比高 B. 小西瓜的性价比高 C. 大、小西瓜的性价比一样 D. 大、小西瓜的性价比的高低不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义分别求出大小西瓜的性价比，作商比较大小即可. 【详解】设大西瓜半径为，小西瓜半径为 ，已知，即， 设瓜皮厚度为（为常数，且）， 则， 所以大、小西瓜的性价比分别为，， 因为，令， 则上式可化为， 因为，所以，所以， 所以，即，所以， 所以大西瓜的性价比高. 8. 已知是函数的一个零点，当时，，则方程在区间内所有根的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据正弦函数的对称中心以及函数值的符号求出，然后把方程化简，等价于求和在 内的所有根之和，最后根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】已知​是 的零点，代入得：  ，  即 ，解得 ， 由条件： 时，代入验证： 时，， ，恒成立，符合条件； 时，​， ，恒成立，不符合条件； 时，的取值区间内函数值不恒为负，不符合条件. 因此， ， 当时：； 当时： ， 原方程等价于求和在 内的所有根之和. 令，当时，， 方程，即在 内仅是解，对应： ，​ 方程即在 内有两个解，由正弦函数对称性得，对应： ，​ ​ 故所有根的总和为： .​ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 记为数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 为等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用与作差，推导出从第二项起数列是公比为2的等比数列，再据此逐一验证选项即可. 【详解】由题意可知，当时，；当时，， 所以， 所以()，， 从开始，数列是公比为2的等比数列：，，，，故A错误； 所以数列的通项公式为， 故数列不是等比数列，B错误； 所以，， 所以是公差为1的等差数列，CD正确. 故选：ACD. 10. 已知点在直线上，点， 在圆上，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线 与圆相切 B. 直线 倾斜角为150° C. 当时，可能为90° D. 若，则 的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项运用点到直线的距离，B选项运用两直线垂直的相关知识，C选项代入和验证直线是否与圆相交，D选项运用，建立直线与圆的半径之间的关系去求半径的范围. 【详解】对于A选项，圆心到直线 的距离， 当时，，所以直线 与圆相切，故A选项正确； 对于B选项，因为，所以直线， 又因为，所以， 而直线l的倾斜角为，因此直线 倾斜角为150°，故B选项正确； 对于C选项，设，，圆心O到直线的距离为， 设为A点到直线的距离，则， 因为，所以为等腰直角三角形 则，由B选项得出直线 的方程为， 联立，得出A点坐标为，设直线方程为， 则圆心O到直线距离为， 点A到直线的距离为， 又因为，所以， 解得，则，，故直线与圆相交，所以C选项正确 对D选项，若，且，所以为等边三角形，则 点A到直线的距离，设直线方程为， 则圆心O到直线距离为， ， 因为，， 所以，化简可得，故，所以， 又因为，得出，故，所以， 若，则， 若，则（舍去）或，所以，故D选项错误 11. 已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件概率公式，变形求解，可判断A、D的正误；根据概率加法公式，可判断B的正误，根据概率的范围，结合二次函数的性质，可判断C的正误； 【详解】选项A：由条件概率公式得，故A错误； 选项B：由概率加法公式得， 因为，所以， 则，故B正确； 选项C：， 所以，则， 令，， 则， 因为，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当或时，才有， 但，， 无法确定是否为0及是否等于，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，则____________. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 对于复数，，定义♥为的实部.若，♥，则可以为____________.（写出一个满足条件的答案） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【详解】设，则，因此 ， 因为♥，所以，所以 ， 题目要求写一个满足的条件所以令，解得. 14. 已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由得到重心与内心纵坐标相等，得出P点纵坐标与内切圆半径关系，继而用三角形面积的两种表示方式结合双曲线定义求出，最后用余弦定理结合正弦值计算离心率. 【详解】设双曲线E方程为， 则重心， 因为内心到的距离等于内切圆半径 ，故的纵坐标为 . 由于，所以， 因为的面积， 代入得， 不妨设， 则有， 在中，由余弦定理得， 即， 因为，则， 当时，代入得; 当时，代入得(不成立，舍去). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的面积为6，且. （1）若，求； （2）若，且，为锐角，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式计算即得； （2）由题意作出图形，由面积公式求出，由余弦定理依次求出 和，进而求出 ，最后在中利用正弦定理即可求得的值. 【小问1详解】 由题意，， 将与代入解得； 【小问2详解】 因，结合图形可知点 在线段的反向延长线上，且， 由可得，则， 因为锐角，则， 在中，由余弦定理，， 则，又由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 则，在中，由正弦定理，， 则有. 16. 某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. （1）求抽奖一次中奖的概率； （2）商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元.若事件“”的概率最大，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式求解即可. （2）先明确事件“”的概率最大的意义，结合二项分布的概率计算公式和数列的单调性以及组合数的计算，可求的最小值. 【小问1详解】 设 “抽奖一次中奖”为事件，则. 【小问2详解】 设抽奖次数为，则（表示的整数部分）. 事件“”表示中奖次数为次，设表示中奖次数， 则. 因为事件“”的概率最大， 所以， 所以. 又，所以. 由，解得，即的最小值为. 17. 如图1，在梯形 中，，，，于，，将沿翻折至，使得，如图2. （1）证明：平面； （2）已知四棱锥的体积为，若点在线段上，且二面角的大小为60°，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接，在梯形 中，因，则， ，，则，又，则， 翻折后.在中，，则得， 因，，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用题设条件先证，结合，利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）根据题意建系，利用四棱锥的体积求出的长，设，根据空间向量的夹角公式列出方程求得，再由线面角的向量解法即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，且， 故可以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 设，由，解得 ， 则， 依题意，设，则，可得， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可取. 因平面，则平面的法向量可取为， 依题意， 因，方程化简得，解得，此时， 因，设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆分别与轴正半轴、 轴正半轴交于，两点. （1）求直线的方程； （2）设，为椭圆上的两个动点，在四边形中，. （ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）设为坐标原点，过的直线交 于，两点，，其中.判断是否存在直径为3的圆经过，，，四点？若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明：由，设直线，， 联立与椭圆方程： ，整理得， 由韦达定理得： ， ， 故斜率之积为定值2，得证 . （ii）不存在，理由如下： 方法一：设 ，， 由，斜率相等得 ，， 所以，故，所以，则 记，则， 设过原点的直线交椭圆于，且 ，则 与共线， 故直线   的方程为 ， 代入椭圆  得 ，解得 ，对应 ， 取 ，则 ，由 得  且， 故，假设存在直径为3的圆经过，，，四点， 下面求四点共圆的圆心，由于  关于原点对称，圆心  在 的中垂线上， 方向向量为 ，所以中垂线斜率为 且过原点，故中垂线方程为 ， 设圆心 ，则 令  ， 所以 利用 ， 当，重合，不符合题意，所以 代入得， 解得，此时半径平方 若圆直径为，即，则 ，故，解得， 但 ，则 ，而 ，矛盾，因此不存在满足条件的圆. 综上所述，不存在直径为  的圆经过  四点. 方法二：不存在，理由如下，由（ⅰ）知，， 所以 得，， 由于在椭圆上，代入得，即，所以 不妨设，则，， 所以直线 的方程为，其垂直平分线， 的中点坐标为，即， 直线的垂直平分线方程为 设圆心为与的交点，联立，解得， 所以该圆半径 解得，但此时不满足，故不存在符合条件的圆. 【解析】 【分析】（1）求出点 的坐标，然后由直线的截距式方程即可求解； （2）（i）设直线，与椭圆联立，根据两点斜率公式结合韦达定理即可证明； （ii）由向量和条件确定过原点的直线方向，得到椭圆上关于原点对称的两点，利用这两点对称性，圆心必在它们连线的中垂线上；再结合圆心到这两点与到两个动点的距离相等，可解出圆心坐标与参数的关系，令所得半径等于给定直径的一半，代入后参数范围矛盾，故不存在满足条件的圆. 【小问1详解】 椭圆，令得（正半轴），故； 令得（ 正半轴），故， 由截距式得直线方程为：， 即  . 【小问2详解】 （i）略 （ii）不存在符合条件的圆，理由略. 19. 已知函数，其中，数列满足，. （1）设，若，求的最大值； （2）若，证明：当时，； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：令， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，即，即， 当时，， 由题意得， 所以，若，则， 又因为，所以，，， 由（1）知，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 不等式两边同时取对数得， 即， 因为，所以， 所以， ， ， ， 将上式相乘可得，即， 故当时，， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）对求导得到的单调性，根据单调性即可求出答案； （2）由（1）知从而得到，整理得，累乘可得，再通过累加可得，即可得证； （3）根据得到，即，求出是的必要条件，再证明充分性，证明当时，从而得到，即，根据单调性得，以此类推，即可证明充分性，即可得解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，数列单调递增，故， 因为在上单调递增，则， 又因为，所以， 因为，所以，得，解得， 又因为，故是的必要条件， 下证充分性： 当时，因为， 设， ， 所以在上单调递减， 所以，所以当时，， 所以，当且仅当时，等号成立， 当时，由得，解得， 故， 所以，即， 又在上单调递增，故， 同理可得，，， 故当时，，充分性得证， 综上的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. ★稳扎稳打金榜题名★ 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，向量，若与直线垂直，则到直线 的距离等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（ ） A. 景区这7日数据的第80%分位数是8.7 B. 景区这7日数据的极差是1.7 C. 景区这7日数据的平均数比景区的两倍小 D. 景区这7日数据的方差比景区的大 4. 在公差为2的等差数列中，，，成等比数列，则的前7项和为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 21 5. 在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. “函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 某超市在售的西瓜均可视为实心球体，且瓜皮厚度均匀相等.已知大、小两种西瓜的售价分别为80元/个、10元/个，且半径之比为2：1.若以西瓜瓜瓤的体积与其售价的比值作为西瓜的性价比，则（ ） A. 大西瓜的性价比高 B. 小西瓜的性价比高 C. 大、小西瓜的性价比一样 D. 大、小西瓜的性价比的高低不确定 8. 已知是函数的一个零点，当时，，则方程在区间内所有根的和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 记为数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 为等差数列 10. 已知点在直线上，点， 在圆上，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线 与圆相切 B. 直线 倾斜角为150° C. 当时，可能为90° D. 若，则 的取值范围为 11. 已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，则____________. 13. 对于复数，，定义♥为的实部.若，♥，则可以为____________.（写出一个满足条件的答案） 14. 已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的面积为6，且. （1）若，求； （2）若，且，为锐角，求. 16. 某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. （1）求抽奖一次中奖的概率； （2）商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元.若事件“”的概率最大，求的最小值. 17. 如图1，在梯形 中，，，，于，，将 沿翻折至，使得，如图2. （1）证明：平面； （2）已知四棱锥的体积为，若点在线段上，且二面角的大小为60°，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆分别与轴正半轴、 轴正半轴交于，两点. （1）求直线的方程； （2）设，为椭圆上的两个动点，在四边形中，. （ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）设为坐标原点，过的直线交 于，两点，，其中.判断是否存在直径为3的圆经过，，，四点？若存在，求；若不存在，说明理由. 19. 已知函数，其中，数列满足，. （1）设，若，求的最大值； （2）若，证明：当时，； （3）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $