精品解析：黑龙江哈尔滨市美佳中学校2025—2026学年下学期七年级期中测试（数学）试卷

哈美佳外校初中部2025-2026学年度（下）期中质量检测 七年级期中试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分平移出来的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线、交于点，于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，那么k的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两?设牛每头金，羊每只金，则可列二元一次方程组（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，那么m的取值范围是（　　） A. m＜﹣1 B. m＞﹣1 C. m＞0 D. m＜0 10. 下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 把方程改写成用含的式子表示的形式，则________． 12. 小东身高，小北身高，请你用含、的不等式表示“小东比小北至少高5cm”为________． 13. 已知是方程的解，则______． 14. 如图，一个零件每个内角都相等，小美使用直尺与量角器测量，如图直尺经过量角器底边中点，并与线相贴，请问这个零件的内角为________． 15. ，则________． 16. 某试卷共有20道题,每道题选对得10分,选错了或者不选扣5分,至少要选对________道题,其得分才能不少于80分 17. 如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，若，则____°． 18. 如图，我校建筑多为东西方向“坐北朝南”，初中部和初中食堂在一条直线上，幼儿园与小学部在一条直线上，高中部在初中食堂的南偏东，，，则为________． 19. 如图所示，直线，点，分别在直线，上，点为直线与之间的一点，连接，，，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为________． 20. 新定义：对于任意实数，其整数部分记为，且表示不超过的最大整数，余下部分记为，即：．如，；，．下列结论正确的个数是________． ①； ②若，，，则； ③若，，，则所有可能的值为6，7，8； ④方程的解为或． 三、解答题：（第21、22、24每题8分，23题6分，25-27每题10分） 21. 解方程组 （1） （2） 22. 解不等式（组） （1） （2） 23. 在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，三角形摆放的位置如图所示，现将三角形平移，使点对应点，点对应点，点对应点． （1）画出平移后的三角形； （2）直接写出三角形的面积________． 24. 请补全下面的证明过程及括号内的相应依据． 如图，平分，，． 求证：． 证明：平分 （________） （已知） ________（________） （________） （________） 又+（________）= （________） （________） 25. 昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元． （1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元； （2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪． 26. 解答下列各题： （1）【实验探究】已知：，两个三角板按如图1方式摆放，求的度数． （2）【发散思维】小佳同学通过思维发散，让三角板按如图2所示摆放，，且，求的度数 （3）【拓展探索】小明同学又结合方程的想法，按图3位置摆放，，且，求的度数 27. 定义一种新运算：，即当，；当，． （1）当，时，________； （2）当，，时，请你求出的取值； （3）当，，时，请你求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈美佳外校初中部2025-2026学年度（下）期中质量检测 七年级期中试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二元一次方程需满足三个条件：一是整式方程，二是含两个未知数，三是所有含未知数的项的次数为1，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程中，项的次数为2，不满足一次的要求，故A错误； B、方程只含有1个未知数，属于一元一次方程，不符合定义，故B错误； C、方程是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程的定义，故C正确； D、方程中是分式，该方程不是整式方程，不符合定义，故D错误． 2. 下列所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分平移出来的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变．根据平移的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意； B、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意； C、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意； D、可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项符合题意． 3. 下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，叫做同位角．根据定义对各个选项进行判断即可． 【详解】 A：与不在截线的同旁，也不在被截直线的同一侧，不是同位角，故选项A不符合题意； B：与在截线的同旁，且在被截直线的同一侧，符合同位角的定义，故选项B符合题意； C：与的两边不共线，不是由两条直线被第三条直线所截形成的角，不是同位角，故选项C不符合题意； D：与的两边不共线，不是由两条直线被第三条直线所截形成的角，不是同位角，故选项D不符合题意； 4. 已知，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用不等式的基本性质，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵， 根据不等式性质，不等式两边同时加(减)同一个数，不等号方向不变， ∴，故错误； ，故错误； 不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变 ∴，故错误； 不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变 ∴，故正确． 5. 如图，直线、交于点，于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角相等求出的度数，再根据垂直的定义得出，最后利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出不等式解集，然后在数轴上表示出来. 【详解】不等式组的解集为 答案选C. 【点睛】本题主要考查了不等式在数轴上的表示，要注意实心与空心圆点的区别. 7. 如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，那么k的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 8. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两?设牛每头金，羊每只金，则可列二元一次方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”列出关于、的二元一次方程组即可． 【详解】解：5头牛、2只羊，共值金10两， ． 2头牛、5只羊，共值金8两， ， 根据题意可列出方程组 9. 关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，那么m的取值范围是（　　） A. m＜﹣1 B. m＞﹣1 C. m＞0 D. m＜0 【答案】A 【解析】 【分析】本题是关于x的不等式，不等式两边同时除以（m+1）即可求出不等式的解集，不等号发生改变，说明m+1<0，即可求出m的取值范围． 【详解】∵不等式(m+1)x>m+1的解集为x<1， ∴m+1<0， ∴m<−1， 故选A. 【点睛】考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的3个基本性质是解题的关键. 10. 下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、平行线相关定理，逐个判断命题真假，统计真命题个数即可得到结果． 【详解】解：①∵点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，不是垂线段本身， ∴①是假命题； ②∵对顶角相等是对顶角的基本性质， ∴②是真命题； ③∵只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不成立， ∴③是假命题； ④∵垂直于同一条直线的两条直线平行的结论仅在同一平面内成立，结论不成立， ∴④是假命题； ⑤∵根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行， ∴⑤是真命题； 综上，真命题共2个． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 把方程改写成用含的式子表示的形式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用移项即可求解，注意移项要变号． 【详解】解：， ． 12. 小东身高，小北身高，请你用含、的不等式表示“小东比小北至少高5cm”为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等关系列不等式即可，注意“至少”表示不小于，对应不等号为大于等于． 【详解】由题意得，小东身高比小北至少高，即小东身高减去小北身高不小于，因此可得不等式． 13. 已知是方程的解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，解题关键是根据题意得出得出关于的方程．先把、的值代入方程，得到关于的新方程，求出新方程的解即可． 【详解】把 代入方程，得：， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，一个零件每个内角都相等，小美使用直尺与量角器测量，如图直尺经过量角器底边中点，并与线相贴，请问这个零件的内角为________． 【答案】120 【解析】 【分析】根据补角先计算出，再结合题意即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得，， ∴， ∵该零件每个内角都相等， ∴每个内角的度数为． 15. ，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性和完全平方的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列出二元一次方程组求解的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得， ∴， ∴． 16. 某试卷共有20道题,每道题选对得10分,选错了或者不选扣5分,至少要选对________道题,其得分才能不少于80分 【答案】12 【解析】 【分析】根据选对的题的数目乘以每道题选对的得分可求得其选对题的总分数，同理求出选错或不选的总分数，根据题意可列不等式求解． 【详解】设应选对x道题，则选错或不选的题数有20−x，根据其得分不少于80分得：10x−5(20−x)⩾80 得：x⩾12在本题中x应为正整数且不能超过20， 故至少应选对12道题． 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，解题关键在于列出不等式 17. 如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，若，则____°． 【答案】65 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等以及折叠的性质求解即可． 【详解】解：一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下， ∠BCE=∠1，， ， ， 2∠l= 130°， ∠1=65° 故答案为：65． 【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，熟记平行线的性质及折叠的性质是解题的关键． 18. 如图，我校建筑多为东西方向“坐北朝南”，初中部和初中食堂在一条直线上，幼儿园与小学部在一条直线上，高中部在初中食堂的南偏东，，，则为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，由题意可知，根据两直线平行，同位角相等，可知，根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 由题意可知， ， ， ， 且是的外角， ， ， ． 19. 如图所示，直线，点，分别在直线，上，点为直线与之间的一点，连接，，，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况画图讨论：分别过点和点作，，可得，根据，可得，情况一，根据平行线的性质可得；情况二，根据平行线的性质可得．进而得到结论． 【详解】解：分两种情况画图讨论：分别过点和点作，， ， ， ， ①如图1， ， ，， ， 的角平分线与的角平分线交于点， ，， ， ， ，， ， ②如图2， ， ，，， ， ， 的角平分线与的角平分线交于点， ，， ， ， ，， ． 综上所述：的度数为或． 20. 新定义：对于任意实数，其整数部分记为，且表示不超过的最大整数，余下部分记为，即：．如，；，．下列结论正确的个数是________． ①； ②若，，，则； ③若，，，则所有可能的值为6，7，8； ④方程的解为或． 【答案】3 【解析】 【分析】理解题目中对和的定义，结合不等式性质逐个判断结论即可． 【详解】解：①根据定义，不超过的最大整数是，即，故①正确； ②，， ，为正数，故， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 由题意得，， ，故②正确； ③根据定义，，，， ，，， ∴，即， 的可能值为，，，故③正确； ④由题意得，， ∴ 解得， 设，为整数， ∴，且， ∴， 解得， 为整数， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 方程有三个解，故④错误； 综上，正确的结论共个． 三、解答题：（第21、22、24每题8分，23题6分，25-27每题10分） 21. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用代入消元法求解； （2）两个方程中的系数互为相反数，用加减消元法消去求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， ∴该方程组的解为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该方程组的解为． 22. 解不等式（组） （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得； 【小问2详解】 解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 23. 在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，三角形摆放的位置如图所示，现将三角形平移，使点对应点，点对应点，点对应点． （1）画出平移后的三角形； （2）直接写出三角形的面积________． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）点A的对应点为点D，先向左移2格，再向上移1格，同理可得点E，F，连接即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求； 【小问2详解】 如（1）图，． 24. 请补全下面的证明过程及括号内的相应依据． 如图，平分，，． 求证：． 证明：平分 （________） （已知） ________（________） （________） （________） 又+（________）= （________） （________） 【答案】角平分线的定义；，等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质补充证明过程即可． 【详解】证明：平分 （角平分线的定义） （已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 又+（）= （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等）． 25. 昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元． （1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元； （2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪． 【答案】（1）每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；（2）昌云中学最多可以购买5个大地球仪． 【解析】 【分析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元， 由题意可得， 解得：， 答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元； （2）设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个， 根据题意得52m+28(30-m)≤960 解得m≤5 ∴昌云中学最多可以购买5个大地球仪． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用，根据题意列出式子是解题关键． 26. 解答下列各题： （1）【实验探究】已知：，两个三角板按如图1方式摆放，求的度数． （2）【发散思维】小佳同学通过思维发散，让三角板按如图2所示摆放，，且，求的度数 （3）【拓展探索】小明同学又结合方程的想法，按图3位置摆放，，且，求的度数 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作，根据平行线的性质，求出的度数，再求出的度数，即可得答案； （2）根据平行线的性质和外角的性质，求出的度数，再求出的度数，即可得答案； （3）过点E作，平行线的性质、外角的性质、已知条件，求出的度数，再根据对顶角的性质、平行线的性质，可得答案． 【小问1详解】 解：如下图，作， ， ， 由题意可得：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如下图，作， 由（1）得：， ， ； 【小问3详解】 解：如下图，过点E作，与交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 27. 定义一种新运算：，即当，；当，． （1）当，时，________； （2）当，，时，请你求出的取值； （3）当，，时，请你求出的取值范围． 【答案】（1）0 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）（3）按和两种情况分类讨论，计算后验证结果是否满足对应情况的前提条件，最终得到正确结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ； 【小问2详解】 解：当时，即 解得， 此时， ∴ 解得，符合条件； 当时，即 解得， 此时， ∴ 解得，不满足条件，舍去； 综上，的取值为； 【小问3详解】 解：当时，即 解得， 此时， 令 解得，符合条件； 当时，即 解得， 此时， ∴所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $