任意角的三角比期末复习教案（1）-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

任意角的三角比 复习 【教学目标】 复习任意角的概念、终边相同的角的表示、象限角与轴线角、弧度制及弧长与扇形面积公式、任意角的三角比定义及符号判断.能熟练进行角度与弧度互化，准确表示终边相同的角，运用三角比定义求值，发展逻辑推理和数学运算素养. 【教学重点与难点】 重点：终边相同的角的表示，弧度制，弧长与扇形面积公式，三角比定义. 难点：象限角与轴线角的集合表示，三角比符号的判断. 【教学过程】 一．知识梳理 1. 任意角的概念 角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 角的分类：逆时针旋转得正角，顺时针旋转得负角，没有旋转为零角. 2. 弧度制 （1）弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 弧度的角，记作 . （2）角度与弧度的互化： ； ； （3）弧长公式：设扇形的半径为 ，圆心角为 （弧度），弧长为 ，则. （4）扇形面积公式：. 3. 与角 终边相同的角： 4. 象限角：终边在 轴正半轴上的角：，终边在 轴负半轴上的角：，终边在 轴正半轴上的角：，终边在 轴负半轴上的角：， 由此可得四个象限角的范围. 终边在 轴上的角：；终边在 轴上的角： 5. 任意角的三角比定义 （1） 设 是一个任意角， 是角 终边上任意一点（异于原点），，则，， （2）三角比的符号由角 终边所在象限决定. 二．例题与练习 例1 已知． （1）把改写成的形式，并指出它是第几象限角； （2）求，使与终边相同，且． 解：（1）因为，所以，它是第一象限角． （2）与终边相同的角为， 所以当，或时，，或，满足． 例2 若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置． 解：由，得，， 角终边落在第三象限、第四象限或轴的负半轴，角终边落在第一象限、第三象限. 例3 已知角的终边经过点且，试判断角所在的象限，并求和的值． 解：，．，， 当时，，点P的坐标为，角是第二象限角， 所以，， 当时，，点P的坐标为，角是第三象限角， 所以，． 例4 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）若，，求扇形的弧长； （2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 解：（1）扇形的圆心角，所以扇形的弧长； （2）因为扇形的周长为，即，所以， 又，所以， 所以当时，面积取得最大值，为， 此时，所以. 所以若扇形周长为，当扇形圆心角为弧度时，这个扇形的面积最大，是. 三．课堂小结 知识：任意角概念，终边相同的角，象限角与轴线角，弧度制与弧长、扇形面积公式，三角比定义与符号. 思想方法：分类讨论，数形结合. 核心素养：逻辑推理，数学运算. 4． 课后作业 1．已知. （1）把写成的形式，并指出它是第几象限角 （2）写出与终边相同的角构成的集合，并把中适合不等式的元素写出来. 【详解】（1），， 把角写成的形式为：， 它是第四象限的角. （2）与的终边相同， 令，， ， 当，0，满足题意，得到， 2．如果是第三象限的角，判断是哪个象限的角． 【详解】因为是第三象限的角，所以， 得到， 当时，，此时是第二象限的角， 当时，，此时是第四象限的角， 所以是第二或第四象限的角. 3．若任意角的终边经过点，则________． 【详解】点到坐标原点的距离， 由三角函数的定义可知：. 4．已知角的终边与单位圆的交点为，则________. 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 5．已知，且，则为第_______象限角．（填“一”“二”“三”或“四”） 【详解】由，得，则且， 又，则，故为第二象限角． 故答案为：二. 6．已知点是角终边上一点，若，则_________． 【详解】，又，解得：，所以. 7．已知角的终边经过点，且，则__________. 【详解】因为已知角α的终边经过点，且， 所以，显然， 解得，（舍去）， 8．已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为_____________，扇形的面积为_____________． 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，则. 所以扇形的弧长为； 扇形的面积为. 9．已知扇形的圆心角的弧度为，面积为4． (1)若该扇形的弧长为4，求的值． (2)当多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值． 【详解】（1）设扇形所在圆的半径为，则弧长， 扇形的面积，解得，． （2）扇形的面积，即， 则扇形的周长， 当且仅当时，等号成立，此时， 由得，故当为2时，扇形的周长取最小值，最小值为8． 学科网（北京）股份有限公司 $